Dlaczego 2+2 to jednak ZAWSZE 4 czyli czym jest działanie w matematyce?

Mówi się czasem, że 2 dodać 2 nie zawsze daje cztery. To oczywiście nieprawda gdy mówimy o matematyce, a dokładniej o dodawaniu liczb naturalnych, całkowitych itp., bo 2+2 zawsze jest równe cztery. Niemniej, jest to dobra okazja do tego aby powiedzieć czym jest działanie w matematyce.

Będąc małym zdarzało mi się oglądać w telewizji kultowy teleturniej Familiada prowadzony przez Karola Strasburgera. W pamięć zapadł mi odcinek, w którym jednym z uczestników był zdaje się pewien student matematyki. Prowadzący zagadnął go o to, że podobno nie zawsze 2+2 daje 4 (lub 1+1 to nie zawsze 2). Odpowiedź owego studenta była wtedy dla mnie dosyć mętna i kompletnie niezrozumiała. Wspomniał coś, że w matematyce jest coś takiego jak klasy abstrakcji. Gdy poszedłem na studia matematyczne i nauczyłem się czym jest owa klasa abstrakcji, to nadal wspomniana odpowiedź wydawała mi się mętna. Być może tamten student miał na myśli arytmetykę modularną, o której również sobie nieco wspomnimy w tym wpisie? Weźmy też pod uwagę, że bez wątpienia był zestresowany występując przed kamerą w dosyć popularnym wtedy programie. Niestety kompletnie już nie pamiętam jego odpowiedzi, zostały mi w głowie jedynie klasy abstrakcji. No ale jak to więc w końcu jest? Czy naprawdę 2+2 to nie zawsze 4?

Okazuje się, że 2+2 to zawsze 4 gdy mówimy o dodawaniu liczb naturalnych, rzeczywistych itp. W sytuacji gdy ktoś twierdzi, w kontekście matematyki, że 2+2 to niekoniecznie zawsze 4, to na ogół ma na myśli coś innego i jego/jej “dowód” czy rozumowanie jest dowodem przez tzw. dyskretną zmianę założeń. Wykorzystywane jest to, że słuchający domyślnie myśli o zwykłym, standardowym dodawaniu liczb, a twierdzący ma na myśli inne działanie.

Zasadniczo można spotkać się dwoma ‘przykładami’, gdzie 2+2 to ponoć nie 4. Pierwszym z nich jest twierdzenie, że np. w systemie trójkowym 2+2 daje 11. Tylko, że w takim rozumowaniu jest to oszustwo. To taka wspomniana wcześniej dyskretna zmiana założeń. W tym wypadku polegająca na tym, że liczbę 4 utożsamiamy nie z liczbą samą w sobie lecz ze znakiem, którym ją oznaczamy. W systemie dziesiętnym będzie to 4, a w systemie trójkowym 11 bo w tym systemie mamy tylko trzy cyfry: 0, 1 oraz 2. Jednakże to jawne oszustwo! To jakby powiedzieć, że samochód w Polsce nie jest samochodem w Anglii. Tam wszak mówi się car, a nie samochód czy auto jak u nas. Wszyscy jednak się zgodzimy, że samochód, taka np. Toyota Corolla, nadal jest tym samym, nie ważne jak ją nazywamy. Podobnie jest z systemami liczbowymi. Można powiedzieć, że są to różne języki do zapisu tego samego. System dziesiętny ma więcej cyfr niż system trójkowy. Dlatego w tym drugim czwórkę zapisujemy jako 11 a nie 4, gdyż cyfry 4 tam nie ma. Jednak nadal zapis 11 w systemie trójkowym jak i zapis 4 w dziesiętnym oznaczają ten sam obiekt: liczbę cztery. O rzymskim systemie liczbowym już nawet szerzej wspominać nie będziemy.

Drugim przykładem, o którym często się wspomina w kontekście tego, że np. 2+2 to nie zawsze 4 jest dodawanie w innym zbiorze niż liczby rzeczywiste (lub naturalne czy całkowite itp.). Sztandarowym przykładem jest zbiór \(\mathbb Z_3=\{0,1,2\}\). Zbiór \(\mathbb Z_n\) składa się z reszt jakie możemy otrzymać dzieląc (z resztą) liczbę naturalną przez \(n\). Jeśli dzielimy liczbę naturalną przez \(n\) (gdzie \(n\geqslant 2\)), to nie otrzymamy reszty równej \(n\) lub większej. Wobec tego \(\mathbb Z_n=\{0,1,\ldots,n-1\}\).

Z zbiorze \(\mathbb Z_n\) możemy elementy naturalnie dodawać. Tylko dodawanie to, mimo iż jest dodawaniem nazywane i bywa również oznaczane znakiem +, to jest już działaniem innym. Jest ono określone na innym zbiorze! Na tym polega dyskretna zmiana założeń w tym przypadku, na zmianie zbioru, w którym rozpatrujemy działanie i wykorzystaniu faktu, że w nazwie tego działania występuje dodawanie bo formalnie nazywa się ono dodawaniem modulo \(n\).

W zbiorze \(\mathbb Z_9=\{0,1,2,\ldots,8\}\) suma 2+2, to oczywiście 4. A ile jest równa w tym zbiorze suma 6+6? Nie możemy powiedzieć, że 12 bo w \(\mathbb Z_9\) nie ma takiej liczby. Aby dodać w tym zbiorze 6+6 musimy spojrzeć jaką resztę przy dzieleniu przez 9 otrzymamy dodając dwie liczby, które przy dzieleniu przez 9 dają resztę 6. Najprościej wziąć po prostu dwie szóstki. Dzieląc 12 przez 9 otrzymamy resztę 3. Gdybyśmy wzięli inne liczby dające resztę 6 dzieleniu przez 9, to również w wyniku otrzymamy liczbę dającą resztę 3. Zatem 6+6=3 w tym przypadku. Tylko pamiętajmy, że mimo iż używamy znaku +, to mamy na myśli inne działanie niż zwykłe dodawanie! Swoją drogą to dobry moment aby powiedzieć sobie czym w ogóle jest działanie w matematyce.

Zanim jednak przejdziemy do konkretów musimy wiedzieć czym jest para uporządkowana. Mówiąc niezbyt precyzyjnie, jest to para elementów, w której ważna jest ich kolejność. Dobrym przykładem są punkty na płaszczyźnie. Punkt \((1,2)\) to nie to samo co punkt \((2,1)\). Bardzo ciekawa jest formalna definicja pary uporządkowanej. Otóż z formalnego punktu widzenia para uporządkowana \((a,b)\) to zbiór \(\{\{a\},\{a,b\}\}\), którego elementami są dwa inne zbiory, o ile \(a\neq b\). W tym przypadku jeden z tych zbiorów jest jednoelementowy. To właśnie w taki sposób pierwszy człon pary uporządkowanej zostaje jednoznacznie określony. Jeżeli zaś \(a=b\), to dostajemy \[\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}\] i nadal pierwszy człon pary jest jednoznacznie określony, a ponieważ nie ma drugiego zbioru (tj. \(\{a,b\}\)), to wiemy, że \(a=b\). Zbiór wszystkich par uporządkowanych na zbiorze \(X\) oznaczamy \(X\times X\).

Ale przejdźmy już do rzeczy. Zajmiemy się przede wszystkim tzw. działaniami dwuargumentowymi czyli podobnymi do znanych nam działań takich jak dodawanie, odejmowanie czy mnożenie. Działania te mają, jak sama nazwa wskazuje, dwa argumenty. Typowe dodawanie czy dzielenie dotyczy zasadniczo dwóch liczb. Dlatego była nam potrzebna definicja pary uporządkowanej.

Aby określić działanie potrzebujemy dowolnego zbioru \(X\). Zbiór \(X\) może być dowolny, nie musi to być zbiór liczbowy. Działania, w ogólności, możemy określać na dowolnych zbiorach. Jeżeli każdej parze uporządkowanej \((a,b)\), gdzie \(a,b\in X\) przyporządkujemy (w dowolny sposób!) jakikolwiek element zbioru \(X\), to mówimy, że określiliśmy działanie na zbiorze \(X\). Mówiąc formalnie, działanie (dwuargumentowe) na zbiorze \(X\) to dowolna funkcja \[X\times X\to X.\]

I tak np. zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych jest działaniem \(\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R\), które parze uporządkowanej (3,5) przyporządkowuje liczbę 8. Swoją drogą, jeśli zmienimy kolejność, to działanie to przypisuje 8 również parze (5,3). W przypadku dodawania czy mnożenia liczb rzeczywistych kolejność nie ma znaczenia. Takie działania nazywamy przemiennymi. Prostym przykładem działania nieprzemiennego jest odejmowanie.

Jak wspomnieliśmy, dodawanie liczb rzeczywistych to funkcja \(\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R\). Dlatego jest ono innym działaniem niż dodawanie modulo n będące funkcją \(\mathbb Z_n\times\mathbb Z_n\to\mathbb Z_n\). Mamy inne dziedziny i przeciwdziedziny, więc są to różne funkcje. I to mimo iż drugie często bywa nazywane również dodawaniem. Aby tę różność podkreślić, to działanie to oznacza się często \(+_n\) lub \(\oplus_n\).

Mimo iż działanie to, z formalnego punktu widzenia pewna funkcja \(X\times X\to X\), to nie stosuje się w tym przypadku zwyczajowych oznaczeń \(f:X\times X\to X\) jak w przypadku funkcji i nie pisze się \(f(a,b)=c\) lecz działania oznaczamy symbolami typu: \(+,*,\oplus,\odot\). Zaś wartość funkcji na argumentach \(a,b\in X\) oznaczamy w stylu \(a\odot b\).

Swoją drogą warto zwrócić uwagę, że zwykłe dodawanie liczb całkowitych \(\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z\) jest innym działaniem niż zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych \(\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R\). I to mimo iż suma a+b w zbiorze liczb całkowitych jest zawsze taka sama jak analogiczna suma w zbiorze liczb rzeczywistych! Są to różne działania bo są określone na różnych zbiorach. Mimo iż są to różne działania, to zauważmy, że (na całe szczęście) nikt ich nie oznacza różnymi symbolami.

Dodawanie modulo n ma ze zwykłym dodawaniem bardzo wiele wspólnego! Jeżeli \(a,b\in\mathbb \{0,1,\ldots,n-1\}\) oraz \(a+b\lt n\), to \(a+b=a+_nb\). Cech wspólnych tych działań jest oczywiście więcej. Owe podobieństwa, nie tylko między tymi dwoma działaniami, prowadzą to do podstawowych struktur algebraicznych takich jak grupa, pierścień czy ciało. Ale to już temat na inną opowieść.

Reasumując, 2+2 zawsze daje w wyniku 4. Gdy ktoś mówi, że może być inaczej, to na ogół albo ma na myśli inny zapis liczby 4 albo inne działanie niż zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych czy całkowitych (jak np \(+_n\)). Bo wiele działań, jak wspomnieliśmy, ma bardzo wiele analogicznych własności do zwykłego dodawania co może prowadzić czasami do pewnego rozmycia pojęcia dodawania. Ale twierdzenie na tej podstawie, że 2+2 to nie zawsze 4 jest już pewną manipulacją.