czym jest topologia

Czym jest topologia

Na początku była geometria… . Przez długi czas pod nazwą matematyka kryła się głównie ona. Z czasem z geometrycznych idei zrodziła się topologia, którą nazywa się niekiedy gumową geometrią. Ale czym jest topologia tak naprawdę?

14 listopada 1750 Leonhard Euler w liście do swojego przyjaciela Christiana Goldbacha, podzielił się spostrzeżeniem, że w przypadku brył zachodzi związek \[W+S=K+2,\] gdzie \(W\) – liczba wierzchołków, \(K\) – liczba krawędzi, a \(S\) – liczba ścian.

In omni solido hedris planis incluso aggregatum ex numero hedrarum et numero angulorum solidorum binario superat numerum acierum, seu est \(H+S=A+2\).

Można sprawdzić, że dla sześcianu, jakiegokolwiek graniastosłupa czy ostrosłupa istotnie zachodzi \[W-K+S=2.\]

Pamiętajmy, że podstawa bryły, to też ściana. Nawet jeżeli weźmiemy bardziej skomplikowane bryły takie jak np. dwudziestościan foremny to równość nadal będzie spełniona. Sprawdzenie tego to ciekawe ćwiczenie na lekcję matematyki.

czym jest topologia

Mimo iż bryły te są, na pierwszy rzut oka, zupełnie różne, to jak widzimy, mają interesujące wspólne cechy. Owa obserwacja była jedną z pierwszych, które zapoczątkowały powstanie topologii. Historia tej obserwacji, dzięki której zdefiniowana została charakterystyka Eulera, oraz próby jej udowodnienia to świetny kawał nie tylko matematycznej historii, lecz także samej matematyki oraz tego jak się rozwijała i rozwija.

Gdybyśmy, w którejś z tych brył dokonali niewielkich zmian, np. nieco przesuwając położenie jednego z wierzchołków, to nadal wszystko będzie się zgadzać. A czy możemy dokonywać bardziej drastycznych zmian? I jak daleko możemy się w tym posunąć aby własność zauważona przez Eulera nadal była spełniona? A może spełniona będzie zawsze dla każdej bryły? M. in. takimi problemami zajmuje się topologia. Samo słowo wywodzi się z dwu greckich słów:

τόπος (topos) – miejsce, okolica oraz λόγος (logos) – nauka.

Przez pewien czas, za sprawą pracy Poincarégo funkcjonowała nazwa analysis situs czyli analiza miejsca/położenia.

Spójrzmy na inny przykład. Jaki jest okrąg każdy widzi.

o czym jest topologia

Można o nim powiedzieć wiele. Wszyscy wiemy jak obliczyć jego obwód oraz pole koła nim ograniczonego. To są typowe zagadnienia geometryczne z nim związane. Pozbądźmy się teraz sztywnych, geometrycznych ram, gdzie takie rzeczy odległość, pole czy długość są istotne.

Jakie inne, własności ma okrąg?
Np. jest krzywą zamkniętą. Dzieli płaszczyznę na dwie części: wewnętrzną i zewnętrzną. Jeżeli nieco go spłaszczymy tak aby powstała elipsa, to ta własność zostanie zachowana.

czym jest topologia

Gdyby okrąg był z rozciągliwej gumy, to moglibyśmy tworzyć przy jego pomocy przeróżne kształty, które nadal miałyby wiele cech wspólnych. Jak choćby tę o rozcinaniu płaszczyzny na dwie części.

czym jest topologia

Obwód czy ograniczone krzywą pole mogą się zmieniać, lecz pewne inne własności nadal pozostają spełnione. Tak jak geometria jest dosyć sztywna, to świat topologiczny jest bardzo elastyczny. Wszystkie powyższe krzywe, tj. okrąg, elipsa, serce i … ten ostatni, są z topologicznego punktu widzenia nieodróżnialne.

Topolodzy powiedzieliby, że są homeomorficzne. Słowo może wydawać się trudne, ale idea oraz ścisła definicja są już łatwiejsze. Aby dwa obiekty \(X\) oraz \(Y\) były homeomorficzne wystarczy aby istniała funkcja między nimi, która:

  • łączy punkty \(X\) oraz \(Y\) w pary (tzn. jest bijekcją),
  • jest ciągła,
  • funkcja do niej odwrotna jest również ciągła.

