Mówi się, że złota proporcja to najbardziej niewymierna liczba. Ale co to dokładnie oznacza?
Liczby rzeczywiste mogą być wymierne albo nie. Gdyby zapytać nie matematyka, która liczba \(\pi\) czy \(\sqrt{2}\) jest bardziej niewymierna (cokolwiek to znaczy), to wielu bez wątpienia wskazałoby na \(\pi\). Gorzej by było z uzasadnieniem. Z kolei osoby, które się zetknęły w swoim życiu z takimi pojęciami jak liczba algebraiczna czy przestępna, całkiem możliwe, że również wskazałyby na \(\pi\). Tu z uzasadnieniem byłoby lepiej.
Jeżeli istnieje wielomian \[W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\] o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\alpha\), to mówimy, że jest to liczba algebraiczna. Jeżeli taki wielomian nie istnieje, to liczbę \(\alpha\) nazywamy przestępną.
Najprostszymi liczbami algebraicznymi są liczby wymierne. Liczba \(\dfrac pq\) jest pierwiastkiem wielomianu \(qx-p=0\). Innym przykładem liczby algebraicznej jest \(\sqrt{2}\), gdyż jest to pierwiastek wielomianu \[x^2-2\] Jako liczba niewymierna nie może być pierwiastkiem wielomianu niższego stopnia niż 2. Wobec tego mówimy, że \(\sqrt{2}\) jest liczbą algebraiczną stopnia 2 podobnie jak złota proporcja, będąca pierwiastkiem wielomianu \[x^2-x-1\] Z kolei \(\sqrt[3]{2}\) jest liczbą algebraiczną stopnia 3.
Liczba \(\pi\) jest przykładem liczby przestępnej. Nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem byłaby właśnie ta liczba. Ten nietrywialny fakt, po raz pierwszy udowodnił Ferdinand Lindemann. Można więc przyjąć, że jej stopień to \(\infty\). W takim sensie możemy powiedzieć, że \(\pi\) jest bardziej niewymierna niż \(\sqrt{2}\) oraz złota proporcja \[\varphi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\] Co ciekawe, niemal wszystkie liczby rzeczywiste są przestępne! Może się to wydawać zaskakujące na pierwszy rzut oka, ale zaskoczenie wynika z tego, że w szkole poznajemy głównie liczby algebraiczne.
Przypisanie liczbom algebraicznym ich stopnia a przestępnym nieskończoności daje pewien sposób porównywania niewymierności liczb. My jednak, w tym wpisie, opowiemy sobie o innym. Z grubsza mówiąc, będzie nas interesowało to jak dobrze liczby (zwłaszcza niewymierne) dają się przybliżać liczbami wymiernymi.
Być może niektórzy zetknęli się z rysunkami takimi jak poniżej
Pokazują one w jaki sposób układają się kolejne punkty, gdy umieszczamy je coraz dalej od środka jednocześnie obracając się o pewien kąt wokół środka. Po prawej stronie obrót jest o \(\dfrac{360^\circ}{\varphi}\approx 225,5^\circ\). Po lewej zaś mamy obrót o \(\dfrac{360^\circ}{\pi}\approx 114,6^\circ\). Widać wyraźnie, że w przypadku obrotu o \(\pi\)-tą część kąta pełnego kolejne punkty układają się w 22 jakby ramiona. Zbliżony obraz otrzymalibyśmy, gdyby obrót był po prostu o \(\frac{1}{22}\) kąta pełnego. Sugeruje to, że \(\pi\) jest bliska liczbom wymiernym. W przypadku obrotu o kąt \(\dfrac{360^\circ}{\varphi}\) aż takiej bliskości nie dostrzegamy.
Obrót o kąt \(\dfrac{360^\circ}{\varphi}\) prowadzi do znacznie optymalniejszego rozlokowania punktów. Możemy umieścić ich więcej na tej samej powierzchni. W przypadku \(\pi\) mamy sporo pustej przestrzeni. Tak skrajne niepodobieństwo złotej proporcji do liczb wymiernych bywa wyjaśniane jako przyczyna występowania jej u niektórych roślin np. w ułożeniu ziaren (słonecznik). Należy jednak uważać na stwierdzenia typu, że można złotą proporcję znaleźć w każdej lub niemal każdej roślinie. Jest to gruba przesada. Ciekawy film na ten temat można znaleźć na anglojęzycznym kanale Numberphile. Spójrzmy na inny rysunek.
Mnożymy \(\pi\) oraz \(\varphi\) przez kolejne liczby naturalne i z otrzymanego wyniku zostawiamy tylko to co jest po przecinku, czyli część ułamkową. Części ułamkowe liczb \(n\pi\) (górny wykres) układają się w dosyć regularny wzór. W przypadku części ułamkowych \(n\varphi\) widzimy większy chaos. Ale przejdźmy już do rzeczy.
W dalszej części przydatne będą informacje związane z ułamkami łańcuchowymi, które można znaleźć w linkowanym wpisie. W tym wpisie przypomnimy niezbędne minimum.
Ułamkiem łańcuchowym prostym nazywamy wyrażenie \[a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\dfrac{1}{a_4+\cdots}}}}\] które można zapisać w wygodniejszej formie \([a_0;a_1,a_2,\ldots]\). Zakładamy przy tym, że wszystkie \(a_i\) są całkowite oraz \(a_i\gt 0\) dla \(i\gt 0\). Jeżeli taki ułamek utniemy na n-tym miejscu, otrzymujemy liczbę \[r_n=[a_0;a_1,a_2,\ldots,a_n]\] zwaną n-tym reduktem. Każdy redukt jest pewną liczbą wymierną. Wartość ciągnącego się w nieskończoność ułamka prostego \([a_0;a_1,a_2,\ldots]\), to oczywiście granica \(\lim\limits_{n\to\infty} r_n\). Granica ta istnieje dla każdego ułamka prostego. W przypadku ułamków prostych nieskończonych jest liczbą niewymierną. Z drugiej strony, każdą liczbę niewymierną można w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci ułamka prostego. Np. złota proporcja ma bardzo proste przedstawienie w postaci ułamka prostego \[\varphi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\cdots}}}}=[1;1,1,1,\ldots]\]
Teraz zajmiemy się inną ideą porównywania niewymierności liczb. Mówiąc na razie bardzo ogólnie, będzie nas interesowało to jak bardzo daną liczbę możemy przybliżać liczbami wymiernymi.
W każdym przedziale liczbowym znajduje się nieskończenie wiele liczb wymiernych, więc każdą liczbę rzeczywistą \(\alpha\) możemy przybliżyć liczbą wymierną z dowolną dokładnością. Przykładowo, znając rozwinięcie dziesiętne liczby \(\alpha\) możemy tworzyć jej kolejne przybliżenia. Przyjmując \[\alpha=\pi=3,141592653589793238\ldots\] możemy łatwo tworzyć kolejne przybliżenia \[3,\ \dfrac{31}{10},\ \dfrac{314}{100},\ \dfrac{3141}{1000},\ldots \]
Im dokładniejsze przybliżenie chcemy otrzymać, tym większy musimy wziąć mianownik oraz licznik.
Przytoczony sposób przybliżania liczby \(\pi\) nie jest zbyt efektywny. Przybliżenie \(\dfrac{22}{7}\) jest lepsze niż \(\dfrac{31}{10}\) mimo iż ma mniejszy mianownik. Zaś \(\dfrac{355}{113}\) jest lepsze niż \(\dfrac{3141}{1000}\) mimo iż ma mianownik znacznie mniejszy! Jak więc efektywniej znajdywać przybliżenia wymierne? Dobrymi przybliżeniami są kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy. Więcej szczegółów we wpisie o ułamkach łańcuchowych. Ułamki \[\dfrac{22}{7}\textrm{ oraz }\dfrac{355}{113}\] to właśnie redukty rozwinięcia liczby \(\pi\) w ułamek prosty.
Zacznijmy od prostej obserwacji. Zbiór liczb wymiernych, które w postaci ułamka zwykłego (niekoniecznie nieskracalnego) mają mianownik równy \(q\gt 0\) dzieli prostą na odcinki \(\left[\dfrac{n}{q},\dfrac{n+1}{q}\right)\). Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą rzeczywistą, to należy do któregoś z tych przedziałów, tzn. \[\dfrac{n}{q}\leqslant\alpha\lt\dfrac{n+1}{q}\] dla pewnej liczby całkowitej \(n\).
Jeśli oznaczymy przez \(|\alpha|_q\) odległość między \(\alpha\) a najbliższym mu ułamkiem o mianowniku \(q\), to dla różnych liczb ta wielkość będzie inna. Jedne będą więc lepiej przybliżać się przez ułamki o mianowniku \(q\), inne gorzej. Powyższy rysunek przekonuje, że zawsze jesteśmy w stanie znaleźć przybliżenie wymierne liczby \(\alpha\) takie, że \(|a|_q\leqslant \dfrac 1q\), a nawet \(|a|_q\leqslant\dfrac{1}{2q}\).
Otrzymaliśmy ograniczenie górne błędu przybliżenia zależne od mianownika ułamka. Nie jest ono, delikatnie mówiąc, zbyt oszałamiające ale prowadzi do naturalnego pytania: czy można je zmniejszyć? I jeśli tak, to jak bardzo? Punktem wyjścia dalszych rozważań będzie następująca własność jaką posiadają redukty rozwinięcia w ułamek prosty liczby \(\alpha\).
Twierdzenie 1 (Dirichlet)
Jeżeli \(\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots]\) oraz \(\dfrac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,\ldots,a_n]\) jest ułamkiem nieskracalnym, to \[\left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\lt\dfrac{1}{q^2_n}\]
Twierdzenie to pokazuje dlaczego \(\dfrac{355}{113}\) jest tak dobrym przybliżeniem \(\pi\). Błąd jaki popełniamy jest mniejszy niż \(\dfrac{1}{113^2}=\dfrac{1}{12769}\approx 0,00007831\). Do tego otrzymaliśmy lepsze ograniczenie błędu przybliżenia niż \(\dfrac{1}{2q}\), gdyż \(q^2\gt 2q\) dla \(q\gt 2\).
Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą niewymierną, to jej rozwinięcie w ułamek prosty jest nieskończone. Zatem z twierdzenia Dirichleta wynika następujące twierdzenie:
Twierdzenie 2
Jeżeli \(\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots]\) jest liczbą niewymierną to istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych (w postaci ułamka nieskracalnego) \(\dfrac{p_n}{q_n}\) takich, że \[\left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\lt\dfrac{1}{q^2_n}\]
Może się zdarzyć, że liczba nie będąca reduktem spełnia tę nierówność Jednakże jeżeli zwiększymy mianownik dwukrotnie, to każda liczba ją spełniająca jest reduktem. Nie każdy jednak redukt je spełnia.
Twierdzenie 3
Każda liczba wymierna \(\dfrac{p}{q}\) spełniająca nierówność \[\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|\lt\dfrac{1}{2q^2}\] jest reduktem ułamka \(\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots]\)
Ponieważ ułamki proste przedstawiające liczby wymierne są skończone, to mają skończenie wiele reduktów. Ponadto, dla liczb niewymiernych istnieje nieskończenie wiele ułamków spełniających tezę twierdzenia 2. Konsekwencją tego jest to, że liczby wymierne… gorzej się przybliżają liczbami wymiernymi! Może to być dziwne na pierwszy rzut oka, gdyż jeśli \(\alpha\) jest wymierna, to możemy ją przecież przybliżyć nią samą. Błąd takiego przybliżenia jest równy okrągłe 0. Jednakże liczby wymierne bardzo źle się przybliżają innymi liczbami wymiernymi. Gdy \(\alpha\) jest wymierna, to istnieje tylko skończenie wiele ułamków spełniających nierówność z twierdzenia 3.
Twierdzenie 3 sugeruje, że dla liczb niewymiernych twierdzenie Dirichleta można wzmocnić mnożąc \(q^2\) przez 2. Czy można je wzmocnić mnożąc mianownik przez liczbę większą niż 2? Tak! Mówi o tym słynne twierdzenie Hurwitza.
Twierdzenie (Hurwitz)
Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą niewymierną, to istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych \(\dfrac pq\) (w postaci ułamka nieskracalnego) takich, że \[\left|\alpha-\dfrac pq\right|\lt\dfrac{1}{\sqrt{5}q^2}\] Co więcej, liczby \(\sqrt{5}\) nie można zwiększyć.
Twierdzenie Hurwitza pokazuje, że jedne liczby przybliżają się lepiej liczbami wymiernymi niż inne. Niewymierne lepiej niż wymierne. Ponieważ \(\sqrt{5}\) nie można zwiększyć, to istnieje co najmniej jedna liczba niewymierna \(\alpha\) dla której istnieje tylko skończenie wiele ułamków nieskracalnych \(\dfrac pq\) takich, że \[\left|\alpha-\dfrac pq\right|\lt\dfrac{1}{cq^2}\] o ile \(c\gt\sqrt{5}\). Jak się można domyślić przykładem takiej liczby jest właśnie złota proporcja. Dlatego możemy powiedzieć, że jest to najbardziej niewymierna liczba. Chociaż powinniśmy mówić raczej o całym zbiorze takich liczb, gdyż złota proporcja nie jest jedyną liczbą o tej własności. Są nimi wszystkie liczby z nią równoważne. Wyjaśnimy teraz co te pojęcie oznacza.
Liczby rzeczywiste \(\alpha\) oraz \(\beta\) nazywamy równoważnymi jeżeli istnieją liczby całkowite \(a, b, c, d\) takie, że \[|ad-bc|=1\textrm{ oraz }y=\dfrac{a+b\alpha}{c+d\alpha}\]
Ta, z pozoru, dziwna definicja ma prostą interpretację geometryczną. Macierz \[\left[\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right]\] jest macierzą odwzorowania liniowego, które przekształca punkt \((1,\alpha)\) na \((1,\beta)\), a co za tym idzie prostą \(y=\alpha x\) na prostą \(y=\beta x\). Zaś warunek \(|ad-bc|=1\) oznacza, że odwzorowanie to przekształca ponadto zbiór \(\mathbb Z^2\) wszystkich punktów o współrzędnych całkowitych na siebie.
Na szczęście równoważność liczb można opisać w bardziej przystępny sposób.
Twierdzenie
Liczby \(\alpha=[a_0;a_1,b_2,\ldots]\) oraz \(\beta=[b_0;b_1,b_2,\ldots]\) są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją \(m,n\geqslant 0\) takie, że \(a_{n+i}=b_{m+i}\) dla wszystkich \(i\geqslant 0\).
Czyli liczbami równoważnymi ze złotą proporcją są liczby niewymierne mające w swoim rozwinięciu w ułamek prosty od pewnego miejsca same jedynki. Liczby te nazywamy szlachetnymi.
Skoro złota proporcja i liczby z nią równoważne to najbardziej niewymierne liczby, to jakie liczby są tymi drugimi najbardziej niewymiernymi? Okazuje się, że są nimi liczby równoważne z \(\sqrt{2}=[1;2,2,2,\ldots]\), tj. te mające od pewnego miejsca same dwójki w swoim rozwinięciu w ułamek prosty. Jeżeli ominiemy złotą proporcję i liczby z nią równoważne, to w twierdzeniu Hurwitza \(\sqrt{5}\) możemy zastąpić przez \(\sqrt{8}\). Trzecimi w kolejności są liczby równoważne z \[\dfrac{-9+\sqrt{221}}{14}=[0;2,2,1,1,2,2,1,1,\ldots]=[0;\overline{2,2,1,1}]\] gdzie kreska oznacza, że dana część powtarza się w nieskończoność.
Twierdzenie Hurwitza zaprowadziło nas do nas do innego sposobu porównywania niewymierności liczb i, jak to często w matematyce bywa, do nowych problemów. Warto wiedzieć, że są też inne miary niewymierności liczb. Powróćmy do nierówności \[\left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\lt\dfrac{1}{q^2_n}\] z twierdzenia Dirichleta, którą spełniają kolejne redukty ułamka prostego \(\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots]\). Zamiast mnożyć mianownik \(q_n^2\) możemy próbować zwiększyć potęgę. W takim podejściu również uwidacznia się różnica między liczbami wymiernymi, a niewymiernymi.
\(\)
Twierdzenie
Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą wymierną, to dla każdego \(\varepsilon\gt 0\) istnieje jedynie skończenie wiele liczb wymiernych \(\dfrac pq\) takich, że \[\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|\lt\dfrac{1}{q^{1+\varepsilon}}\]
Czyli znowu mamy potwierdzenie, że liczby wymierne źle się przybliżają innymi liczbami wymiernymi. A co z niewymiernymi? W przypadku liczb algebraicznych stopnia \(\geqslant 2\) maksymalnym wykładnikiem aby nierówność była spełniona przez nieskończenie wiele liczb wymiernych jest 2. Za dowód tego twierdzenia Klaus Roth otrzymał w 1958 roku Medal Fieldsa.
Twierdzenie (Roth)
Dla każdej liczby algebraicznej \(\alpha\) stopnia co najmniej 2 oraz każdego \(\varepsilon\gt 0\) istnieje jedynie skończenie wiele liczb wymiernych \(\dfrac pq\) takich, że \[\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|\lt\dfrac{1}{q^{2+\varepsilon}}\]
Zatem każdej liczbie rzeczywistej \(\alpha\) możemy przyporządkować zbiór \(A_\alpha\) tych liczb \(x\) dla których istnieje jedynie skończenie wiele ułamków spełniających nierówność \[\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|\lt\dfrac{1}{q^{x}}\] Kres dolny zbioru \(A_\alpha\) daje nam inną charakterystykę liczbową niewymierności. W tym kontekście złota proporcja nie jest najbardziej niewymierną liczbą. Jej miara to jedynie 2, jak dla każdej liczby algebraicznej niewymiernej.
Przybliżeniami liczb rzeczywistych wymiernymi zajmuje się dział matematyki zwany aproksymacją diofantyczną, który pełny jest wielu ciekawych i do dziś (wrzesień 2021) nierozwiązanych problemów.
Na zakończenie literatura pomocna przy tworzeniu tego wpisu oraz pozycje godne uwagi dla chcących pogłębić swoją wiedzę dotyczącą aproksymacji diofantycznej oraz ułamków łańcuchowych.
Literatura
A.J. Chinczyn, Continued Fractions, Dover Publ. Inc. (1992)
J. Havil, The Irrationals – a Story of the Numbers You Can’t Count On, Princeton Univ. Press (2012)
M.C. Irwin, Geometry of Continued Fractions, Amer. Math. Monthly 96 (1989), 696-703
W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN (1977)
C.D. Olds, Continued Fractions, Random House Inc. (1963)
W. Sierpiński, Teoria Liczb, PWN (1959)
H.M. Stark, An Introduction to Number Theory, MIT Press (1998)