{"id":866,"date":"2021-07-08T21:00:15","date_gmt":"2021-07-08T21:00:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=866"},"modified":"2021-09-01T22:48:23","modified_gmt":"2021-09-01T20:48:23","slug":"twierdzenie-o-pieciu-barwach","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/","title":{"rendered":"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach &#8211; dow\u00f3d"},"content":{"rendered":"<p style=\"line-height: 1.2;\">Jednym z najbardziej znanych twierdze\u0144 teorii graf\u00f3w jest tzw. <em>twierdzenie o czterech barwach.<\/em> Jego dow\u00f3d jest jednak na tyle skomplikowany, \u017ce matematycy musieli zaprz\u0105c do pomocy komputery aby finalnie to twierdzenie udowodni\u0107. Nieco s\u0142abszym wynikiem jest twierdzenie o pi\u0119ciu barwach, kt\u00f3rego dow\u00f3d prezentujemy w tym wpisie.<br \/>\n<!--more--><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Problemy zwi\u0105zane z kolorowaniem graf\u00f3w mog\u0105 wydawa\u0107 si\u0119 jedynie matematyczn\u0105 ciekawostk\u0105. Jednak wbrew pozorom maj\u0105 nietrywialne zastosowania.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Pocz\u0105tki tego typu zagadnie\u0144 si\u0119gaj\u0105 XIX wieku, gdy niejaki Francis Guthrie kolorowa\u0142 map\u0119 Wielkiej Brytanii i zauwa\u017cy\u0142, \u017ce potrzeba jedynie czterech barw aby dwa dowolne hrabstwa m\u0105j\u0105ce wsp\u00f3ln\u0105 granic\u0119 (nie tylko <em>wierzcho\u0142ek<\/em>) mia\u0142y r\u00f3\u017cne kolory. Doprowadzi\u0142o to do sformu\u0142owania przez niego problemu, kt\u00f3ry obecnie znamy jako twierdzenie o czterech barwach. Twierdzenie to mo\u017cna cz\u0119sto us\u0142ysze\u0107 w formie popularnonaukowej m\u00f3wi\u0105cej, \u017ce do pokolorowania ka\u017cdej mapy wystarcz\u0105 jedynie cztery kolory aby \u017cadne dwa kraje maj\u0105ce wsp\u00f3ln\u0105 granic\u0119 nie zosta\u0142y pokolorowane tym samym kolorem.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Nie do ko\u0144ca jest to prawda. Pokazuje to, \u017ce trzeba uwa\u017ca\u0107 z formu\u0142owaniem matematycznych twierdze\u0144 w lu\u017aniejszej, popularnonaukowej formie jak i \u017ce trzeba je traktowa\u0107 z lekkim przymru\u017ceniem oka. Wi\u0119cej szczeg\u00f3\u0142\u00f3w we wpisie dotycz\u0105cym <a href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">twierdzenia o czterech barwach<\/a>. Celem tego wpisu jest dow\u00f3d nieco s\u0142abszego twierdzenia o pi\u0119ciu barwach.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Twierdzenie to m\u00f3wi, \u017ce wierzcho\u0142ki ka\u017cdego prostego grafu planarnego mo\u017cna pokolorowa\u0107 jedynie pi\u0119cioma barwami tak aby \u017cadne dwa po\u0142\u0105czone kraw\u0119dzi\u0105 nie mia\u0142y tego samego koloru. Tre\u015b\u0107 tego twierdzenia jest analogiczna do jego odpowiednika dotycz\u0105cego czterech kolor\u00f3w. Zalecamy przeczytanie wpisu o twierdzeniu o czterech barwach, gdy\u017c stanowi naturalny wst\u0119p oraz uzupe\u0142nienie tego wpisu. <\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Na pocz\u0105tek troch\u0119 formalno\u015bci.<br \/>\nJe\u015bli \\(G=(V,E)\\) jest grafem, to przez \\(V\\) oznaczamy zbi\u00f3r jego wierzcho\u0142k\u00f3w, a przez \\(E\\) kraw\u0119dzi. W dalszej cz\u0119\u015bci zak\u0142adamy, \u017ce \\(G\\) jest:<\/p>\n<ul>\n<li>prosty, tzn. ka\u017cda kraw\u0119d\u017a \u0142\u0105czy dwa r\u00f3\u017cne wierzcho\u0142ki (czyli nie ma p\u0119tli) oraz ka\u017cd\u0105 par\u0119 wierzcho\u0142k\u00f3w mo\u017ce \u0142\u0105czy\u0107 co najwy\u017cej jedna kraw\u0119d\u017a;<\/li>\n<li>sp\u00f3jny, tzn. jest w jednym kawa\u0142ku;<\/li>\n<li>planarny, tzn. mo\u017cna go narysowa\u0107 na p\u0142aszczy\u017anie bez przecinaj\u0105cych si\u0119 kraw\u0119dzi.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-877\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_001.png\" alt=\"graf nieprosty\" width=\"420\" height=\"282\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_001.png 420w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_001-300x201.png 300w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_001-120x80.png 120w\" sizes=\"(max-width: 420px) 100vw, 420px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Powy\u017cszy graf nie jest prosty, gdy\u017c zawiera kraw\u0119d\u017a \u0142\u0105cz\u0105c\u0105 wierzcho\u0142ek z samym sob\u0105 oraz jest para wierzcho\u0142k\u00f3w po\u0142\u0105czona wi\u0119cej ni\u017c jedn\u0105 kraw\u0119dzi\u0105. Z kolei graf poni\u017cej nie jest sp\u00f3jny, gdy\u017c jest w dw\u00f3ch <em>kawa\u0142kach<\/em>.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-878\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_002.png\" alt=\"graf niesp\u00f3jny\" width=\"410\" height=\"254\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_002.png 410w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_002-300x186.png 300w\" sizes=\"(max-width: 410px) 100vw, 410px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Tu natomiast mamy przyk\u0142ad grafu, kt\u00f3ry nie jest planarny. Nie da si\u0119 go narysowa\u0107 na p\u0142aszczy\u017anie bez przecinaj\u0105cych si\u0119 kraw\u0119dzi. Ma on 5 wierzcho\u0142k\u00f3w i ka\u017cdy jest po\u0142\u0105czony z ka\u017cdym. Dlatego nazywa si\u0119 go <em>grafem pe\u0142nym<\/em> i oznacza \\(K_5\\).<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-845\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_08.png\" alt=\"graf nieplanarny\" width=\"357\" height=\"270\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Rzecz\u0105, na kt\u00f3r\u0105 nale\u017cy zwr\u00f3ci\u0107 uwag\u0119 jest fakt, \u017ce konkretny graf planarny mo\u017cna cz\u0119sto na wiele sposob\u00f3w narysowa\u0107 na p\u0142aszczy\u017anie tak aby kraw\u0119dzie si\u0119 nie przecina\u0142y. Poni\u017cej przyk\u0142ad dwu r\u00f3\u017cnych realizacji na p\u0142aszczy\u017anie tego samego, z matematycznego punktu widzenia, grafu planarnego.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-879\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_005.png\" alt=\"twierdzenie o pi\u0119ciu barwach\" width=\"510\" height=\"262\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_005.png 510w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_005-300x154.png 300w\" sizes=\"(max-width: 510px) 100vw, 510px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Za\u0142o\u017cenie sp\u00f3jno\u015bci nie jest konieczne aby udowodni\u0107 twierdzenie o pi\u0119ciu barwach. W ko\u0144cu ka\u017cdy kawa\u0142ek mo\u017cemy kolorowa\u0107 oddzielnie, jednak\u017ce jest bardzo wygodne. Wystarczy je jedynie udowodni\u0107, \u017ce jest prawdziwe dla graf\u00f3w sp\u00f3jnych!<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nKa\u017cdy graf planarny mo\u017cemy rysowa\u0107 bez przecinaj\u0105cych si\u0119 kraw\u0119dzi nie tylko na p\u0142aszczy\u017anie, lecz r\u00f3wnie\u017c na sferze. Ka\u017cdy taki graf podzieli sfer\u0119 na oddzielne obszary zwane <em>\u015bcianami<\/em> grafu.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/sfera2.png\" alt=\"graf planarny na sferze\" width=\"234\" height=\"215\" class=\"aligncenter size-full wp-image-369\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nM\u00f3wi\u0105c bardziej precyzyjnie, \u015bcian\u0105 grafu \\(G\\) nazywamy dowolny obszar sfery o tej w\u0142asno\u015bci, \u017ce dwa jego dowolne punkty mo\u017cemy po\u0142\u0105czy\u0107 krzyw\u0105 nieprzechodz\u0105c\u0105 przez \u017cadn\u0105 kraw\u0119d\u017a ani wierzcho\u0142ek. Zatem to, kt\u00f3ry dok\u0142adnie obszar jest \u015bcian\u0105 zale\u017cy od tego w jaki spos\u00f3b graf \\(G\\) narysujemy na sferze. Nas jednak b\u0119dzie interesowa\u0142a jedynie ich liczba oraz to z jakimi kraw\u0119dziami s\u0105siaduj\u0105.