Twierdzenie Riemanna czyli dlaczego dodawanie czasami nie jest przemienne

Gdy dodajemy do siebie dwie liczby rzeczywiste, to przemienność takiego działania jest oczywista. Sprawy jednak się nieco komplikują, gdy bierzemy pod uwagę dodawanie nieskończenie wielu liczb. Tutaj kolejność miewa nieraz ogromne znaczenie. Mówi o tym klasyczne twierdzenie Riemanna. Jest to jeden z przykładów pokazujących, że świat nieskończony różni się istotnie od tego skończonego.

O ile to czym jest suma dwóch (lub ogólniej skończenie wielu liczb rzeczywistych) rozumie każdy, o tyle to jak dodać nieskończenie wiele liczb nie jest takie oczywiste i to mimo iż z takimi działaniami nieskończonymi spotykamy się już w szkole podstawowej. Przykładowo \[\dfrac 13=0,3333\ldots=0,3+0,03+0,003+\cdots\] Ten przykład pokazuje, że suma nieskończenie wielu liczb może mieć sens i być liczbą skończoną! Innym klasycznym przykładem jest suma \[s=\frac 12+\frac 14+\frac 18+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots,\] której przedstawienie graficznie
sugeruje, że owa suma, jeżeli ma być równa liczbie skończonej, to musi być równa 1. Pomyślmy o tym kwadracie jak o serniku, który jest zjadany przez nieskończenie wiele osób w taki sposób, że każda kolejna osoba zjada połowę tego co zostało. Wszystkie te osoby nie zjedzą więcej niż 1 cały sernik. Z drugiej strony, po tym gdy n-ta osoba wzięła swoją część, pozostaje jedynie \(\frac{1}{2^n}\) sernika. I wielkość ta nieubłaganie, wraz ze wzrostem \(n\), coraz bardziej zbliża się do zera. Zatem suma \(s\) nie może być mniejsza niż 1. Wniosek jest oczywisty, musi być równa 1!

Gdybyśmy jednak chcieli dodać nieskończenie wiele jedynek, to co chyba naturalne, taka suma skończona być nie może. Ogólnie, gdy dodajemy nieskończenie wiele razy tę samą, różną od 0 liczbę, to otrzymamy sumę równą jednej z nieskończoności. Nieważne czy nieskończenie wiele razy dodamy liczbę 1 czy 0,5 czy jakąś bardzo małą typu 0,0000000000000001, suma i tak będzie nieskończona. A co z sumą \[1-1+1-1+1-1+\cdots+ (-1)^{n+1}+\cdots?\] Dodając kolejne składniki na przemian otrzymujemy 1 oraz 0. Czyli suma nie istnieje?

Z drugiej strony, gdybyśmy przedstawili sumę w postaci \[(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots\] to może powinna ona być równa 0? Inne ułożenie nawiasów daje nam wynik \[1+ (-1+1)+(-1+1)+\cdots=1.\] Z trzeciej strony, można zauważyć, że \[1-S=1-(1-1+1-\cdots)=1-1+1-\cdots =S\] co prowadzi do zaskakującego wniosku, że \(S=\frac 12\) i to mimo iż dodajemy tylko liczby całkowite! Wbrew pozorom, tego typu rozważania, że naprzemienna suma jedynek i minus jedynek jest równa \(\frac 12\) nie są takie bezsensowne jak się może wydawać. Tego typu wyniki pojawiają się w fizyce oraz takich działach matematyki jak topologia. Daje to też namiastkę jak bardzo bogaty (i różny od skończonego) jest świat nieskończoności oraz tego, że zmiana kolejności dodawania może prowadzić do różnych wyników!

Te przykłady prowadzą do naturalnych pytań. Czym w ogóle taka suma jest? Jak ją zdefiniować? Kiedy możemy dodać nieskończenie wiele liczb, a kiedy nie? Bo jak pokazują dotychczasowe przykłady taka suma może być skończona lub nie, a nawet mogą zdarzyć się przypadki, z którymi w sumie nie wiadomo co zrobić. I wreszcie, czy takie dodawanie liczb nieskończenie wielu rzeczywistych ma takie same własność jak jego skończony odpowiednik?

