Ciąg Fibonacciego, złota proporcja (zwana też boską) oraz złota spirala są podobno wszędzie. W naturze, sztuce, architekturze, ludzkim ciele i wielu innych miejscach. To taki zestaw standardowy informacji o złotej proporcji (tylko ile w tym prawdy?). Wobec tego obiekty te przyciągały i wciąż przyciągają uwagę wielu osób, co czasami prowadzi do swego rodzaju niezdrowej fascynacji wszystkim co złote. W tym wpisie opowiemy sobie nieco o tym czym jest ciąg Fibonacciego i co go łączy z boską proporcją oraz poruszymy historię tych pojęć.
Wstęp
W polskim internecie temat ten jest znany w dużej mierze dzięki filmowi Mirosława Zelenta Tajemniczy ciąg Fibonacciego. Złota liczba. Boska proporcja znajdującemu się na kanale youtube Pasja Informatyki. Są w nim nawet sugestie, że ciąg Fibonacciego oraz złota proporcja to odcisk Boga.
Oprócz wspomnianego zestawu standardowego można znaleźć w polskim Internecie aluzje, że złota proporcja jest obecna w dziełach Puszkina oraz w Panu Tadeuszu Adama Mickiewicza (oraz wiele innych informacji). Np. tutaj
Podobnie złota spirala jest zdaje się wszechobecna. W jej kształt podobno formują się huragany oraz galaktyki, owady i ptaki poruszają często się podobno po trajektorii w jej kształcie, a muszle wielu zwierząt mają podobno kształt złotej spirali. Zupełnie jakby na świecie istniała tylko jedna spirala.
Zdecydowana większość kwiatów ma podobno liczbę płatków równą jakiejś liczbie ciągu Fibonacciego, a liście kwiatów rozmieszczają się (kątowo) w odstępach równych podobno złotemu kątowi.
Można wręcz odnieść wrażenie, że nawet gdybyśmy zajrzeli do lodówki, to i tam byśmy znaleźli złotą spiralę oraz boską proporcję. Parafrazując słynne Prawo Godwina mówiące, że
Wraz z trwaniem dyskusji w Internecie prawdopodobieństwo użycia porównania, w którym występuje nazizm bądź Hitler, dąży do 1.
możemy sformułować ,,Złote” Prawo Godwina:
Im dłużej jakiś obiekt (np. dzieło sztuki, człowiek) jest znany, to prawdopodobieństwo tego, że ktoś uzna iż jest tam ukryta złota proporcja dąży do 1.
Ile w tym wszystkim jest jednak prawdy? Okazuje się, że ilość nieprawdziwych informacji związanych z tytułowymi zagadnieniami jest ogromna. Jest to o tyle zadziwiające, że przynajmniej część z nich każdy może albo łatwo zweryfikować, albo spróbować sprawdzić na tyle, aby nabrać podejrzeń, że coś jest, choć trochę, podejrzane.
Jest to pierwszy wpis, z całej serii, dotyczących ciągu Fibonacciego, boskiej proporcji. Omówimy w nich i zweryfikujemy informacje jakie można znaleźć na ich temat w internecie. Tutaj opowiemy czym jest ciąg Fibonacciego, złota proporcja oraz złoty podział, a także zajmiemy się historią tych pojęć.
Złoty podział
Po raz pierwszy złoty podział pojawił się w słynnych Elementach Euklidesa. Nie nazywa on go oczywiście ani złotym ani boskim. Wbrew pozorom przydomek złoty jest dosyć świeżym wynalazkiem.
Czym w ogóle jest to co dzisiaj nazywamy złotym lub boskim podziałem? Jest to podział odcinka (dla prostoty długości \(1\)) na dwie części tak aby stosunek całości do części większej był taki sam jak większej do mniejszej.
Oznaczając dłuższy odcinek przez \(x\), otrzymujemy proporcję
\[\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{1-x}\] prowadzącą do równania kwadratowego \[x^2+x-1=0.\]
Jedynym pierwiastkiem dodatnim tego równania jest liczba \[\Phi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.\] Wobec tego złota proporcja (czyli słynna liczba fi) jest równa \[\varphi=\dfrac{1}{\Phi}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}.\]
Złota proporcja pojawia się nie wprost w twierdzeniu 11 księgi II Elementów (oczywiście nie jest nazywana złotą). Natomiast w twierdzeniu 30 księgi VI pojawia się już w sposób jawny jako podział odcinka w stosunku skrajne do środkowej. Euklides używa jej następnie do konstrukcji pięciokąta foremnego oraz wielościanów foremnych.
Króliki
W 1202 roku włoski matematyk Leonardo z Pizy, znany dziś bardziej jako Leonardo Fibonacci, w swoim dziele Liber Abaci umieścił słynne zadanie arytmetyczne dotyczące królików, którego treść była taka:
Ile par królików powstanie z jednej pary w ciągu roku?