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nDla graf\u00f3w planarnych prawdziwy jest s\u0142ynny wz\u00f3r Eulera \\[W-K+S=2,\\]<br \/>\ngdzie \\(W,\\ K,\\ S\\) oznaczaj\u0105 odpowiednio liczb\u0119 wierzcho\u0142k\u00f3w, kraw\u0119dzi oraz \u015bcian. Pierwotnie wz\u00f3r ten zosta\u0142 udowodniony dla wielo\u015bcian\u00f3w takich jak sze\u015bcian, ostros\u0142upy czy graniastos\u0142upy. Wi\u0119cej o wzorze Eulera mo\u017cna znale\u017a\u0107 <a href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/18\/wzor-eulera-dla-wieloscianow\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">tutaj<\/a>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nKa\u017cda kraw\u0119d\u017a znajduje si\u0119 na brzegu jednej lub dwu \u015bcian. Gdyby\u015bmy na niej stan\u0119li, to naszej lewej stronie mieliby\u015bmy \u015bcian\u0119 jak i po prawej znajdowa\u0142aby si\u0119 (niekoniecznie inna) \u015bciana.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_004.png\" alt=\"\u015bciana grafu\" width=\"254\" height=\"220\" class=\"aligncenter size-full wp-image-882\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nGraf powy\u017cej ma dwie \u015bciany: zielon\u0105 (,,wewn\u0119trzn\u0105&#8221;) oraz bia\u0142\u0105 (,,zewn\u0119trzn\u0105&#8221;). Kraw\u0119d\u017a \\(e\\) s\u0105siaduje jedynie ze \u015bcian\u0105 zielon\u0105. Za\u015b ka\u017cda inna kraw\u0119d\u017a s\u0105siaduje z obiema. Liczb\u0119 kraw\u0119dzi, z kt\u00f3rymi s\u0105siaduje \u015bciana \\(f\\) grafu \\(G\\) nazywamy jej <em>stopniem<\/em> i oznaczamy \\(\\deg{f}\\). Przy czym, je\u017celi kraw\u0119d\u017a \\(e\\) s\u0105siaduje tylko ze \u015bcian\u0105 \\(f\\), to liczymy j\u0105 podw\u00f3jnie. \u015aciana zielona grafu powy\u017cej ma stopie\u0144 r\u00f3wny 5, a bia\u0142a 3. Zbi\u00f3r \u015bcian grafu \\(G\\) (a w\u0142a\u015bciwie jego konkretnego rysunku) oznaczamy przez \\(F\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nZauwa\u017cmy, \u017ce ka\u017cda kraw\u0119d\u017a albo nale\u017cy do dwu \u015bcian albo ,,nale\u017cy&#8221; podw\u00f3jnie do jednej \u015bciany. Wobec tego gdy zsumujemy stopnie wszystkich \u015bcian, otrzymamy podw\u00f3jn\u0105 liczb\u0119 kraw\u0119dzi. Tzn. \\[\\sum_{f\\in F}\\deg{f}=2K.\\]<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nPodobnie jak o stopniu \u015bciany, mo\u017cemy m\u00f3wi\u0107 o stopniu wierzcho\u0142ka \\(v\\). Jest to ilo\u015b\u0107 kraw\u0119dzi kt\u00f3rych jednym z ko\u0144c\u00f3w jest \\(v\\). Oznaczamy go \\(\\deg{v}\\), czyli analogicznie jak stopie\u0144 \u015bciany. Gdy graf zawiera p\u0119tle (stopie\u0144 mo\u017cna zdefiniowa\u0107 dla dowolnego grafu), to ka\u017cd\u0105 liczymy podw\u00f3jnie. Nietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce \\[\\sum_{v\\in V}=2K.\\]<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nJe\u017celi graf \\(G\\) ma co najmniej 3 wierzcho\u0142ki, to ma co najmniej 2 kraw\u0119dzie (bo zak\u0142adamy, \u017ce jest prosty, sp\u00f3jny i planarny). Wa\u017cn\u0105 obserwacj\u0105 jest to, \u017ce stopie\u0144 ka\u017cdej \u015bciany to w takim przypadku co najmniej 3. Jedna lub dwie kraw\u0119dzie (licz\u0105c w stosownych przypadkach niekt\u00f3re z nich podw\u00f3jnie) nie mo\u017ce stanowi\u0107 brzegu \u015bciany. Z tego wynika, \u017ce \\[3S\\leqslant 2K.