Można wyróżnić kilka dziedzin, które miłośnicy boskiej proporcji szczególnie sobie upodobali. Oprócz ludzkiego ciała jest to szeroko pojęta sztuka. Ilość dzieł, w których rzekomo jest ukryta złota proporcja zwiększa się z czasem. Oczywiście są artyści czy architekci, co do których mamy pewność, że jej używali w swych dziełach. Nie oznacza to jednak, że złota proporcja w sztuce jest tak powszechna jak mogłoby się wydawać.
Sam temat, z matematycznego punktu widzenia, jest mało istotny. Jednak mnogość miejsc, w których powielane są często informacje mocno wątpliwe świadczy o tym, że mimo wszystko warto się przyjrzeć bliżej temu zagadnieniu. Zwłaszcza, że skala samego zjawiska znajdywania złotej proporcji wszędzie gdzie się tylko da jest w przypadku sztuki ogromna.
Więcej informacji na temat czym jest złota/boska proporcja można znaleźć tu.
O ile nie dziwi to, że tego typu informacje (często nie mające potwierdzenia w rzeczywistości) można znaleźć na różnego rodzaju stronach numerologicznych czy ezoterycznych, o tyle ich pojawianie się na stronach poświęconych matematyce, w podręcznikach szkolnych czy witrynach MEN (np. epodreczniki) musi budzić niepokój.
Złota proporcja w sztuce to zagadnienie niezwykle rozległe, więc poniższy wpis bez wątpienia nie wyczerpuje tematu. Należy jednak zaznaczyć, że byli są i będą malarze czy architekci, którzy w swoich dziełach celowo używali złotej proporcji. Jest im ona znana.
Na wielu blogach czy stronach poświęconych np. fotografii można znaleźć wpisy w stylu
- a znasz złoty podział?
- złoty podział – najważniejsza zasada w grafice
itd. Podobnie jest z architekturą. Tylko ilu np. architektów tak naprawdę korzystało w swych dziełach ze złotego podziału?
W bardzo ciekawym wykładzie (link tu) prof. Keitha Devlina możemy poznać historię (ok. 33 min), gdy był dziekanem St. Mary’s College w Moradze i zatrudniali architektów aby wybudować nowy budynek. Gdy przejeżdżali architekci aby się zaprezentować, to wielu z nich zaczynało prezentację od złotej proporcji. Prof. Devlin pytał ich potem czy architekci naprawdę używają złotej proporcji. Wielu z nich odpowiadało, że tak. Wówczas padało następne pytanie. Czy Pan/i używał(a) złotej proporcji? I odpowiedź brzmiała: nie, ja to nie, ale … znam kogoś kto używał. Także ten… 😉
Nie oznacza to oczywiście, że architekci jej nie używają. Chyba najbardziej znanym przykładem jest Charles-Édouard Jeanneret-Gris znany jako Le Corbusier, który stworzył nawet system proporcji oparty o \(\varphi\) tzw. modulor.
Przykładem malarza u którego można znaleźć boską proporcję jest Salvador Dali. Na jego obrazie Sakrament Ostatniej Wieczerzy
obecny jest pięciokąt foremny. A wszędzie tam, gdzie jest on (lub pentagram), obecna jest również złota proporcja. Innym przykładem jest Atomowa Leda. Tutaj Dali używał pentagramu, co wiemy z wcześniej wykonanego szkicu.
Estetyczne własności złotej proporcji swoją sławę zawdzięczają Adolfowi Zeisingowi oraz jego książce Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers…. Wszelkie stwierdzenia typu, że stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka jest równy złotej proporcji, zawdzięczamy właśnie Zeisingowi. Gdyby znajdywanie złotej proporcji niemal wszędzie było chorobą zakaźną (co wcale nie jest takie głupie), to właśnie Zeisinga należałoby uznać za pacjenta zero.
W książce Zeisinga znajdziemy również wiele sugestii jakoby złota proporcja sztuce była powszechna. Jego rozważania spotkały się ze sporą krytyką Gustava Fechnera przedstawioną w artykule, opisującym słynny eksperyment ,,dowodzący”, że złoty prostokąt jest tym najpiękniejszym (szczegóły tu). Odniósł się zwłaszcza do obrazu Madonna Sykstyńska Rafaela. Zeising pisze o nim dość enigmatycznie, że proporcje ograniczone Madonną oraz postaciami z boku są ze sobą w złotym stosunku.
Wo aber das gesetzliche Maass wirklich innegehalten ist, wird auch stets eine befriedigende Wirkung damit verbunden sein, wie denn, um nur ein Beispiel anzuführen, zu dem Eindruck der Einheit und Totalität, den das vollendetste aller Gemälde, Raphael’s ,,Sixtinische Madonna”, auf uns macht, sicherlich auch der Umstand nicht wenig mit beiträgt, dass die Hauptabtheilungen seiner Höhe, welche durch den Scheitel der Madonna und durch die der zur Seite befindlichen Figuren begränzt werden, genau unserem Gesetz entsprechen.
Nie bardzo wiadomo o które proporcje dokładnie chodzi. Fechner postanowił poszukać złotego podziału na rycinie przedstawiającej kopię obrazu, jednak bez większych sukcesów.
Mi się udało jedynie znaleźć dosyć dobre przybliżenie złotego podziału, gdy wysokość Madonny (od najwyższego punktu głowy, do koniuszków palców u stóp) podzielimy odcinkiem poziomym przechodzącym przez najwyższy punkt na głowie św. Sykstusa (na głowie nie licząc grzywki). Choć z tekstu wynika, że raczej nie o tę proporcję Zeisingowi chodziło. Należy też wziąć pod uwagę, że obraz jest dosyć spory (wg Wikipedii \(2,65m\) wysokości), więc odchylenie rzędu \(1\%\) stosunku tych dwu wielkości odpowiada ponad jednemu centymetrowi na obrazie.
Fechner badał również inne obrazy Rafaela i doszedł do wniosku, że ten boskiej proporcji raczej unikał.
Jednym z najbardziej znanych artystów posądzanych o używanie w swych dziełach złotej proporcji jest Leonardo da Vinci. Jednym z powodów jest oczywiście fakt, że to właśnie on zilustrował swoimi rysunkami Divina Proportione Luki Pacioliego czyli bez wątpienia znał złoty podział.
Informacje o złotej proporcji w działach Leonarda znajdziemy nie tylko na stronach gdzie ,,dowodzi się”, że boską proporcję można znaleźć wszędzie, lecz także na stronach poważnych instytucji takich jak Muzeum Nauki w Bostonie. Na stronie Muzeum mamy możliwość znalezienia złotego podziału w dziełach mistrza. W przypadku Mona Lisy, możemy przykładowo w taki sposób znaleźć złoty podział.
I któż by się przejmował takimi błahostkami jak to, że linie są dosyć grube? Zwłaszcza te wewnątrz największego fioletowego prostokąta. Albo tym, że niezbyt dobrze zgrywają się z częściami obrazu, które otaczają lub nie odnoszą się do jakichś szczególnych punktów obrazu?
Zachęcony przez bostońskie muzeum, również postanowiłem poszukać złotego podziału u Giocondy.
Jak widać z sukcesami 😉 A tak już na serio przyznam, że narysowane przeze mnie prostokąty raczej nie są złote. Rysowałem je na oko, ale kto by to sprawdził 🙂
Innym znanym dziełem, które Leonardo stworzył podobno wykorzystując złoty podział jest słynny Człowiek Witruwiański. Warto zaznaczyć, że Człowiek Witruwiański powstał zanim Leonardo i Luca Pacioli się w ogóle poznali. Oczywiście bostońskie muzeum nie zawodzi i również tam znalazło złoty podział. A poniższy rysunek, to oczywiście nie wszystko!
Człowiek Witruwiański jest ilustracją do III księgi traktatu O architekturze ksiąg dziesięć Witruwiusza. We wspomnianej księdze, Witruwiusz ukazał ciało człowieka jako pewien wzór którym powinni posługiwać się artyści i architekci. W polskim tłumaczeniu czytamy:
Przyroda bowiem w ten sposób stworzyła ciało ludzkie, że czaszka od brody do górnej części czoła i do korzeni włosów wynosi jedną dziesiątą długości ciała; podobnie jedną dziesiątą stanowi odległość od przegubu dłoni do końca średniego palca; głowa od brody do najwyższego
punktu czaszki stanowi ósmą część długości ciała; odległość górnej części klatki piersiowej i nasady szyi do korzeni włosów wynosi jedną szóstą, a odległość od środka klatki piersiowej do najwyższego punktu czaszki jedną czwartą.
Proporcje użyte przez Leonarda nie odpowiadają dokładnie tym podanym przez Witruwiusza. Np. stopa, to jedna siódma wysokości ciała, a nie jedna szósta jak u Witruwiusza. Leonardo umieścił pod swoim rysunkiem podziałkę z użytymi proporcjami oraz tekst je opisujący. Zostały również wyraźnie zaznaczone na rysunku. Na próżno tam jednak szukać boskiej proporcji. Użyte przez Leonarda proporcje wyglądają tak:
Spośród proporcji w Człowieku Witruwiańskim posądzanym o bycie złotym bywa często stosunek wzrostu do długości od pępka do podstawy stóp. Należy jednak wiedzieć, że ani okrąg ani kwadrat nie są idealne. Różnica jest zauważalna, gdy się zmierzy.
Czy można więc powiedzieć z całą stanowczością powiedzieć, że Leonardo nie wykorzystał złotego podziału do stworzenia swego dzieła? Oczywiście nie można tego wykluczyć. Z drugiej jednak strony twierdzenie, że wykorzystał bo akurat proporcja boku kwadratu do promienia to ok. 1,6, jest mocno życzeniowe. Fakt ten może być co najwyżej przesłanką. I to dosyć marną jeżeli nie jest poparta innymi.
Tym bardziej, że niemal na każdym obrazie możemy znaleźć sporo punktów odniesienia. Na ogół nietrudno znaleźć co najmniej jedną proporcję równą w przybliżeniu 1,6. Tak samo jak i można znaleźć wiele innych. Bo jeżeli ktoś ma obsesję, to i jednorożca na księżycu najdzie. Do tego wystarczy rysować odpowiednio grube linie, co pozwala zwiększyć margines błędu. Nie muszą one też dokładnie opływać otaczanych fragmentów obrazu. Mamy więc gotowy przepis na znajdywanie złotej proporcji w dziełach sztuki.
Pomnik Waszyngtona jest mocno związany z liczbą 5. Poniższe, żartobliwe przykłady pochodzą z książki Martina Gardnera Fads and Fallacies in the Name of Science.
- Jego wysokość, to 555 stóp i 5 cali,
- podstawa jest kwadratem o boku 55 stóp,
- okna są umieszczone 500 stóp od podstawy,
- słowo Washington ma 10 liter (2×5),
- decyzja aby na banknocie dolarowym, obok portretu Waszyngtona, wydrukować piramidę, została ogłoszona przez Sekretarza Skarbu 15.06.1935 (dzień i rok są wielokrotnościami 5),
- Sekretarz Skarbu, czyli po angielsku The Secretary of the Treasury składa się z 25 liter.
Czyż to wszystko nie przypadek? A jest tego więcej! Choć co do wysokości pomnika, to przeprowadzone w 2014 pomiary wykazały, że rzeczywista wysokość to 554 stopy i 7 cali.
Częstym przykładem budowli, która podobno została zbudowana wg boskiej proporcji jest słynny Partenon. Złotą proporcję znajduje się tutaj w taki sposób:
Tylko ciekawe dlaczego dolna podstawa prostokąta znajduje się akurat na takim schodku a nie innym? To było oczywiście pytanie retoryczne. Same linie są również tutaj dosyć grube.
Ciekawy jest natomiast przypadek słynnej piramidy Cheopsa w Gizie, która podobno również zawiera w sobie złoty podział. Dokładniej, wysokość ściany bocznej oraz połowa boku podstawy są w złotym stosunku.
Wymiary piramidy podawane w różnych źródłach delikatnie się różnią. Stosunek obu wielkości to około \(1,61955…\), czyli bardzo blisko złotej proporcji.
Jedno z wyjaśnień, że wymiary Wielkiej Piramidy Cheopsa zostały tak dobrane, aby pole kwadratu o boku równym wysokości piramidy równało się polu ściany bocznej, przypisuje się błędnie Herodotowi. Jeżeli tak rzeczywiście było, to faktycznie stosunek wysokości ściany bocznej do połowy długości podstawy jest równy \(\varphi\).
Istotnie, niech \(H\) oznacza wysokość piramidy, \(h\) wysokość ściany bocznej oraz niech \(a\) oznacza połowę boku podstawy. Wówczas\[ah=H^2\textrm{ oraz } a^2+H^2=h^2\]
stąd otrzymujemy \[ah=h^2-a^2\]
dzieląc obustronnie przez \(a^2\) oraz podstawiając \(x=\dfrac ha\) otrzymujemy równanie \(x^2=x+1\), którego jedynym pierwiastkiem dodatnim jest, jak wiemy, liczba \(\varphi\).
W swoich Dziejach Herodot wspomina o wymiarach Wielkiej Piramidy Cheopsa (strona 175 polskiego wydania):
Jest ona czworoboczna, a każdy jej bok ma osiem pletrów i tyleż wynosi jego wysokość
Nie zapominajmy, że Herodot urodził się ponad dwa tysiące lat po tym jak Wielką Piramidę Cheopsa zbudowano.
Czy więc w piramidzie Cheopsa jest ukryty złoty podział? Tego nie wiemy i pewnie nigdy się nie dowiemy. Są też inne wyjaśnienia tego, że ma wymiary takie jakie ma. Np. takie, że stosunek obwodu podstawy do wysokości jest w dobrym przybliżeniu równy \(2\pi\).
To było tylko kilka przykładów tego w jaki sposób złota proporcja w sztuce bywa znajdywana. Bardzo często jedynym ,,dowodem” na jej obecność jest fakt, że jakiś stosunek jest w przybliżeniu równy 1,6. Czy na tej podstawie można twierdzić, że jest to złota proporcja? Jak już wspomnieliśmy, jest to myślenie życzeniowe oraz nadinterpretacja. Nie oznacza to jednak, że złota proporcja w sztuce nie jest w ogóle obecna. Nie jest jednak tak powszechna jak niektórym się wydaje. Jak mówi Złote Prawo Godwina
Im dłużej jakiś obiekt (np. dzieło sztuki, człowiek) jest znany, to prawdopodobieństwo tego, że ktoś uzna iż jest tam ukryta złota proporcja dąży do 1.