Niewiedza iż suma nieskończenie wielu liczb rzeczywistych może być skończona leży, u podstaw znanych paradoksów takich jak ten dotyczący Achillesa oraz żółwia. Zacznijmy więc od zdefiniowania czym właściwie jest suma nieskończenie wielu liczb.

Przykład z sernikiem dobrze oddaje intuicję stojącą za definicją sumy \[a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n+\cdots\] nieskończenie wielu liczb rzeczywistych jako granicy \[\lim_{n\to\infty}S_n,\] gdzie \(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\), o ile oczywiście owa granica istnieje. W naszym przykładzie istnieje i jest równa 1. Przykłady z nieskończoną sumą jedynek (czy ogólniej nieskończoną sumą tych samych liczb) oraz przykład z naprzemienną sumą jedynek i minus jedynek uwidaczniają własność jaką musi posiadać ciąg \((a_n)\). Warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym, co pokaże następny przykład) aby suma \[a_1+a_2+a_3+\cdots\] była skończona jest to aby ciąg \((a_n)\) dążył do zera.

Może się wydawać zaskakujące, ale suma tzw. szeregu harmonicznego \[\frac 12+\frac 13+\frac 14+\frac 15+\cdots+\frac 1n+\cdots\] jest nieskończona! Mimo iż dodajemy coraz mniejsze liczby, które prędzej czy później są dowolnie bliskie zeru, to suma ta jest nieskończona! Nietrudno się o tym przekonać. Zgrupujmy te liczby następująco: \[\frac 12+(\frac 13+\frac 14)+(\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac 18)+\cdots,\] tj. w taki sposób, że najpierw bierzemy pierwszy wyraz (czyli 0,5), potem dwa kolejne, dalej następne 4, 8, 16, …, \(2^n\),… itd. Wówczas najmniejszą liczbą w \(n\)-tej grupie jest \(\frac{1}{2^n}\). Np. w grupie \((\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac 18)\) najmniejszą liczbą jest \(\frac 18\). Wobec tego \[\begin{array}{l}\frac 12\geqslant \frac 12\\ \frac 13+\frac 14>\frac 14+\frac 14=\frac 12\\ \frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac 18> 4\cdot\frac 18=\frac 12\end{array}\] I tak w nieskończoność. Kolejne części są równe co najmniej \(\frac 12\). Czyli suma szeregu harmonicznego jest większa niż suma nieskończenie wielu liczb \(\frac 12\). Jest więc nieskończona! Aby się o tym przekonać, w istotny sposób skorzystaliśmy z tego, że sumujemy nieskończenie wiele liczb. Dzięki temu można nasze grupowanie przeprowadzać w nieskończoność. Innym zaskakującym faktem jest to, że suma odwrotności liczb pierwszych również jest nieskończona!

Suma nieskończenie wielu liczb dodatnich może być skończona lub równa \(+\infty\). Intuicyjnie, gdy dodajemy wyłącznie liczby dodatnie (lub wyłącznie ujemne), to wynik takiego dodawania nie zależy od kolejności tych liczb.

Teraz przyjrzyjmy się sytuacji, gdy dodajemy nieskończenie wiele liczb, wśród których są zarówno te dodatnie jak i ujemne. Możemy wtedy (pomocniczo) oddzielnie dodać te ujemne otrzymując sumę \(U\) oraz oddzielnie dodać te dodatnie otrzymując wynik \(D\). Jeżeli obie sumy są skończone to sytuacja jest oczywista. Sumą wszystkich tych liczb, bez znaczenia w jakiej kolejności dodajemy, zawsze będzie \(U+D\). Podobnie sytuacja wygląda, gdy jedna z sum jest skończona, a druga nie. Wtedy wynikiem takiego dodawania, bez względu na kolejność składników, jest jedna z nieskończoności. Problemy zaczynają się wtedy, gdy obie sumy są nieskończone.