\\]<br \/>\nPodstawiaj\u0105c to do wzoru Eulera (pomno\u017conego przez 3) otrzymujemy \\[0\\leqslant 3W-3K+2K-6\\] czyli \\[K\\leqslant 3W-6.\\]<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nKorzystaj\u0105c z udowodnionej nier\u00f3wno\u015bci \u0142atwo mo\u017cna pokaza\u0107, \u017ce graf \\(K_5\\) nie jest planarny, gdy\u017c ma 5 wierzcho\u0142k\u00f3w oraz 10 kraw\u0119dzi a \\(3\\cdot 5-6=9\\lt 10\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nKolejnym istotnym etapem dowodu jest pokazanie, \u017ce ka\u017cdy prosty graf planarny ma przynajmniej jeden wierzcho\u0142ek stopnia co najwy\u017cej 5. W tym celu za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce jest to nieprawda, tzn. \\(\\deg{v}\\gt 5\\) dla ka\u017cdego \\(v\\in V\\). W\u00f3wczas \\(6W\\leqslant 2K\\) bo suma stopni wierzcho\u0142k\u00f3w to \\(2K\\). Czyli \\[3W\\leqslant K\\leqslant 3W-6.\\] Otrzymana sprzeczno\u015b\u0107 dowodzi, \u017ce \\(\\deg{v}\\leqslant 5\\) dla przynajmniej jednego wierzcho\u0142ka.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nMo\u017cna to pokaza\u0107 r\u00f3wnie\u017c w inny spos\u00f3b, wykorzystuj\u0105c tzw. <em>metod\u0119 roz\u0142adowywania<\/em>. Ze wzgl\u0119du na sw\u0105 elegancj\u0119 dow\u00f3d ten jest warty przytoczenia.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nPrzypiszmy ka\u017cdemu wierzcho\u0142kowi oraz ka\u017cdej \u015bcianie \u0142adunek +6, natomiast ka\u017cdej kraw\u0119dzi -6. Ze wzoru Eulera wynika \u017ce, suma wszystkich \u0142adunk\u00f3w jest r\u00f3wna 12. Teraz b\u0119dziemy przesuwa\u0107 \u0142adunki, ale w taki spos\u00f3b aby ca\u0142kowity \u0142adunek grafu si\u0119 nie zmieni\u0142. Robimy to nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<ul>\n<li>ka\u017cdy wierzcho\u0142ek oddaje +1 ka\u017cdej kraw\u0119dzi, kt\u00f3rej jest ko\u0144cem;<\/li>\n<li>ka\u017cda \u015bciana oddaje r\u00f3wnomiernie ca\u0142y sw\u00f3j \u0142adunek wszystkim kraw\u0119dziom na swoim brzegu. Je\u017celi kraw\u0119d\u017a s\u0105siaduje tylko z jedn\u0105 \u015bcian\u0105, to jej udzia\u0142 jest podw\u00f3jny.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nKa\u017cda \u015bciana zostaje w wyniku tego procesu ca\u0142kowicie roz\u0142adowana. Natomiast \u0142adunek wierzcho\u0142ka \\(v\\), to \\(6-\\deg{v}\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nPoniewa\u017c ka\u017cda \u015bciana s\u0105siaduje z co najmniej trzema kraw\u0119dziami, to ka\u017cda kraw\u0119d\u017a otrzyma od s\u0105siaduj\u0105cych \u015bcian \u0142\u0105czny \u0142adunek co najwy\u017cej +4. Dodatkowo otrzyma +2 od swoich ko\u0144c\u00f3w. Zatem jej \u0142\u0105czny \u0142adunek nie mo\u017ce by\u0107 dodatni! Aby suma \u0142adunk\u00f3w by\u0142a r\u00f3wna 12, to musi istnie\u0107 przynajmniej jeden wierzcho\u0142ek o dodatnim \u0142adunku czyli o stopniu mniejszym od 6.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nTeraz mo\u017cemy przej\u015b\u0107 do ostatniego etapu dowodu. Przeprowadzimy go indukcyjnie po liczbie wierzcho\u0142k\u00f3w. Je\u017celi \\(G\\) ma co najwy\u017cej 5 wierzcho\u0142k\u00f3w, to da si\u0119 go pokolorowa\u0107 5 kolorami. Za\u0142\u00f3\u017cmy wi\u0119c, \u017ce  \\(G=(V,E)\\) ma \\(n\\) wierzcho\u0142k\u00f3w dla pewnego \\(n>5\\) oraz wszystkie grafy planarne o \\(n-1\\) wierzcho\u0142kach da si\u0119 pokolorowa\u0107 co najwy\u017cej 5 kolorami.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nGraf \\(G\\) ma wierzcho\u0142ek \\(v\\) stopnia co najwy\u017cej 5.  