Złota spirala, to kolejny obiekt, który upodobali sobie miłośnicy złotej proporcji. Muszle, tor lotu owadów czy ptaków, galaktyki, huragany i wiele innych rzeczy ma podobno kształt złotej spirali. To zestaw popularnych mitów. Zupełnie jakby na świecie inne spirale nie istniały.
Zanim jednak powiemy sobie czym jest złota spirala, powiedzmy kilka słów o tym czym w ogóle są spirale. Niezbyt ściśle mówiąc, spirala to krzywa zakreślona przez punkt poruszający się wokół innego punktu (zwanego środkiem spirali) i jednocześnie się od niego oddalający. Mówiąc już bardziej matematycznie, możemy powiedzieć, że spirala, to krzywa która we współrzędnych biegunowych \((r,\theta)\) dana jest równaniem
\[r=f(\theta),\]
gdzie \(f\) jest pewną funkcją rosnącą.
Gdy punkt oddala się od środka ze stałą prędkością oraz porusza się wokół niego również ze stałą prędkością, to otrzymamy w ten sposób spiralę Archimedesa, która jest dana wzorem \(r(\theta)=k\theta\), gdzie \(k\) jest pewną stałą.
Jeśli ze środka spirali narysujemy półprostą, to odległości od środka kolejnych punktów przecięcia utworzą ciąg arytmetyczny. Gdybyśmy chcieli aby te odległości zmieniały się geometrycznie, to otrzymamy tzw. spiralę logarytmiczną. Jest to rodzina spiral dana wzorem ogólnym \[r(\theta)=ae^{k\theta}.\]
Odległości punktów \(A, B, C\) od środka \(O\) spirali zmieniają się geometrycznie, tzn.
\[|OB|=|OA|\cdot e^{2k\pi}\textrm{ oraz } |OC|=|OB|\cdot e^{2k\pi}.\] Spirala nawija się nieskończenie wiele razy wokół środka nie tylko przy oddalaniu się od niego, lecz również przy zbliżaniu się. Mimo tego dla dowolnego kąta \(\theta\) odcinek spirali \((r(0),r(\theta)\rangle\) jest skończony!
Szczególnym przypadkiem spirali logarytmicznej jest złota spirala, która bywa często mylona lub utożsamiana ze spiralą Fibonacciego. Są to jednak dwie różne spirale.
Jeżeli w złotym prostokącie narysujemy kwadrat, to otrzymamy jednocześnie drugi złoty prostokąt. Możemy ten proces powtarzać. W każdy kwadrat możemy wpisać ćwiartkę okręgu otrzymując tym samym spiralę Fibonacciego.
Złota spirala to taka spirala logarytmiczna, w której przy zwiększeniu kąta o \(90^\circ\), odległość punktu spirali od środka zmienia się \(\varphi\) razy. Z tego wynika, że
\[k=\dfrac{2\ln{\varphi}}{\pi}\approx 0,306.\]
Czy więc owady oraz drapieżne ptaki podczas polowania poruszają się zataczając kształt złotej spirali? Biorąc pod uwagę, że złota spirala jest krzywą płaską, a trajektoria lotu owada czy ptaka na ogół nie, to odpowiedź jest oczywista. Nawet gdyby taki owad czy ptak się poruszał w pewnej płaszczyźnie, to by się poruszał (w dobrym przybliżeniu) po pewnej spirali logarytmicznej, która na ogół złotą, nawet w przybliżeniu, nie będzie.
Tylko skąd tutaj spirala logarytmiczna? Wynika to po pierwsze z ważnej własności jaką posiada. Każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina ją pod tym samym kątem \(\alpha\).
Współczynnik \(k\) we wzorze ogólnym spirali logarytmicznej, to kotangens kąta \(\alpha\). W przypadku złotej spirali ten kąt jest równy około \(73^\circ\).
Owady mają często złożone oczy, tj. takie, które składają się z wielu omatidiów (zwanych oczkami prostymi lub fasetkami). Każde omatidium pozwala widzieć fragment pola widzenia.
Być może z tego powodu wiele owadów porusza się wykorzystując naturalne źródła światła takie jak słońce czy księżyc. Jeżeli taki owad chce się przemieścić w linii prostej z punktu \(A\) do punktu \(B\), to poruszając się w taki sposób aby np. księżyc był widziany cały czas przez te same omatidia (czyli aby był widoczny pod stałym kątem) uda mu się dotrzeć do punktu \(B\). Jest to możliwe dzięki temu, że wspomniany księżyc znajduje się w sporej odległości od Ziemi a każdy odbity od niego promień światła dociera do owada pod praktycznie stałym kątem.
Problem zaczyna się gdy w pobliżu owada pojawi się sztuczne źródło światła np. lampa. Wówczas chcąc poruszać się jak opisaliśmy przed chwilą, ale używając owej lampy zamiast księżyca, będzie poruszał się tak, aby widzieć lampę pod stałym kątem. Gdyby więc taki ruch odbywał się w pewnej płaszczyźnie, to owad zbliżałby się do lampy po pewnej spirali logarytmicznej, która nawet w przybliżeniu nie musi być złotą.
