O słynnej hipotezie Riemanna czy hipotezie Goldbacha słyszał każdy matematyk (i nie tylko). Ale teoria liczb ma wiele ciekawych i zaskakujących problemów wciąż czekających na rozwiązanie. I to takich, których sformułowanie nie wymaga zaawansowanej wiedzy matematycznej
1. Hipoteza 86
Hipoteza ta mówi, że liczba \[2^{86}=77371252455336267181195264\] jest najwyższą potęgą liczby 2, która w zapisie dziesiętnym nie ma 0. Mimo swej prostoty hipoteza ta pozostaje nierozwiązana zdaje się do dzisiaj (tj. sierpień 2022).
2. Najmniejsza liczba Sierpińskiego
Liczbami Sierpińskiego nazywamy nieparzyste liczby naturalne \(k\) o tej własności, że \[k\cdot 2^n+1 \] jest liczbą złożoną dla dowolnego naturalnego \(n\). Wacław Sierpiński udowodnił w 1960, że istnieje nieskończenie wiele liczb o tej własności, które teraz noszą jego imię. Najmniejszą znaną liczbą Sierpińskiego jest 78557. Nie wiadomo jednak czy to najmniejsza liczba Sierpińskiego. Hipoteza mówiąca, iż tak jest w istocie nosi nazwę Problemu Sierpińskiego. Swego czasu powstał nawet specjalny projekt Seventeen or Bust mający na celu rozwiązanie problemu Sierpińskiego.
3. Liczby pierwsze z samych jedynek
Jest wiele znanych problemów teorii liczb dotyczących tego czy liczb jakiegoś rodzaju jest nieskończenie wiele. Np. znaną hipotezą jest ta mówiąca, że liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele. Mniej znaną hipotezą jest ta mówiąca, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, które w zapisie dziesiętnym składają się z samych jedynek.
4. Stała Chinczyna
Aby zrozumieć ten problem musimy najpierw wspomnieć nieco o ułamkach łańcuchowych. Każdą liczbę rzeczywistą możemy przedstawić w postaci wyrażenia typu \[a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3}}},\] gdzie \(a_0\in\mathbb Z\) oraz \(a_i\in\mathbb{N}^+\) dla \(i\gt 0\). Nazywamy je ułamkami łańcuchowymi (dokładniej prostymi). W skrócie będziemy je zapisywać \([a_0;a_1,a_2,a_3]\). Jeżeli takie wyrażenie się kończy, to jego wartość jest liczbą wymierną. W przypadku, gdy jest nieskończone, to w sposób jednoznaczny przedstawia pewną liczbę niewymierną.
Aleksandr Chinczyn udowodnił, że jeśli \[[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]\] jest przedstawieniem liczby rzeczywistej \(x\) w postaci ułamka łańcuchowego, to dla prawie wszystkich liczb rzeczywistych ciąg średnich geometrycznych \[\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\] ma granicę \(K_0=2,68545\ldots\) zwaną stałą Chinczyna. Problem polega na tym, że do dziś nie wiadomo czy liczba ta jest wymierna czy nie. Co więcej, mając konkretną niewymierną liczbę niezwykle trudno wykazać, że stosowny ciąg dąży do stałej Chinczyna. Zdaje się, że nawet nie udało się póki co dla żadnej liczby udowodnić, że stowarzyszony z nią ciąg średnich geometrycznych dąży do stałej Chinczyna. Poniżej przedstawiono graficznie wartości kolejnych wyrazów ciągu \[\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\] dla liczby \(\pi\) (od 11go do 500go). Widać ich oscylację wokół stałej Chinczyna.
5. Hipoteza Gilbreatha
Hipoteza ta została postawiona po raz pierwszy zdaje się przez niejakiego François Protha. Po raz drugi problem ujrzał światło dziennie, gdy został ponownie sformułowany przez Normana Gilbreatha dzięki, któremu stał się szerzej znany. Sformułowanie jest dosyć proste. Rozważmy ciąg liczb pierwszych \[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,\ldots\] a następnie utwórzmy ciąg \[|3-2|, |5-3|, |7-5|, |11-7|, |13-11|, \ldots\] wartości bezwzględnych różnic sąsiednich wyrazów. Otrzymujemy nowy ciąg \[1, 2, 2, 4, 2,\ldots \] Następnie powtarzamy ten proces otrzymując nowe ciągi \[1, 0, 2, 2, \ldots\] itd. Mamy więc ciąg ciągów. Hipoteza Gilbreatha mówi, że poza pierwszym ciągiem liczb pierwszych, wszystkie następne zaczynają się od 1. Problem pozostaje nierozwiązany do dziś choć Andrew Odlyzko udowodnił, że jest ona prawdziwa dla pierwszych około \(3\cdot 10^{11}\) ciągów.
6. Niewymierność \(\pi+e, \pi e\) itd.
Fakt, że liczby \(\pi\) oraz \(e\) są niewymierne jest znany od dawna. Jest jednak zaskakujące, że do dziś nie wiadomo czy liczby takie jak \(\pi+e\) czy \(e\pi\) są niewymierne. Chociaż bardzo łatwo pokazać, że przynajmniej jedna z tych liczb musi być niewymierna.
Wiemy, że \(\pi\) oraz \(e\) są nie tylko niewymierne, lecz nawet przestępne. Oznacza to, że żadna z nich nie może być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych. Rozważmy więc wielomian \[(x-\pi)(x-e)=x^2-(\pi+e)x+\pi e.\] Ponieważ jego pierwiastkami są \(\pi\) oraz \(e\), to nie może on mieć wszystkich współczynników wymiernych. Zatem co najmniej jedna z liczb \(\pi+e\) lub \(\pi e\) musi być niewymierna.
7. Czy \(\pi^{\pi^{\pi^\pi}}\) jest liczbą całkowitą?
Natomiast co do liczby \(\pi^{\pi^{\pi^\pi}}\)nie wiemy nawet czy jest to liczba całkowita!
8. Problem monet Frobeniusa
Załóżmy, że mamy możliwych \(n\) nominałów monet \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) takich, że \((a_1,a_2,\ldots,a_n)=1\) (tzn. są względnie pierwsze). Problem Frobeniusa jest następujący:
Jaka jest największa (całkowita) kwota \(g(a_1,a_2,\ldots,a_n)\), której nie da się otrzymać wykorzystując monety o nominałach \(a_1,a_2,\ldots, a_n\)?
Przykładowo, gdy mamy do wyboru jedynie nominały 2 oraz 5, to \(g(2,5)=3\). Tzn. z monet o nominałach 2 oraz 5 nie da się otrzymać kwoty 3 zaś każdą wyższą już tak. Ogólnie wiadomo, że dla dwóch nominałów \(a_1, a_2\) zachodzi \[g(a_1,a_2)=(a_1-1)(a_2-1)-1.\] Dla \(n=3\) problem został rozwiązany przez Rødsetha, lecz dla żadnego \(n\geqslant 4\) nie jest znany ogólny wzór na \(g(a_1,a_2,\ldots,a_n)\).
9. Problem Collatza
Rozważmy dowolną liczbę naturalną \(x\) i określmy ciąg \(c_n\) przyjmując \(c_1=x\) oraz dla \(n\gt 1\) przyjmujemy \[c_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}0,5c_n & \textrm{ gdy }c_n\textrm{ jest parzysta}\\ 3c_n+1 & \textrm{ w przeciwnym wypadku}\end{array}\right.\] Wydaje się, że nieważne jaką liczbę naturalną przyjmiemy za \(c_1\) zawsze prędzej czy później ciąg \(\{c_n\}\) staje się okresowy o okresie \((4,2,1)\). Mimo swej prostoty (jak to w teorii liczb), problem jest nierozwiązany do dziś. Słynny węgierski matematyk Pál Erdős stwierdził, że matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy.
10. Problemy szachowe
Szachy również potrafią być źródłem prblemów matematycznych. Jeden klasyczny problem jest bardzo prosty. Na ile sposobów można na szachownicy \(n\times n\) postawić \(n\) hetmanów tak, aby żadne dwa się wzajemnie nie atakowały. Innymi słowy, na ile sposobów \(H(h)\) można je ustawić tak aby nie żadne dwa nie stały ani w tej samej kolumnie, ani w tym samym wierszu ani na tej samej diagonali. Przykładowe dwa rozwiązania dla tradycyjnej szachownicy \(8\times 8\).
W przypadku szachownicy \(8\times 8\) wiadomo, że wszystkich możliwych rozwiązań jest 92. Dla liczb od 1 do 15 liczby \(H(n)\) prezentują się następująco: 1, 0,0,2,10,4,40,92,352,724,2680,14200,73712, 365596, 2279184. Wzór ogólny niestety nadal nie jest znany.