Usu\u0144my ten wierzcho\u0142ek oraz wszystkie kraw\u0119dzie z nim po\u0142\u0105czone. Otrzymany w ten spos\u00f3b graf ma \\(n-1\\) wierzcho\u0142k\u00f3w, a wi\u0119c na mocy za\u0142o\u017cenie indukcyjnego jest 5-kolorowalny. Je\u017celi \\(\\deg{v}\\leqslant 4\\), to bez problemu jeste\u015bmy w stanie przypisa\u0107 \\(v\\) kolor tak aby otrzyma\u0107 poprawne kolorowanie grafu \\(G\\). Pozostaje wi\u0119c do rozpatrzenia jedynie przypadek, gdy \\(\\deg{v}=5\\) oraz wszystkie wierzcho\u0142ki z nim po\u0142\u0105czone maj\u0105 r\u00f3\u017cne kolory.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nOznaczmy wierzcho\u0142ki, z kt\u00f3rymi \\(v\\) odpowiednio przez \\(w_1,w_2,\\ldots,w_5\\). Poniewa\u017c graf \\(K_5\\) nie jest planarny, to przynajmniej jedna para wierzcho\u0142k\u00f3w po\u0142\u0105czonych z \\(v\\) nie jest ze sob\u0105 po\u0142\u0105czona. Bez straty og\u00f3lno\u015bci, mo\u017cemy za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce s\u0105 to wierzcho\u0142ki \\(w_1\\) oraz \\(w_2\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nSklejamy teraz wierzcho\u0142ki \\(v, w_1, w_2\\) oraz kraw\u0119dzie \\(\\{v,w_1\\}, \\{v,w_2\\}\\) w nowy wierzcho\u0142ek \\(\\tilde{v}\\).<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png\" alt=\"twierdzenie o pi\u0119ciu barwach dow\u00f3d\" width=\"244\" height=\"303\" class=\"aligncenter size-full wp-image-904\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png 244w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1-242x300.png 242w\" sizes=\"(max-width: 244px) 100vw, 244px\" \/><br \/>\nZnikn\u0119\u0142y sklejone wierzcho\u0142ki oraz kraw\u0119dzie, a w ich miejsce pojawi\u0142 si\u0119 nowy wierzcho\u0142ek \\(\\tilde{v}\\). Zmieni\u0142y si\u0119 r\u00f3wnie\u017c kraw\u0119dzie po\u0142\u0105czone pocz\u0105tkowo z jednym z tych wierzcho\u0142k\u00f3w. Je\u017celi jednym z ko\u0144c\u00f3w jakiej\u015b niesklejanej kraw\u0119dzi by\u0142 kt\u00f3ry\u015b ze sklejonych wierzcho\u0142k\u00f3w, to zosta\u0142 zast\u0105piony przez \\(\\tilde{v}\\). Sklejanie fragment\u00f3w grafu w punkt mo\u017ce prowadzi\u0107 do trzech problematycznych w naszym dowodzie rzeczy.<\/p>\n<ul>\n<li>Mog\u0105 pojawi\u0107 si\u0119 p\u0119tle.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nPoniewa\u017c z za\u0142o\u017cenia \\(w_1\\) oraz \\(w_2\\) nie s\u0105 ze sob\u0105 po\u0142\u0105czone, to ten problem nas nie dotyczy.<\/p>\n<ul>\n<li>Mog\u0105 pojawi\u0107 si\u0119 kraw\u0119dzie wielokrotne.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nJe\u017celi co najmniej dwa spo\u015br\u00f3d \\(v,w_1,w_2\\) s\u0105 po\u0142\u0105czone z tym samym wierzcho\u0142kiem (r\u00f3\u017cnym od \\(v,w_1,w_2\\) naturalnie), to po sklejeniu wierzcho\u0142ek \\(\\tilde{v}\\) b\u0119dzie po\u0142\u0105czony z ka\u017cdym z nich wi\u0119cej ni\u017c jedn\u0105 kraw\u0119dzi\u0105. Usuwamy w tym przypadku kraw\u0119dzie wielokrotne zostawiaj\u0105c tylko jedn\u0105. Z technicznego punktu widzenia nie ma dla nas znaczenia czy wierzcho\u0142ki s\u0105 po\u0142\u0105czone jedn\u0105 czy wi\u0119ksz\u0105 ilo\u015bci\u0105 kraw\u0119dzi. W przypadku kolorowania wierzcho\u0142k\u00f3w wa\u017cne jest jedynie, kt\u00f3re wierzcho\u0142ki s\u0105 ze sob\u0105 po\u0142\u0105czone, a kt\u00f3re nie. Jednak poniewa\u017c rozpatrujemy grafy bez kraw\u0119dzi wielokrotnych, to ju\u017c si\u0119 tego trzymamy.<\/p>\n<ul>\n<li>Otrzymany graf mo\u017ce nie by\u0107 planarny.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nNietrudno jednak zauwa\u017cy\u0107, \u017ce ten problem nas r\u00f3wnie\u017c nie dotyczy. Je\u017celi wierzcho\u0142ek np. \\(w_1\\) jest po\u0142\u0105czony z np. wierzcho\u0142kiem \\(z\\neq v\\), to \u0142\u0105cz\u0105c kraw\u0119dzie \\(\\{z,w_1\\}\\) oraz \\(\\{w_1,v\\}\\) w jedn\u0105 \u0142aman\u0105 (czyli now\u0105 kraw\u0119d\u017a) otrzymujemy na rysunku kraw\u0119d\u017a \\(\\{z,\\tilde{v}\\}\\). Gdy natomiast \\(w_1\\) jest po\u0142\u0105czony tylko z \\(v\\), to sytuacja jest jeszcze prostsza. Analogicznie dla \\(w_2\\). Planarno\u015b\u0107 \\(G\\) zostaje zachowana.