Matematyka jest pełna mniej lub bardziej dziwnych twierdzeń czy jeszcze nierozwiązanych problemów. Jednym z nich jest tzw. hipoteza Tótha znana również jako kiełbasiana hipoteza.
Jednym z najsłynniejszych problemów związanych z upakowaniem kul jest słynna hipoteza Keplera. Znacznie mniej znanym problemem jest wspomniana hipoteza Tótha.
Hipoteza Keplera, została sformułowana w XVII wieku przez samego Johannesa Keplera. Mówi ona, w wielkim skrócie, że jeśli mamy jednakowe kule, to najgęstszym ich upakowaniem jest upakowanie takie jak poniżej.
Kiełbasiana hipoteza, lub dokładniej hipoteza Tótha, dotyczy nieco innego zagadnienia. Zanim powiemy czego dotyczy, musimy znać takie pojęcia jak zbiór wypukły oraz otoczka wypukła zbioru. Podzbiór \(A\subseteq\mathbb R^n\) nazywamy wypukłym jeżeli wraz z każdą parą swoich punktów zawiera odcinek je łączący. Ekstremalnym przykładem zbioru wypukłego jest każda przestrzeń euklidesowa \(\mathbb R^n\) dla \(n\geqslant 1\).
Jeżeli \(B\subseteq\mathbb R^n\) jest niepusty, to otoczką wypukłą tego zbioru nazywamy najmniejszy podzbiór (w sensie zawierania zbiorów) \(\textrm{conv }{ B}\subseteq\mathbb R^n\), który jest wypukły oraz \(B\) jest jego podzbiorem. Mówiąc dokładniej, zbiorem tym jest część wspólna wszystkich wypukłych podzbiorów zawierających \(B\). Ponieważ jednym ze zbiorów wypukłych zawierających \(B\) jest całe \(\mathbb R^n\) oraz \(B\subseteq\textrm{conv }{B}\), to otoczka wypukła istnieje dla każdego zbioru \(B\subseteq\mathbb R^n\).
Jeżeli \(B\) jest zbiorem dwupunktowym, to jego otoczką wypukłą jest odcinek łączący te punkty. Poniżej przykład otoczki wypukłej pięciu kół o tym samym promieniu, których środki są ułożone wzdłuż jednej prostej.
Teraz rozważmy następujący problem. Mamy \(n\) kół o takich samych promieniach. W jaki sposób należy je ułożyć aby otoczka wypukła takiego zbioru miała jak najmniejsze pole? Jeżeli rozważymy najpierw 3 koła, to najefektywniejszym ułożeniem będzie następujące:
Teraz przenieśmy się wymiar wyżej, tzn. zamiast kół o takim samym promieniu rozważmy kule o takim samym promieniu. W przypadku trzech kul, upakowaniem o najmniejszej, tym razem, objętości jest poniższe, tj. takie w kształcie jakby kiełbasy.
W zasadzie aż do 56 kul włącznie upakowaniem, którego otoczka wypukła ma najmniejszą objętość jest upakowanie kiełbasiane. Tzn. takie, że środki wszystkich kul leżą na jednej prostej.
Jeżeli przeniesiemy się wymiar wyżej, to zdaje się, że do dzisiaj nie wiadomo do jakiej dokładnie liczby 4-wymiarowych kul ich najefektywniejszym upakowaniem jest kiełbasiane. Wiadomo jedynie, że liczba ta wynosi co najmniej 50 000 i jest mniejsza od 100 000. Hipoteza Tótha, nazwana na cześć węgierskiego matematyka László Fejesa Tótha, który ją sformułował, mówi, że dla \(n\geqslant 5\) najlepszym upakowaniem dla dowolnej liczby \(n\)-wymiarowych kul jest właśnie upakowanie kiełbasiane. Przy czym, przez najlepsze upakowanie mamy tu na myśli takie, którego otoczka wypukła ma najmniejszą \(n\)-wymiarową objętość. Choć być może ciężko sobie wyobrazić kule wymiaru większego niż 3 oraz czym jest np. 5-wymiarowa objętość. No ale to już historia na inny wpis…
Jak na razie kiełbasiana hipoteza została udowodniona dla \(n\geqslant 42\) w pracach Betkego, Henka i Wallisa.
Literatura
U. Betke, M. Henk, J.M. Wills, Finite and Infinite Packings, J. Reine Angew. Math. 453 (1994), s. 165-191
U. Betke, M. Henk, Finite Packings of Spheres, Discrete Comput. Geom. 19 (1998), s. 197-227
I. Stewart, Professor Stewart’s Incredible Numbers, Joat Enterprises (2015)
L.F. Tóth, Research Problems, Periodica Math. Hung. 6 (1975), s. 197-199