sympleks

Charakterystyka Eulera czyli ewolucja wzoru Eulera dla wielościanów

Słynny wzór Eulera dla wielościanów sprawił niemałe trudności matematykom próbującym go dowieść z samym Eulerem na czele. Jednym z głównych powodów tych problemów był brak ścisłej definicji takich pojęć jak wielościan czy ściana przez co matematycy próbujący dowieść zależność zauważoną przez Eulera wpadali w tarapaty. Dzisiaj matematycy nie mają problemów ze ścisłą definicją tych pojęć. Dzięki temu jednym z podstawowych pojęć topologii stała się tzw. charakterystyka Eulera, której szczególnym przypadkiem jest właśnie wzór Eulera.

O wzorze Eulera można poczytać tutaj. W tej części opowiemy sobie m. in. o tym jak matematycy poradzili sobie ze zdefiniowaniem takich pojęć jak wielościan czy ściana. Dzięki nim można było uogólnić zauważoną przez Eulera zależność na znacznie obszerniejszą klasę obiektów. Doprowadziło to do powstania takiego pojęcia jak charakterystyka Eulera. Jest ona uogólnieniem wzoru Eulera pokazującym, że tak naprawdę istnieje nieskończenie wiele wzorów Eulera.

Ponadto, wspomnimy również o uogólnieniach charakterystyki Eulera, którą można zdefiniować dla znacznie ogólniejszych obiektów niż wielościany. Co ciekawe, w takich przypadkach nie musi być ona liczbą całkowitą! Do tego pokażemy, że można ją bardzo łatwo opisać aksjomatycznie.

Wzór Eulera jest czymś co łączy np. ostrosłupy, graniastosłupy oraz wiele innych brył. Mimo iż są to obiekty, na pierwszy rzut oka, zupełnie różne, to jak można zauważyć, mają pewne cechy wspólne, które są niezależne od ich kształtu.

Jak wspomnieliśmy, problemy z dowiedzeniem wzoru Eulera pochodziły m. in. z braku ścisłej definicji takich pojęć jak wielościan czy ściana. Jak matematycy poradzili sobie z tym problem? Czas pobawić się matematycznym lego, tzn. sympleksami.

Aby zdefiniować wielościan potrzebujemy odpowiedniej definicji wierzchołka, krawędzi oraz ściany. Co prowadzi do ogólniejszego pojęcia sympleksu.

Sympleksem 0-wymiarowym jest po prostu punkt, 1-wymiarowym odcinek, 2-wymiarowym trójkąt (razem z wnętrzem), 3-wymiarowym zaś jest czworościan (niekoniecznie foremny i również z wnętrzem). Matematycy przyjmują jeszcze, że zbiór pusty jest sympleksem wymiaru -1.
sympleks

Możemy również analogicznie zdefiniować sympleksy dowolnego wymiaru. Być może trudno jest je sobie wyobrazić, gdyż są to obiekty, których nie da się umieścić w najbardziej nam znanej przestrzeni trójwymiarowej.

Mając \(n+1\) wierzchołków \(x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}\in\mathbb R^k\ (k\geq n-1)\), definiujemy sympleks jako zbiór tych punktów \(x\in\mathbb R^k\), których współrzędne można wyrazić jako sumę \[a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_{n+1}x_{n+1},\] gdzie liczby \(a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}\) są nieujemne oraz ich suma jest równa 1. Zakładamy przy tym, że nie wszystkie wierzchołki znajdują się w jednej \((n-1)\)-wymiarowej hiperpłaszczyźnie.

Zauważmy, że w sympleksie wymiaru 3 znajdują się również sympleksy wymiarów 0, 1, oraz 2. Ogólnie w każdym sympleksie wymiaru \(n\) znajdują się sympleksy wszystkich wymiarów mniejszych lub równych \(n\). Nazywamy je ścianami.

Dysponując pojęciem sympleksu, jesteśmy w stanie zdefiniować tzw. kompleks symplicjalny. Jest to, w skrócie mówiąc, obiekt będący sumą sympleksów. Przy czym zakładamy, że część wspólna dwu dowolnych sympleksów jest ich wspólną ścianą. Wielościanem zaś jest każdy obiekt, który topologicznie jest nieodróżnialny od jakiegoś kompleksu symplicjalnego (dokładniej od tzw. jego realizacji). Dlatego okrąg czy sfera to pełnoprawne wielościany.

Poniżej przykłady dwu kompleksów symplicjalnych wymiaru 2. Możemy je również traktować razem jako jeden kompleks. Część wspólna sympleksów wszak może być sympleksem wymiaru -1, czyli zbiorem pustym.

kompleks symplicjalny

Tu z kolei przykłady obiektów, które kompleksami symplicjalnymi nie są. Części wspólne sympleksów nie zawsze są ich wspólną ścianą.

kompleks symplicjalny

Zaznaczmy, że należy odróżnić zbiór sympleksów od ich sumy jako podzbioru \(\mathbb R^n\). Powyższe zbiory można również na inne sposoby przedstawić jako sumę sympleksów. Również w taki aby otrzymać kompleks symplicjalny.

Mając już w poprawny sposób zdefiniowane pojęcia możemy dla każdego kompleksu symplicjalnego obliczyć wartość \(W-K+S\). Wierzchołki to sympleksy 0-wymiarowe, krawędzie to te wymiaru 1, a ściany to sympleksy wymiaru 2. Tylko zaraz, przecież np. taki sześcian nie jest kompleksem symplicjalnym. Jego ściany są kwadratami.

Możemy jednak jego ściany podzielić na trójkąty. Otrzymamy wtedy pełnoprawny kompleks symplicjalny. Podobnie każdy znany nam wielościan jesteśmy w stanie przedstawić w postaci kompleksu symplicjalnego.
charakterystyka eulera

Na powyższym rysunku mamy jedynie brzeg sześcianu bez wnętrza ponieważ interesują nas tylko wierzchołki, krawędzie oraz ściany. Jeżeli weźmiemy pod uwagę także sympleksy wyższych wymiarów, to możemy zdefiniować charakterystyką Eulera. Dokładniej, jeżeli przez \(k_i\) oznaczymy liczbę \(k\)-wymiarowych sympleksów kompleksu \(X\), to jego charakterystyka Eulera jest równa \[\chi(X)=k_0-k_1+k_2-k_3+\ldots=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i\cdot k_i.\] Suma ta ma sens jedynie wtedy, gdy liczba wszystkich sympleksów jest skończona.

Mówiąc w skrócie od liczby ścian parzystowymiarowych, odejmujemy liczbę ścian wymiarów nieparzystych. Okazuje się, że charakterystyka Eulera jest tzw. niezmiennikiem topologicznym tzn. jest taka sama dla obiektów, które z topologicznego punktu widzenia są nieodróżnialne. A takie są tradycyjne wielościany: prostopadłościany, graniastosłupy czy ostrosłupy. Z topologicznego punktu widzenia są sferą. Każdy z nich możemy w sposób ciągły przekształcić na sferę, np. nadmuchując (przy założeniu, że są wykonane z elastycznej gumy). Z tego też względu nie musimy się martwić tym, że np. sześcian możemy przedstawić jako kompleks na wiele różnych sposób. Jego charakterystyka Eulera zawsze będzie równa 2.

Dla kwadratu, trójkąta i dowolnego wielokąta (bez wnętrza) otrzymamy 0. Wszystkie te figury są topologicznie równoważne okręgowi, który topolodzy standardowo oznaczają \(\mathbb S^1\). Niektórych mógłby pewnie zdziwić widok topologa rysującego kwadrat i mówiącego, że jest to okrąg.

Z kolei sferę dwuwymiarową (czyli balon) oznaczamy \(\mathbb S^2\). Możemy więc zapisać, że \[\chi(\mathbb S^1)=0\textrm{ oraz }\chi(\mathbb S^2)=2.\]

Oznacza to, że okrąg i sfera są topologicznie różne. Charakterystyka Eulera daje nam prosty sposób rozróżniania, z topologicznego punktu widzenia, niektórych obiektów. Pamiętajmy, że w drugą stronę to nie działa. Równość charakterystyk nie oznacza, że obiekty są topologicznie nieodróżnialne.

Jeżeli do okręgu dodamy wnętrze, otrzymując koło, to dla topologa będzie to tym samym co dowolny wielokąt z wnętrzem. Koło przez topologów bywa nazywane dyskiem i oznaczane \(\mathbb D^2\). Jak łatwo sprawdzić \[\chi(\mathbb D^2)=1.\]

Rozdmuchując sześcian otrzymaliśmy sferę z krzywymi krawędziami oraz ścianami. Jeżeli podzielimy ją na takie krzywoliniowe sympleksy, to wzór Eulera nadal się będzie zgadzać. Podobnie z innymi figurami. Spójrzmy przykładowo na dysk.charakterystyka eulera

 

Nawet gdy go podzielimy (jakkolwiek) na takie krzywe krawędzie i placki (zwane komórkami), to wzór Eulera da nam 1. Prowadzi to do jeszcze ogólniejszych pojęć takich jak CW-kompleks. Nie wdając się w techniczne szczegóły, możemy powiedzieć, że jest to pojęcie pozwalające efektywniej przedstawiać topologiczne obiekty w postaci sumy komórek. Dzięki temu możemy liczyć łatwiej charakterystykę Eulera.

W przypadku sfery \(\mathbb S^2\) wystarczą po dwie komórki wymiarów 0, 1 oraz 2.

charakterystyka eulera

Przekrój sfery płaszczyzną wyznacza okrąg przechodzący przez zaznaczone punkty. One z kolei dzielą go na dwa łuki. Cała reszta zaś składa się z dwu półkul.

Czyli mamy dwie komórki 0-wymiarowe (tj. punkty), dwie 1-wymiarowe (tj. odcinki), a wspomniane półkule to komórki wymiaru 2. Można nawet prościej przedstawić sferę! Tak naprawdę wystarczą dwie komórki w ogóle. Jeżeli ze sfery usuniemy jeden punkt, to cała reszta będzie komórką wymiaru 2. Punkt+reszta, czyli dwie komórki, to najprostszy rozkłąd sfery. Taki rozkład nie jest możliwy, gdy mówimy o kompleksach symplicjalnych, lecz w świecie CW-kompleksów mamy większą elastyczność.

Obliczanie charakterystyki Eulera różnych obiektów może być ciekawym ćwiczeniem na lekcję matematyki. Ile jest równa charakterystyka np. liczby osiem, albo torusa?

Ósemka składa się z dwu okręgów sklejonych w punkcie. Matematycy oznaczają ją \(\mathbb S^1\vee\mathbb S^1\). Nietrudno znaleźć rozkład \(\mathbb S^1\vee\mathbb S^1\) składający się z dwu komórek wymiaru 1 oraz jednej 0-wymiarowej. Wobec tego \[\chi(\mathbb S^1\vee\mathbb S^1)=-1.\]

A co z torusem (oznaczanym \(\mathbb T^2\)) czyli powierzchnią dętki?

charakterystyka eulera

Jeżeli narysujemy na jego powierzchni dwa okręgi, jeden wzdłuż, a drugi w poprzek, to otrzymamy jedną komórkę 2-wymiarową, jedną 0-wymiarową oraz dwie 1-wymiarowe. Zatem \(\chi(\mathbb T^2)=0.\) Mimo iż torus jest, nawet dla topologa, inny niż okrąg, to \(\chi(\mathbb T^2)=\chi(\mathbb S^1).\)

Czy to wszystko odnośnie matematycznej ewolucji charakterystyki Eulera? Oczywiście, że nie! Obecnie matematycy używają nieco ogólniejszej definicji, pozwalającej obliczać ją także dla niektórych kompleksów mających nieskończenie wiele sympleksów.

Jeżeli złączymy w jednym z wierzchołków nieskończenie wiele sympleksów 1-wymiarowych, tj. odcinków (analogicznie jak niżej), to otrzymamy obiekt, którego charakterystyka Eulera jest równa 1.
charakterystyka eulera

Tyle co w przypadku odcinka czy dysku. Wszystkie te obiekty są co prawda z topologicznego punktu widzenia różne, lecz także mają wiele wspólnego. Topolog by powiedział, że są homotopijnie równoważne. Okrąg i torus nie są nawet homotopijnie równoważne!

Ogólniejsze definicje charakterystyki Eulera wymagają nieco znajomości matematyki, więc część dalsza może być dla niektórych nieco niezrozumiała momentami. Warto jednak zobaczyć jak bardzo wzór Eulera dla wielościanów wyewoluował i ewoluuje nadal.

Obiektom topologicznym takim jak np. kompleksy symplicjalne możemy przypisywać obiekty algebraiczne takie jak np. grupy homologii. Tzn. każdemu kompleksowi \(X\)możemy przypisać ciąg \(H_n(K)\) wspomnianych grup homologii. Wówczas \[\chi(X)=\sum_{i=0}^\infty (-1)^n\textrm{rank}(H_n(X)),\]
gdzie \(\textrm{rank}(H_n(X))\) to tzw. ranga. Definicja ta ma sens tylko, gdy powyższy ciąg jest zbieżny (czy aby na pewno 😉 ) i dla skończonych kompleksów symplicjalnych okazuje się pokrywać z definicją wykorzystującą liczby ścian. Dla obiektów homotopijnie równoważnych, otrzymujemy tę samą liczbę.

W przypadku kompleksów mających nieskończenie wiele sympleksów/komórek klasyczna definicja polegająca na zliczaniu ich ilości w poszczególnych wymiarach nie ma sensu. Mamy więc postęp!

A czy można charakterystykę Eulera zdefiniować dla jeszcze ogólniejszych obiektów? Oczywiście! Podamy dwa przykłady.

Pierwszy z nich dotyczy tzw. skończonych kategorii. Kategoria w matematyce, w dużym uproszczeniu składa się z jakichś obiektów i funkcji między nimi (zwanych w tym kontekście morfizmami). Przykładem jest kategoria zbiorów i funkcji, oznaczana Set. Jej obiektami są zbiory, a morfizmami wszystkie funkcje między zbiorami. Jest też kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, morfizmami zaś funkcje ciągłe między nimi.

Skończone kategorie, tj. takie które mają skończenie wiele obiektów oraz morfizmów, wygodnie jest przedstawiać na rysunkach.
skończona kategoria

Powyższa kategoria ma dwa obiekty oraz cztery morfizmy. Oprócz dwu zaznaczonych jako strzałki, są jeszcze dwie identyczności, które się pomija na rysunkach. W tym przypadku mamy o tyle ciekawą sytuację, że jej charakterystyka Eulera jest równa … \(\dfrac 12\).

Z tą kategorią ściśle związana jest tzw. nieskończeniewymiarowa przestrzeń rzutowa, która ma po jednej komórce w każdym wymiarze od 0 do nieskończoności.

Suma \[1-1+1-1+1-1+\ldots=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\]

nie jest określona. Być może jednak niektórzy słyszeli (np. tu) o tym, że ignorując ten fakt oraz wykonując na niej kilka prostych przekształceń można dojść do tego, że jest równa \(\dfrac 12\). Wbrew pozorom nie jest to pozbawione sensu. Związek z charakterystyką Eulera przestrzeni rzutowej nie jest przypadkowy!

Drugim jest tzw. liczba Lefschetza. Mając np. CW-kompleks \(X\) oraz funkcję ciągłą (czyli taką porządną) \(f:X\to X\), to jej liczbą Lefschetza jest \[L(f)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\textrm{tr} f_n,\] gdzie \(f_n:H_n(X)\to H_n(X)\) to tzw. homomorfizm indukowany, zaś \(\textrm{tr} f_n\) to jego ślad.

Okazuje się, że charakterystyka Eulera kompleksu \(X\), to liczba Lefschetza identyczności czyli funkcji, która każdy punkt przekształca na niego samego. Jest to bardzo porządny przykład funkcji ciągłej.

Na następnej stronie przedstawimy aksjomatyczne podejście.

One comment

Odpowiedz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *