Twierdzenie Levy’ego-Steinitza czyli Riemann w wyższych wymiarach

Słynne twierdzenie Riemanna mówi, że suma szeregu warunkowo zbieżnego zależy od kolejności składników i może być dowolna. Zaś wspaniałe twierdzenie Levy’ego-Steinitza jest znacznie mniej znane, a wyjaśnia ono w pełni jak wyglądają sumy, gdy sumujemy w wyższych wymiarach skończonych. Opowiemy sobie też o przypadku nieskończeniewymiarowym.

Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych mówi, że w sytuacji, gdy mamy szereg warunkowo zbieżny, to przestawiając jego elementy możemy otrzymać sumę będącą dowolną liczbą rzeczywistą lub nieskończonością jak i możemy otrzymać szereg, który nie ma żadnej granicy (ani skończonej ani nieskończonej).

Niech \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) będzie szeregiem, gdzie \(a_n\in\mathbb{R}^k\) dla pewnego \(k\in\mathbb N^+\). Oznaczmy przez \(S(a_n)\) zbiór wszystkich możliwych sum, które możemy otrzymać zmieniając kolejność wyrazów w rozważanym szeregu. Tj. \[S(a_n)=\{x\in\mathbb R^k: \textrm{ istnieje bijekcja } \pi:\mathbb N\to\mathbb N,\ \sum\limits_{n=1}^\infty a_{\pi(n)}=x\}\]

Dokładniej ograniczymy się jedynie do sum będących elementami \(\mathbb R^k\), nie bierzemy pod uwagę sytuacji, gdy choć na jednej współrzędnej otrzymamy szereg rozbieżny. Zaznaczmy przy tym, że zamieniamy kolejność wyrazów \(a_n\) tzn. jednocześnie na wszystkich współrzędnych, a nie, że na jednej współrzędnej w jeden sposób, a na drugiej w inny.

W przypadku, gdy \(k=1\), to wspomniane twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych mówi, że zbiór \(S(a_n)\) może być:

• zbiorem pustym (gdy szereg jest rozbieżny);
• zbiorem jednoelementowym (gdy szereg jest zbieżny bezwzględnie);
• całym \(\mathbb R\) (gdy szereg jest zbieżny warunkowo).

Naturalnym pytaniem jest to jak wygląda sytuacja w wyższych wymiarach. Czy równie łatwo można opisać zbiór \(S(a_n)\), gdy \(a_n\in\mathbb R^k\) oraz \(k>1\)? Proste przykłady pokazują, że w wyższych wymiarach sytuacja jest nieco ciekawsza. Najpierw rozważmy kilka szeregów w \(\mathbb R^2\). Oznaczmy \(a_n=(x_n,y_n)\), gdzie \(x_n, y_n\in\mathbb R\) i spójrzmy na kilka przykładów w zależności od zbieżności szeregów \(\sum\limits_{n=1}^\infty x_n\) oraz \(\sum\limits_{n=1}^\infty y_n\).

Jeżeli oba są zbieżne bezwzględnie lub co najmniej jeden jest np. rozbieżny i ma wyrazy tylko dodatnie to sytuacja jest prosta. W pierwszym przypadku zbiór \(S(a_n)\) jest jednoelementowy, bo na obu współrzędnych bez względu na kolejność wyrazów stosowne sumy się nie zmieniają. W drugim przypadku, zbiór \(S(a_n)\) jest naturalnie pusty. Szereg rozbieżny o wyrazach dodatnich, przy żadnej permutacji jego składników nie da wyniku skończonego.

Teraz niech pierwszy szereg będzie zbieżny bezwzględnie, a drugi zbieżny warunkowo. Wtedy, bez względu na to jak zmienimy kolejność wyrazów szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\), to na pierwszej współrzędnej zawsze mamy tę samą liczbę równą \(s=\sum\limits_{n-1}^\infty x_n\). Natomiast na drugiej współrzędnej możemy otrzymać dowolną liczbę. Weźmy jakiś konkretny przykład. Niech np. \[x_n=\dfrac{1}{2^n}\textrm{ oraz }y_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}.\] Na pierwszej współrzędnej, bez względu na kolejność wyrazów szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\), suma zawsze będzie równa 1. Natomiast na drugiej współrzędnej, odpowiednio permutując, jesteśmy w stanie otrzymać dowolną liczbę rzeczywistą. Innymi słowy, zbiór \(S(a_n)\) możemy utożsamiać z prostą \(x=1\). Ogólniej, gdy na pierwszej współrzędnej mamy szereg zbieżny bezwzględnie do sumy \(s\), a na drugiej zbieżny warunkowo, to zbiór \(S(a_n)\) jest prostą \(x=s\). Jeśli zamienimy miejscami współrzędne, to otrzymamy prostą \(y=s\).

