Paradoks Monty’ego Halla, bo o nim mowa, jest już dosyć znany. Nie każdy zna jednak jego historię, która podobnie jak sam paradoks, jest również niezwykle pouczająca.
Kiedyś w Polsce popularny był teleturniej Idź na Całość oparty na swym amerykańskim pierwowzorze Let’s Make a Deal. Polską wersję prowadził Zygmunt Chajzer, amerykańską zaś Monty Hall, stąd też wzięła się nazwa paradoksu. Jest on oparty na zasadach gry we wspomnianych teleturniejach. W finale gracz miał do wyboru trzy tzw. bramki. W jednej ukryta była nagroda główna.
Zagadka jest następująca. Mamy do wyboru trzy bramki. W jednej jest nagroda, a w dwóch pozostałych nic. Wybieramy bramkę, a następnie prowadzący (który wie gdzie jest nagroda) odsłania jedną z dwu pozostałych. Przy czym zawsze tę, w której nagrody nie ma. Zostają więc dwie bramki. Następnie dostajemy wybór: możemy albo pozostać przy swoim wyborze albo zmienić bramkę.
Co powinien zrobić gracz aby mieć jak największe szanse na wygraną? Czy powinien zostać przy swoim pierwotnym wyborze czy zmienić bramkę? A może nie ma to znaczenia?
Podobne pytanie pojawiło się w 1990 w amerykańskim magazynie Parade. Dokładniej w dziale Ask Marilyn prowadzonym przez Marilyn vos Savant, która przez kilka lat znajdowała się w księdze rekordów Guinessa jako osoba z najwyższym ilorazem inteligencji. Marilyn udzieliła poprawnej odpowiedzi na zadane pytanie i wtedy się zaczęło.
Ale powróćmy na razie do samego paradoksu. Przeanalizujmy przykładowy scenariusz
Mamy taką sytuację. Wybraliśmy bramkę nr 1, prowadzący zaś odsłonił nr 3. Czyli w grze pozostały bramki nr 1 oraz nr 2. Nagroda jest w jednej z nich. Wydaje się, że w takim razie nie ma znaczenia którą wybierzemy. Przecież są dwie.
Jeżeli ktoś tak uważa, to… jest w błędzie. Większe szanse na wygraną mamy, gdy zmienimy swój pierwotny wybór. Wydaje się to niedorzeczne, ale tak właśnie jest. Większość osób, nawet zawodowi matematycy, stykający się z tym problemem po raz pierwszy myślą, że nie ma to znaczenia. Chyba nie muszę dodawać, że i autor tego tekstu również tak myślał 😉
Gdy Marilyn opublikowała swoje rozwiązanie, to zaczęły do redakcji napływać listy m.in. od matematyków i innych naukowców. Taki jak ten poniżej. Według dr. Scotta Smitha Marilyn się nie popisała i powinna się wstydzić.
You blew it, and you blew it big! Since you seem to have difficulty grasping the basic principle at work here, I’ll explain. After the host reveals a goat, you now have a one-in-two chance of being correct. Whether you change your selection or not, the odds are the same. There is enough mathematical illiteracy in this country, and we don’t need the world’s highest IQ propagating more. Shame!
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida
Z kolei dr Charles Reid sugerował zajrzenie to podręcznika rachunku prawdopodobieństwa.
May I suggest that you obtain and refer to a standard textbook on probability before you try to answer a question of this type again?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida
Kent Ford był zaś zszokowany.
I am in shock that after being corrected by at least three mathematicians, you still do not see your mistake.
Kent Ford
Dickinson State University
Pojawiły się również aluzje do płci.
Maybe women look at math problems differently than men.
Don Edwards
Sunriver, Oregon
I jeszcze jeden komentarz mówiący, że gdyby Ci wszyscy doktorzy się mylili, to Stany Zjednoczone byłyby w poważnych tarapatach.
You made a mistake, but look at the positive side. If all those Ph.D.’s were wrong, the country would be in some very serious trouble.
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute
Więcej odpowiedzi jakie otrzymała Marilyn oraz dokładniejszy opis sytuacji można znaleźć tutaj
Tylko dlaczego należy zmienić wybór? Przecież gdybyśmy mieli od razu do wyboru tylko dwie bramki: 1 oraz 2, to szanse na wygraną wynosiłyby \(\frac 12\). Czym więc te sytuacje się różnią? Różnią się tym, że w pierwszej wiemy, którą bramkę wybraliśmy na samym początku. Ten drobny szczegół całkowicie zmienia sytuację.
Bramki podzielmy, dla prostoty, na dwa zbiory
- \(A\) – bramka którą wybraliśmy
- \(B\) – dwie pozostałe bramki.
Prawdopodobieństwo tego, że nagroda jest w \(A\) wynosi \(\frac 13\), a że w \(B\), to \(\frac 23\). W zbiorze \(B\) jest co najmniej jedna pusta bramka. Jeżeli otworzymy pustą, to prawdopodobieństwo tego, że nagroda znajduje się w \(B\) nie może ot tak sobie wyparować lub przenieść się do \(A\). Musi się więc skumulować na pozostałej części zbioru \(B\).
Żeby to lepiej zrozumieć posłużymy się analogią. Gęstość zaludnienia w pewnym mieście wynosi \(1000\ os/km^2\). Jeżeli wiemy, że \(\frac 14\) miasta to las, w którym nikt nie mieszka, to ta informacja nie sprawia, że ubyło mieszkańców lecz, że gęstość zaludnienia w pozostałej części jest większa. Jeżeli to nie jest przekonujące, to spróbujmy inaczej.
W momencie, gdy wybieramy bramkę na samym początku są dwie opcje: albo trafimy nagrodę (prawdopodobieństwo \(\frac 13\)) albo nie (prawdopodobieństwo \(\frac 23\)).
Przeanalizujmy co się dzieje w obu scenariuszach. Najpierw ten pierwszy, czyli zakładamy, że nagroda jest w bramce nr 1, którą wybraliśmy. Ten scenariusz dzieje się z prawdopodobieństwem \(\frac 13\).
Kluczowe jest to co teraz może zrobić prowadzący. Może odsłonić bramkę nr 2 lub nr 3. Bez względu na to, którą odsłoni, zmiana bramki prowadzi nas do porażki. Ten scenariusz dzieje się z prawdopodobieństwem \(\frac 13\).
Ciekawiej wygląda drugi przypadek. Tym razem zakładamy, że nasz wybór był pudłem. Czyli nagroda znajduje się w bramce nr 2 lub nr 3. Ponieważ wybraliśmy bramkę nr 1, to prowadzący nie może jej odsłonić. Nie może również odsłonić bramki z nagrodą (niech np. będzie to nr 2). Może jedynie odsłonić trzecią bramkę.
W skrócie, w sytuacji gdy na początku wybierzemy bramkę z nagrodą, to prowadzący może wybrać, którą z dwóch pozostałych odsłonić. W żadnej z nich nagrody nie ma. Ten scenariusz dzieje się z prawdopodobieństwem \(\frac 13\). Jeżeli natomiast nie trafimy bramki z nagrodą, to prowadzący nie może odsłonić ani bramki z nagrodą ani naszej. Nie ma wyboru, zostaje mu tylko jedna do odsłonięcia. Nagroda zaś znajduje się nie w tej, którą wybraliśmy, lecz w drugiej nieodsłoniętej. Na taki przebieg mamy szanse \(\frac 23\).
Dlatego wiedza o tym, którą bramkę wybraliśmy na początku zmienia całkowicie postać rzeczy. Dzięki niej wiemy, na którą bramkę należy zmienić wybór. Jeżeli jeszcze ktoś ma jakieś wątpliwości, to zawsze można wypisać wszystkie możliwe scenariusze gry (wybór bramki, odsłonięcie, zmiana bramki lub nie), a następnie policzyć jak często do wygranej prowadzi zamiana, a ile razy jej brak.
Tak ostry atak na Marilyn był zapewne spowodowany tym, że nie jest zawodową matematyczką oraz, przynajmniej w niektórych przypadkach zapewne też, jej płcią. Gdyby zamiast niej podobną odpowiedź na postawiony problem udzielił matematyk, to z pewnością odpowiedzi, nawet jeśli nieprzychylne, byłyby bardziej stonowane.
Można być tego pewnym, bo podobne problemy już się pojawiały w matematyce wcześniej. Jednym z nich jest nieco mniej znany paradoks trzech więźniów – równoważny z paradoksem Monty’ego Halla, który pojawił się w pracy Gardnera Problems involving questions of probability and ambiguity, Scientific American, vol. 201 (1959), str. 180–182.
Trzech więźniów \(A, B, C\) oczekuje w celi śmierci na egzekucję. Wiedzą, że król ułaskawił jednego z nich, ale nie wiedzą kogo. Informację tę zna strażnik. Nie może im jednak zdradzić kogo król ułaskawił. Wobec tego więzień \(A\) poprosił go aby mu wyjawił kto spośród dwójki pozostałych zostanie zgładzony. Strażnik powiedział, że \(C\) jutro umrze. Słysząc to więzień \(A\) zaczął się cieszyć bo sądzi, że jego szanse na przeżycie wzrosły do \(\frac 12\). Czy ma rację?
Tutaj zamiast Monty’ego Halla mamy strażnika, zamiast bramek więźniów, a nagrodą jest życie.
Sam problem Monty’ego Halla pojawił się po raz pierwszy w pracach Selvina:
- A Problem in Probability, The American Statistician, vol. 29, no. 1 (1975), str. 67.
- On the Monty Hall Problem, The American Statistician, vol. 29, no. 3 (1975), str. 134.
On też otrzymywał wiadomości twierdzące, że się pomylił. Sam problem nie przykuł wówczas większej uwagi matematyków.
Co prawda Marilyn swoim rozwiązaniem problemu nie odkryła niczego nowego, jednak popularność magazynu Parade sprawiła, że problem stał się bardzo znany. Cała sytuacja pokazuje, że nawet mając tytuł czy stopień naukowy należy być pokornym względem matematyki. Bo to nie stopnie czy tytuły naukowe są w matematyce autorytetami. Tak naprawdę autorytet jest w niej tylko jeden. Nazywa się Dowód.
W ramach ćwiczenia rozważmy teraz ogólniejszy problem. Zasady są podobne. Mamy na początku \(b\) bramek.Wśród nich znajduje się \(n\) nagród. Żeby nie było wątpliwości, to w jednej bramce może być co najwyżej jedna nagroda, więc \(n<b\). Nagrody są wszystkie takie same, zatem, w przypadku wygranej, nie ma znaczenia, którą trafimy.
W powyższym przykładzie \(b=9\) oraz \(n=4\).
Jak wcześniej, wybieramy jedną bramkę. Prowadzący odsłania teraz \(m\) bramek. Naturalnie nie odsłania bramki wybranej przez nas.
Przyjmując \(b=3,\ n=m=1\) oraz \(k=0\) otrzymujemy początkowy problem Monty’ego Halla. W scenariuszu wyżej mamy \(b=9,\ n=4, m=3, k=1\).
Ogólnie sytuacja wygląda następująco. Jest nasza bramka, \(m\) bramek odkrytych (wśród nich \(k\) nagród) oraz \(b-m-1\) nieodkrytych. Pytanie jest identyczne jak wcześniej. Czy większe szanse na wygraną mamy wtedy, gdy zostaniemy przy swoim wyborze czy gdy go zmienimy? A może czasami należy zmienić swój wybór, a czasami nie? Od czego to zależy? Rozwiązanie na następnej stronie.