Wzór Eulera dla wielościanów oraz historia związana z tym pojęciem to piękny przykład tego jak z prostej, z pozoru niezbyt ciekawej obserwacji może zrodzić się piękna teoria. Jest to również wspaniały kawałek historii matematyki oraz tego jak się rozwijała i rozwija nadal. I co mają z tym wspólnego fullereny oraz piłeczka do golfa?
14 listopada 1750 Leonhard Euler w liście do swojego przyjaciela Christiana Goldbacha, podzielił się spostrzeżeniem, że w przypadku brył zachodzi związek \[W-K+S=2,\] gdzie \(W\) – liczba wierzchołków, \(K\) – liczba krawędzi, a \(S\) – liczba ścian.
Ta, wydawało by się, trywialna ciekawostka okazała się być jedną z rzeczy, które dały początek nowej dziedzinie matematyki – topologii. O tym czym jest topologia można poczytać tutaj.
Wracając do wzoru Eulera, to można sprawdzić, że dla sześcianu, jakiegokolwiek graniastosłupa czy ostrosłupa istotnie zachodzi \[W-K+S=2.\]
| Bryła | W | K | S |
| Sześcian | 8 | 12 | 6 |
| Graniastosłup trójkątny | 6 | 9 | 5 |
| Ostrosłup siedmiokątny | 8 | 14 | 8 |
Wzór ten jest prawdziwy również dla bardziej skomplikowanych wielościanów jak np. bryły platońskie. Sprawdzenie tego jest ciekawym ćwiczeniem na lekcję matematyki.
Sama zależność być może jest prosta, lecz jej dowód przysporzył niemałych trudności nie tylko Eulerowi, lecz i innym matematykom.
Euler napisał o niej dwie prace. Pierwsza z nich to Elementa doctrinae solidorum, która ukazała się w 1758. Dowód zależności się w niej nie znalazł. Opublikowany został rok później w pracy Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. Jednakże nie był poprawny.
Euler swoją próbę dowodu przeprowadził dla wielościanów wypukłych, tzn. mających taką własność, że dowolny odcinek łączący dwa punkty bryły, w całości się w niej znajduje. Znane nam wielościany jak sześcian, graniastosłupy, ostrosłupy itd., są wypukłe. Jeżeli jednak połączymy krawędzią dwa sześciany, to otrzymamy przykład bryły, która wypukła nie jest.
Idea Eulera była prosta. Polegała na usuwaniu kolejnych wierzchołków w taki sposób, aby po jego usunięciu otrzymać wielościan dla którego równość \(W-K+S=2\) nadal jest prawdziwa. Proces usuwania wierzchołków trwał do momentu gdy pozostały tylko 4.
Bryłą otrzymaną na końcu był czworościan, dla którego równość \(W-K+S=2\) jest spełniona. Problem z dowodem Eulera był taki, że nie mówił o tym w jaki sposób owe wierzchołki usuwać. I przez nieodpowiednie usuwanie można było otrzymać po drodze wielościan, dla którego stosowna równość nie będzie spełniona. Taką jak np. dwa sześciany połączone wzdłuż krawędzi. Kto sprawdził czy dla takiej bryły wzór Eulera jest spełniony?
Pierwszy poprawny dowód podał Adrien-Marie Legendre, w którym wykorzystał geometrię sferyczną. Przedstawimy właśnie dowód Legendre’a, ale najpierw musimy się dowiedzieć kilku rzeczy o geometrii na sferze.
Wszyscy wiemy, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180^\circ\) lub \(\pi\), gdy mamy na myśli radiany. Własność ta jest charakterystyczna dla trójkątów na płaszczyźnie. Sprawy wyglądają zupełnie inaczej, gdy przeniesiemy się na sferę.
Czym w ogóle jest trójkąt na sferze? Mając trzy punkty możemy je połączyć na różne sposoby. Tak na płaszczyźnie jak i sferze. Na płaszczyźnie aby otrzymać trójkąt wystarczy, że połączymy stosowne punkty prostymi odcinkami. Na sferze zaś każda linia jest krzywa. Wśród wszystkich linii łączących punkty \(A\) oraz \(B\) na sferze zawsze jednak jest taka, która jest najkrótsza. Jest to fragment koła wielkiego czyli przekroju sfery płaszczyzną przechodzącą przez środek i punkty \(A\) oraz \(B\).
Najważniejszą dla nas własnością jaką mają trójkąty na sferze jest to, że suma kątów wewnętrznych jest zawsze większa niż \(\pi\). I ta suma kątów pozwala obliczyć pole takiego trójkąta na sferze, które jest równe \[P=R^2(\alpha+\beta+\gamma-\pi),\]
gdzie \(\alpha,\beta,\gamma\) to kąty trójkąta. Jest to treść twierdzenia Harriota-Girarda. W szczególności, gdy \(R=1\), to otrzymujemy \[P=\alpha+\beta+\gamma-\pi.\] Przykładowo pole trójkąta z trzema kątami prostymi jest na sferze jednostkowej równe \(\frac{\pi}{2}\).
