W tym wpisie pokażemy, że ciąg ilorazów sąsiednich wyrazów ciągu Fibonacciego ma granicę równą słynnej złotej proporcji.
Czym jest ciąg Fibonacciego \((F_n)\) wiemy np.stąd. Jest z nim związana liczba
\[\varphi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1,61803\]
znana bardziej jako złota liczba lub złota proporcja. Dokładniej, okazuje się, że ciąg ilorazów \[a_n=\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\] ma granicę, którą jest właśnie \(\varphi\).
Aby to pokazać, udowodnimy najpierw tzw. tożsamość Cassiniego.
\(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^2 \textrm{ dla } n>1.\)
Dowód przeprowadzimy indukcyjnie. Dla \(n=2\) tożsamość Cassiniego jest spełniona. Załóżmy teraz, że jest ona spełniona dla pewnego \(k>1\). Pokażemy, że z tego wynika jej prawdziwość dla \(k+1\). Istotnie,
\[ \begin{array}{lll} F_{k+2}F_k-F_{k+1}^2 & = & (F_{k+1}+F_k)\cdot F_k-(F_k+F_{k-1})^2 =\\ & = & F_kF_{k+1}+F_k^2-F_k^2-2F_kF_{k-1}-F^2_{k-1} = \\ & = & F_kF_{k+1}-2F_kF_{k-1}-F_{k-1}^2 = \\ & = & F_k(F_k+F_{k-1})- 2F_kF_{k-1}-F_{k-1}^2 =\\ & = &F_k^2+F_kF_{k-1}- 2F_kF_{k-1}-F_{k-1}^2 =\\ & = & F_k^2-F_kF_{k-1}-F_{k-1}^2= F_k^2-F_{k-1}(F_k+F_{k-1}) = \\ & = & F_k^2-F_{k+1}F_{k-1} = – (F_{k+1}F_{k-1}-F_k^2)=-(-1)^k=(-1)^{k+1}. \end{array} \]
Zatem tożsamość Cassiniego jest prawdziwa.
Teraz zauważmy, że dla \(n>1\) mamy
\[|a_n-a_{n-1}|=\left|\dfrac{F_{n+1}}{F_n}-\dfrac{F_n}{F_{n-1}}\right|= \left|\dfrac{F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2}{F_nF_{n-1}}\right|=\dfrac{1}{F_nF_{n-1}}.\]
Ponieważ
\[\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{F_nF_{n-1}}\leq\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{n(n-1)},\]
to szereg
\[\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{F_nF_{n-1}}\]
jest zbieżny, a więc ciąg \(a_n\) również jest zbieżny. Oznaczmy przez \(g\) jego granicę. Ponieważ \[g=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}\] oraz (co łatwo sprawdzić) \[a_{n+1}=1+\dfrac{1}{a_n},\] to
\[g=1+\dfrac{1}{g}.\]
Prowadzi to do równania \(g^2=g+1\), którego dodatnim pierwiastkiem jest \(\varphi\).