Charakterystykę Eulera można, dla skończonych wielościanów, zdefiniować jeszcze inaczej tzn. aksjomatycznie. Okazuje się, że zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka pomniejszona o 1), jest jedyną funkcją spełniającą dwa proste warunki. Podał je Watts w swojej pracy On the Euler characteristic of polyhedra (link). W oparciu o nią przedstawimy wynik Wattsa.
Niech \(H\) oznacza zbiór klas homeomorfizmów skończonych wielościanów z punktem bazowym. Dla par \((X,A)\) zakładamy, że mają wspólny punkt bazowy. Oznaczmy przez \(F\) wolną grupę abelową generowaną przez \(H\), a przez \(N\) jej podgrupę generowaną przez elementy postaci \[X-A-X/A,\] gdzie \((X,A)\) jest parą. Niech \(\Gamma=F/N\) oraz \(\gamma:F\to \Gamma\) będzie homomorfizmem naturalnym.
Bezpośrednio z określenia \(\gamma\) wynika, że \(\gamma(X)-\gamma(X)-\gamma(X/X)=0.\) Tj. \(\gamma(*)=0,\) gdzie \(*\) jest przestrzenią jednopunktową.
Lemat 1 \[\gamma(X\vee Y)=\gamma(X)+\gamma(Y).\]
Istotnie, wystarczy zauważyć, że dla pary \((X\vee Y, Y)\) mamy homeomorfizm \((X\vee Y)/Y\approx X.\) Stąd otrzymujemy \[\gamma(X\vee Y)-\gamma(X)-\gamma(Y)=0.\]
\(\square\)
Lemat 2 \[\gamma(\mathbb D^n)=0.\] Rozważmy parę \((\mathbb D^{n+1}, \mathbb D^n)\), gdzie \(\mathbb D^n\) jest komórką na brzegu \(\mathbb D^{n+1}\). Wówczas \(\mathbb D^{n+1}/\mathbb D^n\approx\mathbb D^{n+1}\). Stąd \[\gamma(\mathbb D^{n+1})-\gamma(\mathbb D^n)-\gamma(\mathbb D^{n+1})=0.\]
\(\square\)
Lemat 3 \[\gamma(\mathbb S^n)=-\gamma(\mathbb S^{n+1}).\] Istotnie, rozważmy parę \((\mathbb D^{n+1},\mathbb S^n)\), gdzie \(\mathbb S^n\) jest brzegiem \(\mathbb D^{n+1}\). Ponieważ \(\mathbb D^{n+1}/\mathbb S^n\approx\mathbb S^{n+1}\), to otrzymujemy \[0=\gamma(\mathbb D^{n+1})=\gamma(\mathbb S^{n+1})+\gamma(\mathbb S^n).\]
\(\square\)
Lemat 4 Grupa \(\Gamma\) jest generowana przez \(\gamma(\mathbb S^0).\)
Niech \(X\) będzie skończonym wielościanem, a \(K\) takim kompleksem symplicjalnym, że \(X\approx |K|\), a punkt bazowy \(|K|\) jest jednym z wierzchołków. Dowód przeprowadzimy indukcyjnie względem wymiaru \(K\). Jeżeli \(\dim K=0\), to \(X\) jest przestrzenią dyskretną. Wówczas \(X\approx *\) lub, z dokładnością do homeomorfizmu, \(X\) jest bukietem skończonej liczby sfer \(\mathbb S^0\). Na mocy lematu 1, \(\gamma(X)=k\gamma(\mathbb S^0)\) dla pewnego \(k\in\mathbb Z\).
Teraz załóżmy, że teza zachodzi dla każdego wielościanu \(Y\) wymiaru co najwyżej \(n-1\). Niech teraz \(X\) będzie wielościanem wymiaru \(n\), a podobnie jak wcześniej, \(K\) niech będzie stosownym kompleksem symplicjalnym. Oznaczmy przez \(L\) jego \((n-1)\)-wymiarowy szkielet. Wtedy przestrzeń \(|K|/|L|\) jest homeomorficzna z bukietem sfer \(\mathbb S^n\). Na mocy lematów 1 oraz 3 otrzymujemy tezę. W szczególności, \(\Gamma\) jest grupą cykliczną.
\(\square\)
Teraz pokażemy, że jest ponadto nieskończona.
Lemat 2 \[\Gamma\cong\mathbb Z.\]
Istotnie, rozważmy funkcję, która elementom \(H\) przypisuje ich zredukowaną charakterystykę Eulera. Rozszerza się ona jednoznacznie do homomorfizmu \(f:F\to\mathbb Z.\) Ponieważ zredukowana charakterystyka Eulera \(\tilde{\chi}\) spełnia \[\tilde{\chi}(X)=\tilde{\chi}(A)+\tilde{\chi}(X/A)\] dla pary \((X,A)\), to \(f\) indukuje homomorfizm \(\tilde{f}:\Gamma\to\mathbb Z\), który jest na. Czyli \(\Gamma\) jest nieskończona co wobec poprzedniego lematu kończy dowód.
\(\square\)
Twierdzenie (Watts) Niech \(\epsilon: H\to\mathbb Z\) będzie funkcją spełniającą warunki:
(1) \(\epsilon(X)=\epsilon(A)+\epsilon(X/A)\),
(2) \(\epsilon(\mathbb S^0)=1.\)
Wówczas \(\epsilon\) jest zredukowaną charakterystyką Eulera.
Zredukowana charakterystyka Eulera spełnia warunki (1) oraz (2). Warunek (1) oznacza, że \(\epsilon\) indukuje homomorfizm \(\tilde{\epsilon}:\Gamma\to\mathbb Z\). Teraz wystarczy zauważyć, że \(\tilde{\epsilon}\tilde{f}^{-1}(1)=1\). Z tego wynika, że \(\tilde{\epsilon}\) jest zredukowaną charakterystyką Eulera.
\(\square\)
One comment