Jak odnaleźć działo wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.

Hiperbola, tak jak parabola oraz elipsa jest tzw. krzywą stożkową. Podobnie jak one tak i hiperbola posiada zastosowania, które w historii ludzkości były wykorzystywane w przeróżny, czasami zaskakujący, sposób. Jedna z jej własności stanowiła podstawy tego w jaki sposób próbowano podczas I wojny światowej lokalizować wrogą artylerię na polu bitwy. Nie jest to oczywiście jedyne zastosowanie hiperboli. W tym wpisie opowiemy sobie właśnie o tym jak można wykorzystać w praktyce posiadane przez nią własności.

Hiperbolę na ogół kojarzymy z tego, że wykres funkcji \(f(x)=\frac 1x\) ma właśnie jej kształt. Każda hiperbola składa się z dwu części (tzw. gałęzi), ma dwie osie symetrii oraz dwie asymptoty. Na poniższym rysunku asymptoty, którymi w tym przypadku są osie układu współrzędnych, zaznaczono na niebiesko, a osie symetrii na czarno.

Jeżeli obrócimy wykres funkcji \(f(x)=\frac 1x\) o \(45^\circ\), to otrzymamy krzywą, która wykresem funkcji nie jest. Jej osiami symetrii są teraz osie układu współrzędnych.

W takiej sytuacji, gdy osiami symetrii są osie układu współrzędnych oraz oś pozioma zawiera tzw. ogniska, to każdą taką hiperbolę opisuje równanie \[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\] dla pewnych \(a, b\neq 0\).

Hiperbolę, podobnie jak parabolę czy elipsę można zdefiniować również geometrycznie. I tak jak w przypadku wspomnianych krzywych, także własność definiująca hiperbolę sprawia, że znalazła ona zastosowania praktyczne.

Z każdą hiperbolą związana jest para różnych punktów \(F_1, F_2\) – wspomnianych ognisk. Sama zaś krzywa jest zbiorem punktów płaszczyzny o tej własności, że wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała. Tzn. istnieje \(a\gt|F_1F_2|\) takie, że \[\left||F_1P|-\|F_2P|\right|=a\]

Własność ta wydaje się na pierwszy rzut oka zwykłą ciekawostką. Okazuje się, że tę ciekawostkę można wykorzystać w praktyce. Tak też czynili inżynierowie podczas I wojny światowej pracujący nad systemami pomagającymi ustalić pozycję wrogich dział na polu bitwy. Daje ona bowiem teoretyczne podstawy metody pozwalającej, w ogólności, określać położenie różnych obiektów. Nie tylko wspomnianych dział. Przed erą GPS-u używana była tzw. nawigacja hiperboliczna. W jaki sposób to działało?

Działo podczas wystrzału wydaje dosyć donośny dźwięk. Nie jest to na ogół mała zabawka. Podczas I wojny światowej Niemcy używali m.in. dział takich jak poniższy Mörser 16, którego zasięg wynosił 11 kilometrów.

Jeżeli na polu bitwy umieścimy dwa mikrofony \(A\) oraz \(B\), to każdy z nich zarejestruje dźwięk wystrzału. Powiedzmy, że najpierw zrobi to \(A\), a po pewnym czasie \(t_{AB}\) również \(B\). Żeby móc coś powiedzieć na temat położenia działa, wystarczy znajomość prędkości dźwięku \(v\).

W czasie \(t_{AB}\) dźwięk pokonuje odległość \(vt_{AB}\). Wobec tego działo znajduje się na hiperboli o ogniskach \(A\) oraz \(B\) i współczynniku \(a\) równym \(vt_{AB}\). Ponieważ dźwięk wystrzału został wpierw zarejestrowany przez mikrofon \(A\), możemy stwierdzić, że działo znajduje się na gałęzi \(h_A\) znajdującej się bliżej ogniska \(A\).

Aby móc ustalić pozycję działa, potrzebujemy co najmniej jeszcze jednej hiperboli, która przetnie się z gałęzią \(h_A\). Tzn. potrzebujemy jeszcze co najmniej jednego mikrofonu \(C\). Mając go, możemy stwierdzić, że działo znajduje się na stosownej hiperboli o ogniskach \(A\) oraz \(C\) (lub \(B\) oraz \(C\)). Tyle w teorii.

