Legenda głosi, że wykorzystując pewną prostą geometryczną własność jaką ma parabola, Archimedes skonstruował zwierciadła, które miały tak skupiać promienie słoneczne by powodować zapłon rzymskich statków podczas oblężenia Syrakuz. Mało kto zna tę własność. O tym się w szkole na ogół nie wspomina. Lecz o tym, że wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie każdy absolwent polskiego liceum.
Jak wygląda parabola wie chyba każdy kto chodził do szkoły i musiał się uczyć funkcji kwadratowej. Krzywa ta była jednak znana już w starożytności, gdy o czymś takim jak funkcja kwadratowa nikt nie słyszał. Ale niestety program nauczania w szkole jest taki, że w zasadzie wszyscy uczą się wzorów zbytnio się nie zastanawiając skąd się wzięły. Tak więc każdy wie jak wygląda wzór funkcji kwadratowej, wzór na wyróżnik (zwany potocznie deltą) itd. Czy jest w tym wszystkim jakiś głębszy sens, jest już mniej ważne, bo tego na maturze przecież nie będzie więc nie trzeba się tego uczyć. Tam są tylko zadania w stylu rozwiąż równanie kwadratowe.
To, że parabola jest krzywą po której porusza się rzucony kamień czy wystrzelony pocisk (o ile pominiemy opór powietrza) mogło się obić o uszy na lekcjach fizyki. Ale o tym, że:
- anteny satelitarne mają kształt fragmentu (trójwymiarowej) paraboli,
- niektóre mikrofony kierunkowe również,
- jak i radioteleskopy,
- ogień olimpijski jest tradycyjnie rozpalany (o ile pogoda pozwala) przy pomocy zwierciadła parabolicznego,
to już nie zawsze w szkole się mówi. Za te (i inne) zastosowania paraboli odpowiedzialna jest pewna własność, która wyróżnia ją spośród innych krzywych. Bo z krzywymi jest tak, że wzory je opisujące nie wzięły się stąd, że ktoś sobie dany wzór wymyślił i pomyślał no to zobaczmy co z tego wyjdzie.
Na ogół jest inaczej. Najpierw krzywą się opisuje poprzez jakąś własność, którą chcemy aby posiadała, a dopiero potem wyprowadza się z niej wzór. Przykładem krzywej (a właściwie rodziną krzywych) mającej interesującą własność jest spirala logarytmiczna. Szczególnym jej przypadkiem jest tzw. złota spirala. O mitach związanych ze złotą spiralą można poczytać tutaj.
Podobnie jest z parabolą. Ona też ma własności ściśle z nią związane. Otóż to nie tylko krzywa będąca wykresem właśnie funkcji kwadratowej. Tylko jak ją zdefiniować nie odnosząc się do funkcji kwadratowej?
Z każdą parabolą jest związany pewien szczególny punkt \(F\), zwany ogniskiem oraz prosta \(k\) zwana kierownicą. A sama parabola to zbiór punktów płaszczyzny równo oddalonych od ustalonego punktu (tj. ogniska) oraz prostej nieprzechodzącej przez ten punkt (czyli kierownicy).
Ma ona również tę własność, że każdy promień prostopadły do kierownicy, odbiwszy się od paraboli (po tej stronie, po której jest ognisko), przechodzi przez ognisko.
Działa to również w odwrotną stronę, jeżeli promień przechodzi przez ognisko, to odbiwszy się od paraboli, będzie prostopadły do kierownicy.
Jeżeli obrócimy parabolę względem jej osi symetrii, otrzymamy paraboloidę obrotową, która ma analogiczną własność, z tą różnicą, że kierownica nie będzie prostą lecz płaszczyzną. Dzięki własności jaką ma parabola, możemy skupiać równoległe promienie (np. słoneczne) w ognisku.
To właśnie tę własność, jeśli wierzyć legendzie, wykorzystał Archimedes podczas oblężenia Syrakuz. Próby weryfikacji tej legendy były podejmowane (i to trzykrotnie) w programie Pogromcy Mitów, jednak wniosek był taki, że najprawdopodobniej to tylko legenda. Mimo to powierzchnie w kształcie paraboloidy obrotowej były i nadal są wykorzystywane w praktyce.
Jak wygląda antena satelitarna czy radioteleskop, każdy chyba wie. Ale nie każdy wie, że mają one kształt fragmentu paraboloidy obrotowej. Puszka na końcu ramienia anteny satelitarnej to tzw. konwerter. Jak łatwo się domyślić, znajduje się w ognisku paraboloidy. Jego celem jest wzmacnianie sygnałów odbitych od anteny. W przypadku radioteleskopów w ognisku może się znajdować kolejne zwierciadło, które kieruje odbite od tarczy promienie do miejsca docelowego. Ponieważ fale docierają do niej z dużej odległości, to są prawie równoległe.

Na podobnej zasadzie działa paraboliczny mikrofon kierunkowy (można takie kupić bez problemu w internecie). Tylko, że zamiast fal elektromagnetycznych skupia dźwiękowe.
Możliwość skupiania dźwięku była przed II wojną światową wykorzystywana przez Anglików, którzy na swoich wybrzeżach wybudowali tzw. betonowe uszy. Ich celem było skupianie w ognisku dźwięku nadlatujących samolotów niemieckich aby można było je zawczasu usłyszeć. Ze względu na wynalezienie radarów nie zrobiły zawrotnej kariery, ale trzeba przyznać, że stanowią ciekawą atrakcję.

W ognisku można skupiać również promienie światła słonecznego. W taki właśnie sposób, wykorzystując zwierciadło paraboliczne, rozpala się ogień olimpijski na Olimpie, który następnie wyrusza w drogę do znicza olimpijskiego.

Nieco większe zwierciadło paraboliczne znajduje się we Francji, a dokładniej, w Odeillo. Jest tam największy na świecie piec solarny pozwalający otrzymać temperaturę ponad \(3000^\circ C\). Jego efektywność jest ściśle związana z pogodą, więc takie piece nie są często wykorzystywane w praktyce.

Pokażemy teraz, korzystając z przedstawionej definicji, że jeżeli umieścimy ognisko w punkcie \((0,p)\) dla pewnego \(p>0\), a za kierownicę przyjmiemy prostą \(k: y=-p\), to otrzymamy parabolę będącą wykresem pewnej funkcji kwadratowej.
Z tego wynika, że każda parabola jest przystająca do wykresu pewnej funkcji kwadratowej.
Niech więc punkt \((x,y)\) będzie miał tę własność, że jego odległość od punktu \((0,p)\) jest taka sama jak od prostej \(k\). Taki punkt istnieje co najmniej jeden, gdyż \((0,0)\) jest oddalony od kierownicy i ogniska o \(p\). Odległość punktu \((x,y)\) od prostej \(k\) jest równa \(y+p\) (łatwo zauważyć, że jeśli punkt należy do paraboli, to \(y\geq 0\)).
Weźmy jednak pod uwagę kwadrat tej odległości \((y+p)^2\). Z kolei kwadrat odległości od ogniska do punktu \((x,y)\) jest równy \(x^2+(y-p)^2\). Wobec tego \[(y+p)^2=x^2+(y-p)^2.\] Pozbywając się nawiasów oraz redukując wyrazy podobne otrzymamy \(x^2=4py\), czyli ostatecznie \[y=\dfrac{x^2}{4p}.\]
Zatem współrzędne każdego punktu leżącego na paraboli spełniają powyższe równanie. Z drugiej strony, nietrudno zauważyć, że każdy punkt leżący na krzywej \(y=\dfrac{x^2}{4p}\) spełnia warunek definiujący parabolę.
Teraz udowodnimy, że każdy promień prostopadły do kierownicy, odbiwszy się od paraboli (po tej samej ,,stronie” gdzie jest ognisko) trafi w ognisko. Ponieważ każda parabola jest przystająca do wykresu funkcji \(y=\frac{x^2}{4p}\) dla pewnego \(p>0\), to wystarczy przeprowadzić dowód tylko dla \(y=\frac{x^2}{4p}\).
Niech \(Q=(m,\frac{m^2}{4p})\) będzie punktem paraboli. Oznaczmy na czerwono promień prostopadły do kierownicy i odbijający się od paraboli w punkcie \(Q\) jak na rysunku. Na początku udowodnimy pewien fakt pomocniczy. Mianowicie, pokażemy, że styczna do paraboli w punkcie \((m,\frac{m^2}{4p})\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{m}{2p}\).
Styczna do paraboli w punkcie \(Q\) jest jedyną niepionową prostą przechodzącą przez \(Q\) oraz mającą z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny.
Ci co znają pojęcie pochodnej funkcji, uznają to za fakt oczywisty. Jednakże, udowodnimy to nie korzystając z pojęcia pochodnej.
Każda, niepionowa, prosta przechodząca przez punkt \((m,\frac{m^2}{4p})\) ma równanie \[y=a(x-m)+\frac{m^2}{4p}.\] Ilość punktów wspólnych tej prostej z parabolą \(y=\frac{x^2}{4p}\) jest liczbą rozwiązań równania
\[a(x-m)+\frac{m^2}{4p}=\frac{x^2}{4p},\] tj. \[\frac{x^2}{4p}-ax-\frac{m^2}{4p}+am=0\]
dla \(a\in\mathbb R\).
Mnożąc przez \(4p\) otrzymamy inne równanie, ale mające tą samą liczbę rozwiązań. \[x^2-4apx-m^2+4apm=0.\] Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie, gdy \(\Delta=0\), tj., gdy \[(4ap)^2-4\cdot 1\cdot(-m^2+4apm)=0.\] Czyli \[16p^2a^2-16pma+4m^2=(2m-4pa)^2=0.\] Z tego wynika, że \(a=\frac{m}{2p}\).
Z kolei współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez ognisko oraz rzut punktu \(Q\) na kierownicę (tj. punkt \(P\)) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{2p}{m}\).
Zatem jest ona prostopadła do stycznej. Czyli zawiera wysokość trójkąta równoramiennego \(\triangle PQF\) opuszczoną na \(PF\). Zatem \(\angle PQS=\angle SQF=\angle RQT\). Z tego wynika, że promień prostopadły do kierownicy oraz odbijający się od paraboli w punkcie \(Q\) przejdzie przez ognisko.
a ja mam inne pytanie, żeby udowodnić, że każde punktowe źródło światła umieszczone w osi symetrii paraboli powyżej jego ogniska, ulegnie skupieniu w innym punkcie tej osi symetrii, da się to udowodnić?