Tak na marginesie m. in. dlatego zanieczyszczenie światłem jest bardzo groźne dla wielu owadów.
Drapieżne ptaki, jak np. sokół wędrowny, podczas polowania na ofiarę również poruszają tak, aby widzieć ją pod stałym kątem. Jest to spowodowane tym, że pewne gatunki ptaków mają obszary oczu, które są wyspecjalizowane w ostrym widzeniu, tzw. dołki. Dzięki nim np. sokół wędrowny widzi najostrzej pod kątem ok. \(45^\circ\) względem osi głowy. Jeżeli taki ptak ściga ofiarę, to mamy pewien konflikt. Aby widzieć ją najlepiej, to lecąc wprost na nią powinien odwrócić głowę o wspomniane \(45^\circ\), zwiększy to jednak opór powietrza. Wobec tego ptaki te potrafią się poruszać tak, aby widzieć ofiarę pod wspomnianym kątem oraz nie musieć odwracać głowy czyli w przypadku lotu w płaszczyźnie, tor lotu byłby spiralą logarytmiczną. I to taką, której jak widać, daleko do złotej spirali.
Jeżeli więc kiedykolwiek usłyszymy, że jakieś zwierzę porusza się po złotej spirali, to z dużą dozą prawdopodobieństwa owe zwierzę porusza się z jakichś powodów w taki sposób, aby widzieć pewien punkt pod stałym kątem. Gdyby założyć, że taki ruch odbywa się w pewnej płaszczyźnie, to jego tor byłby pewną spiralą logarytmiczną, najprawdopodobniej nie złotą.
A czy w muszlach jest ukryta złota spirala? Najczęściej w tym kontekście możemy znaleźć zdjęcie muszli łodzika, która jakoby miałaby mieć kształt właśnie złotej spirali. Jak się domyślamy, można tam znaleźć jakąś spiralę logarytmiczną. Na ogół nie jest to złota spirala. Poniżej przykładowe zdjęcie muszli z naniesioną złotą spiralą. Nawet gdy ją przeskalujemy, nie będzie zbytnio pasować do kształtu muszli.
A tutaj skąd się bierze spirala logarytmiczna? Pomyślmy jak może rosnąć muszla wraz z rozwojem żyjącego w niej zwierzątka? Na przykład może rosnąć podłużnie. W prostym, z geometrycznego punktu widzenia, scenariuszu muszla może się powiększać w sposób równomierny tak, aby na każdym etapie rozwoju mieć kształt bryły zawsze podobnej do tej z poprzednich etapów.
Takie muszle miały np. ordowickie łodziki rzędu Orthoceratida. Rekonstrukcja poniżej.
Gdy taka podłużna muszla, zamiast rosnąć prosto, zacznie się zwijać, to przybierze kształt spirali logarytmicznej (dokładniej to brzeg jej przekroju). Taki proces wymaga tego aby zewnętrzny brzeg muszli się rozciągnął, wewnętrzny zaś przeciwnie. Gdyby wzrost zwijającej się muszli przebiegał w taki sposób, by średnica jej otworu była proporcjonalna do długości (tak jak w przypadku muszli niezwijającej się) to przyjęłaby kształt spirali logarytmicznej.
Dlaczego? Bo taką własność ma spirala logarytmiczna. Zaznaczona średnica jest proporcjonalna do długości łuku spirali do punktu \(A\) (niebieski fragment).
Dokładniej, długość łuku \((r(0),r(\theta)\rangle\) jest równa \[l=\dfrac{a\sqrt{1+k^2}}{k}\cdot e^{k\theta}.\] Natomiast średnica \(d\) jej ,,otworu”, to \[d=l\cdot\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}}\cdot (e^{2\pi k}-1).\] Ponieważ \(k\) jest stałą, to również współczynnik proporcjonalności \[\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}}\cdot (e^{2\pi k}-1)\] jest stały.
Przytoczone przykłady, to jedynie kilka spośród wielu z prawdziwego życia, gdzie możemy natknąć się na spirale. Miłośnicy złotej proporcji potrafią każdej z nich przypisać bycie złotą. Zupełnie jakby innych spiral nie było. W powyższych przykładach pojawiała się rodzina spiral logarytmicznych, której szczególnym przypadkiem jest właśnie złota spirala. Jednak większości spiral spotykanym na świecie, nawet tym logarytmicznym, daleko do bycia tą złotą.
Natomiast samo szukanie złotych spiral czy to w opisanych tutaj sytuacjach, czy innych jak kształt galaktyk, huraganów itp. jest chorobą podobną do znajdywania złotego podziału niemal wszędzie. Można ją nazwać złotą spiralologią.
Literatura
Ø. Hammer, The Perfect Shape. Spiral Stories, Springer (2016)
M. Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number, Broadway Books (2002)
V.A. Tucker, The Deep Fovea, Sideways Vision and Spiral Flight Paths in Raptors, J. Exp. Biol. 203 (2000), str. 3745–3754