Paradoks Monty Halla

Gdy mylą się matematycy, a rację ma dziennikarka

Paradoks Monty’ego Halla, bo o nim mowa, jest już dosyć znany. Nie każdy zna jednak jego historię, która podobnie jak sam paradoks, jest również niezwykle pouczająca.

Kiedyś w Polsce popularny był teleturniej Idź na Całość oparty na swym amerykańskim pierwowzorze Let’s Make a Deal. Polską wersję prowadził Zygmunt Chajzer, amerykańską zaś Monty Hall, stąd też wzięła się nazwa paradoksu. Jest on oparty na zasadach gry we wspomnianych teleturniejach. W finale gracz miał do wyboru trzy tzw. bramki. W jednej ukryta była nagroda główna.

Zagadka jest następująca. Mamy do wyboru trzy bramki. W jednej jest nagroda, a w dwóch pozostałych nic. Wybieramy bramkę, a następnie prowadzący (który wie gdzie jest nagroda) odsłania jedną z dwu pozostałych. Przy czym zawsze tę, w której nagrody nie ma. Zostają więc dwie bramki. Następnie dostajemy wybór: możemy albo pozostać przy swoim wyborze albo zmienić bramkę.

Co powinien zrobić gracz aby mieć jak największe szanse na wygraną? Czy powinien zostać przy swoim pierwotnym wyborze czy zmienić bramkę? A może nie ma to znaczenia?

Podobne pytanie pojawiło się w 1990 w amerykańskim magazynie Parade. Dokładniej w dziale Ask Marilyn prowadzonym przez Marilyn vos Savant, która przez kilka lat znajdowała się w księdze rekordów Guinessa jako osoba z najwyższym ilorazem inteligencji. Marilyn udzieliła poprawnej odpowiedzi na zadane pytanie i wtedy się zaczęło.

Ale powróćmy na razie do samego paradoksu. Przeanalizujmy przykładowy scenariusz

Paradoks Monty;ego Halla

Mamy taką sytuację. Wybraliśmy bramkę nr 1, prowadzący zaś odsłonił nr 3. Czyli w grze pozostały bramki nr 1 oraz nr 2. Nagroda jest w jednej z nich. Wydaje się, że w takim razie nie ma znaczenia którą wybierzemy. Przecież są dwie.

Jeżeli ktoś tak uważa, to… jest w błędzie. Większe szanse na wygraną mamy, gdy zmienimy swój pierwotny wybór. Wydaje się to niedorzeczne, ale tak właśnie jest. Większość osób, nawet zawodowi matematycy, stykający się z tym problemem po raz pierwszy myślą, że nie ma to znaczenia. Chyba nie muszę dodawać, że i autor tego tekstu również tak myślał 😉

Gdy Marilyn opublikowała swoje rozwiązanie, to zaczęły do redakcji napływać listy m.in. od matematyków i innych naukowców. Taki jak ten poniżej. Według dr. Scotta Smitha Marilyn się nie popisała i powinna się wstydzić.

You blew it, and you blew it big! Since you seem to have difficulty grasping the basic principle at work here, I’ll explain. After the host reveals a goat, you now have a one-in-two chance of being correct. Whether you change your selection or not, the odds are the same. There is enough mathematical illiteracy in this country, and we don’t need the world’s highest IQ propagating more. Shame!

Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Z kolei dr Charles Reid sugerował zajrzenie to podręcznika rachunku prawdopodobieństwa.

May I suggest that you obtain and refer to a standard textbook on probability before you try to answer a question of this type again?

Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Kent Ford był zaś zszokowany.

I am in shock that after being corrected by at least three mathematicians, you still do not see your mistake.

Kent Ford
Dickinson State University

Pojawiły się również aluzje do płci.

Maybe women look at math problems differently than men.

Don Edwards
Sunriver, Oregon

I jeszcze jeden komentarz mówiący, że gdyby Ci wszyscy doktorzy się mylili, to Stany Zjednoczone byłyby w poważnych tarapatach.

You made a mistake, but look at the positive side. If all those Ph.D.’s were wrong, the country would be in some very serious trouble.

Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

Więcej odpowiedzi jakie otrzymała Marilyn oraz dokładniejszy opis sytuacji można znaleźć tutaj

Tylko dlaczego należy zmienić wybór? Przecież gdybyśmy mieli od razu do wyboru tylko dwie bramki: 1 oraz 2, to szanse na wygraną wynosiłyby \(\frac 12\). Czym więc te sytuacje się różnią? Różnią się tym, że w pierwszej wiemy, którą bramkę wybraliśmy na samym początku. Ten drobny szczegół całkowicie zmienia sytuację.

Bramki podzielmy, dla prostoty, na dwa zbiory

  • \(A\) – bramka którą wybraliśmy
  • \(B\) – dwie pozostałe bramki.

Prawdopodobieństwo tego, że nagroda jest w \(A\) wynosi \(\frac 13\), a że w \(B\), to \(\frac 23\). W zbiorze \(B\) jest co najmniej jedna pusta bramka. Jeżeli otworzymy pustą, to prawdopodobieństwo tego, że nagroda znajduje się w \(B\) nie może ot tak sobie wyparować lub przenieść się do \(A\). Musi się więc skumulować na pozostałej części zbioru \(B\).

Żeby to lepiej zrozumieć posłużymy się analogią. Gęstość zaludnienia w pewnym mieście wynosi \(1000\ os/km^2\). Jeżeli wiemy, że \(\frac 14\) miasta to las, w którym nikt nie mieszka, to ta informacja nie sprawia, że ubyło mieszkańców lecz, że gęstość zaludnienia w pozostałej części jest większa. Jeżeli to nie jest przekonujące, to spróbujmy inaczej.

W momencie, gdy wybieramy bramkę na samym początku są dwie opcje: albo trafimy nagrodę (prawdopodobieństwo \(\frac 13\)) albo nie (prawdopodobieństwo \(\frac 23\)).

Przeanalizujmy co się dzieje w obu scenariuszach. Najpierw ten pierwszy, czyli zakładamy, że nagroda jest w bramce nr 1, którą wybraliśmy. Ten scenariusz dzieje się z prawdopodobieństwem \(\frac 13\).

Paradoks Monty Halla

Kluczowe jest to co teraz może zrobić prowadzący. Może odsłonić bramkę nr 2 lub nr 3. Bez względu na to, którą odsłoni, zmiana bramki prowadzi nas do porażki. Ten scenariusz dzieje się z prawdopodobieństwem \(\frac 13\).

Ciekawiej wygląda drugi przypadek. Tym razem zakładamy, że nasz wybór był pudłem. Czyli nagroda znajduje się w bramce nr 2 lub nr 3. Ponieważ wybraliśmy bramkę nr 1, to prowadzący nie może jej odsłonić. Nie może również odsłonić bramki z nagrodą (niech np. będzie to nr 2). Może jedynie odsłonić trzecią bramkę.

Paradoks Monty'ego Halla

W skrócie, w sytuacji gdy na początku wybierzemy bramkę z nagrodą, to prowadzący może wybrać, którą z dwóch pozostałych odsłonić. W żadnej z nich nagrody nie ma. Ten scenariusz dzieje się z prawdopodobieństwem \(\frac 13\). Jeżeli natomiast nie trafimy bramki z nagrodą, to prowadzący nie może odsłonić ani bramki z nagrodą ani naszej. Nie ma wyboru, zostaje mu tylko jedna do odsłonięcia. Nagroda zaś znajduje się nie w tej, którą wybraliśmy, lecz w drugiej nieodsłoniętej. Na taki przebieg mamy szanse \(\frac 23\).

Dlatego wiedza o tym, którą bramkę wybraliśmy na początku zmienia całkowicie postać rzeczy. Dzięki niej wiemy, na którą bramkę należy zmienić wybór. Jeżeli jeszcze ktoś ma jakieś wątpliwości, to zawsze można wypisać wszystkie możliwe scenariusze gry (wybór bramki, odsłonięcie, zmiana bramki lub nie), a następnie policzyć jak często do wygranej prowadzi zamiana, a ile razy jej brak.

Tak ostry atak na Marilyn był zapewne spowodowany tym, że nie jest zawodową matematyczką oraz, przynajmniej w niektórych przypadkach zapewne też, jej płcią. Gdyby zamiast niej podobną odpowiedź na postawiony problem udzielił matematyk, to z pewnością odpowiedzi, nawet jeśli nieprzychylne, byłyby bardziej stonowane.

Można być tego pewnym, bo podobne problemy już się pojawiały w matematyce wcześniej. Jednym z nich jest nieco mniej znany paradoks trzech więźniów – równoważny z paradoksem Monty’ego Halla, który pojawił się w pracy Gardnera Problems involving questions of probability and ambiguity, Scientific American, vol. 201 (1959), str. 180–182.

Trzech więźniów \(A, B, C\) oczekuje w celi śmierci na egzekucję. Wiedzą, że król ułaskawił jednego z nich, ale nie wiedzą kogo. Informację tę zna strażnik. Nie może im jednak zdradzić kogo król ułaskawił. Wobec tego więzień \(A\) poprosił go aby mu wyjawił kto spośród dwójki pozostałych zostanie zgładzony. Strażnik powiedział, że \(C\) jutro umrze. Słysząc to więzień \(A\) zaczął się cieszyć bo sądzi, że jego szanse na przeżycie wzrosły do \(\frac 12\). Czy ma rację?

Tutaj zamiast Monty’ego Halla mamy strażnika, zamiast bramek więźniów, a nagrodą jest życie.

Sam problem Monty’ego Halla pojawił się po raz pierwszy w pracach Selvina:

  • A Problem in Probability, The American Statistician, vol. 29, no. 1 (1975), str. 67.
  • On the Monty Hall Problem, The American Statistician, vol. 29, no. 3 (1975), str. 134.

On też otrzymywał wiadomości twierdzące, że się pomylił. Sam problem nie przykuł wówczas większej uwagi matematyków.

Co prawda Marilyn swoim rozwiązaniem problemu nie odkryła niczego nowego, jednak popularność magazynu Parade sprawiła, że problem stał się bardzo znany. Cała sytuacja pokazuje, że nawet mając tytuł czy stopień naukowy należy być pokornym względem matematyki. Bo to nie stopnie czy tytuły naukowe są w matematyce autorytetami. Tak naprawdę autorytet jest w niej tylko jeden. Nazywa się Dowód.

W ramach ćwiczenia rozważmy teraz ogólniejszy problem. Zasady są podobne. Mamy na początku \(b\) bramek.Wśród nich znajduje się \(n\) nagród. Żeby nie było wątpliwości, to w jednej bramce może być co najwyżej jedna nagroda, więc \(n<b\). Nagrody są wszystkie takie same, zatem, w przypadku wygranej, nie ma znaczenia, którą trafimy.

Paradoks Monty'ego Halla - uogólnienie

W powyższym przykładzie \(b=9\) oraz \(n=4\).

Jak wcześniej, wybieramy jedną bramkę. Prowadzący odsłania teraz \(m\) bramek. Naturalnie nie odsłania bramki wybranej przez nas.

Paradoks Monty Halla - uogólnienie

Przyjmując \(b=3,\ n=m=1\) oraz \(k=0\) otrzymujemy początkowy problem Monty’ego Halla. W scenariuszu wyżej mamy \(b=9,\ n=4, m=3, k=1\).