Wiemy już, że suma odwrotności liczb naturalnych jest równa \(+\infty\) (lub jak to mówią matematycy, jest rozbieżna do nieskończoności). Okazuje się, że jeżeli odwrotnościom liczb parzystych zmienimy znaki na ujemne, to otrzymamy już sumę skończoną, bowiem \[1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\cdots +\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots=\ln{2}\] W tym przypadku zarówno \(D\) jak i \(U\) są nieskończone. Ciekawy, rysunkowy dowód tego, iż ta suma jest rzeczywiście równa \(\ln{2}\) przedstawił Hudleson.

Proces jest bardzo prosty. Zaczynamy od leżącego na osi OX kwadratu o boku długości 1, którego dolne wierzchołki znajdują się w punktach, których pierwsze współrzędne to 1 oraz 2. Mając nasz kwadrat podzielony na \(2^n\) części kolejny podział otrzymujemy dwuetapowo. Najpierw dzielimy każdy prostokącik na połowę (jak na rysunku poniżej) i usuwamy prawą część. Odpowiada to elementom ciągu postaci \(-\frac{1}{2m}\). W kolejnym kroku, miejsce usuniętego prostokąta, którego lewy dolny wierzchołek znajdują się w punkcie \((1+\frac{2k+1}{2^n},0)\) wypełniamy do prostokąta o wysokości \[\dfrac{1}{1+\frac{2k+1}{2^n}}=\dfrac{2^n}{2^n+2k+1}\] co daje nam prostokąt o polu \[\dfrac{2^n}{2^n+2k+1}\cdot\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2^n+2k+1}\] Odpowiada to elementom szeregu anharmonicznego postaci \(\frac{1}{2m+1}\).

Zmieńmy nieco kolejność składników sumy na następującą \[1-\frac 12-\frac 14+\frac 13-\frac 16-\frac 18+\frac 15-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots\] Tzn. najpierw mamy \(1=\frac 11\) następnie odejmujemy \(\frac 12 \) oraz \(\frac 14\). Dalej dodajemy \(\frac 13\) i odejmujemy dwie kolejne liczby tj. \(\frac{1}{6}\) oraz \(\frac{1}{8}\) itd. Ogólnie, w zmienionej kolejności, mamy następujące po sobie sumy składające się z następujących trzech liczb \[\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{4k}\] Każda liczba \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\) pojawia się tylko raz i to mimo tego, że mamy raz najpierw liczbę, której mianownik jest nieparzysty a po niej zawsze dwie liczby z mianownikiem parzystym! To kolejny moment, w którym uwidacznia się różnica między skończonością a nieskończonością. Ponieważ mamy nieskończenie wiele liczb zarówno z mianownikami parzystymi jak i nieparzystymi, to proces, w którym bierzemy tak jakby dwa razy więcej liczb z mianownikami parzystymi możemy kontynuować w nieskończoność! Tych liczb nigdy nam nie zabraknie! Ale wróćmy do obliczeń. Ponieważ \[\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2(2k-1)}=\frac{1}{2(2k-1)},\] to możemy naszą sumę zapisać jako \[\frac 12-\frac 14+\frac 16-\cdots\frac 18+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{4k}+\cdots\] co nam daje
\[\frac 12\left(1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots\right)=\frac 12\ln{2}\] Gwoli ścisłości, powinniśmy pokazać jeszcze, że zamiana, którą zastosowaliśmy nie ma wpływu na granicę, ale ten chyba oczywisty etap tutaj pominiemy.

Czyli zmiana kolejności składników doprowadziła do innego wyniku. Jak widać wynik dodania do siebie nieskończenie wielu liczb rzeczywistych może zależeć od ich kolejności. Ten przykład to jednak dopiero wierzchołek góry lodowej! Okazuje się, że można w taki sposób zmienić kolejność składników aby suma była równa z góry zadanej liczbie rzeczywistej lub nawet była równa jednej z nieskończoności! Mówi o tym właśnie twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych. Zanim jednak je przytoczymy (i udowodnimy!), to musimy sprawy nieco uporządkować.