Taką funkcję nazywamy homeomorfizmem. Jak widzimy na przykładach, możemy bardzo daleko się posunąć w naszych zabawach z gumowym okręgiem aby otrzymany obiekt nadal był z nim homeomorficzny.

A czego robić nie można? Na przykład nie możemy przerwać okręgu. Wówczas zamieni się w odcinek i nie będzie dzielił już płaszczyzny na dwie części. Bardziej matematycznie, takie rozerwanie często nie jest odwzorowaniem ciągłym. Podobnie sklejanie może prowadzić do problemów. Gdy skleimy dwa punkty okręgu, to otrzymamy ósemkę. Matematycznie problem ze sklejaniem pojawia się z odwzorowaniem odwrotnym. Nie da się go w tym przypadku określić.

Należy jednak zaznaczyć, że nie oznacza to jeszcze, że okrąg i ósemka nie są homeomorficzne. To oznacza jedynie, że sklejenie nie jest homeomorfizmem. Intuicyjnie jednak czujemy, że są to obiekty nawet topologicznie różne. Przesłanką może być to, że okrąg dzieli płaszczyznę na dwie części, ósemka zaś na trzy.

Innym, znanym przykładem jest ten z kubkiem, który z topologicznego punktu widzenia jest obwarzankiem/oponką.

czym jest topologia

Homeomorficzne obiekty mogą się, na pierwszy rzut oka, drastycznie różnić. Poniżej tzw. sfera rogata Alexandera

sfera rogata Alexandera
która jest topologicznie równoważna zwykłej sferze.

czym jest topologia

Tak, te dwa obiekty są topologicznie nierozróżnialne.

Topologia zajmuje się również jeszcze słabszymi związkami między obiektami. Na przykład okrąg oraz pierścień kołowy nie są homeomorficzne (mają różne wymiary), ale można zauważyć, że ich kształt jest podobny.

czym jest topologia

Topolog by powiedział, że są homotopijnie równoważne.

Uzbrojeni już w nieco topologicznej intuicji, spróbujmy teraz rozwiązać dwie topologiczne zagadki.

czym jest topologia
                                    Źródło: V.V. Prasolov, Intuitive Topology

W jaki sposób z figury po lewej stronie, stosując jedynie topologiczne przekształcenia, otrzymać figurę po prawej stronie? Przez topologiczne przekształcenia mamy na myśli, takie które niczego nie sklejają ani nie rozrywają.

       Źródło: V.V. Prasolov, Intuitive Topology

A w jaki sposób przekształcić podwójny torus tak aby krzywa narysowana na górze stała się tą na dole?

Takie zagadki lubią topolodzy. Ich rozwiązanie znajduje się na końcu wpisu.

Topologia zajmuje się badaniem własności, które są takie same dla obiektów homeomorficznych czy też homotopijnie równoważnych. A także badaniem topologicznych własności spotykanych w matematyce obiektów. Jej metody można spotkać w niemal całej matematyce. Wiele obiektów matematycznych można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę topologiczną. Dzięki czemu dostajemy nowe narzędzia do ich badania. Można powiedzieć, że pozwala to spojrzeć w inny sposób na takie obiekty.

Jako odrębna dziedzina matematyki, jest dosyć młoda. Mimo iż jej początki zaczęły się kilkaset lat temu, to dopiero w XX wieku topologia nabrała obecnego kształtu. Jej podstawy, to tzw. topologia ogólna, która stanowi swego rodzaju szkielet całej dziedziny. To jej na początku uczą się studenci matematyki. Takie pojęcia jak przestrzeń topologiczna, zbiory otwarte/domknięte, homeomorfizm, spójność, zwartość itd., to podstawowe pojęcia topologiczne, które poznaje się podczas nauki topologii ogólnej.

Jednak większe znaczenie ma obecnie topologia algebraiczna, gdzie algebra spotyka się z topologią. Jak sama nazwa wskazuje jest to część topologii, w której bada się obiekty topologiczne metodami algebraicznymi. W jaki sposób? Oto przykład.

