Czym jest elipsa wie chyba każdy. Ale o tym, że pewna jej własność znalazła zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie już znacznie mniej osób.
W szkole, gdy uczymy się o krzywych to na ogół jesteśmy uczeni jedynie wzorów je opisujących. Np. w liceum dowiadujemy się, że parabola, to wykres funkcji kwadratowej. O tym jakie ma geometryczne własności i jakie dzięki nim ma zastosowania na ogół już nie. Ważniejsza jest znajomość wzoru na wyróżnik (zwany nie potocznie deltą).
Każda krzywa, która jest znana na tyle, że doczekała się swojej nazwy, jest z jakichś powodów wyjątkowa. Na ogół ze względu na własności (często geometryczne) jakie posiada. O tym jakie własności i zastosowania ma parabola można poczytać tutaj. Ponieważ pojawiła się parabola, to tym razem czas na elipsę.
Zacznijmy od tego czym właściwie jest ta krzywa. Z wyglądu jest to takie spłaszczone koło, jakby ktoś na nim usiadł. Można ją, jak wiele krzywych, opisać wzorem \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.\] Ale wzór za bardzo nie mówi jaką ciekawą własność ma elipsa. Są z nią związane dwa szczególne punkty \(F_1, F_2\) zwane ogniskami.
Można elipsę również zdefiniować geometrycznie. Jest to krzywa mająca tę własność, że dla dowolnego jej punktu \(P\) suma odległości od ognisk jest zawsze taka sama, tzn. \[|F_1P|+|F_2P|=C\]
dla pewnej liczby \(C
\gt 0\).
Szczególnym przypadkiem jest okrąg, który składa się z punktów równo oddalonych od środka. Odpowiada to sytuacji, gdy oba ogniska są tym samym punktem, czyli środkiem okręgu.
Jeżeli obrócimy elipsę wokół prostej przechodzącej przez ogniska, to zakreśli ona elipsoidę obrotową.
Elipsa ma jeszcze inną ważną własność, która sprawia, że ma praktyczne zastosowania. Mianowicie, każdy promień wychodzący z jednego ogniska, odbiwszy się od elipsy, przejdzie przez drugie ognisko. Na końcu tego wpisu przedstawimy dowód tej własności. Analogiczną własność ma naturalnie elipsoida powstała przez obrót elipsy wokół osi przechodzącej przez ogniska.
W jaki sposób można tę własność wykorzystać? Jednym z zastosowań, choć mało praktycznym, są tzw. galerie szeptów. Elipsoidalny kształt pozwala uzyskiwać ciekawe efekty akustyczne. Jeżeli budowla ma np. elipsoidalne sklepienie, to gdy jedna osoba stanie w jednym ognisku i zacznie szeptać, to spora część fal dźwiękowych odbije się od owego sklepienia i trafi do drugiego ogniska. Nawet jeżeli będzie je dzieliła odległość kilkudziesięciu metrów, to osoba stojąca w drugim ognisku będzie w stanie ten szept usłyszeć.
Jedno z najbardziej znanych miejsc tego typu znajduje się na dworcu Grand Central Terminal w Nowym Jorku.
Jak to wygląda w praktyce można zobaczyć na tym filmiku.
Galerie szeptów są bez wątpienia ciekawą atrakcję, lecz nie mają raczej żadnych większych praktycznych zastosowań. Jednakże, wspomniana własność elipsy znalazła zastosowanie w medycynie. Dokładniej przy usuwaniu kamieni nerkowych. Jednym ze sposobów pozbywania się ich jest używanie fal dźwiękowych.
Służy do tego urządzenie zwane litotryptorem. W elipsoidalnym reflektorze, w jednym z jego ognisk, generowana jest fala uderzeniowa. Urządzenie jest ustawione w taki sposób, że w drugim ognisku znajdują się kamienie. Fala uderzeniowa, odbiwszy się od elipsoidalnego reflektora, jest skupiana w drugim ognisku rozbijając znajdujące się tam kamienie.
Teraz pokażemy, korzystając z geometrycznej definicji elipsy, że istotnie posiada własność iż każdy promień wychodzący z jednego ogniska, odbiwszy się od niej, trafi do drugiego ogniska.
Jeżeli promień odbija się od prostej, to kąt padania jest równy kątowi odbicia. Jednak w jaki sposób taki promień odbija się od krzywej? Otóż, w takim przypadku kąt padania jest kątem między promieniem, a styczną w punkcie padania promienia. Oznaczmy przez \(a\) sumę odległości dowolnego punktu elipsy od jej ognisk. Wówczas, jeżeli \(R\) jest dowolnym punktem płaszczyzny, to:
- \(|F_1R|+|F_2R| < a\Leftrightarrow R\) jest wewnątrz elipsy,
- \(|F_1R|+|F_2R|=a\Leftrightarrow R\) jest na elipsie,
- \(|F_1R|+|F_2R| > a\Leftrightarrow R\) jest na zewnątrz elipsy.
Niech \(P\) będzie punktem na elipsie. Na półprostej o początku w ognisku \(F_1\) zaznaczmy, jak na rysunku poniżej, punkt \(F\), tak aby \(|PF|=|F_2P|\).
Przez punkt \(P\) poprowadźmy symetralną \(k\) odcinka \(FF_2\). Wówczas
\[\sphericalangle F_2PR=\sphericalangle RPF=\sphericalangle F_1PS,\]
gdyż trójkąt \(\triangle F_2PF\) jest równoramienny. Druga równość wynika z tego, że kąty \(\sphericalangle RPF\) oraz \(\sphericalangle F_1PS\) są wierzchołkowe. Wobec tego promień światła wychodzący z jednego ogniska, odbiwszy się od prostej \(k\) przejdzie przez drugie ognisko. Wystarczy pokazać, że \(k\) jest styczną do elipsy w punkcie \(P\). W przypadku elipsy, jest to jedyna prosta, która ma z nią tylko jeden punkt wspólny, którym jest \(P\). Należy więc pokazać, że każdy różny niż \(P\) punkt prostej \(k\) nie leży na elipsie.
Niech \(R\) będzie, różnym od \(P\), punktem prostej \(k\). Z określenia punktu \(F\), wiemy że \(|FP|=|F_2P|\). Zatem \(|F_1F|=|F_1P|+|F_2P|\). Ponadto, \(|F_2R|=|FR|\), gdyż \(k\) jest symetralną odcinka \(F_2F\). Teraz wystarczy zauważyć, że \[|F_1R|+|F_2R|=|F_1R|+|FR|>|F_1F|=|F_1P|+|F_2P|,\] gdyż \(F_1F, F_1R\) oraz \(FR\) są bokami trójkąta \(\triangle F_1FR\). Czyli punkt \(R\) znajduje się na zewnątrz elipsy.