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nOtrzymali\u015bmy nowy graf \\(\\tilde{G}\\) maj\u0105cy \\(n-2\\) wierzcho\u0142k\u00f3w i kt\u00f3ry jest r\u00f3wnie\u017c planarny i prosty. Na mocy za\u0142o\u017cenia indukcyjnego jest 5-kolorowalny. Oznaczmy przez \\(k\\) kolor wierzcho\u0142ka \\(\\tilde{v}\\). Wykorzystuj\u0105c kolorowanie \\(\\tilde{G}\\), pokolorujemy graf \\(G\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nKa\u017cdemu wierzcho\u0142kowi \\(z\\in V\\setminus \\{v,w_1,w_2\\}\\) przypisujemy ten sam kolor jaki ma w grafie \\(\\tilde{G}\\). Natomiast ka\u017cdemu \\(v,w_1\\) oraz \\(w_2\\) przypisujemy kolor \\(k\\). Nie jest to jeszcze poprawne kolorowanie.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nZauwa\u017cmy jednak, \u017ce \u017caden z wierzcho\u0142k\u00f3w po\u0142\u0105czonych z \\(w_1\\) oraz \\(w_2\\) nie mo\u017ce mie\u0107 koloru \\(k\\) bo w grafie \\(\\tilde{G}\\) jest po\u0142\u0105czony z \\(\\tilde{v}\\). Zostawiamy wi\u0119c wierzcho\u0142kom \\(w_1\\) oraz \\(w_2\\) kolor \\(k\\). Wierzcho\u0142ek \\(v\\) ma teraz dwa po\u0142\u0105czone z nim wierzcho\u0142ki tego samego koloru, a po\u0142\u0105czony jest z pi\u0119cioma. Mo\u017cemy go pokolorowa\u0107 brakuj\u0105cym kolorem. Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach zosta\u0142o udowodnione.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nTwierdzenia o czterech oraz pi\u0119ciu barwach nie s\u0105 jedynymi dotycz\u0105cymi kolorowania wierzcho\u0142k\u00f3w graf\u00f3w. Tematyka ta jest niezwykle bogata. Wspomnimy jedynie o innym znanym wyniku jakim jest <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Brooks%27_theorem\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">twierdzenie Brooksa<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Jednym z najbardziej znanych twierdze\u0144 teorii graf\u00f3w jest tzw. twierdzenie o czterech barwach. Jego dow\u00f3d jest jednak na tyle skomplikowany, \u017ce matematycy musieli zaprz\u0105c do pomocy komputery aby finalnie to twierdzenie udowodni\u0107. Nieco s\u0142abszym wynikiem<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":904,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[49,47],"tags":[50,48],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v22.4 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach - dow\u00f3d<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Kolorowanie graf\u00f3w mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 jedynie ciekawostk\u0105. Twierdzenia takie jak np. twierdzenie o pi\u0119ciu barwach maj\u0105 jednak zastosowania.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach - dow\u00f3d\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Kolorowanie graf\u00f3w mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 jedynie ciekawostk\u0105. Twierdzenia takie jak np. twierdzenie o pi\u0119ciu barwach maj\u0105 jednak zastosowania.