Sumę nieskończenie wielu liczb \[a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots\] zwyczajowo nazywa się szeregiem i oznacza \[\sum_{n=1}^\infty a_n\] Jeżeli taka suma jest skończona, to mówimy, że szereg jest zbieżny. W przeciwnym wypadku mówimy, że jest rozbieżny. Jeżeli szereg \[\sum_{n=1}^\infty a_n\] jest zbieżny a szereg wartości bezwzględnych \[\sum_{n=1}^\infty |a_n| \] rozbieżny, to o takim szeregu mówimy, że jest warunkowo zbieżny. Dobrym przykładem jest tutaj znany nam już szereg \[1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\] Tak na marginesie, każdy szereg postaci \[a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots+(-1)^{n+1}+\cdots,\] gdzie \(a_n\geqslant 0\) oraz \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\) jest zbieżny! Poniżej rysunkowa przesłanka za prawdziwością tego twierdzenia.
Gdyby narysowany wyżej rysunkowy proces naprzemiennego dodawania i odejmowania kontynuować, to dałoby się coraz bardziej dostrzec jak kolejne sumy częściowe otaczają i zbliżają się do sumy takiego szeregu.

Twierdzenie Riemmana o szeregach warunkowo zbieżnych
Jeżeli \(\sum_\limits{n=1}^\infty a_n\) jest szeregiem zbieżnym warunkowo, to dla każdego \(m\in\mathbb R\cup\{+\infty, -\infty\}\) istnieje taka permutacja \(\sigma:\mathbb N^{+}\to\mathbb N^{+}\), że \[\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)}=m.\]

Idea dowodu jest bardzo prosta. Załóżmy, że \(m\in\mathbb R\). Na bazie ciągu \(a_n\) stwórzmy najpierw dwa pomocnice ciągi. Pierwszym będzie \(a_n^{+}\) składający się, z zachowaniem kolejności, z wyrazów nieujemnych ciągu \(a_n\). Z kolei drugi, to ciąg \(a_n^{-}\) składający się z wyrazów ujemnych, również z zachowaniem ich kolejności. Z założenia szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny warunkowo, zatem \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{+}=+\infty\) oraz \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{-}=-\infty\). Najpierw sumujemy (zachowując kolejność) wyrazy nieujemne \(a_n^{+}\) do momentu aż otrzymamy sumę \[a_1^{+}+a_2^{+}+\cdots+a_n^{+}\] większą niż \(m\). Zawsze damy radę to zrobić, bo szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{+}\) jest rozbieżny do nieskończoności. Dalej dodajemy wyrazy ujemne \(a_n^{-}\) aż otrzymamy sumę mniejszą od \(m\). Proces ten potarzamy, tj. do dotychczasowej sumy dodajemy kolejne liczby nieujemne aż otrzymamy ponownie liczbę większą niż \(m\). Ponieważ liczby dodatnie sumują się do nieskończoności, zawsze będziemy w stanie to zrobić. Nigdy ich nam nie zabraknie. Analogicznie z liczbami ujemnymi. Ponieważ \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\), to kolejne sumy częściowe będą coraz bliższe liczbie \(m\). Rysunkowo ten proces wygląda następująco:

Twierdzenie Riemanna pokazuje, że świat skończony znacznie się różni od nieskończonego nawet w tak prozaicznej kwestii jak zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych. A co jeżeli zamiast liczb rzeczywistych zechcemy dodawać liczby zespolone, wektory z \(\mathbb R^n\) lub elementy przestrzeni nieskończeniewymiarowych? Czy w takich przestrzeniach można sformułować analogiczne twierdzenie i jak ono wygląda? To już pomysł na inny wpis, którego tematem jest twierdzenie Levy’ego-Steinitza.