Pewien mężczyzna miał parę królików w pewnym ogrodzonym miejscu. Należy się dowiedzieć ile par królików powstanie z tej pary w ciągu roku jeżeli w ich naturze leży w jednym miesiącu urodzić kolejną parę, a w następnym miesiącu te urodzone także urodzą.
Jako, że tłumacz ze mnie marny, to poniżej treść tego zadania ze współczesnego angielskiego wydania książki. Zachowano pisownię oryginalną.
How Many Pairs of Rabbits Are Created by One Pair in One Year?
A certain man had one pair of rabbits together in a certain enclosed place, and one wishes to know how many are created from the pair in one year when it is in the nature of them in a single month to bear another pair, and in the second month those born to bear also.
Natomiast w samej książce Fibonacciego wyglądało to tak:
Jest to tylko proste ćwiczenie arytmetyczne. Założenia naturalnie, nie mają zbyt wiele wspólnego z rzeczywistością. To proste zadanie prowadzi do słynnego ciągu Fibonacciego \((F_n)\). Definiujemy go rekurencyjnie przyjmując
\[F_1=F_2=1 \textrm{ oraz } F_{n+1}=F_n+F_{n-1} \textrm{ dla } n>1.\]
To znaczy, nie licząc dwóch pierwszych, każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich.
\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, \ldots\]
Z ciągiem Fibonacciego stowarzyszony jest ważny ciąg ilorazów \[a_n=\dfrac{F_{n+1}}{F_n},\] którego granicą jest boska proporcja. Dowód tutaj. Ten fakt zauważył Johannes Kepler w pracy z 1611 pt. Strena, Seu de Nive Sexangula. Jeżeli w definicji ciągu \(F_n\) przyjmiemy za \(F_1\) oraz \(F_2\) jakiekolwiek inne liczby dodatnie, to ciąg ilorazów również będzie zbiegał do \(\varphi\).
Liczby ciągu Fibonacciego można wyrazić za pomocą jawnego wzoru, tzw. wzoru Bineta:
\[F_n=\dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}.\]
Dowód jego poprawności można znaleźć tutaj
Boska proporcja i złote cięcie
Wbrew powszechnemu mniemaniu \(\varphi\) swój boski przydomek nabyła dopiero na przełomie XV i XVI wieku. Zawdzięcza go włoskiemu franciszkaninowi Luce Pacioliemu i wydanej w 1509 roku jego książce Divina Proportione czyli Boska Proporcja. Sam Pacioli jest bardziej znany ze swego innego dzieła Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita. Dzięki niemu bywa zwany ojcem rachunkowości.
Pierwsza część Compendio de Divina Proportione dotyczy właśnie boskiej proporcji oraz brył platońskich. Część tę Pacioli zadedykował księciu Mediolanu Ludwikowi Sforzy. W piątym rozdziale podaje pięć powodów czemu boska proporcja powinna być właśnie boską. Te powody, to m.in. to, że w konstrukcji złotego podziału występują trzy wielkości, co jest nawiązaniem do Trójcy Świętej czy też to, że \(\varphi\) jest liczbą niewymierną, więc nie da się jej wyrazić przy pomocy liczb całkowitych podobnie jak nie da się przy pomocy słów wyrazić istoty Boga.
Druga część Trattato dell’architettura poświęcona jest proporcjom oraz ich zastosowaniom w architekturze. Co być może będzie zaskakujące, część ta nie jest już poświęcona złotej proporcji lecz witruwiańskiemu systemowi proporcji, w którym próżno szukać boskiej proporcji.
Ostatnia część Libellus in tres partiales tractatus divisus quinque corporum regularium et dependentium active perscrutationis jest tłumaczeniem traktatu De quinque corporibus regularibus, którego autorem był Piero della Francesca. Pacioli nigdzie nie wspomina, że to nie on jest autorem tej części.
Interesującym faktem jest to, że ilustracje do Boskiej Proporcji wykonał nie kto inny tylko sam Leonardo da Vinci.
Jeszcze świeższym wynalazkiem jest złoty przydomek, który liczba \(\varphi\) zawdzięcza Martinowi Ohmowi. Czyli młodszemu bratu tego Ohma. W drugim wydaniu jego książki Die Reine Elementar Mathematik z 1835 roku liczba \(\varphi\) pierwszy (znany) raz została nazwana złotą. Dokładniej, w przypisie na stronie 194 czytamy:
To samo czytelniej:
Diese Zertheilung einer beliebigen Linie r in 2 solche Theile, nennt man wohl auch den goldenen Schnitt; auch fragt man in diesem Falle zuweilen: die Linie r werde in stetige Proportion getheilt.
Goldener Schnitt czyli, w dosłownym tłumaczeniu, złote cięcie. W pierwszym wydaniu książki się nie pojawiło. Sugeruje to, że określenie to mogło zacząć funkcjonować po pierwszym wydaniu książki.
