Każdy z nas zna system GPS i go używa. A czy ktoś się zastanawiał jak on w ogóle działa i jaka matematyka się za nim kryje? Wbrew pozorom idea jest prosta.
Znajomość swojego bieżącego położenia niemal od zawsze była ważna aby móc się efektywnie przemieszczać oraz podróżować. Metody nawigacji wraz z rozwojem ludzkości się zmieniały i dzisiaj dysponujemy nowoczesnymi systemami nawigacji satelitarnej. Najbardziej znanym jest Global Positioning System czyli GPS.
Najważniejszym składnikiem systemu GPS są satelity okrążające Ziemię po orbitach kołowych, na wysokości ok. 20 183 km. Satelity orbitują w sześciu płaszczyznach nachylonych do równika pod kątem około \(55^\circ\). Każda z nich zawiera co najmniej cztery satelity. Są rozmieszczone tak, że z każdego punktu na Ziemi w każdym momencie ,,widoczne” są co najmniej cztery (na ogół jest ich więcej).
W dużym skrócie, każdy satelita wysyła powtarzający się ze stałą częstotliwością sygnał, który jest odbierany przez urządzenia na Ziemi. Znając moment nadania sygnału oraz prędkość światła możemy wyliczyć odległość dzielącą satelitę oraz urządzenie. Jeżeli \(\Delta t\), to różnica między czasem nadania, a odbioru sygnału, to odległość od satelity do urządzenia jest równa \(c\cdot\Delta t\). Oczywiście \(c\) to prędkość światła.
Urządzenie nie komunikuje się z satelitami, jest tylko odbiornikiem. To właśnie ono wykonuje obliczenia, które pozwalają wyznaczyć odległość od satelitów, dzięki czemu można ustalić położenie odbiornika.
Wyobraźmy sobie teraz sytuację idealną, w której nie musimy się martwić żadnymi trudnościami praktycznymi. Załóżmy, że satelita \(S_1\) znajduje się w punkcie \((a_1,b_1,c_1)\) w odległości \(r_1\) od odbiornika.
Gdyby sytuacja miała miejsce na płaszczyźnie, oznaczałoby to, że odbiornik jest położony na okręgu o środku w \(S_1\) i promieniu \(r_1\). W przestrzeni jest analogicznie. Odbiornik znajduje się na sferze (tj. brzegu kuli), a nie okręgu. Informacja ta wiele nam nie daje. Jeżeli dodamy do tego informacje z drugiego satelity, to już będzie nieco lepiej, gdyż przecięcie tak otrzymanych sfer jest na ogół okręgiem.
Potrzebujemy jeszcze jednej sfery. Biorąc pod uwagę położenie satelitów, otrzymane sfery przetną się w dwóch punktach. Jeden z nich będziemy w stanie wykluczyć, gdyż nie będzie się znajdował na Ziemi.
Mając układ współrzędnych możemy to zapisać matematycznie. Sfera o środku w punkcie \((a,b,c)\) i promieniu \(r\), to zbiór punktów przestrzeni, których współrzędne \((x,y,z)\) spełniają równanie \[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2.\] Łącząc informacje z satelitów w jedną całość, dochodzimy do wniosku, że odbiornik znajduje się w punkcie, którego współrzędne spełniają poniższy układ równań:
\[\left\{\begin{array}{lllllll}
(x-a_1)^2 & + & (y-b_1)^2 & + & (z-c_1)^2 &= &r_1^2 \\
(x-a_2)^2 & + & (y-b_2)^2 & + & (z-c_2)^2 &= &r_2^2 \\
(x-a_3)^2 & + & (y-b_3)^2 & + & (z-c_3)^2 &= &r_3^2.
\end{array}\right.\]
Gdyby ktoś kiedyś pytał o praktyczne zastosowania układów równań, to mamy tu prosty i ciekawy przykład. Innym jest tomografia komputerowa, w której swoją rolę odegrała tzw. metoda Kaczmarza służąca do przybliżonego rozwiązywania dużych układów równań liniowych. O metodzie Kaczmarza oraz o tym jak została użyta w tomografii można poczytać tutaj.
Rozwiązanie takiego układu równań nie nastręcza większych trudności. Jednak, jak wspomnieliśmy, jest to sytuacja idealna. W rzeczywistości trzeba się jeszcze uporać z napotykanymi trudnościami.
Zacznijmy od tego, że satelity dysponują zegarem atomowym, który jest (na ogół) znacznie dokładniejszy od zegara posiadanego przez odbiornik GPS. To powoduje pewien błąd. Ponieważ zegary satelitów są zsynchronizowane, to ów błąd jest taki sam względem każdego z nich. Dlatego potrzebujemy informacji z czwartego satelity. Otrzymamy wówczas układ czterech równań z czterema niewiadomymi. Można go rozwiązać bez większych problemów, o ile wszystkie satelity nie będą się znajdować w jednej płaszczyźnie.
Nie można także bagatelizować efektów relatywistycznych. Światło (w próżni) pokonuje w czasie \(10^{-8}s\) niecałe 3 metry. To pokazuje jak dokładne pomiary są potrzebne.
Innym problemem praktycznym jest to, że sygnały nadawane z satelitów muszą pokonać ziemską atmosferę, a prędkość światła jest w niej inna niż w próżni i zależy od panujących w niej warunków.
Przez trudności praktyczne, wyznaczone odległości do satelitów są obarczone pewnym błędem co prowadzi do otrzymania pewnego przedziału odległości. Geometrycznie, powinniśmy każdą ze sfer nieco ,,pogrubić”. Ich przecięcie będzie pewnym obszarem a nie konkretnym punktem. Czy można ten błąd zminimalizować?
Tak. Spójrzmy na rysunek. Po lewej, sfery są niemal styczne. Ich część wspólna jest bardziej wydłużona w porównaniu do tych po prawej. Jednym ze sposobów minimalizacji błędu jest odpowiedni wybór satelitów. Jak wspomnieliśmy, odbiornik ma w zasięgu na ogół więcej niż wymagane cztery.
W tym wpisie omówiliśmy tylko z grubsza działanie systemu GPS. Jest on naturalnie bardziej skomplikowany i spokojnie można by przeprowadzić co najmniej semestralny wykład o tym jak działa.