Rzeczywistość nie jest jednak tak idealna jak obiekty matematyczne takie jak hiperbola. Należało się naturalnie zmierzyć z wieloma problemami natury praktycznej. Przykładowo, prędkość dźwięku w dużej mierze zależy od temperatury, a zmienia się cały czas. Innym problemem było to, że na polu bitwy bywa, na ogół, dosyć głośno. Skonstruowanie urządzenia pozwalającego odróżnić wystrzał działa od np. karabinu nie było w owych czasach takie proste.

Aby otrzymać jak najdokładniejszą pozycję wrogiego działa stosowano więcej niż trzy mikrofony. Poniżej schemat przykładowego ich rozmieszczenia oraz innych elementów systemu na polu bitwy. Mikrofony są zaznaczone krzyżykami i numerami od 1 do 6.

Jeżeli odległość między ogniskami jest mała w stosunku do odległości od działa, to można sobie nieco ułatwić życie. Pozwalało to uprościć wyznaczanie położenia działa kosztem niewielkiej straty dokładności. Tutaj do gry wchodziła prosta trygonometria. Spójrzmy na rysunek.

W punktach \(A\) oraz \(B\) umieszczone są mikrofony. Punkt \(X\) jest środkiem odcinka \(AB\) a w punkcie \(D\) znajduje się działo.

Długość odcinka \(AB\) (oznaczmy ją przez \(a\)) znamy. Nie znamy natomiast dokładnej pozycji działa, zaznaczonego kąta \(\alpha\) jak i długości odcinków \(DA\) oraz \(DB\). Ponieważ jednak działo (w teorii) znajduje się na hiperboli, to znamy różnicę \(c=|DA|-|DB|\).

Z twierdzenia cosinusów wynika, że \[|DA|=\sqrt{r^2+ar\cos{\alpha}+\frac{a^2}{4}}\textrm{ oraz }|DB|=\sqrt{r^2-ar\cos{\alpha}+\frac{a^2}{4}}\]
Z tego wynika, że \[c=|DA|-|DB|=\sqrt{r^2+ar\cos{\alpha}+\frac{a^2}{4}}-\sqrt{r^2-ar\cos{\alpha}+\frac{a^2}{4}}\]
Podnosząc dwukrotnie do kwadratu otrzymujemy po prostych przekształceniach poniższą równość:
\[a\cos{\alpha}=c\sqrt{1+\frac{a^2-c^2}{r^2}}.\] Na polu bitwy odległość działa od mikrofonów była (na ogół) znacznie większa niż odległość między mikrofonami. Wobec tego \[c\approx a\cos{\alpha}\] co pozwala, w dobrym przybliżeniu, wyznaczyć miarę kąta \(\alpha\), a więc i prostą przechodzą przez \(X\) oraz \(D\). Zmieniając mikrofony \(A\) i \(B\) na inne, można było otrzymać inną prostą co pozwalało ustalić pozycję działa.

Aby wszystko jeszcze usprawnić, to używano specjalnych tabliczek (jak na rysunku niżej), na których naniesiono stosowne mapy. Punkty od \(A\) do \(F\) odpowiadały mikrofonom. Odległość między nimi wynosiła często stałą wartość (na ogół 450 jednostek). Wobec tego tabliczki na swoich brzegach zawierały skalę skonstruowaną w taki sposób, że wystarczyło poprowadzić kawałek sznurka z punktu \(X\) na liczbę odpowiadającą długości \(c\), a tworzył on z odcinkiem \(AB\) kąt \(\alpha\). Dla każdej pary sąsiednich mikrofonów była przeznaczona oddzielna skala.

Geometryczna własność definiująca hiperbolę była wykorzystywana nie tylko w czasie I wojny światowej lecz także później. Przed erą GPS-u używano tzw. nawigacji hiperbolicznej, która była podstawą działania systemu LORAN (=LOng RANge, tj. daleki/długi zasięg). Idea działania była podobna. W znanych lokalizacjach rozlokowano stacje bazowe emitujące sygnały.

Używający ich do nawigacji obiekt, np. statek na morzu, miał odbiornik pozwalający wyznaczyć w jakiej kolejności i z jakim opóźnieniem docierały do niego sygnały z poszczególnych stacji. Pozwalało to określić stosowne hiperbole, w których przecięciu znajdował się statek.

Morze czy ocean ma znacznie większą powierzchnię niż pole bitwy i jego powierzchnia nie jest idealnie płaska. W przypadku pola bitwy założenie płaskości było jak najbardziej racjonalne, tu jednak tak być nie musi. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie aby wykorzystać własność, której użyliśmy do geometrycznego zdefiniowania hiperboli aby zdefiniować nie krzywą lecz powierzchnię!

Mając dane dwa ogniska \(F_1\) oraz \(F_2\), to zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej spełniających warunek
\[\left||F_1P|-\|F_2P|\right|=a\] jest powierzchnią powstałą przez obrót hiperboli wokół prostej zawierającej jej ogniska. Nazywamy ją hiperboloidą dwupowłokową.

Przecięcie takiej hiperboloidy z powierzchnią Ziemi dawało hiperbolę na jej powierzchni. W praktyce, w pierwszych wersjach systemu, używano map takich jak poniższa, z naniesionymi stosownymi liniami.

To nie jedyne zastosowania hiperboli (i hiperboloidy). Ma ona jeszcze inną geometryczną własność, która również znalazła zastosowania. Każda gałąź hiperboli jakby otacza jedno ognisko oraz dzieli płaszczyznę na dwie części. Oznaczmy przez \(h_2\) gałąź hiperboli ,,otaczającą” ognisko \(F_2\). Jedna część płaszczyzny zawiera ognisko \(F_2\), a druga \(F_1\).

Jeżeli wystrzelimy promień światła z części płaszczyzny zawierającej ognisko \(F_1\) w taki sposób, że gdyby nie hiperbola, przeszedłby przez \(F_2\), to odbiwszy się od gałęzi \(h_2\) przejdzie przez \(F_1\). Analogicznie, gdy promień zostanie wystrzelony z części zawierającej \(F_2\) w kierunku \(F_1\). Spójrzmy na poniższy rysunek.

Czerwony promień został wystrzelony z części płaszczyzny zawierającej ognisko \(F_1\) w kierunku ogniska \(F_2\). Tzn. gdyby nie gałąź hiperboli od której się odbił, to przeszedłby przez \(F_2\). Hiperbola ma tę własność, że odbiwszy się od niej czerwony promień przejdzie przez \(F_1\). Analogiczną sytuację mamy z promieniem szarym. Gdyby nie hiperbola przeszedłby przez \(F_1\), ale po odbiciu od hiperboli przejdzie przez \(F_2\).

Wychodząc od definicji geometrycznej, udowodnimy sobie później, że hiperbola istotnie posiada ową własność. Najpierw jednak wspomnimy o tym gdzie można ją zastosować. A można to zrobić np. w teleskopach. Przypomnijmy, że parabola też ma swoje ognisko oraz własność pozwalającą skupiać promienie w jej ognisku. Więcej szczegółów tu.

Teleskop Cassegraina działa w taki sposób, że wpadające do niego promienie świetle są wpierw odbijane od parabolicznego zwierciadła i kierowane na jego ognisko. Nie dotrą jednak do tego ogniska, gdyż odbiją się od drugiego zwierciadła hiperbolicznego. Jest ono tak umiejscowione, że jedno z jego ognisk jest ogniskiem również paraboli. Drugie natomiast znajduje się z miejscu, do którego promienie mają finalnie dotrzeć.

Wychodząc z geometrycznej definicji hiperboli, pokażemy że istotnie posiada opisaną własność związaną z odbiciami. Spójrzmy na rysunek. Mamy na nim gałąź \(h_2\) hiperboli, która dzieli płaszczyznę na dwie rozłączne części: \(p_2\) zawierającą ognisko \(F_2\) oraz \(p_1\) zawierającą ognisko \(F_1\). Naszym celem jest pokazanie, że każdy promień wystrzelony z \(p_1\) w kierunku ogniska \(F_2\), po odbiciu od gałęzi \(h_2\) przejdzie przez ognisko \(F_1\). I analogicznie, gdy w poprzednim zdaniu zamienimy miejscami \(1\) oraz \(2\).

Niech \(P\) będzie punktem hiperboli na gałęzi \(h_2\). Na odcinku \(F_1P\) zaznaczmy taki punkt \(F\), aby \(|PF|=|PF_2|\). Z definicji hiperboli, jeśli \(P\) należy do \(h_2\), to \(|PF_1|\gt |PF_2|\), zatem punkt \(F\) istotnie znajduje się na odcinku \(PF_1\).

Z tego wynika, że \[|F_1P|-|F_2P|=|F_1F|\] czyli dla każdego punktu \(R\) hiperboli zachodzi \[\left| |F_1R|-|F_2R|\right|=|F_1F|\] Przez punkt \(P\) oraz środek \(S\) odcinka \(FF_2\) poprowadźmy prostą \(k\). Trójkąt \(\triangle PFF_2\) jest równoramienny, a prosta \(k\) jest dwusieczną jego kąta przy wierzchołku \(P\) (jak i kąta z nim wierzchołkowego). Czyli przy wierzchołku \(P\) mamy cztery kąty tej samej miary. Z tego wynika, że promień (wystrzelony w części \(p_1\)) lecący w kierunku \(F_2\) odbiwszy się od \(k\) przejdzie przez \(F_1\). Wystarczy więc pokazać, że \(k\) jest styczną.

W tym miejscu musimy sobie powiedzieć czym właściwie jest styczna do hiperboli. Niektórzy powiedzieliby, że jest po prosta mająca z nią dokładnie jeden punkt wspólny. Jest to popularny błąd. Nie każda prosta mająca z hiperbolą dokładnie jeden punkt wspólny jest jej styczną. Błąd ten bierze się zapewne stąd, że o stycznej mówi się w szkole po raz pierwszy przy okazji okręgu. W tym przypadku styczną do okręgu jest każda prosta mająca z nią dokładnie jeden punkt wspólny. Na nasze potrzeby wystarczy zauważyć, że jeśli mamy punkt \(P\) należący do gałęzi np. \(h_2\) to prosta \(k\) jest styczną do hiperboli w punkcie \(P\) jeżeli wszystkie jej punkty, oprócz \(P\), leżą poza hiperbolą oraz w części \(p_1\) płaszczyzny.

Nietrudno zauważyć, że jeśli \(P\) jest punktem hiperboli, \(a=||F_1P|-||F_2P|\), zaś \(R\) jest dowolnym punktem płaszczyzny, to:

• \(a\gt |F_1R|-|F_2R|\), gdy \(R\) leży w części \(p_1\) płaszczyzny;
• \(a= |F_1R|-|F_2R|\), gdy \(R\) leży na hiperboli;
• \(a\lt |F_1R|-|F_2R|\), gdy \(R\) leży w części \(p_2\) płaszczyzny.

Nietrudno się przekonać, że tak jest w istocie. Wystarczy spojrzeć na poniższy rysunek i zastosować nierówność trójkąta.

Aby udowodnić, że promień lecący w kierunku \(F_2\) po odbiciu się od hiperboli trafi do \(F_1\), wystarczy pokazać, że prosta \(k\) jest styczną hiperboli. Niech \(R\) będzie dowolnym jej punktem różnym od \(P\). Wówczas \[|F_1F|+|FR|\gt |F_1R|\] gdyż te trzy boki tworzą trójkąt. Ponieważ \(k\) jest symetralną odcinka \(FF_2\), to \(|FR|=|F_2R|\). Zatem \[|F_1F|+|F_2R|\gt |F_1R|,\] a stąd \[|F_1F|\gt |F_1R|-|F_2R|.\] Czyli każdy, różny od \(P\) punkt prostej \(k\) leży w części \(p_1\) płaszczyzny, zatem \(k\) jest styczną.

---

Literatura

J.R. Hinmann, Ranging in France with Flash and Sound, Dunham Printing Co. (1919)
W. Hope-Jones, Sound Ranging, The Mathematical Gazette, vol. 14 Nr. 195 (1928), str. 173-186
Ch. Rousseau, Y. Saint-Aubin, Mathemathics and Technology, Springer (2008).