liczby przestępne

Liczby przestępne i co o nich wiemy

Wiemy ze szkoły, że liczby rzeczywiste można podzielić na wymierne i niewymierne. Wśród tych drugich są tzn. liczby przestępne czyli takie jakby bardziej niewymierne. Mimo iż, co może niektórych zaskoczyć, prawie wszystkie liczby są przestępne, to nie jest rzeczą łatwą pokazać, że dana liczba jest przestępna.

Zanim przejdziemy do meritum musimy wspomnieć o liczbach algebraicznych. Są to te liczby zespolone, które są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych. Liczbami algebraicznymi są wszystkie liczby wymierne \(\frac pq\in\mathbb Q\) jako pierwiastki wielomianów \(x-\frac pq\). Jest nią także \(\sqrt{2}\) bo jest pierwiastkiem wielomianu \(x^2-2\).

Suma, iloczyn, różnica oraz iloraz liczb algebraicznych nadal jest liczbą algebraiczną. Ważną własnością, zbioru liczb algebraicznych, z której później będziemy korzystali, jest to, że nawet jeśli współczynniki wielomianu są liczbami algebraicznymi, to jego pierwiastki również będą liczbami algebraicznymi. Mówiąc bardziej matematycznie, oznacza to, że liczby algebraiczne tworzą tzw. ciało algebraicznie domknięte. Ma to też odzwierciedlenie w notacji. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy \(\mathbb Q\), a zbiór liczb algebraicznych \(\overline{\mathbb Q}\). Więcej o liczbach algebraicznych można poczytać w tym miejscu.

W tym wpisie zajmiemy się liczbami, które algebraiczne nie są. Liczby te to liczby przestępne. Czyli innymi słowy są to liczby, które nie są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych (ani, jak już wiemy, tych o współczynnikach algebraicznych). Zatem liczby takie jak \(\sqrt{2}\) czy \(1+7\sqrt[23]{28+\sqrt{37}}\) liczbami przestępnymi nie są.

Może się wydawać, że liczby przestępne są czymś rzadkim. Wszak większość liczb, które znamy są algebraiczne. Wszystkie liczby wymierne czy liczby utworzone z nich przy pomocy czterech działań arytmetycznych oraz wyciągania pierwiastków dowolnych naturalnych stopni są, jak już wiemy, algebraiczne. Jednak jest to złudne wrażenie. Jest ono spowodowane tym, że większość liczb, które poznajemy w szkole to takie, które zasadniczo pojawiają się ,,gdzieś” w sposób naturalny. Bardzo często owe ,,gdzieś” związane jest z jakimś równaniem wielomianowym, co naturalnie prowadzi do liczb algebraicznych właśnie.

Z liczb niewymiernych poznajemy w szkole zasadniczo pierwiastki oraz liczbę \(\pi\) dlatego możemy odnosić wrażenie, że niemal wszystkie liczby są algebraiczne. Prawda może niektórym wydać się zaskakująca. Niemal każda liczba (rzeczywista czy ogólniej zespolona) jest przestępna!! Gdybyśmy ze zbioru liczb (zespolonych czy rzeczywistych) wybrali w sposób losowy jedną z nich, to z prawdopodobieństwem równym 1 będzie to liczba przestępna (pamiętajmy, że w ogólności prawdopodobieństwo równe 1 nie oznacza, że zdarzenie zajdzie!!). Liczby algebraiczne, mimo iż wydają się tak naturalne stanowią istotną mniejszość wśród liczb!

Mimo iż niemal każda liczba rzeczywista jest przestępna, to podawanie przykładów liczb przestępnych nie jest tak łatwe jak w przypadku liczb algebraicznych. Jako pierwszy przykład takiej liczby podał w XIX wieku Liouville, który udowodnił, że przestępną jest liczba \[L=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{10^{n!}}=0,110001000000000000000001\ldots\] mająca po przecinku jedynki na miejscach o numerach n!, a reszta cyfr jej rozwinięcia dziesiętnego to zera. Jest to dosyć intrygująca liczba. Bo nie jest to jakaś słynna liczba pokroju \(\pi\). Liouville pokazał, że jest ona przestępna. Dokładniej, udowodnił następujące twierdzenie:

Twierdzenie (Liouville)

Jeżeli \(x\) jest rzeczywistą liczbą algebraiczną stopnia \(n>1\), to istnieje taka dodatnia stała \(c(\alpha)\), że dla wszystkich liczb wymiernych \(\frac pq\), gdzie \(q>0\) oraz \(p,q\) są względnie pierwsze, zachodzi \[\left|x-\dfrac pq\right|>\dfrac{c(\alpha)}{q^n}\]

a następnie skonstruował powyższą liczbę niewymierną, która tezy tego twierdzenia nie spełnia. Liczba \(L\) jest przykładem tzw. liczby Liouville’a. Są to takie liczby rzeczywiste \(x\), że dla dowolnego \(n\in\mathbb N^+\) nierówność \[0\lt \left|x-\frac pq\right|\lt\frac{1}{q^n}\] ma jedynie skończenie wiele rozwiązań \(\frac pq\in\mathbb Q\). Liczby Liouville’a są przestępne. Każda liczba postaci \[\sum_{n=1}^\infty\dfrac{c_i}{10^{n!}},\] gdzie wszystkie \(c_i\) są cyframi (w systemie dziesiętnym), jest liczbą Liouville’a, a więc w szczególności jest liczbą przestępną.

Tak więc pierwsze liczby przestępne mamy i to nawet nieskończenie wiele. Zostały one jednak skonstruowana specjalnie pod twierdzenie Liouville’a. Już sam fakt, że do podania w ogóle przykładu liczby przestępnej potrzebne było, niebanalne przecież, twierdzenie Liouville’a pokazuje, że są to liczby cięższe do badania niż liczby algebraiczne. Sprawdzenie natomiast czy jakaś konkretna matematyczna stała, zwłaszcza taka pojawiająca się w interesujący sposób, jest liczbą algebraiczną czy przestępną to już inna para kaloszy. Bez wątpienia są dwie bardzo znane matematyczne stałe. Jedną z nich jest oczywiście \(\pi\), o której słyszał każdy licealista. Drugą jest nieco mniej znana wśród licealistów liczba \(e\). O obu z nich wiemy, że są przestępne, choć nie są to fakty oczywiste. Przestępność \(e\) udowodnił w 1873 Charles Hermite, zaś co do \(\pi\), to jej przestępność wykazał w 1882 Ferdinand Lindemann.

\(\pi\) czyli liczba, którą otrzymujemy bardzo prosto, przez zwykły iloraz obwodu koła do jego średnicy nie może być rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego o współczynnikach wymiernych czy algebraicznych! Z tego wynika między innymi niemożność wykonania słynnej kwadratury koła przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.

Mimo iż wiemy, że liczby \(e\) oraz \(\pi\) są przestępne, to nie wiemy czy przestępnymi są liczby: \[e+\pi, e\pi, \pi^e,\pi^{\pi}, \pi^{{\pi}^{\pi}},\pi^{{\pi}^{{\pi}^{\pi}}} \] jak i wiele innych. Ba! W przypadku liczby \[\mathfrak p=\pi^{{\pi}^{{\pi}^{\pi}}}\] nie jesteśmy w stanie stwierdzić nawet czy jest to liczba całkowita czy nie!

Może się to wydawać absurdalne, że nie wiemy nawet czy \(\mathfrak p\) jest całkowita! W końcu przecież tutaj wystarczy zapewne policzyć tę liczbę z dokładnością do kilku miejsc po przecinku i pewnie by się okazało, że nie jest to liczba całkowita. Jej ewentualna niewymierność czy przestępność to już naturalnie cięższy problem, ale to czy jest całkowita? No cóż to może być za problem w 2023 roku? No, okazuje się, że może! Mianowicie liczba \(\mathfrak p\) jest, delikatnie mówiąc, dosyć sporą liczbą. Pamiętajmy, że przy takiej potęgowej ,,wieży” aby policzyć \(\mathfrak p\) musimy najpierw policzyć \[\pi^{\pi^{\pi}}\] Czyli najpierw musimy policzyć \(\pi^{\pi}=36,462159\ldots\) i następnie wziąć \(\pi\) do tej potęgi otrzymując w przybliżeniu \[1340164183006357435,297\ldots\] I to nadal nie koniec. Bo jeszcze musimy wziąć \(\pi\) do tej potęgi!! Mogłoby się wydawać, że obecne komputery powinny dać sobie z tym radę, ale problem jest taki, że aby móc to zrobić należycie, musimy znać rozwinięcie dziesiętne \(\pi\) do bardzo wielu miejsc po przecinku. A obecny rekord (maj 2023) to znajomość rozwinięcia \(\pi\) do 100 trylionów (tj. \(10^{14}\)) miejsc po przecinku. Zdecydowanie za mało by móc stwierdzić z całą pewnością, że \(\mathfrak p\) nie jest liczbą całkowitą. I żaden WolphramAlpha czy ChatGPT nie odpowiedzą poprawnie na to pytanie bo operują na znacznie mniej dokładnych przybliżeniach (delikatnie mówiąc). Więcej szczegółów co do tego problemu można znaleźć w tym filmie.

Oczywiście może wydawać się intuicyjnie raczej oczywiste, że \(\mathfrak p\) nie tylko nie jest całkowita, ale jest przestępna. No ale intuicja, mimo iż jest niezwykle przydatna, to w matematyce potrafi bardzo często zawieść. W matematyce jest trochę jak w piłce nożnej. Drużyna A może mieć znacznie lepszych piłkarzy niż drużyna B, cały mecz może atakować, oddać sporo strzałów na bramkę i mieć o 10 więcej rzutów rożnych, a mimo to może przegrać mecz. Koniec końców liczy się wyłącznie to co w siatce. W matematyce zaś możemy być czegoś niemal pewni, może się nam wydawać, że coś jest na pewno prawdą, ale koniec końców liczy się dowód. Albo umiemy go przedstawić albo nie. No jest jeszcze trzecia opcja, że potrafimy pokazać, że czegoś nie da się pokazać. 😉

A nie jest niczym nadzwyczajnym, że liczba przestępna podniesiona do przestępnej potęgi daje wynik całkowity. Prostym przykładem jest chociażby \[e^{\ln{3}}=3\] Jest to przykład wręcz trywialny, bo z definicji \(\ln{3}\) jest taką liczbą aby ta równość była prawdziwa. Zaznaczmy, że w tym miejscu o przestępności liczby \(\ln{3}\) mówimy nieoficjalnie. Zostanie to pokazane później. Związek między liczbami \(e\) oraz \(\ln{3}\) jest prosty. Ale kto wie, może liczba \(\pi\) ma jakąś nieznaną nam własność, że gdybyśmy ją poznali, to już nie byłoby to dla nas takie zadziwiające, że \(\mathfrak p\) lub taka potęgowa wieża zawierająca więcej niż 4 liczby \(\pi\) mogłaby być liczbą całkowitą?

Podobnie nie jest niczym nadzwyczajnym, że suma czy iloczyn liczb przestępnych jest wymierna czy całkowita lub chociaż jest liczbą algebraiczną. Prosty przykład: liczby \(\pi, 1-\pi,\pi^{-1}\) są przestępne, a mimo to \[\pi+(1-\pi)=\pi\cdot\frac{1}{\pi}=1.\] Jednakże, jeżeli \(a\) oraz \(b\) są liczbami przestępnymi, to na pewno co najmniej jedna z liczb \(a+b, ab\) jest przestępna. Istotnie, ponieważ \(a,b\) są z założenia przestępne, to wielomian \[(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab\] nie może mieć wszystkich współczynników algebraicznych. W szczególności, mimo iż nie wiemy czy liczby \(\pi+e\) oraz \(\pi e\) są przestępne, to wiemy że przynajmniej jedna z nich jest.

A o jakich jeszcze liczbach wiemy, że są przestępne? Zacznijmy od słynnego twierdzenia Gelfonda-Schneidera. Twierdzenie to udowodnili w 1934 niezależnie od siebie Aleksandr Gelfond oraz Theodor Schneider.

Twierdzenie (Gelfond-Schneider)

Jeżeli \(a, b\) są liczbami algebraicznymi, przy czym \(a\notin \{0,1\}\) oraz \(b\) nie jest wymierna, to każda wartość \(a^b\) jest liczbą przestępną.

Być może drobnego wyjaśnienia wymaga sformułowanie ,,każda wartość”. Pamiętajmy, że operujemy na liczbach zespolonych i w ogólności liczba \(a^b\) może mieć więcej niż jedną wartość. Prostym przykładem jest \(1^{\frac 12}\), która ma dwie wartości: 1 oraz -1.

Z twierdzenia Gelfonda-Schneidera wynika m.in., że liczby takie jak: \[2^{\sqrt{2}},\sqrt{2}^{\sqrt{2}}, (1+3\sqrt[9]{1+\sqrt{3}})^{3\sqrt{5}-\sqrt{7}},\textrm{ itd.}\] są przestępne. Co więcej, wynika z niego, że \(e^{\pi}\) jest liczbą przestępną, bo najpiękniejszy wzór matematyki mówi nam, że \[e^{\pi i}=-1.\] Stąd, dostajemy że \[(-1)^{-i}=e^{\pi i\cdot (-i)}=e^{\pi}\] i liczba ta na mocy twierdzenia Gelfonda-Schneidera jest przestępna bo \(-1\) oraz \(-i\) są liczbami algebraicznymi, a do tego \(-i\) nie jest liczbą wymierną. Czyli założenia są spełnione! Czyż to nie irytujące, że wiemy czy \(e^{\pi}\) jest przestępna, a nie wiemy tego o liczbie \(\pi^e\)? Swoją drogą, liczbę \(e^{\pi}\) nazywamy stałą Gelfonda, zaś liczbę \(2^{\sqrt{2}}\) stałą Gelfonda-Schneidera.

Ale idźmy dalej. Zauważmy, że \[i^i=\left(e^{\frac{\pi i}{2}}\right)^i=e^{-\frac{\pi}{2}}=0,20787…\] Czyż to nie zadziwiające i piękne, że liczba czysto urojona podniesiona do urojonej potęgi daje w wyniku liczbę rzeczywistą?

Kolejnym bardzo ważnym twierdzeniem jest twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa. W twierdzeniu tym pojawia się pojęcie liniowej niezależności, które wpierw wyjaśnimy. Otóż mówimy, że liczby \(a_1,\ldots, a_n\) są liniowo niezależne nad zbiorem liczb wymiernych \(\mathbb Q\), gdy dla dowolnych \(q_1,\ldots,q_n\in\mathbb Q\) z faktu, że \[a_1q_1+a_2q_2+\cdots+a_nq_n=0\] wynika, że \(q_1=q_2=\ldots=q_n=0\).

Przykładowo liczby \(2, \sqrt{8}=2\sqrt{2}\) są liniowo niezależne. Dla dowolnych \(q_1,q_2\in\mathbb Q\) liczba \(2q_1+2q_2\sqrt{2}\) nie może być równa 0, gdy \(q_2\neq 0\) bo wówczas suma jest liczbą niewymierną. Z kolei, gdy \(q_2=0\), to suma ta jest równa 0 tylko, gdy i \(q_1=0\), Natomiast liczby \(2,2\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}\) są już liniowo zależne gdyż \[\frac 12\cdot 2+\frac 12\cdot 2\sqrt{2}-1\cdot (1+\sqrt{2})=0.\] W definicji zbiór liczb wymiernych \(\mathbb Q\) można zastąpić innym (np. \(\overline{\mathbb Q}\)). Wtedy mówimy o liniowej niezależności nad tym zbiorem. Przejdźmy do twierdzenia i tego co z niego wynika.

Twierdzenie (Lindemann-Weierstrass)

Jeżeli \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) są różnymi liczbami algebraicznymi, to \(e^{a_1}, e^{a_2},\ldots,e^{a_n}\) są liniowo niezależne nad \(\overline{\mathbb Q}\).

Twierdzenie wydaje się pozornie niezwiązane z liczbami przestępnymi, ale jak zobaczymy jest inaczej! Z twierdzenia tego wynika m.in. przestępność zarówno liczby \(e\) jak i liczby \(\pi\). Ale wypiszmy kilka wniosków płynących z tego twierdzenia.

  • Jeżeli \(\alpha\) jest algebraiczna, to liczba \(e^{\alpha}\) jest przestępna. W szczególności przestępna jest liczba \(e\).

Istotnie, jeżeli przyjmiemy \(a_1=0, a_2=1\), to z twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa dostajemy, że \(1\) oraz \(e\) są liniowo niezależne nad \(\overline{\mathbb Q}\). Gdyby \(e\) było liczbą algebraiczną, to \(e=\frac{-e}{-1}\) i stąd \(1\cdot e+e\cdot (-1)=0\) co przeczy liniowej niezależności \(1\) oraz \(e\). Ogólnie, w analogiczny sposób możemy pokazać, że dla dowolnej liczby algebraicznej \(\alpha\) liczba \(e^{\alpha}\) jest przestępna. Wystarczy przyjąć \(a_1=0\) oraz \(a_2=\alpha\).

  • Liczba \(\pi\) jest przestępna.

Wystarczy przyjąć \(a_1=0\) oraz \(a_2=\pi i\), a następnie skorzystać z tego, że \(e^{\pi i}+1=0\). Czyli \(\pi i\), a tym samym również \(\pi\) nie mogą być liczbami algebraicznymi.

  • Jeżeli \(\alpha\) jest algebraiczna, to \(\ln{\alpha}\) jest przestępna.

Gdyby \(\ln{\alpha}\) była algebraiczna, to \(\alpha=e^{\ln{\alpha}}\) byłaby przestępna.

  • Jeżeli \(\alpha\) jest różną od 0 liczbą algebraiczną, to \(\cos{\alpha}\) oraz \(\sin{\alpha}\) są przestępne.

Skorzystamy z tego, że
\[\sin{\alpha}=\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\quad\textrm{ oraz }\quad\cos{\alpha}=\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}.\] Stąd mamy, że \[e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}+2i\sin{\alpha}e^0=0\] a ponieważ \(i\alpha, -i\alpha, 0\) są algebraiczne, to \(e^{i\alpha},e^{-i\alpha}, e^0\) są liniowo niezależne nad \(\overline{\mathbb Q}\), a zatem \(2i\sin{\alpha}\) nie może być algebraiczna czyli \(\sin{\alpha}\) nie może być algebraiczna. A z tego już nietrudno pokazać, że i \(\cos{\alpha}\) nie może być liczbą algebraiczną.

Na koniec jeszcze kilka przykładów liczb, co do których wiemy lub nie czy są przestępne.

  • Stała Champernowne’a, tj. liczba \[C_{10}=0,1234567891011213…\] której rozwinięcie dziesiętne powstaje przez dodawanie kolejnych liczba naturalnych jest liczbą przestępną.
  • Liczba Dottie, tj. jedyna liczba rzeczywista będąca rozwiązaniem równania \(\cos{x}=x\) również jest przestępna.
  • Związana z ułamkami łańcuchowymi stała Chinczyna – o tej liczbie nie wiemy nawet czy jest niewymierna.
  • Dla dowolnego \(n\in\mathbb N^+\) wartość słynnej funkcji dzeta Riemanna \(\zeta(2n)\) jest równa \[\zeta(2n)=C\pi^{2n}\] dla pewnej wymiernej liczby \(C\). Stąd \(\zeta(2n)\) jest liczbą przestępną.
  • Niewiele natomiast wiadomo co do natury liczb \(\zeta(2n+1)\). Wiadomo, że tzw. stała Apéry’ego \(\zeta(3)\) jest liczbą niewymierną.

8 komentarzy

  1. Bardzo ciekawe teksty 🙂 Oby każdy “wzór” zwiększał liczbę odwiedzających!
    Dziękuję i życzę motywacji do dalszych publikacji.

    1. Matematycy takich pytań nie zadają. Najdziwniejsze jest to, że “praktyczne zastosowania” prędzej, czy później się znajdują.

Odpowiedz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *