Mówi się, że matematyka opisuje rzeczywistość. Róg Gabriela jest obiektem pokazującym, że trzeba do tego stwierdzenia podchodzić z pewną dozą ostrożności i rozwagi.
Rozważmy wykres funkcji \(f(x)=\frac 1x\), a dokładniej fragment tego wykresu dla \(x\in [1,+\infty]\).
Jeżeli obrócimy ten wykres wokół osi poziomej, to otrzymamy powierzchnię znaną właśnie jako Róg Gabriela lub też Trąbka Toricellego.
Jest ona w kształcie takiego lejka czy też trąbki lub rogu. Stąd też jej nazwa. Z innej perspektywy, być może jej trąbkowatość będzie nieco lepiej widoczna.
Obiekt ten może się wydawać niespecjalnie ciekawy, ale w matematyce wiele jest obiektów, które na pierwszy rzut oka są niezbyt interesujące, lecz na drugi, gdy się im nieco bardziej przyjrzeć, potrafią zaskoczyć swoimi nietuzinkowymi własnościami. I tak też jest z trąbką Toricellego. Jest ona źródłem tzw. paradoksu malarza.
Zacznijmy od policzenia objętości rogu Gabriela. Wbrew pozorom policzenie jej nie jest specjalnie trudne, jeśli tylko zna się nieco rachunek całkowy. Mamy do policzenia objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót wykresu funkcji \(f(x)=\frac 1x,\ x\geqslant 1\). Mamy \[V=\pi\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}=\lim\limits_{t\to +\infty}\pi\left(1-\frac1t\right)=\pi.\] Czyli objętość jest równa \(\pi\). Nie jest to jakieś dziwne czy zaskakujące i to mimo iż róg Gabriela jest obiektem, który się nie kończy.
Ciekawiej się zacznie, gdy policzymy jego powierzchnię całkowitą. To też nie jest specjalnie trudne dzięki rachunkowi całkowemu.
\[P_c = 2\pi\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x}dx > 2\pi\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t\to +\infty} 2\pi\ln{t}=+\infty\] Tzn. powierzchnia całkowita trąbki Toricellego jest nieskończona mimo iż objętość jest skończona!
I z tej własności bierze się słynny paradoks malarza. No bo spójrzmy, gdybyśmy do takiej trąbki wlali farbę, to zmieści się jej tam skończona ilość, bo objętość trąbki jest równa \(\pi\). Z drugiej jednak strony, ponieważ powierzchnia trąbki jest nieskończenie cienka, to pole wewnątrz jest takie samo jak pole na zewnątrz, czyli jest nieskończone. Wlanie farby do rogu Gabriela pozwala przy pomocy skończonej objętości pomalować nieskończoną powierzchnię! Czyż to nie wspaniałe? Szkoda tylko, że nie do końca prawdziwe i pokazujące, że gdy staramy się używać obiektów matematycznych do opisu rzeczywistości, to musimy być nad wyraz ostrożni.
Róg Gabriela jest obiektem matematycznym i to takim, jakby to ująć, wyidealizowanym jak niemal każda krzywa, która jest nomen omen… krzywa. I nie chodzi tylko o jego nieskończoność lecz także o krzywiznę i jakby to ująć, gładkość. To już sprawia, że istnienie takiego obiektu (jak i wielu innych) w rzeczywistości wymaga istnienia punktu. Mimo to, takie wyidealizowane obiekty świetnie się nadają do przybliżania obiektów prawdziwych.
Nawet gdyby taki nieskończony obiekt istniał, to i tak w takiej sytuacji oczywiście nie dalibyśmy rady wlać do niego farby o objętości \(\pi\). Ponieważ róg Gabriela jest nieskończony, to jego promień przekroju musi maleć do zera wraz z długością trąbki. W pewnym momencie będzie tak mały, że nie przeciśnie się przez niego żaden atom. Innymi słowy, nie damy rady wlać żadnej prawdziwej farby, tak aby zalać wnętrze całego rogu. Sytuacja mogłaby wyglądać inaczej gdybyśmy mieli jakąś substancję składającą się z obiektów punktowych. Ale czy punkt istnieje w rzeczywistości?