Czym są liczby algebraiczne

Dzięki równaniom możemy opisywać wiele procesów otaczającego nas świata. A z równaniami, dokładniej wielomianowymi, nierozerwalnie związane są liczby algebraiczne.

Z podziałem na liczby wymierne i niewymierne spotykamy się już na w miarę wczesnym etapie edukacji. Uczymy się, że liczby niewymierne to takie, których nie da się zapisać w postaci ułamka \[\dfrac ab,\] gdzie \(a, b\) są liczbami całkowitymi oraz naturalnie \(b\neq 0\).

Gdyby spytać przeciętnego licealistę o podanie przykładu liczby niewymiernej, to najprawdopodobniej byłby to jakiś pierwiastek lub znana powszechnie liczba \(\pi\). Zapewne jedną z najczęstszych odpowiedzi byłby \(\sqrt{2}\) czyli liczba, która podniesiona do potęgi drugiej daje 2. Innymi słowy jest to liczba spełniająca równanie \[x^2-2=0.\] Dodajmy, gwoli ścisłości, że takie liczby są dwie, bo mamy jeszcze \(-\sqrt{2}\). W zasadzie nie licząc \(\pi\) i liczb typu \(2+\pi\) itp., to z dużą dozą prawdopodobieństwa można domniemywać, że nasz hipotetyczny licealista gdyby miał wskazać inne liczby niewymierne, to najpewniej byłyby to liczby z jakimiś pierwiastkami typu \[\sqrt{5},\sqrt{2}-1, 2\sqrt{7}-4\sqrt[3]{1+\sqrt{3}}, \textrm{ itd.}\]
bo nie licząc liczb wymiernych i liczby \(\pi\) w zasadzie tylko z takimi liczbami się w szkole spotykamy. Nie ma w tym niczego dziwnego, gdyż są to po prostu liczby, które pojawiają się w naturalny sposób. Liczby naturalne, czy ogólniej całkowite są świetne do zliczania. Liczby wymierne, pozwalają wyrazić stosunek dwóch całkowitych wielkości. Z kolei liczby liczby niewymierne pojawiają w sposób naturalny np. w geometrii. Taki \(\sqrt{2}\), to nic innego jak długość przekątnej kwadratu o boku 1. Zaś dzięki twierdzeniu Pitagorasa w naturalny sposób pojawiają się pierwiastki z innych liczb naturalnych oraz też równania kwadratowe bo \[a^2+b^2=c^2\] jest przykładem równania stopnia drugiego.

Samo rozwiązywanie równań jest naturalnym problemem nie tylko matematycznym, lecz również praktycznym. Dzięki równaniom możemy w prosty i precyzyjny sposób opisywać wiele zjawisk otaczającego nas świata. Jak wspomnieliśmy \(\sqrt{2}\) jest rozwiązaniem równania \(x^2-2=0\). Każda liczba wymierna \(\frac pq\) jest rozwiązaniem równania \(qx-p=0\). Z kolei \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\) jest rozwiązaniem równania \[x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0.\] Równania liniowe, kwadratowe czy ogólnie wielomianowe są jednymi z najprostszych typów równań, które pojawiają się w sposób naturalny w zagadnieniach praktycznych. Liczby będące rozwiązaniami równań wielomianowych o współczynnikach wymiernych nazywamy liczbami algebraicznymi. Przy czym nie ograniczamy się jedynie do liczb rzeczywistych. Przez pojęcie liczby algebraicznej rozumiemy również te pierwiastki wspomnianych wielomianów, które są liczbami zespolonymi. Dobrym przykładem liczby algebraicznej jest jednostka urojona \(i\), która jest pierwiastkiem wielomianu \(x^2+1\).

Innymi słowy, liczbę zespoloną \(z\) nazywamy liczbą algebraiczną jeżeli istnieje taki wielomian \[W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\] że wszystkie współczynniki \(a_n, a_{n-1},\ldots,a_1,a_0\) są wymierne oraz \(W(z)=0\). W definicji tej, mogliśmy również założyć, że współczynniki są całkowite. Jeżeli wielomian \(W(x)\) pomnożymy np. przez \(a_0\cdot a_1\cdot\ldots\cdot a_n\), to otrzymamy wielomian o współczynnikach całkowitych mający te same pierwiastki.

Tak więc liczbami algebraicznymi są, jak już wiemy, wszystkie liczby wymierne. Dowolny pierwiastek dowolnego, naturalnego stopnia \(n\), z dowolnej liczby wymiernej \(\frac pq\) jest również liczbą algebraiczną jako pierwiastek wielomianu \(x^n-\frac pq\). Ogólnie suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb algebraicznych jest również liczbą algebraiczną. Tak na marginesie, oznacza to, że zbiór liczb algebraicznych \(\overline{\mathbb Q}\) tworzy tzw. ciało. W matematyce ciałem (w tym wypadku liczbowym) nazywamy, w telegraficznym skrócie, zbiór liczb, w którym możemy bezkarnie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (ale nie przez 0). Bezkarnie, tzn. że każde z działań na elementach ciała daje element tego ciała. Dobrym przykładem ciała są liczby wymierne. Dowolne z czterech działań arytmetycznych, zastosowane na dwu liczbach wymiernych (nie licząc dzielenia przez 0) daje w wyniku liczbę wymierną. Podobnie liczby rzeczywiste oraz zespolone tworzą ciała. Natomiast liczby całkowite ciała już nie tworzą. Iloraz dwu liczb całkowitych na ogół już liczbą całkowitą nie jest.

Zauważmy, że \(\sqrt{2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(x^2-2\), który jest stopnia drugiego. Nie jest natomiast pierwiastkiem wielomianu stopnia 1. Podobnie liczba \(\sqrt[3]{2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(x^3-2\) i nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu stopnia niższego. Ogólnie dla każdej liczby algebraicznej \(z\) istnieje wielomian najniższego stopnia, którego pierwiastkiem jest \(z\). Stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby \(z\). Pozwala to podzielić zbiór liczb algebraicznych względem ich stopnia. Liczby wymierne mają stopień 1, \(\sqrt{2}\),\(i\), \(\frac{3+\sqrt{7}}{5}\) stopień 2, \(\sqrt[3]{2}\) stopień 3, \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) stopień 4, a liczba \(\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}}+\sqrt{2}+\sqrt{3}\) jest stopnia 24.

Na rysunku poniżej widzimy wizualizację rozmieszczenia liczb algebraicznych (dla wielomianów o współczynnikach całkowitych od -5 do 5) na płaszczyźnie zespolonej w zależności od stopnia. Stopień 1 – zielony, stopień 2 – czerwony, stopień 3 – cyjan, stopień 4 – niebieski.

Liczby algebraiczne \(\overline{\mathbb Q}\) tworzą ciało i to nie byle jakie! Jest to tzw. ciało algebraicznie domknięte. To takie ciało, że każdy wielomian o współczynnikach w tym ciele ma pierwiastki należące do tego ciała. Ciałem, które nie jest algebraicznie domknięte jest ciało liczb wymiernych. Pierwiastki wielomianu \(x^2-2\) nie są liczbami wymiernymi, mimo iż jego współczynniki są wymierne. Podobnie ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte, gdyż np. wielomian \(x^2+1\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zaś przykładami ciał algebraicznie domkniętych są, co już wiemy, ciało \(\overline{\mathbb Q}\) oraz ciało liczb zespolonych \(\mathbb C\). Oznacza, to w szczególności że pierwiastki dowolnych naturalnych stopni z liczb algebraicznych nadal są liczbami algebraicznymi!

W szczególności, jeżeli wyjdziemy od liczb wymiernych \(\mathbb Q\) i zaczniemy tworzyć nowe liczby używając (skończoną ilość razy) czterech działań arytmetycznych oraz wyciągania pierwiastków (w tym tych będących liczbami zespolonymi) dowolnych naturalnych stopni, to każda tak otrzymana liczba, np. \[\sqrt[3]{3+5\sqrt{2}}-\frac 23,\] jest algebraiczna. O takich liczbach mówimy, że wyrażają się przez pierwiastniki. Może się wydawać dziwne tworzenie nowego pojęcia skoro każda taka liczba jest algebraiczna. Otóż okazuje się, że istnieją liczby algebraiczne, których nie da się wyrazić przez pierwiastniki! Tak, zgadza się! Istnieją liczby, które są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach całkowitych, lecz mimo tego nie da się tych liczb wyrazić przy pomocy czterech działań arytmetycznych i pierwiastków!

Jest to związane z niemożnością znalezienia, analogicznych do znanych ze szkoły wzorów \[x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\] ale dla równań stopni wyższych niż 4. Przykładem takiej liczby jest liczba rzeczywista będąca rozwiązaniem równania \[x^5+x-3=0.\] Te niepozorne równanie ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste. Pozostałe cztery są zespolone. Mimo iż równanie te wydaje się dosyć proste, wygląda przecież wręcz niewinnie, to jego jedynego rozwiązania rzeczywistego nie da się wyrazić przez pierwiastniki, mimo iż z definicji jest liczbą algebraiczną. Powody dla których tak jest, to już temat na zupełnie inny wpis!

Ciekawym natomiast przypadkiem jest np. liczba \(\cos{\frac{\pi}{9}}\). Z tego, że \[\cos{3x}=4\cos^3{x}-3\cos{x}\] oraz tego, że \[\cos{3\cdot\frac{\pi}{9}}=\cos{\frac{\pi}{3}}=\frac 12\] wynika, że \(\cos{\frac{\pi}{9}}\) jest rozwiązaniem równania \(4x^3-3x=\frac 12\), czyli jest liczbą algebraiczną. Co więcej, można ją wyrazić przez pierwiastniki. Mianowicie, \[\cos{\frac{\pi}{9}}=\dfrac{\sqrt[3]{1-i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{1+i\sqrt{3}}}{2\sqrt[3]{2}}.\] Forma wydaje się być na pierwszy rzut oka co najmniej niezwykła. Wszak \(\cos{\frac{\pi}{9}}\) jest liczbą rzeczywistą, a przedstawiliśmy ją w postaci, z pozoru, czysto zespolonej! Jeszcze ciekawsze okazuje się, że liczby tej nie da się wyrazić przez pierwiastniki bez korzystania z jednostki urojonej!! Powody, których tak jest to już temat na kolejną historię.

Może się wydawać, że niemal wszystkie liczby są algebraiczne. Jakby to powiedział Radosław Kotarski nic bardziej mylnego! Prawdę mówiąc, gdybyśmy w sposób losowy wzięli jakąś liczbę zespoloną, to niemal na pewno nie byłaby to liczba algebraiczna! Takie liczby nazywamy przestępnymi. Przykładem takiej liczby jest \(\pi\).