Powróćmy do okręgu. Prostymi przykładami funkcji ciągłych okręgu w siebie są: odwzorowanie stałe oraz identyczność. Funkcja stała to ta, która wszystko przekształca w jeden konkretny punkt. Identyczność zaś, to funkcja, która nic nie zmienia czyli przekształca każdy punkt w samego siebie. Są to proste i zarazem porządne przykłady funkcji ciągłych.

odwzorowanie stałe
Funkcja stała okręgu w siebie. Cały okrąg jest przekształcany w punkt A.

Identyczność, możemy powiedzieć, jest jednokrotnym nawinięciem okręgu na siebie.
Jeżeli nasz okrąg rozciągniemy (a w topologii możemy przecież to robić), to jesteśmy w stanie nawinąć go na jego wersję początkową więcej niż raz.

czym jest topologia

Możemy też nawijać okrąg na siebie najpierw kilka razy, a potem kilka razy zawrócić i nawijać go odwrotnie. Jeżeli jeden kierunek przyjmiemy za dodatni, a drugi za ujemny, to jeśli funkcja ciągła ,,wykona” \(n\) pełnych nawinięć w stronę dodatnią oraz \(m\) w stronę ujemną, to możemy jej przypisać liczbę \(n-m\).

Zatem dla odwzorowania stałego byłoby to 0 (nie ma żadnych pełnych nawinięć). Dla identyczności byłoby 1 (lub -1, zależy co przyjmiemy za dodatni kierunek nawijania). Ogólnie, każdej funkcji jesteśmy w stanie przyporządkować pewną liczbę całkowitą i dla każdej liczby całkowitej \(k\) możemy znaleźć funkcję, która nawija się na okrąg \(k\) razy.

Powyższa idea mówi nam, że odwzorowania okręgu w siebie jesteśmy w stanie sklasyfikować korzystając z liczb całkowitych. Prowadzi to do dwu rodzajów obiektów. Możemy odwzorowaniom okręgu w siebie przypisać liczby jak i samemu okręgowi przypisać zbiór \(\mathbb Z\) wszystkich liczb całkowitych. Czyli niezwykle porządny obiekt algebraiczny.

W podobny sposób możemy torusowi (dętka lub brzeg obwarzanka/oponki), badając funkcje ciągłe z okręgu w torus, przypisać zbiór wszystkich par liczb całkowitych. Zbiór taki to tzw. grupa podstawowa. Oczywiście, to co przedstawiliśmy, to tylko niezbyt precyzyjna idea, zarys tego czym jest grupa podstawowa. Ale w końcu w matematyce często początkiem nowej teorii jest jakaś prosta obserwacja. Np. spostrzeżenie Eulera z wielościanami.

Zapewne to zdziwi wielu, ale topologia ma również zastosowania praktycznie. Ciekawym zastosowaniem metod topologii algebraicznej jest topologiczna analiza danych, w której z powodzeniem używa się tzw. homologii trwałych. Homologie to inny sposób przypisywania obiektom topologicznym obiektów algebraicznych.

Jako przykład niech posłuży praca

M. Nicolau, A.J. Levine, G. Carlsson Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutational profile and excellent survival, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2011 108 (17) s. 7265-7270

w której metody topologiczne zostały użyte w identyfikacji niektórych typów raka piersi. Link do pracy tutaj.

Ponadto, być może niektórym obiło się o uszy, że w 2016 Nagroda Nobla w dziedzinie fizyki została przyznana za teoretyczne odkrycia w dziedzinie topologicznych przejść fazowych i topologicznych faz materii.

Jak widać topologia jest interesującą dziedziną matematyki z ciekawymi i wymagającymi problemami, przenikającą obecnie niemal całą matematykę. Choć mimo iż matematykę dzieli się na różne działy jak algebra, topologia czy analiza, to obecnie tak naprawdę wszystko w niej przenika się ze wszystkim.

Mam nadzieję, że w tym wpisie udało się choć trochę nakreślić to czym jest topologia. Na następnej stronie znajdują się rozwiązania zagadek.

               Źródło: V.V. Prasolov, Intuitive Topology

One comment

Odpowiedz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *