{"id":917,"date":"2021-08-19T17:22:59","date_gmt":"2021-08-19T17:22:59","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=917"},"modified":"2021-11-23T23:12:33","modified_gmt":"2021-11-23T21:12:33","slug":"ulamki-lancuchowe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/","title":{"rendered":"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe – inny spos\u00f3b zapisu liczb"},"content":{"rendered":"

\nW szkole poznajemy r\u00f3\u017cne sposoby zapisu liczb takie jak np. zapis dziesi\u0119tny czy, w przypadku liczb wymiernych, u\u0142amki zwyk\u0142e. Prawie nigdy nie wspomina si\u0119 jednak o u\u0142amkach \u0142a\u0144cuchowych. A szkoda! Bo u\u0142amki te s\u0105 bardzo ciekawe. Maj\u0105 nawet zastosowania i to nie tylko w matematyce!
\n<\/p>\n

Jednym z ich najbardziej znanych zastosowa\u0144 jest to, \u017ce pozwalaj\u0105 znajdowa\u0107, w pewnym sensie najlepsze, przybli\u017cenia wymierne liczb rzeczywistych. Opr\u00f3cz wszelkiego rodzaju oblicze\u0144 praktycznych fakt ten mo\u017ce mie\u0107 tak\u017ce inne zastosowania, o kt\u00f3rych jeszcze wspomnimy. Ciekawszym zastosowaniem jest ich wykorzystywanie w krypotoanalizie do pr\u00f3b efektywnego \u0142amania szyfr\u00f3w opartych na algorytmie RSA np. tzw. atak Wienera<\/a>.<\/p>\n

Celem tego wpisu jest wprowadzenie w tematyk\u0119 u\u0142amk\u00f3w \u0142a\u0144cuchowych oraz pokazanie, \u017ce s\u0105 nie tylko innym sposobem zapisywania liczb (jak i funkcji), lecz r\u00f3wnie\u017c interesuj\u0105cym, narz\u0119dziem matematycznym maj\u0105cym zastosowania nie tylko w matematyce.<\/p>\n

Liczby wymierne to te, kt\u00f3re mo\u017cemy przedstawia\u0107 w postaci u\u0142amk\u00f3w zwyk\u0142ych tj. ilorazu dwu liczb ca\u0142kowitych. Innym sposobem przedstawienia liczb rzeczywistych jest rozwini\u0119cie dziesi\u0119tne, kt\u00f3re w przypadku liczb wymiernych jest sko\u0144czone lub niesko\u0144czone okresowe. Przyk\u0142adowo \\[\\dfrac 15=0,2\\textrm{ oraz }\\dfrac 13=0,(3).\\] Liczb niewymiernych nie da si\u0119 zapisa\u0107 w postaci ilorazu dw\u00f3ch liczb ca\u0142kowitych. Mo\u017cemy si\u0119 jednak pos\u0142u\u017cy\u0107 zapisem dziesi\u0119tnym. Liczba \\[0,12345678910111213…,\\] mimo i\u017c bez trudu jeste\u015bmy w stanie odgadn\u0105\u0107 zasad\u0119 kt\u00f3r\u0105 pod\u0105\u017caj\u0105 dalsze cyfry jej rozwini\u0119cia, jest niewymierna. Jej rozwini\u0119cie dziesi\u0119tne nie jest ani sko\u0144czone ani okresowe.<\/p>\n

Z kolei w rozwini\u0119ciu, znanej chyba wszystkim, liczby \\[\\pi=3,1415926535897932384626433832795028…\\] ci\u0119\u017cko znale\u017a\u0107 jak\u0105kolwiek zasad\u0119 pozwalaj\u0105c\u0105 wypisywa\u0107 kolejne cyfry po przecinku. Nie tylko w systemie dziesi\u0119tnym lecz r\u00f3wnie\u017c w innych. Np. pocz\u0105tkowe cyfry rozwini\u0119cia \\(\\pi\\) w systemie o podstawie 7 prezentuj\u0105 si\u0119 nast\u0119puj\u0105co: \\[\\pi_{(7)}=3,066365143203613411026340224465\\ldots\\] Mo\u017cemy jedynie, stosuj\u0105c mniej lub bardziej wyszukane metody, wyznacza\u0107 kolejne cyfry. Co jaki\u015b czas zreszt\u0105 mo\u017cna us\u0142ysze\u0107 doniesienia o nowym rekordzie w wyznaczaniu ilo\u015bci cyfr po przecinku liczby \\(\\pi\\). W czasie pisania tego wpisu, tj. w sierpniu 2021, szwajcarscy uczeni z uniwersytetu mieszcz\u0105cego si\u0119 w kantonie o d\u017awi\u0119cznej nazwie Gryzonia og\u0142osili i\u017c uda\u0142o im si\u0119 wyznaczy\u0107 rozwini\u0119cie \\(\\pi\\) do \\(62,8\\) biliona miejsc po przecinku. Co, o ile jest to prawd\u0105, stanowi nowy rekord. Link<\/a> do o\u015bwiadczenia.<\/p>\n

Jednym ze sposob\u00f3w coraz dok\u0142adniejszego przybli\u017cania warto\u015bci liczb jest u\u017cycie szereg\u00f3w. Liczb\u0119 \\(\\pi\\) z ich wykorzystaniem mo\u017cna np. przedstawi\u0107 nast\u0119puj\u0105co \\[\\pi=4-\\dfrac 43+\\dfrac 45-\\dfrac 47+\\dfrac 49-…=\\sum_{n=0}^\\infty\\dfrac{4\\cdot (-1)^n}{2n+1}.\\]<\/p>\n

Wz\u00f3r ten jest, w zasadzie, szczeg\u00f3lnym przypadkiem og\u00f3lniejszej r\u00f3wno\u015bci \\[\\textrm{arctg }{x}=x-\\dfrac{x^3}{3}+\\dfrac{x^5}{5}-\\dfrac{x^7}{7}+\\cdots.\\] Wystarczy przyj\u0105\u0107 \\(x=1\\) i otrzyman\u0105 r\u00f3wno\u015b\u0107 dla \\(\\textrm{arctg }1=\\frac{\\pi}{4}\\) pomno\u017cy\u0107 przez 4. Dzi\u0119ki powy\u017cszemu szeregowi dostajemy narz\u0119dzie pozwalaj\u0105ce wyznaczy\u0107 \\(\\pi\\) z dowoln\u0105 dok\u0142adno\u015bci\u0105. Jego efektywno\u015b\u0107, czyli to ile wyraz\u00f3w nale\u017cy zsumowa\u0107 by otrzyma\u0107 zadan\u0105 dok\u0142adno\u015b\u0107, jest ju\u017c innym zagadnieniem.<\/p>\n

Liczb\u0119 \\(\\pi\\) mo\u017cna przedstawi\u0107 na wiele sposob\u00f3w jako sum\u0119 niesko\u0144czonego szeregu. Jak wida\u0107 s\u0105 w\u015br\u00f3d nich takie, kt\u00f3re pozwalaj\u0105 to zrobi\u0107 tak, aby kolejne sumowane liczby spe\u0142nia\u0142y prost\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107.<\/p>\n

Mo\u017cna tak\u017ce zamiast sum wykorzystywa\u0107 iloczyny niesko\u0144czone jak np. w s\u0142ynnym wzorze Wallisa \\[\\dfrac{\\pi}{2}=\\dfrac{2}{1}\\cdot\\dfrac{2}{3}\\cdot\\dfrac{4}{3}\\cdot\\dfrac{4}{5}\\cdot\\dfrac{6}{5}\\cdot\\dfrac{6}{7}\\cdot\\cdots=\\prod_{n=1}^\\infty\\dfrac{2n\\cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)}\\]<\/p>\n

Innym sposobem przedstawiania liczb, przy pomocy dzia\u0142a\u0144 niekoniecznie sko\u0144czonych, s\u0105 u\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe. By\u0107 mo\u017ce b\u0119dzie to dla niekt\u00f3rych zaskakuj\u0105ce, ale \\[\\pi=3+\\dfrac{1^2}{6+\\dfrac{3^2}{6+\\dfrac{5^2}{6+\\dfrac{7^2}{6+\\cdots}}}}\\]<\/p>\n

W\u0142a\u015bnie wyra\u017cenia postaci \\[a_0+\\dfrac{b_1}{a_1+\\dfrac{b_2}{a_2+\\dfrac{b_3}{a_3+\\dfrac{b_4}{a_4+\\cdots}}}}\\] nazywamy u\u0142amkami \u0142a\u0144cuchowymi. Nas najbardziej interesowa\u0107 b\u0119d\u0105 tzw. proste<\/em> u\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe, tj. takie, w kt\u00f3rych wszystkie \\(b_i=1\\) oraz \\(a_i\\) s\u0105 liczbami naturalnymi dodatnimi dla \\(i\\geqslant 1\\). O liczbie \\(a_0\\) zak\u0142adamy, \u017ce jest ca\u0142kowita. Mo\u017ce by\u0107 ujemna. U\u0142amki proste maj\u0105 wi\u0119c posta\u0107 \\[a_0+\\dfrac{1}{a_1+\\dfrac{1}{a_2+\\dfrac{1}{a_3+\\dfrac{1}{a_4+\\cdots}}}}\\] Mo\u017cemy je zapisywa\u0107 stosuj\u0105c wygodniejsz\u0105 notacj\u0119 \\([a_0;a_1, a_2, \\ldots]\\). U\u0142amki cz\u0119\u015bciowe \\([a_0;a_1,a_2,a_3,\\ldots, a_n]\\) nazywamy reduktami<\/strong>. Poniewa\u017c \\(a_i\\gt 0\\) dla \\(i\\geqslant 1\\), to ka\u017cdy redukt jest liczb\u0105 poprawnie okre\u015blon\u0105.<\/p>\n

Je\u017celi taki u\u0142amek jest sko\u0144czony (tzn. ci\u0105g \\((a_n)\\) jest sko\u0144czony), to nietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce przedstawia pewn\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105. Wystarczy zwin\u0105\u0107<\/em> go od ko\u0144ca. Przyk\u0142adowo \\[2+\\dfrac{1}{3+\\dfrac{1}{2}}=2+\\dfrac{1}{\\dfrac{7}{2}}=2+\\dfrac{2}{7}=\\dfrac{16}{7}\\]<\/p>\n

Gdy ci\u0105g \\((a_n)\\) jest niesko\u0144czony, to pojawia si\u0119 naturalne pytanie jaki jest sens liczbowy wyra\u017cenia \\[[a_0;a_1,a_2,a_3,\\ldots]?\\] Odpowied\u017a jest bardzo prosta. Mo\u017cemy z nim stowarzyszy\u0107 ci\u0105g redukt\u00f3w \\[r_1=[a_0;a_1], r_2=[a_0;a_1,a_2], \\ldots ,r_n=[a_0;a_1,a_2,\\ldots, a_n], \\ldots\\] S\u0105 one liczbami wymiernymi i za warto\u015b\u0107 \\([a_0;a_1,a_2,a_3,\\ldots]\\) przyj\u0105\u0107 granic\u0119 tego ci\u0105gu. Nie jest jednak takie oczywiste, \u017ce ta granica istnieje. Okazuje si\u0119, \u017ce istnieje dla ka\u017cdego u\u0142amka prostego i nie tylko. Je\u017celi rozwa\u017cymy u\u0142amki, w kt\u00f3rych liczby \\(a_i\\) s\u0105, by\u0107 mo\u017ce poza \\(a_0\\), dowolnymi liczbami dodatnimi (niekoniecznie ca\u0142kowitymi), to proste kryterium zbie\u017cno\u015bci daje twierdzenie Seidela-Sterna<\/p>\n

Twierdzenie (Seidel – Stern)<\/strong>
\nJe\u017celi \\(a_n\\gt 0\\) dla \\(n\\geqslant 1\\), to ci\u0105g \\(([a_0;a_1,\\ldots,a_n])\\) ma granic\u0119 wtedy i tylko wtedy, gdy szereg \\[\\sum_{n=0}^\\infty a_n\\] jest rozbie\u017cny.<\/p><\/blockquote>\n

Teraz poka\u017cemy jak przedstawi\u0107 dowoln\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105 \\(x\\) w postaci u\u0142amka \u0142a\u0144cuchowego. W tym celu przypomnimy najpierw poj\u0119cie cz\u0119\u015bci ca\u0142kowitej<\/em>. Je\u017celi \\(x\\) jest liczb\u0105 rzeczywist\u0105, to jej cz\u0119\u015bci\u0105 ca\u0142kowit\u0105 jest najwi\u0119ksza liczba ca\u0142kowita \\(\\lfloor x\\rfloor\\) nie wi\u0119ksza od \\(x\\). Np. \\(\\lfloor 5\\rfloor=5, \\lfloor 2,6\\rfloor=2\\) oraz \\(\\lfloor -3,3\\rfloor=-4\\).<\/p>\n

Na pocz\u0105tek zajmiemy si\u0119 liczbami wymiernymi pokazuj\u0105c algorytm na przyk\u0142adzie liczby \\(x=\\dfrac{87}{38}\\).<\/p>\n

\u017beby wyznaczy\u0107 \\(a_0\\) dzielimy 87 przez 38 otrzymuj\u0105c 2 (czyli \\(\\lfloor x\\rfloor\\)) oraz reszt\u0119 11, tzn.
\n\\[\\dfrac{87}{38}=2+\\dfrac{11}{38}\\] Otrzymali\u015bmy \\(a_0\\) oraz u\u0142amek maj\u0105cy 11 w liczniku. My jednak chcemy mie\u0107 1. Mo\u017cna to osi\u0105gn\u0105\u0107 \\[2+\\dfrac{11}{38}=2+\\dfrac{1}{\\frac{38}{11}}\\] Powtarzamy teraz proces dla u\u0142amka \\(\\dfrac{38}{11}\\) co prowadzi nas do r\u00f3wno\u015bci \\[\\dfrac{87}{38}=2+\\dfrac{11}{38}=2+\\dfrac{1}{3+\\frac{5}{11}}\\] Znowu robimy to samo tym razem dla u\u0142amka \\[\\dfrac{1}{\\dfrac{5}{11}}=\\dfrac{11}{5}=2+\\dfrac{1}{5}\\] co prowadzi nas do ostatecznego wyniku \\[\\dfrac{87}{38}=2+\\dfrac{1}{3+\\dfrac{1}{2+\\dfrac{1}{5}}}\\] tzn. \\(\\dfrac{87}{38}=[2;3,2,5]\\). W kolejnych krokach wykonywali\u015bmy nast\u0119puj\u0105ce dzielenia z reszt\u0105\\[\\dfrac{87}{38}, \\dfrac{38}{11}, \\dfrac{11}{5}, \\dfrac{5}{1}.\\] Uprzednie mianowniki stawa\u0142y si\u0119 licznikami, a reszty mianownikami. Ci co znaj\u0105 algorytm Euklidesa bez trudu dostrzegli g\u0142\u0119bokie podobie\u0144stwo.<\/p>\n

Zwr\u00f3\u0107my uwag\u0119, \u017ce \\[\\dfrac{87}{38}=2+\\dfrac{1}{3+\\dfrac{1}{2+\\dfrac{1}{5}}}= \\dfrac{87}{38}=2+\\dfrac{1}{3+\\dfrac{1}{2+\\dfrac{1}{4+\\dfrac{1}{1}}}}\\] czyli mo\u017cemy liczby wymierne przedstawia\u0107 w postaci u\u0142amka na dwa sposoby. Prawdziwe jest przy tym nast\u0119puj\u0105ce twierdzenie:<\/p>\n

\n

Twierdzenie<\/strong>
\nKa\u017cdy sko\u0144czony prosty u\u0142amek \u0142a\u0144cuchowy przedstawia pewn\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105. Ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105 mo\u017cna przedstawi\u0107 w postaci sko\u0144czonego prostego u\u0142amka \u0142a\u0144cuchowego \\([a_0;a_1,\\ldots,a_n]\\). Przedstawienie to jest jednoznaczne z wyj\u0105tkiem, \u017ce \\([a_0;a_1,\\ldots,a_n]=[a_0;a_1,\\ldots,a_n-1,1]\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n

Algorytm Euklidesa, a tym samym znajdowanie rozwini\u0119cia liczby wymiernej w prosty u\u0142amek \u0142a\u0144cuchowy, maj\u0105 ciekaw\u0105 interpretacj\u0119 geometryczn\u0105. Poka\u017cemy j\u0105 na przyk\u0142adzie u\u0142amka \\(\\dfrac{87}{38}\\). U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe maj\u0105 jeszcze inn\u0105 interpretacj\u0119 geometryczn\u0105. O niej powiemy sobie p\u00f3\u017aniej. Zacznijmy od prostok\u0105ta, kt\u00f3rego boki maj\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 87 oraz 38 pewnych jednostek.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Prostok\u0105t ten wype\u0142niamy kwadratami o boku 38 (czyli kr\u00f3tszy bok prostok\u0105ta) tak jak na rysunku poni\u017cej. Mieszcz\u0105 si\u0119 dwa a reszta jest prostok\u0105tem o bokach 38 oraz 11.<\/p>\n

\"algorytm<\/p>\n

Proces powtarzamy. Tym razem prostok\u0105t o bokach 11 oraz 38 wype\u0142niamy tyloma kwadratami o boku 11 ile si\u0119 zmie\u015bci.<\/p>\n

\"algorytm<\/p>\n

Dop\u00f3ki proces si\u0119 nie zako\u0144czy, to w ka\u017cdym kolejnym kroku otrzymamy prostok\u0105t, kt\u00f3ry wype\u0142niamy kwadratami o boku nie d\u0142u\u017cszym od drugiego. Wykorzystali\u015bmy prostok\u0105t o bokach 87 oraz 38. Jednak\u017ce mogli\u015bmy u\u017cy\u0107 ka\u017cdego prostok\u0105ta, kt\u00f3rego stosunek bok\u00f3w by\u0142by r\u00f3wny \\(\\dfrac{87}{38}\\).<\/p>\n

Znajdywanie rozwini\u0119\u0107 liczb niewymiernych w proste u\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe jest niemal identyczne. Niewymierno\u015b\u0107 sprawia jednak, \u017ce proces ten si\u0119 nigdy nie ko\u0144czy. Poka\u017cemy go na przyk\u0142adzie liczby \\(\\pi\\).<\/p>\n

Jak wcze\u015bniej, \\(a_0=\\lfloor\\pi\\rfloor=3\\). Z tego mamy, \u017ce \\[\\pi=3+s_0\\] gdzie \\(x_0=\\pi-\\lfloor\\pi\\rfloor=0,1415192…\\). Stosujemy ten sam trik co wcze\u015bniej, tzn. bierzemy odwrotno\u015b\u0107 \\(x_0\\) zapisuj\u0105c w r\u00f3wnowa\u017cnej formie \\[\\pi=3+\\dfrac{1}{\\dfrac{1}{x_0}}\\] Poniewa\u017c \\(0\\lt x_0\\lt 1\\), to \\(\\dfrac{1}{x_0}\\gt 1\\). Dok\u0142adniej \\(\\dfrac{1}{x_0}=7,062513…\\) Wobec tego \\(a_1=7\\). Proces powtarzamy dla liczby \\[\\dfrac{1}{x_0}-\\left\\lfloor\\dfrac{1}{x_0}\\right\\rfloor=0,062513…\\] oraz kolejnych tak otrzymanych. Oka\u017ce si\u0119, \u017ce \\[\\pi=[3;7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, \\ldots]\\]<\/p>\n

W og\u00f3lno\u015bci, dla liczby niewymiernej \\(x\\) mamy \\(a_k=\\lfloor x_k\\rfloor\\), gdzie \\(x_0=x\\) oraz \\[x_{k+1}=\\dfrac{1}{x_k-a_k}\\] dla \\(k\\geqslant 0\\). Poniewa\u017c \\(x\\) jest niewymierna, to \\(x_k-a_k\\neq 0\\).<\/p>\n

Pojawia si\u0119 pewien problem. O ile w przypadku liczb wymiernych by\u0142o jasne z konstrukcji algorytmu, \u017ce otrzymany u\u0142amek jest r\u00f3wny wyj\u015bciowej liczbie \\(x\\), o tyle w przypadku liczb wymiernych a\u017c takie oczywiste to nie jest. Ponadto czy dan\u0105 liczb\u0119 niewymiern\u0105 mo\u017cna przedstawi\u0107 w postaci u\u0142amka prostego jednoznacznie?<\/p>\n

\n

Twierdzenie<\/strong>
\nKa\u017cd\u0105 liczb\u0119 niewymiern\u0105 \\(x\\) mo\u017cna przedstawi\u0107 w spos\u00f3b jednoznaczny w postaci niesko\u0144czonego prostego u\u0142amka \u0142a\u0144cuchowego \\([a_0;a_1,a_2,a_3,\\ldots]\\), gdzie liczby \\(a_i\\) otrzymujemy przy pomocy algorytmu opisanego powy\u017cej. Ka\u017cdy niesko\u0144czony prosty u\u0142amek \u0142a\u0144cuchowy przedstawia pewn\u0105 liczb\u0119 niewymiern\u0105.<\/p>\n<\/blockquote>\n

Podobnie jak w przypadku rozwini\u0119cia dziesi\u0119tnego ci\u0119\u017cko znale\u017a\u0107, o ile jaka\u015b istnieje, regu\u0142\u0119 wed\u0142ug kt\u00f3rej pojawiaj\u0105 si\u0119 kolejne liczby w rozwini\u0119ciu \\(\\pi\\) w u\u0142amek prosty. W przypadku niekt\u00f3rych innych, dobrze nam znanych, liczb niewymiernych takie regu\u0142y mo\u017cna \u0142atwo dostrzec. Mo\u017ce to by\u0107 zaskakuj\u0105ce, ale \\[e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\\ldots]\\] Z kolei bez trudu mo\u017cna zweryfikowa\u0107, \u017ce \\[\\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,\\ldots]=[1;\\overline{2}],\\] gdzie kreska oznacza, \u017ce dana cz\u0119\u015b\u0107 powtarza si\u0119 w niesko\u0144czono\u015b\u0107. Podobnie, \\[\\sqrt{7}=[2;\\overline{1,1,1,4}], \\dfrac{24-\\sqrt{15}}{17}=[1;5,\\overline{2,3}]\\] za\u015b s\u0142ynna z\u0142ota proporcja<\/a> ma przedstawienie \\[[1;1,1,1,1,\\ldots]=[1;\\overline{1}]\\] Og\u00f3lnie prawdziwe jest nast\u0119puj\u0105ce twierdzenie.<\/p>\n

\n

Twierdzenie<\/strong>
\nRozwini\u0119cie liczby niewymiernej w prosty u\u0142amek \u0142a\u0144cuchowy jest od pewnego miejsca okresowe wtedy i tylko wtedy, gdy jest niewymiernym rozwi\u0105zaniem r\u00f3wnania kwadratowego o wsp\u00f3\u0142czynnikach ca\u0142kowitych.<\/p>\n<\/blockquote>\n

Innymi s\u0142owy liczba ma rozwini\u0119cie (od pewnego miejsca) okresowe w u\u0142amek prosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci \\[\\dfrac{B+\\sqrt{D}}{A},\\] gdzie wszystkie liczby s\u0105 ca\u0142kowite, \\(A\\neq 0, D\\gt 0\\) oraz \\(D\\) nie jest kwadratem liczby naturalnej. Dow\u00f3d w jedn\u0105 stron\u0119, tj. \u017ce ka\u017cde niewymierne rozwi\u0105zanie r\u00f3wnania kwadratowego o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych ma okresowe przedstawienie w postaci u\u0142amka prostego, zawdzi\u0119czamy Lagrange’owi.<\/p>\n

Zwr\u00f3\u0107my uwag\u0119 na pewn\u0105 rzecz. Rozwini\u0119cie dziesi\u0119tne pozwala nam stowarzyszy\u0107 z ka\u017cd\u0105 liczb\u0105 rzeczywist\u0105 ci\u0105g liczb ca\u0142kowitych. W przypadku \\(\\pi\\) b\u0119dzie to ci\u0105g \\(3, 1, 4, 1, 5, 9,\\ldots\\). Je\u017celi zapiszemy \\(\\pi\\) w innym systemie, to otrzymamy ci\u0105g, w kt\u00f3rym na pierwszym miejscu nadal b\u0119dzie 3 (by\u0107 mo\u017ce zapisane inaczej, np. jako 11 w systemie dw\u00f3jkowym) a pozosta\u0142e liczby b\u0119d\u0105 inne.<\/p>\n

Z kolei przedstawienie liczby rzeczywistej w postaci prostego u\u0142amka \u0142a\u0144cuchowego zawsze b\u0119dzie prowadzi\u0107 do ci\u0105gu tych samych liczb bez wzgl\u0119du na to w jakim systemie liczbowym zapisujemy liczby. Mog\u0105 one jedynie zosta\u0107 zapisane przy pomocy innych symboli. Z tego wzgl\u0119du mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce posta\u0107 u\u0142amka prostego jest bardziej naturalna ni\u017c posta\u0107 dziesi\u0119tna. Cho\u0107 ta druga ma istotn\u0105 zalet\u0119, znacznie bardziej nadaje si\u0119 do wszelkiego rodzaju oblicze\u0144. W przypadku u\u0142amk\u00f3w \u0142a\u0144cuchowych nawet obliczanie kolejnych redukt\u00f3w, mimo znajomo\u015bci rozwini\u0119cia liczby w u\u0142amek prosty mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 zadaniem \u017cmudnym.<\/p>\n

\nNa szcz\u0119\u015bcie kolejne redukty spe\u0142niaj\u0105 prost\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107 rekurencyjn\u0105. Niech \\(r_n=\\dfrac{p_n}{q_n}\\) b\u0119dzie, w postaci nieskracalnej, n-tym reduktem u\u0142amka \\([a_0;a_1,a_2,\\ldots]\\). Przyjmijmy \\[p_{-2}=0,\\ q_{-2}=1,\\ p_{-1}=1,\\ q_{-1}=0\\] okazuje si\u0119, \u017ce w\u00f3wczas (co \u0142atwo pokaza\u0107 indukcyjnie) dla \\(k\\geqslant 0\\) mamy \\[\\begin{array}{lllll}p_k & = & p_{k-1}a_k & + & p_{k-2},\\\\ q_k & = & q_{k-1}a_k & + & q_{k-2} \\end{array}\\] Powy\u017csze zale\u017cno\u015bci pozwalaj\u0105 z \u0142atwo\u015bci\u0105 wyznacza\u0107 kolejne redukty, o ile znamy kolejne \\(a_i\\) wyst\u0119puj\u0105ce w rozwini\u0119ciu danej liczby w u\u0142amek prosty.<\/p>\n

\nZ algorytmu przedstawiania liczby \\(x\\) w postaci u\u0142amka prostego \u0142atwo si\u0119 domy\u015bli\u0107, \u017ce kolejne redukty s\u0105 pewnymi, zapewne coraz lepszymi, przybli\u017ceniami \\(x\\). Sp\u00f3jrzmy na liczb\u0119 \\(\\pi\\). Jej kolejne redukty to \\[3, \\dfrac{22}{7}, \\dfrac{333}{106}, \\dfrac{355}{113}, \\dfrac{103993}{33102},\\ldots\\] Ju\u017c Archimedes potrafi\u0142 oszacowa\u0107, \u017ce \\(\\dfrac{223}{71}\\lt\\pi\\lt\\dfrac{22}{7}\\). Natomiast chi\u0144scy matematycy ju\u017c w V wieku wiedzieli, \u017ce \\(\\dfrac{355}{113}\\) jest bardzo dobrym przybli\u017ceniem \\(\\pi\\). Fakt ten b\u0119dzie jeszcze bardziej widoczny, gdy poznamy drug\u0105 interpretacj\u0119 geometryczn\u0105 przedstawiania liczb w postaci u\u0142amka prostego.<\/p>\n

\nDla prostoty punkt p\u0142aszczyzny \\((p,q)\\) uto\u017csamiamy z wektorem \\([p,q]\\).<\/p>\n

\nNiech \\(\\alpha\\) b\u0119dzie liczb\u0105 rzeczywist\u0105 dodatni\u0105. Dla liczb ujemnych proces wygl\u0105da podobnie. Narysujmy p\u00f3\u0142prost\u0105 \\(l: y=\\alpha x\\) dla \\(x\\geqslant 0\\). Zaczynamy od wektor\u00f3w\/punkt\u00f3w \\[R_{-2}=[1,0]\\textrm{ oraz } R_{-1}=[0,1]\\] Punkt \\(R_{-2}\\) znajduje si\u0119 poni\u017cej p\u00f3\u0142prostej \\(l\\) za\u015b \\(R_{-1}\\) powy\u017cej.
\n\"u\u0142amek<\/p>\n

\nTeraz do wektora \\(R_{-2}\\) dodajemy tyle razy \\(R_{-1}=[1,0]\\), otrzymuj\u0105c nowy wektor \\(R_0=R_{-2}+a_0R_{-1}\\), a\u017c dodanie kolejnego \\(R_{-1}\\) sprawi, \u017ce znajdziemy si\u0119 nad p\u00f3\u0142prost\u0105 \\(l\\).<\/p>\n

\"u\u0142amek<\/p>\n

\nW naszym przypadku mo\u017cemy jedynie raz doda\u0107 \\(R_{-1}\\) do \\(R_{-2}\\) aby znajdowa\u0107 si\u0119 pod lub na p\u00f3\u0142prostej. Dodanie dwukrotno\u015bci \\(R_{-1}\\) sprawi, \u017ce znajdziemy si\u0119 nad p\u00f3\u0142prost\u0105. Wobec tego \\(a_0=1\\). Zauwa\u017cmy, \u017ce proces ten odpowiada po prostu braniu cz\u0119\u015bci ca\u0142kowitej. Tzn. \\(a_0=\\lfloor \\alpha\\rfloor\\). Otrzymali\u015bmy punkt \\(R_0=(1,a_0)\\) o wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych ca\u0142kowitych, kt\u00f3ry znajduje si\u0119 nie dalej od p\u00f3\u0142prostej \\(l\\) ni\u017c \\(R_{-2}\\) oraz \\(R_{-1}\\).<\/p>\n

\"u\u0142amki<\/p>\n

\nPunkt \\(R_{-1}\\) znajduje si\u0119 nad p\u00f3\u0142prost\u0105. Dodajemy do niego tyle razy wektor \\(R_0\\) a\u017c kolejne jego dodanie sprawi, \u017ce znajdziemy si\u0119 pod p\u00f3\u0142prost\u0105. W naszym przypadku mo\u017cemy doda\u0107 dwukrotno\u015bci \\(R_0\\), tzn. \\(a_1=2\\).<\/p>\n

\"u\u0142amki<\/p>\n

\nOtrzymali\u015bmy kolejny punkt \\(R_1\\) o wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych ca\u0142kowitych znajduj\u0105cy si\u0119 bli\u017cej p\u00f3\u0142prostej \\(l\\) ni\u017c punkty poprzednie.<\/p>\n

\"u\u0142amki<\/p>\n

\nW og\u00f3lno\u015bci otrzymujemy \\(R_{k}=R_{k-2}+a_kR_{k-1}\\). Je\u017celi \\(R_k\\) znajduje si\u0119 na p\u00f3\u0142prostej \\(l\\), to w tym momencie ko\u0144czymy proces. Analogia do wzor\u00f3w rekurencyjnych opisuj\u0105cych liczniki i mianowniki kolejnych redukt\u00f3w u\u0142amk\u00f3w \u0142a\u0144cuchowych jest oczywista i jak si\u0119 \u0142atwo domy\u015bli\u0107 wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne \\(R_k\\), to licznik oraz mianownik k-tego reduktu u\u0142amka \\(\\alpha=[a_0;a_1,a_2,\\ldots]\\) w postaci u\u0142amka nieskracalnego. Cho\u0107 nie jest to takie oczywiste na pierwszy rzut oka.<\/p>\n

\nZnaj\u0105c t\u0119 interpretacj\u0119 geometryczn\u0105 mo\u017cemy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce kolejne redukty maj\u0105 warto\u015bci naprzemienne raz mniejsz\u0105, raz wi\u0119ksz\u0105 od \\(\\alpha\\). W og\u00f3lno\u015bci \\[r_0\\lt r_2\\lt r_4\\lt\\ldots\\lt\\alpha\\lt\\ldots\\lt r_{2n-1}\\lt r_{2n-3}\\lt\\ldots\\lt r_3\\lt r_1\\]<\/p>\n

\nJe\u017celi wektor\/punkt \\(R_n\\) znajduje si\u0119 pod p\u00f3\u0142prost\u0105 \\(l\\), to ,,ro\u015bnie”<\/em> wolniej ni\u017c \\(l\\). Dodaj\u0105c go do znajduj\u0105cego si\u0119 nad \\(l\\) wektora \\(R_{n-1}\\) zbli\u017camy si\u0119 do \\(l\\). Og\u00f3lnie \\[d_n\\gt d_{n+1},\\] gdzie \\(d_n\\), to odleg\u0142o\u015b\u0107 \\(R_n\\) od \\(l\\). <\/p>\n

\nKorzystaj\u0105c ze wzoru na odleg\u0142o\u015b\u0107 punktu od prostej, nietrudno pokaza\u0107, \u017ce \\[d_n=d_{n-2}+a_nd_{n-1}\\] tzn. \\[0\\leqslant d_{n-2}-a_nd_{n-1}\\lt d_{n-1}\\] dziel\u0105c przez \\(d_{n-1}\\) otrzymujemy \\[a_n\\leqslant\\dfrac{d_{n-2}}{d_{n-1}}\\lt a_n+1\\] czyli \\[a_n=\\left\\lfloor\\dfrac{d_{n-2}}{d_{n-1}}\\right\\rfloor \\] Ponadto \\[\\dfrac{d_{n-2}}{d_{n-1}}=a_n+\\dfrac{d_n}{d_{n-1}}\\] Czyli otrzymali\u015bmy znan\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107! Przyjmuj\u0105c \\(x_n=\\dfrac{d_{n-2}}{d_{n-1}}\\) otrzymujemy \\[x_{n+1}=\\dfrac{1}{x_n-a_n}\\textrm{ oraz }a_n=\\lfloor x_n\\rfloor\\] \u0141atwo te\u017c zweryfikowa\u0107, \u017ce \\(\\alpha=\\dfrac{d_{-2}}{d_{-1}}\\) co pokazuje, \u017ce istotnie wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne punkt\u00f3w \\(R_n\\) to liczniki i mianowniki kolejnych redukt\u00f3w u\u0142amka \\(\\alpha=[a_0;a_1,a_2,\\ldots]\\).<\/p>\n

\nWspomnieli\u015bmy, \u017ce kolejne redukty u\u0142amka prostego \\(x=[a_0;a_1,a_2,\\ldots]\\) stanowi\u0105 coraz lepsze przybli\u017cenia liczby \\(x\\). Pojawia si\u0119 pytanie jak dobre?<\/p>\n

\n

Twierdzenie<\/strong>
\nJe\u017celi \\(x=[a_0;a_1,a_2,\\ldots]\\) oraz \\(\\dfrac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,\\ldots,a_n]\\) jest u\u0142amkiem nieskracalnym, to \\[\\left|x-\\dfrac{p_n}{q_n}\\right|\\lt\\dfrac{1}{q^2_n}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n

Z tego twierdzenia wynika np., \u017ce \\[\\left|\\pi-\\dfrac{22}{7}\\right|\\lt\\dfrac{1}{49}\\textrm{ oraz } \\left|\\pi-\\dfrac{355}{113}\\right|\\lt\\dfrac{1}{113^2}=\\dfrac{1}{12769}\\] co tylko potwierdza, jak dobrym przybli\u017ceniem \\(\\pi\\) jest \\(\\dfrac{355}{113}\\) oraz, \u017ce kolejne redukty s\u0105 coraz lepszymi przybli\u017ceniami liczby \\(x=[a_0;a_1,a_2,\\ldots]\\). W pewnym sensie najlepszymi. Co dok\u0142adnie oznacza sformu\u0142owanie najlepsze przybli\u017cenie<\/em>?<\/p>\n

\nPoniewa\u017c w ka\u017cdym przedziale liczbowym znajduje si\u0119 niesko\u0144czenie wiele liczb wymiernych, to dla ka\u017cdej liczby rzeczywistej \\(\\alpha\\) istnieje liczba wymierna znajduj\u0105ca si\u0119 dowolnie blisko \\(\\alpha\\). Je\u017celi jednak ograniczymy si\u0119 do u\u0142amk\u00f3w zwyk\u0142ych maj\u0105cych w mianowniku liczby \\(1, 2, \\ldots, q\\), to w\u015br\u00f3d nich b\u0119dzie ten po\u0142o\u017cony najbli\u017cej \\(\\alpha\\). Dlatego b\u0119dziemy por\u00f3wnywa\u0107 przybli\u017cenia wymierne liczb bior\u0105c pod uwag\u0119 ich mianowniki. Dla prostoty zak\u0142adamy, \u017ce \\(\\alpha\\gt 0\\) oraz zawsze zak\u0142adamy, \u017ce u\u0142amki s\u0105 w postaci nieskracalnej.<\/p>\n

\nPowiemy wi\u0119c, \u017ce liczba wymierna \\(\\dfrac pq\\) jest najlepszym przybli\u017ceniem (I rodzaju)<\/em> liczby \\(\\alpha\\), o ile dla dowolnej innej liczby wymiernej \\(\\dfrac ab\\), gdzie \\(0\\lt b\\leqslant q\\) zachodzi \\[\\left|\\alpha-\\dfrac{p}{q}\\right|\\lt \\left|\\alpha-\\dfrac{a}{b}\\right|\\] <\/p>\n

\nJe\u017celi przy tych samych za\u0142o\u017ceniach zast\u0105pimy nier\u00f3wno\u015b\u0107 \\[\\left|\\alpha-\\dfrac{p}{q}\\right|\\lt \\left|\\alpha-\\dfrac{a}{b}\\right|\\] przez \\[|q\\alpha-p|\\lt |b\\alpha-a|,\\] to otrzymamy definicj\u0119 najlepszego przybli\u017cenia II rodzaju<\/em>. Ka\u017cda liczba b\u0119d\u0105ca przybli\u017ceniem II rodzaju jest r\u00f3wnie\u017c tym I rodzaju, ale nie na odwr\u00f3t.<\/p>\n

\n

\nTwierdzenie<\/strong>
\nKa\u017cde najlepsze przybli\u017cenie II rodzaju jest reduktem.\n<\/p><\/blockquote>\n

\nNajlepsze przybli\u017cenia II rodzaju nazywamy po prostu najlepszym przybli\u017ceniem. Ma ono prost\u0105 interpretacj\u0119 geometryczn\u0105. Liczba \\(d=|q\\alpha – p|\\) jest r\u00f3wna odleg\u0142o\u015bci od punktu \\((q,p)\\) do \\((q,q\\alpha)\\). Je\u017celi narysujemy prost\u0105 \\(l:y=\\alpha x\\), to mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce \\(d\\) jest odleg\u0142o\u015bci\u0105 od punktu \\((q,p)\\) do prostej \\(l\\) w kierunku wektora \\([0,1]\\). Z tego wynika (cho\u0107 nie jest to takie oczywiste na pierwszy rzut oka), \u017ce spo\u015br\u00f3d wszystkich punkt\u00f3w \\((b,a)\\) o wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych ca\u0142kowitych punkt \\((q,p)\\) jest tym najbli\u017cszym prostej \\(l\\), o ile \\(0\\lt b\\leqslant q\\).<\/p>\n

\nUmiej\u0119tno\u015b\u0107 znajdowania dobrych przybli\u017ce\u0144 wymiernych mo\u017ce mie\u0107 zastosowania praktyczne, inne od czysto rachunkowych. Przyk\u0142adowo za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce mamy mechanizm wprawiany w ruch przy pomocy dw\u00f3ch k\u00f3\u0142 z\u0119batych i chcemy aby stosunek czasu w jakim pierwsze ko\u0142o wykona pe\u0142ny obr\u00f3t do czasu w jakim drugie ko\u0142o wykona obr\u00f3t by\u0142 r\u00f3wny \\(x\\). Gdy \\(x=\\dfrac pq\\) jest liczb\u0105 wymiern\u0105, to wystarczy aby jedno ko\u0142o mia\u0142o p z\u0119b\u00f3w, a drugie q. Je\u017celi natomiast \\(\\alpha\\) jest liczb\u0105 niewymiern\u0105, to nie da si\u0119 tego zrobi\u0107 dok\u0142adnie. Musimy si\u0119 pos\u0142u\u017cy\u0107 wymiernym przybli\u017ceniem, a najlepszymi s\u0105 kolejne redukty. Podobnie w przypadku wymiernym, gdy co najmniej jedna z liczb p lub q jest du\u017ca i z jakich\u015b powod\u00f3w mo\u017ce nie by\u0107 mo\u017cliwe zastosowanie ko\u0142a o tak du\u017cej liczbie z\u0119b\u00f3w.<\/p>\n

\nU\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe s\u0105 r\u00f3wnie\u017c \u017ar\u00f3d\u0142em ciekawych i wci\u0105\u017c nierozwi\u0105zanych problem\u00f3w matematycznych. Jednym z nich jest problem zwi\u0105zany z tzw. sta\u0142\u0105 Chinczyna<\/a>. Je\u017celi \\(x=[a_0;a_1,a_2,\\ldots]\\) jest liczb\u0105 rzeczywist\u0105, to ci\u0105g \u015brednich geometrycznych \\[s_n^x=\\sqrt[n]{a_1\\cdot a_2\\cdot a_3\\cdot\\ldots\\cdot a_n}\\] jest dla prawie wszystkich liczb zbie\u017cny do liczby \\[K\\approx 2,68545\\ldots\\] zwanej w\u0142a\u015bnie sta\u0142\u0105 Chinczyna. Do teraz (tj. sierpie\u0144 2021) nie wiadomo czy \\(K\\) jest liczb\u0105 wymiern\u0105 czy nie.<\/p>\n

\nMimo i\u017c wiadomo, \u017ce dla prawie wszystkich wszystkich liczb ci\u0105g \\((s_n^x)\\) d\u0105\u017cy do \\(K\\), to niezwykle trudno udowodni\u0107, \u017ce jest to prawda dla konkretnej liczby. Wiadomo, \u017ce w\u0142asno\u015bci tej nie maj\u0105 liczby wymierne, liczby niewymierne b\u0119d\u0105ce pierwiastkami wielomian\u00f3w kwadratowych o wsp\u00f3\u0142czynnikach ca\u0142kowitych oraz tak\u017ce liczba \\(e\\). Nie wiadomo m. in. czy ci\u0105g \\((s_n^{\\pi})\\) d\u0105\u017cy do \\(K\\). Wykres poni\u017cej przedstawia warto\u015bci \\(s_n^{\\pi}\\) dla \\(n\\in\\{10,11,\\ldots,500\\}\\).<\/p>\n

\"u\u0142amki<\/p>\n

\nNa koniec literatura, kt\u00f3ra by\u0142a pomocna przy tworzeniu tego wpisu oraz pozycje warte uwagi dla chc\u0105cych pog\u0142\u0119bi\u0107 swoj\u0105 wiedz\u0119 dotycz\u0105c\u0105 u\u0142amk\u00f3w \u0142a\u0144cuchowych.<\/p>\n

Literatura<\/h3>\n

A.J. Chinczyn<\/strong>, Continued Fractions<\/em>, Dover Publ. Inc. (1992)
\nM.C. Irwin<\/strong>, Geometry of Continued Fractions<\/em>, Amer. Math. Monthly 96 (1989), 696-703
\nW. Narkiewicz<\/strong>, Teoria Liczb<\/em>, PWN (1977)
\nC.D. Olds<\/strong>, Continued Fractions<\/em>, Random House Inc. (1963)
\nW. Sierpi\u0144ski<\/strong>, Teoria Liczb<\/em>, PWN (1959)
\nH.M. Stark<\/strong>, An Introduction to Number Theory<\/em>, MIT Press (1998)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

W szkole poznajemy r\u00f3\u017cne sposoby zapisu liczb takie jak np. zapis dziesi\u0119tny czy, w przypadku liczb wymiernych, u\u0142amki zwyk\u0142e. Prawie nigdy nie wspomina si\u0119 jednak o u\u0142amkach \u0142a\u0144cuchowych. A szkoda! Bo u\u0142amki te s\u0105 bardzo<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1058,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[49,51],"tags":[50,52,53],"yoast_head":"\nU\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe - inny spos\u00f3b zapisu liczb<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"W szkole poznajemy sposoby zapisu liczb jak np. zapis dziesi\u0119tny. U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe s\u0105 na uboczu. O nich niestety si\u0119 nie wspomina. A szkoda!\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe - inny spos\u00f3b zapisu liczb\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"W szkole poznajemy sposoby zapisu liczb jak np. zapis dziesi\u0119tny. U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe s\u0105 na uboczu. O nich niestety si\u0119 nie wspomina. A szkoda!\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-08-19T17:22:59+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-11-23T21:12:33+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"879\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"279\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"20 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe – inny spos\u00f3b zapisu liczb\",\"datePublished\":\"2021-08-19T17:22:59+00:00\",\"dateModified\":\"2021-11-23T21:12:33+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/\"},\"wordCount\":3973,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png\",\"keywords\":[\"Matematyka teoretyczna\",\"Teoria liczb\",\"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe\"],\"articleSection\":[\"Matematyka teoretyczna\",\"Teoria liczb\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/\",\"name\":\"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe - inny spos\u00f3b zapisu liczb\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png\",\"datePublished\":\"2021-08-19T17:22:59+00:00\",\"dateModified\":\"2021-11-23T21:12:33+00:00\",\"description\":\"W szkole poznajemy sposoby zapisu liczb jak np. zapis dziesi\u0119tny. U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe s\u0105 na uboczu. O nich niestety si\u0119 nie wspomina. A szkoda!\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png\",\"width\":879,\"height\":279,\"caption\":\"u\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe – inny spos\u00f3b zapisu liczb\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe - inny spos\u00f3b zapisu liczb","description":"W szkole poznajemy sposoby zapisu liczb jak np. zapis dziesi\u0119tny. U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe s\u0105 na uboczu. O nich niestety si\u0119 nie wspomina. A szkoda!","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe - inny spos\u00f3b zapisu liczb","og_description":"W szkole poznajemy sposoby zapisu liczb jak np. zapis dziesi\u0119tny. U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe s\u0105 na uboczu. O nich niestety si\u0119 nie wspomina. A szkoda!","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-08-19T17:22:59+00:00","article_modified_time":"2021-11-23T21:12:33+00:00","og_image":[{"width":879,"height":279,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"20 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe – inny spos\u00f3b zapisu liczb","datePublished":"2021-08-19T17:22:59+00:00","dateModified":"2021-11-23T21:12:33+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/"},"wordCount":3973,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png","keywords":["Matematyka teoretyczna","Teoria liczb","U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe"],"articleSection":["Matematyka teoretyczna","Teoria liczb"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/","name":"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe - inny spos\u00f3b zapisu liczb","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png","datePublished":"2021-08-19T17:22:59+00:00","dateModified":"2021-11-23T21:12:33+00:00","description":"W szkole poznajemy sposoby zapisu liczb jak np. zapis dziesi\u0119tny. U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe s\u0105 na uboczu. O nich niestety si\u0119 nie wspomina. A szkoda!","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/08\/ulamki_06.png","width":879,"height":279,"caption":"u\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/08\/19\/ulamki-lancuchowe\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"U\u0142amki \u0142a\u0144cuchowe – inny spos\u00f3b zapisu liczb"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/917"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=917"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/917\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1089,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/917\/revisions\/1089"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1058"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=917"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=917"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=917"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}