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"&beta;X - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-07-08T21:00:15+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-09-01T20:48:23+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"244\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"303\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"3 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach &#8211; dow\u00f3d\",\"datePublished\":\"2021-07-08T21:00:15+00:00\",\"dateModified\":\"2021-09-01T20:48:23+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\"},\"wordCount\":2303,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png\",\"keywords\":[\"Matematyka teoretyczna\",\"Teoria graf\u00f3w\"],\"articleSection\":[\"Matematyka teoretyczna\",\"Teoria graf\u00f3w\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\",\"name\":\"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach - dow\u00f3d\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png\",\"datePublished\":\"2021-07-08T21:00:15+00:00\",\"dateModified\":\"2021-09-01T20:48:23+00:00\",\"description\":\"Kolorowanie graf\u00f3w mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 jedynie ciekawostk\u0105. Twierdzenia takie jak np. twierdzenie o pi\u0119ciu barwach maj\u0105 jednak zastosowania.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png\",\"width\":244,\"height\":303,\"caption\":\"twierdzenie o pi\u0119ciu barwach dow\u00f3d\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach &#8211; dow\u00f3d\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"&beta;X - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach - dow\u00f3d","description":"Kolorowanie graf\u00f3w mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 jedynie ciekawostk\u0105. Twierdzenia takie jak np. twierdzenie o pi\u0119ciu barwach maj\u0105 jednak zastosowania.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach - dow\u00f3d","og_description":"Kolorowanie graf\u00f3w mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 jedynie ciekawostk\u0105. Twierdzenia takie jak np. twierdzenie o pi\u0119ciu barwach maj\u0105 jednak zastosowania.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/","og_site_name":"&beta;X - blog o matematyce","article_published_time":"2021-07-08T21:00:15+00:00","article_modified_time":"2021-09-01T20:48:23+00:00","og_image":[{"width":244,"height":303,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"3 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach &#8211; dow\u00f3d","datePublished":"2021-07-08T21:00:15+00:00","dateModified":"2021-09-01T20:48:23+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/"},"wordCount":2303,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png","keywords":["Matematyka teoretyczna","Teoria graf\u00f3w"],"articleSection":["Matematyka teoretyczna","Teoria graf\u00f3w"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/","name":"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach - dow\u00f3d","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png","datePublished":"2021-07-08T21:00:15+00:00","dateModified":"2021-09-01T20:48:23+00:00","description":"Kolorowanie graf\u00f3w mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 jedynie ciekawostk\u0105. Twierdzenia takie jak np. twierdzenie o pi\u0119ciu barwach maj\u0105 jednak zastosowania.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/5kolorow_008-1.png","width":244,"height":303,"caption":"twierdzenie o pi\u0119ciu barwach dow\u00f3d"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Twierdzenie o pi\u0119ciu barwach &#8211; dow\u00f3d"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"&beta;X - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/866"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=866"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/866\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":910,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/866\/revisions\/910"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/904"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=866"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=866"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=866"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}