Idźmy dalej, jeżeli na obu współrzędnych mamy szereg warunkowo zbieżny, np. weźmy \[a_n=\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n},\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right),\] to zbiór \(S(a_n)\) jest prostą \(y=x\).

Nietrudno też otrzymać dowolną prostą \(y=ax+b\). W tym celu wystarczy najpierw rozważyć szereg \[a_n=\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n},\frac{a\cdot(-1)^{n+1}}{n}\right).\] Jeżeli pewna permutacja jego elementów sumuje się na pierwszej współrzędnej do liczby \(x\in\mathbb R\), to siłą rzeczy na drugiej współrzędnej suma musi być równa \(ax\). Teraz wystarczy np. przesunąć wyrazy tego szeregu o jeden i na pierwsze miejsce wcisnąć \((0,b)\). Dzięki temu otrzymujemy szereg \[(0,b)+\left(\frac{1}{1},\frac{a}{1}\right)+\left(-\frac{1}{2},-\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{1}{3},\frac{a}{3}\right)+\cdots,\] który od poprzedniego różni się tym, że na drugiej współrzędnej suma zwiększa się o \(b\). Innymi słowy, w tej sytuacji \(S(a_n)\) jest prostą \(y=ax+b\).

Zatem udało nam się znaleźć przykłady szeregów, dla których zbiór \(S(a_n)\) możemy utożsamiać z:

• zbiorem pustym;
• punktem płaszczyzny;
• dowolną prostą na płaszczyźnie.

Czy da się otrzymać inne zbiory? Nieco finezji pozwala nam znaleźć szereg, dla którego \(S(a_n)=\mathbb R^2\). Wystarczy wpierw wziąć dwa dowolne, zbieżne warunkowo szeregi liczb rzeczywistych \(\sum\limits_{n=1}^\infty x_n\) oraz \(\sum\limits_{n=1}^\infty y_n\) i dzięki nim utworzyć szereg \[(x_1,0)+(0,y_1)+(x_2,0)+(0,y_2)+\cdots+(x_n,0)+(0,y_n)+\cdots.\] Ponieważ oba szeregi są zbieżne warunkowo, to zmieniając jedynie kolejność wyrazów postaci \((x_n,0)\) możemy, po zsumowaniu, otrzymać dowolną liczbę rzeczywistą na pierwszej współrzędnej. Analogicznie na drugiej współrzędnej możemy otrzymać dowolną liczbę. Czyli dla tak skonstruowanego szeregu zbiór \(S(a_n)\) jest całą płaszczyzną!

Postępując podobnie, możemy konstruować szeregi w wyższych wymiarach, dla których zbiór \(S(a_n)\) jest dowolnym punktem, prostą, płaszczyzną czy przestrzenią afiniczną wyższego wymiaru. Pojawia się więc naturalne pytanie czy istnieją szeregi w \(\mathbb R^k\), dla których \(S(a_n)\) jest innej postaci? Otóż nie! Sprawę wyjaśnia tytułowe twierdzenie Levy’ego Steinitza.

Twierdzenie (Lévy-Steinitz)

Jeżeli \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest szeregiem w \(\mathbb R^k\), to zbiór sum \(S(a_n)\) jest albo zbiorem pustym albo zbiorem postaci \(v+M\), gdzie \(M\subseteq\mathbb R^k\) jest podprzestrzenią liniową oraz \(v\in\mathbb R^k\).

Przyjmując \(k=1\), otrzymujemy klasyczne twierdzenie Riemanna. Twierdzenie Levy’ego Steinitza zostało po raz pierwszy sformułowane przez francuskiego matematyka Paula Levy’ego w jego pracy z 1905 roku (Link do pracy tutaj). Jednakże jego dowód zawierał błąd, który został zauważony przez Ernsta Steinitza, który w 1913 opublikował poprawny dowód (link do pracy tutaj).

Dowód tego twierdzenia wykracza poza ramy tego wpisu. Zainteresowani nim powinni bez wątpienia zajrzeć do dwóch pozycji. Pierwszą z nich jest cytowana na samym końcu praca Rosenthala. Natomiast drugą, praca ukraińskiego matematyka Tarasa Banacha (cóż za piękne nazwisko dla matematyka, nieprawdaż?). Ta druga praca zawiera prostszy dowód w porównaniu z klasycznym, opisanym w pracy Rosenthala, podejściem. Powstała jako rozwiązanie na postawione przez gruzińskiego matematyka Wadżę Terialadzego pytanie o prosty dowód twierdzenia Lévy’ego-Steinitza. Problem ten został postawiony w jednej z nowych wersji Księgi szkockiej.

Kolejnym krokiem jest pytanie o sytuację, gdy wymiar nie jest skończony. Czy tutaj również zbiór \(S(a_n)\) jest pewną podprzestrzenią lub jej translacją? Okazuje się, że nie! Jako pierwszy przykład takiego szeregu podał polski matematyk Józef Marcinkiewicz. Tym samym rozwiązując problem nr 106 postawiony przez samego Stefana Banacha w (oryginalnej!) Księdze szkockiej. W oryginale brzmiało one tak:

106) Problemat. Banach. (Nagroda 1 flaszka wina)
Niechaj \(\sum\limits_{n=1}^\infty x_i\) będzie szeregiem (\(x_i\) są elementami pewnego zbioru typu (B)) o tej własności, że przy pewnem uporządkowaniu suma jego wynosi \(y_0\) zaś przy innem \(y_1\). Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\lambda\) istnieje takie uporządkowanie danego szeregu, że suma jego wynosi \(\lambda y_0+(1-\lambda)y_1\). W szczególności rozpatrzyć przypadek, gdy \(x_i\) są funkcjonałami ciągłemi w przedziale \((0,1)\), zbieżność zaś według normy równoważna jest jednostajnej zbieżności.

W oryginale wyglądało to tak:

Tak postawiony problem mówi, aby udowodnić, że w przestrzeni Banacha jeżeli szereg przy jednym uporządkowaniu elementów sumuje się do \(y_0\), a przy drugim do \(y_1\), to dla dowolnego elementu \(y\) na prostej przez \(y_0\) oraz \(y_1\) istnieją uporządkowania sumujące się do \(y\).

Józef Marcinkiewicz jako pierwszy podał przykład szeregu w przestrzeni \(L_2(0,1)\), który przy dwu różnych uporządkowaniach wyrazów raz się sumuje do funkcji stale równej 0, a innym razem do 1 oraz nie sumuje się np. do funkcji stale równej 0,5.

Oznaczmy przez \(\chi(a,b)\) funkcję charakterystyczną zbioru \([a,b]\). Dla \(0\leqslant k \lt 2^i\) niech \[x_{i,k}=\chi(k\cdot 2^{-i},(k+1)\cdot 2^{-i})\textrm{ oraz } y_{i,k}=-x_{i,k}.\] Niech \[S_0=x_{0,0}+y_{0,0}+x_{1,0}+y_{1,0}+x_{1,1}+y_{1,1}+x_{2,0}+y_{2,0}+x_{2,1}+y_{2,1}+\cdots\] oraz
\[S_1=x_{0,0}+x_{1,0}+x_{1,1}+y_{0,0}+x_{2,0}+x_{2,1}+y_{1,0}+x_{2,2}+x_{2,3}+y_{1,1}+\cdots\]

Innymi słowy, funkcja \(x_{0,0}\) jest funkcją stale równą 1, zaś każda inna funkcja \(x_{i,k}\) jest równa jeden na odpowiednim odcinku długości \(2^{-i}\). Poniżej, dla przykładu, wykres funkcji \(x_{3,3}\).

Nietrudno się przekonać (np. wykonując stosowne wykresy), że \(S_0\) jest funkcją stale równą 0, zaś \(S_1\) funkcją stale równą 1. A ponieważ, dla każdego \(x\in (0,1)\) każda z funkcji \(x_{i,k}, y_{i,k}\) przyjmuje wartości całkowite, to przy żadnej zmianie kolejności składników nie otrzymamy funkcji stale równej \(\lambda\), gdzie \(\lambda\in (0,1)\). Gwoli ścisłości należy dodać, że oryginalny przykład Marcinkiewicza zawierał pewien błąd w indeksowaniu funkcji przez co mógł być ciężki do zrozumienia. Wszystko zostało jednak wyjaśnione przez Korniłowa.

Literatura

---

T. Banakh, A simple inductive proof of Levy-Steinitz theorem, https://arxiv.org/abs/1711.04136
A. Gregosiewicz, O nieprzemiennym dodawaniu, czyli jak Riemann sumy przestawiał, Link
I. Jóźwik, M. Terepeta, Polskie spojrzenie na twierdzenie Riemanna o tasowaniu, Link
V.M. Kadets, M.I. Kadets, Rearrangements of Series in Banach Spaces, Transl. Math. Monogr. vol. 86 (1991)
P. Lévy, Sur les séries semi-convergentes, Nouv. Ann. Math. 64 (1905), s. 506-511
R.D. Mauldin, The Scottish Book. Mathematics from The Scottish Café, with Selected Problems from The New Scottish Book, Springer (2015)
P. Rosenthal, The Remarkable Theorem of Levy and Steinitz, Amer. Math. Monthly 94 (1987), s. 342-351
E. Steinitz, Bedingt Konvergente Reihen und Konvexe Systeme, J. Reine Angew. Math. 143 (1913), s. 128-175