Twierdzenie Harriota-Girarda można uogólnić. Pole \(n\)-kąta na sferze jednostkowej i sumie kątów wewnętrznych \(S\) jest równe \[P=S-(n-2)\pi.\] Przydatna będzie następująca interpretacja. Przypiszmy każdemu wierzchołkowi kąt przy nim się znajdujący, każdej krawędzi \(-\pi\), a jedynej ścianie, którą jest sam wielokąt \(2\pi\). Dodając wszystko razem otrzymamy pole wielokąta.
Trik Legendre’a polegał na tym, że mając wielościan wypukły możemy przyjąć, że jest wewnątrz pewnej sfery, a następnie zrzutować na nią jego krawędzie. Można to sobie również wyobrazić jak rozdmuchanie wielościanu do sferycznego kształtu. Sfera zostanie wtedy podzielona na krzywoliniowe wielokąty. Liczby tak powstałych wierzchołków, krawędzi oraz ścian na sferze będą takie sama jak w wyjściowym wielościanie.
Bez straty ogólności możemy założyć, że promień sfery to 1. Wówczas jej pole jest równe \(4\pi\). Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, na które została podzielona. Wykorzystując naszą interpretację twierdzenia Harriota-Girarda obliczymy pole sfery w inny sposób.
Suma kątów przy każdym z wierzchołków jest równa \(2\pi\). Dla wszystkich wierzchołków daje to łącznie \(2\pi W\). Każdej krawędzi przypisaliśmy \(-\pi\), a ponieważ każda należy do dwu ścian, to dostajemy \(-2\pi K\). Pozostają jeszcze ściany, które dają \(2\pi S\). Otrzymujemy więc równość \[4\pi=2\pi W-2\pi K+2\pi S.\] Dzieląc przez \(2\pi\) otrzymujemy wzór Eulera dla wielościanów.
Wykorzystując wzór Eulera dla wielościanów możemy udowodnić, że składająca się z pięcio i sześciokątów foremnych piłka do piłki nożnej (np. słynna Adidas Telstar) zawsze musi mieć dokładnie 12 pięciokątów.
Piłka Adidas Telstar składa się z pięcio i sześciokątów foremnych w taki sposób, że z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie. Oznaczmy przez \(P\) liczbę pięciokątów, a przez \(H\) sześciokątów. Ze wzoru Eulera mamy \[P+H=S,\ W=\dfrac{5P+6H}{3} \textrm{ oraz } K=\dfrac{5P+6H}{2}.\] Podstawiając wszystko do wzoru \(W-K+S=2\), następnie upraszczając dostajemy \(\dfrac{P}{6}=2\). Podobnie pięciokątami oraz sześciokątami pokryta jest powierzchnia piłeczki do golfa. Mimo iż łącznie jest ich znacznie więcej niż w przypadku piłki Adidasa, to wiemy, że pięciokątów jest dokładnie 12. Również atomy węgla w fullerenach bywają połączone tak, że tworzą podobnie zbudowany szkielet. Poniżej przykład fullerenu \(C_{60}\).
Dowód Legendre’a można uogólnić na niektóre wielościany niewypukłe. Przykładowo poniższy wielościan również jesteśmy w stanie rozdmuchać do kształtu sfery i następnie powtórzyć dowód Legendre’a.
Prowadzi to do naturalnego pytania czy można i jeśli tak, to w jaki sposób opisać wszystkie wielościany, dla których wzór Eulera jest prawdziwy? Spójrzmy na poniższe przykłady pochodzące od Simona L’Huilliera.
Po lewej mamy wielościan, który jesteśmy w stanie rozdmuchać do kształtu sfery, ale okaże się, że wzór Eulera nie jest w tym przypadku spełniony. Nietrudno zauważyć, że dowodu Legendre’a nie można tu zastosować bo jedna ze ścian ma dziurę. Właśnie. Do tej pory nie zastanawialiśmy się zbytnio czym jest wielościan czy ściana. Czy aby na pewno ściana z dziurą odpowiada temu co rozumiemy przez ścianę? Tylko co dokładnie rozumiemy przez pojęcie ściany?
Jednym z głównych problemów związanych z trudnościami dowiedzenia wzoru Eulera brały się stąd, że niby każdy wiedział czym jest wielościan czy ściana, ale jak już się nad tym głębiej zastanowić, to jak widać, nie jest to takie oczywiste. W matematyce zasada koń jaki jest, każdy widzi niestety nie przejdzie. I tutaj mamy tego przykład.
Dowód Legendre’a pokazuje, że wzór Eulera dla wielościanów jest również prawdziwy dla obiektów, które wielościanami nie są jak np. sfera podzielona krzywoliniowymi krawędziami i ścianami. Jak więc powinno się zdefiniować poprawnie wielościan, ścianę czy krawędź? Jak daleko możemy się posunąć z uogólnieniami obiektów, dla których wzór Eulera jest prawdziwy? Co z bryłami, dla których nie jest spełniony? Może jest dla nich spełniony inny wzór? Odpowiedzi można znaleźć w części drugiej.
Literatura
D.S. Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton Univ. Press (2008)