Ogólnie sytuacja wygląda następująco. Jest nasza bramka, \(m\) bramek odkrytych (wśród nich \(k\) nagród) oraz \(b-m-1\) nieodkrytych. Pytanie jest identyczne jak wcześniej. Czy większe szanse na wygraną mamy wtedy, gdy zostaniemy przy swoim wyborze czy gdy go zmienimy? A może czasami należy zmienić swój wybór, a czasami nie? Od czego to zależy? Rozwiązanie na następnej stronie.

9 komentarzy

  1. To mam pytanie o sytuacji trochę innej – dajmy na to, że oglądam sobie “Idź na całość” i tak przeżywam, że czuję się jakbym sam był w studiu.:)
    Prowadzący mówi do zawodnika, żeby wybrał bramkę, ten wybiera bramkę “1”, ale ja w dokładnie tym samym momencie wybieram bramkę “2”.
    Następnie prowadzący otwiera bramkę “3”, która jest pusta.

    Czy w tej sytuacji powinniśmy obaj z prawdziwym uczestnikiem teleturnieju zmienić zdania i wtedy będziemy obaj mieli po 2/3 szansy?

    1. Nie, Pan powinien zostać przy swoim wyborze. Prowadzący odsłonił bramkę nr 3 odnosząc do wyboru prawdziwego gracza, który wybrał bramkę nr 1. Szanse na nagrodę w bramce nr 2 są dwukrotnie większe niż w przypadku bramki nr 1.

      1. Dzięki za wyjaśnienie, ale nadal mi tu sprawa intuicyjnie zgrzyta i uwiera jak drzazga:)

        Chyba po prostu muszę przyjąć, że już tak jest i nie wnikać

        1. Wszystko bierze się z tego, że prowadzący nie ma pełnej dowolności w wyborze bramki, którą może odsłonić. Ma ją tylko wtedy, gdy gracz za pierwszym razem wybierze bramkę z nagrodą, czyli w 1/3 przypadków bo obie pozostałe bramki są puste. W pozostałych 2/3 takiej dowolności nie ma. Jedną bramkę wybrał widz, w drugiej jest nagroda i tylko jeden możliwy wybór do odsłonięcia. Tylko ani gracz ani widz nie wiedzą, który scenariusz się właśnie dzieje. Dlatego z perspektywy gracza/widza trochę to zgrzyta, że lepiej zamienić (lub w przypadku Pana scenariusza pozostać przy swoim wyborze). A to, który scenariusz się dzieje zależy od czego czy gracz za pierwszym razem trafi nagrodę (1/3 przypadków) czy nie (2/3 przypadków).

  2. Byłem wczoraj w salonie samochodowym – stały tam 3 piękne “Porszaki”: czerwony, niebieski i żółty. Wybrałem niebieski!
    Tylko, że go nie kupiłem!
    Następnego dnia wróciłem z walizką pieniędzy do salonu. Zostały już tylko dwa samochody: niebieski i żółty. Chociaż byłem zdecydowany na niebieski zrozumiałem, że prawdopodobieństwo że kupię żółty samochód jest dwa razy większe niż że kupię niebieski! Tylko, że nie cierpię żółtych samochodów. Ach te rozmyślania matematycznych geniuszy!
    A tak serio, to w przypadku 3 samochodów (bramek) ja nie dokonałem żadnego wyboru bo go nie kupiłem (bramka nie została otwarta). Wyboru dokonałem dopiero kupując jeden z 2 samochodów (otwierając bramkę) i prawdopodobieństwo wynosiło w tym przypadku 50/50. Prawdopodobieństwo nie przenosi się cudownie na inną bramkę. Argument z miastem też do kitu – mógłby się on odnosić do nagrody ale nie do prawdopodobieństwa (tzn. brak nagrody w jednej bramce sprawia że będzie ona w pozostałych bramkach, i rośnie prawdopodobieństwo jej wygrania do 50%.

    1. Dzień dobry. Tylko, że opisana przez Pana sytuacja ma się nijak do sytuacji z bramkami i nagrodą. U Pana są po prostu samochody/bramki, nie ma nigdzie ukrytej nagrody. A sednem całej sprawy jest to, że w momencie odsłaniania bramki prowadzący wie gdzie jest nagroda i nie może jej odkryć. Takie coś nie ma miejsca w Pana przykładzie. Opisuje on zupełnie inne doświadczenie. Mimo wszystko dziękuję za komentarz.

  3. Samo rozwiązanie rozumiem, choć intuicyjnie również wydawało mi się, że szanse są 50/50. Zgrzyta mi coś innego i przedstawię swój problem:

    1. Załóżmy że jestem sceptyczny wobec rozwiązania 33% / 67% czyli wybierając bramkę nr 1 obstaję przy niej zawsze, uznając błędnie, ze to nie ma znaczenia i szanse są zawsze 50% / 50%.

    2. To automatycznie oznacza że wygram tylko w jednej trzeciej przypadków na 100 prób bo zastałem przy tej samej bramce. druga bramka nie wybrana wygra w dwóch trzecich wypadków na 100.

    3. Załóżmy, że na widowni siedział ktoś kto bawił się telefonem albo skoczył do toalety i zapraszamy go dla rozrywki żeby również dokonał wyboru już od drugiego momentu, czyli próby kiedy zostają tylko dwie bramki, a trzecia jest odsłonięta. Ta osoba sila rzeczy uznaje, że ma szansę dokładnie 50% / 50% również, zatem obstawia bramkę numer 2 i przy niej również obstaje w kazdym ze 100 przypadkow, skoro szanse są rowne.

    4. Empirycznie zobaczymy że bramka nr 2 wygrywa 67 na 100 razy, a nr 1 33 na 100 razy. Ale przecież z perspektywy tego człowieka który przyszedł z widowni powinien zobaczyć wyniki 50 na 50. Jak to pogodzić i jak to wytlumaczyc, zwłaszcza tej osobie, ktora wlasnie przyszła? przecież ona nie ma wiedzy o zdarzeniach które zaszły przed chwilą czyli z jej perspektywy powinna zobaczyć wynik fifty fifty?

    1. Ogólnie paradoks rozumiem, ale do czasu, aż przeczytałam Twoja rozkminę. Ciekawe spostrzeżenie, szczególnie to, jaki będzie wynik

    2. Tylko w Pana rozumowaniu jest kilka błędów. Zacznę od błędu, który pojawia się często. Różnica między Panem, a owym ktosiem z widowni jest taka, że Pan wie, którą bramkę wybrał na początku, a ów ktoś nie. Dlatego Pan wie, na którą bramkę należy zamienić. Dla tej drugiej osoby są do wybory tylko dwie bramki bez wiedzy, która została wybrana na początku. Mamy więc tutaj dwa różne doświadczenia!!

      Po drugie, zakłada Pan, że zawsze wybiera bramkę nr 1. Tu jest ok. Może Pan tak robić. Tylko aby w grze zostały bramki nr 1 oraz nr 2, to nagrody NIGDY nie może być w bramce nr 3, bo tylko w tej sytuacji może ona zostać odsłonięta. A ten warunek już niemal na pewno nie byłby spełniony w rzeczywistym konkursie. Szanse na to, że przy 100 grach, nagroda nigdy nie trafi do bramki nr 3 wynoszą (2/3)^100. Co więcej, jeśli akurat nagroda znajdzie się w bramce nr 1, którą Pan wybrał, to prowadzący ma dwie bramki, które może odsłonić. bo wtedy ma do wyboru zarówno bramkę nr 2 jak i bramkę nr 3 do odsłonięcia. A to jeszcze bardziej zmniejsza szanse na scenariusz, w którym w grze zawsze pozostają na koniec bramki nr 1 oraz nr 2.

Odpowiedz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *