{"id":825,"date":"2021-06-12T19:40:22","date_gmt":"2021-06-12T19:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=825"},"modified":"2022-02-13T21:44:57","modified_gmt":"2022-02-13T19:44:57","slug":"twierdzenie-o-czterech-barwach","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/","title":{"rendered":"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?"},"content":{"rendered":"<p style=\"line-height: 1.2;\">Jednym z najbardziej znanych wynik\u00f3w dotycz\u0105cych teorii graf\u00f3w jest s\u0142ynne twierdzenie o czterech barwach z kt\u00f3rego, jak si\u0119 m\u00f3wi, mo\u017cna wywnioskowa\u0107, \u017ce kraje na ka\u017cdej mapie mo\u017cna pokolorowa\u0107 korzystaj\u0105c jedynie z czterech kolor\u00f3w. Twierdzenie to jest \u015bwietnym przyk\u0142adem tego, \u017ce nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 formu\u0142uj\u0105c twierdzenia matematyczne w wersji popularnonaukowej, bo w rzeczywisto\u015bci nie ka\u017cd\u0105 map\u0119 da si\u0119 pokolorowa\u0107 jedynie czterema kolorami.<br \/>\n<!--more--><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">W 1852 roku Francis Guthrie koloruj\u0105c map\u0119 Wielkiej Brytanii zauwa\u017cy\u0142, \u017ce wystarcz\u0105 jedynie cztery kolory, aby ka\u017cde dwa hrabstwa m\u0105j\u0105ce wsp\u00f3ln\u0105 granic\u0119 (nie tylko wsp\u00f3lny <em>wierzcho\u0142ek<\/em>) mia\u0142y r\u00f3\u017cne kolory. Nietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce trzy kolory nie wystarcz\u0105. Naturalnym jest wi\u0119c pytanie czy cztery barwy wystarcz\u0105, aby pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119.<\/p>\n<figure id=\"attachment_828\" aria-describedby=\"caption-attachment-828\" style=\"width: 594px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-828\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_01.png\" alt=\"twierdzenie o czterech barwach\" width=\"594\" height=\"348\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-828\" class=\"wp-caption-text\">Mapa, kt\u00f3rej nie da si\u0119 pokolorowa\u0107 trzema kolorami.<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Problem by\u0142 na tyle ciekawy, \u017ce zainteresowali si\u0119 nim matematycy. Przez d\u0142ugi czas nikt nie by\u0142 w stanie przedstawi\u0107 dowodu. Pierwszym powa\u017cn\u0105 pr\u00f3b\u0119 podj\u0105\u0142 Alfred Kempe. Jednak jego, opublikowany w 1879 roku, ,,dow\u00f3d&#8221; zawiera\u0142 b\u0142\u0105d. Oryginaln\u0105 prac\u0119 Kempego mo\u017cna znale\u017a\u0107 <a href=\"https:\/\/www.jstor.org\/stable\/2369235?seq=1#metadata_info_tab_contents\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">w tym miejscu<\/a>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nPo 11 latach b\u0142\u0105d w pracy Kempego znalaz\u0142 Headwood. Wykorzystuj\u0105c idee Kempego udowodni\u0142 nieco s\u0142absze twierdzenie o pi\u0119ciu barwach. Dow\u00f3d tego twierdzenia (nieoryginalny) mo\u017cna znale\u017a\u0107 <a href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/07\/08\/twierdzenie-o-pieciu-barwach\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">tutaj<\/a>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Aby m\u00f3c twierdzenie o czterech barwach udowodni\u0107 najpierw trzeba historyjk\u0119 o kolorowaniu map przet\u0142umaczy\u0107 na precyzyjny j\u0119zyk matematyki. Mo\u017cna to zrobi\u0107 wykorzystuj\u0105c teori\u0119 graf\u00f3w.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Intuicyjnie, graf jest zbiorem wierzcho\u0142k\u00f3w po\u0142\u0105czonych kreskami, kt\u00f3re zwie si\u0119 kraw\u0119dziami.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-833\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_02.png\" alt=\"teoria graf\u00f3w\" width=\"165\" height=\"138\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Nas najbardziej b\u0119d\u0105 interesowa\u0142y grafy o sko\u0144czonej liczbie wierzcho\u0142k\u00f3w i kraw\u0119dzi oraz nie posiadaj\u0105ce p\u0119tli (czyli kraw\u0119dzi \u0142\u0105cz\u0105cych wierzcho\u0142ek z samym sob\u0105). Ponadto zak\u0142adamy, \u017ce dowoln\u0105 par\u0119 wierzcho\u0142k\u00f3w mo\u017ce \u0142\u0105czy\u0107 co najwy\u017cej jedna kraw\u0119d\u017a oraz ka\u017cda kraw\u0119d\u017a \u0142\u0105czy dwa r\u00f3\u017cne wierzcho\u0142ki. Takie grafy nazywamy <em>prostymi<\/em>. Je\u017celi ponadto graf jest w jednym kawa\u0142ku, to nazywamy go <em>sp\u00f3jnym<\/em>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">M\u00f3wi\u0105c ju\u017c bardziej \u015bci\u015ble, graf \\(G\\) maj\u0105cy \\(n\\) wierzcho\u0142k\u00f3w oraz \\(m\\) kraw\u0119dzi to para uporz\u0105dkowana \\((V,E)\\), gdzie:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(V=\\{v_1, v_2,\\ldots, v_n\\}\\) jest niepustym zbiorem wierzcho\u0142k\u00f3w,<\/li>\n<li>\\(E=\\{e_1, e_2,\\ldots, e_m\\}\\) jest zbiorem kraw\u0119dzi.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Przy czym \\(e_i=\\{x,y\\}\\), gdzie \\(x,y\\in V\\) oraz \\(x\\neq y\\) (bo zak\u0142adamy, \u017ce graf nie ma p\u0119tli).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Wiele obiekt\u00f3w spotykanych w prawdziwym \u017cyciu mo\u017cna uto\u017csamia\u0107 z pewnym grafem. Przyk\u0142adem s\u0105 uk\u0142ady elektroniczne, kt\u00f3re sk\u0142adaj\u0105 si\u0119 z element\u00f3w po\u0142\u0105czonych np. przewodami. Wobec tego mo\u017cemy je przedstawi\u0107 w postaci grafu.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-835\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_03a.png\" alt=\"teoria graf\u00f3w\" width=\"657\" height=\"337\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_03a.png 657w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_03a-300x154.png 300w\" sizes=\"(max-width: 657px) 100vw, 657px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Z ka\u017cd\u0105 map\u0105 mo\u017cemy stowarzyszy\u0107 pewien graf. Poka\u017cemy to na przyk\u0142adzie mapy przedstawiaj\u0105cej podzia\u0142 administracyjny Polski na wojew\u00f3dztwa.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-838\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_04.png\" alt=\"kolorowanie graf\u00f3w\" width=\"386\" height=\"360\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_04.png 386w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_04-300x280.png 300w\" sizes=\"(max-width: 386px) 100vw, 386px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Ka\u017cde wojew\u00f3dztwo mo\u017cemy uto\u017csamia\u0107 z wierzcho\u0142kiem, natomiast kraw\u0119d\u017a oznacza, \u017ce dane dwa wojew\u00f3dztwa maj\u0105 wsp\u00f3ln\u0105 granic\u0119. W przypadku podzia\u0142u administracyjnego Polski tak otrzymany graf mo\u017ce wygl\u0105da\u0107 np. tak:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-841\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_05m.png\" alt=\"twierdzenie o czterech barwach\" width=\"338\" height=\"306\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_05m.png 338w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_05m-300x272.png 300w\" sizes=\"(max-width: 338px) 100vw, 338px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Graf otrzymany z mapy Polski jest przyk\u0142adem bardzo wa\u017cnej klasy graf\u00f3w tzw. <em>graf\u00f3w planarnych<\/em>, tj. takich, kt\u00f3re mo\u017cna narysowa\u0107 na p\u0142aszczy\u017anie bez przecinaj\u0105cych si\u0119 kraw\u0119dzi. Wiedza czy dany graf jest planarny mo\u017ce by\u0107 przydatna w elektronice. Je\u017celi dany uk\u0142ad elektroniczny ma zosta\u0107 zmontowany na jakiej\u015b powierzchni np. na tzw. <em>p\u0142ytce drukowanej<\/em> (takiej jak poni\u017cej), to jego poprawne dzia\u0142anie wymaga aby po\u0142\u0105czenia poszczeg\u00f3lnych element\u00f3w si\u0119 nie przecina\u0142y.<\/p>\n<figure id=\"attachment_843\" aria-describedby=\"caption-attachment-843\" style=\"width: 472px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-843\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_06.png\" alt=\"graf planarny\" width=\"472\" height=\"253\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_06.png 472w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_06-300x161.png 300w\" sizes=\"(max-width: 472px) 100vw, 472px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-843\" class=\"wp-caption-text\">\u0179r\u00f3d\u0142o: https:\/\/czesci-widlowe.pl\/pl\/p\/PLYTKA-DRUKOWANA-LICZNIKA-TOYOTA\/2507<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Przedstawiaj\u0105c elementy uk\u0142adu oraz to jak s\u0105 po\u0142\u0105czone w postaci grafu mo\u017cemy si\u0119 dowiedzie\u0107, \u017ce danego uk\u0142adu nie da si\u0119 zmontowa\u0107 na p\u0142ytce bo stosowny graf nie jest planarny i musimy wykorzysta\u0107 trzy wymiary.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nMatematycy ju\u017c od bardzo dawna znaj\u0105 warunki pozwalaj\u0105ce stwierdzi\u0107 czy graf jest planarny czy nie. Proste kryterium podaje <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Kuratowski%27s_theorem\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">twierdzenie Kuratowskiego<\/a>. Standardowym przyk\u0142adem grafu nieplanarnego jest poni\u017cszy graf:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-849\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_08.png\" alt=\"twierdzenie o czterech barwach\" width=\"276\" height=\"264\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Sk\u0142ada si\u0119 z pi\u0119ciu wierzcho\u0142k\u00f3w i ka\u017cda para r\u00f3\u017cnych wierzcho\u0142k\u00f3w jest po\u0142\u0105czona kraw\u0119dzi\u0105. Grafy o tej w\u0142asno\u015bci nazywamy <em>pe\u0142nymi<\/em>. Graf pe\u0142ny o \\(n\\) wierzcho\u0142kach oznaczamy \\(K_n\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Innym przyk\u0142adem jest poni\u017cszy graf \\(K_{3,3}\\).<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-845\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_07.png\" alt=\"graf nieplanarny\" width=\"357\" height=\"270\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_07.png 357w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_07-300x227.png 300w\" sizes=\"(max-width: 357px) 100vw, 357px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Nietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce jego wierzcho\u0142ki s\u0105 podzielone na dwie grupy. Ka\u017cdy g\u00f3rny wierzcho\u0142ek jest po\u0142\u0105czony z ka\u017cdym dolnym. Taki graf nazywamy <em>pe\u0142nym dwudzielnym<\/em>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce z samego faktu, i\u017c rysunek grafu zawiera przecinaj\u0105ce si\u0119 kraw\u0119dzie nie wynika, \u017ce nie jest on planarny. W definicji grafu interesuje nas jedynie kt\u00f3re wierzcho\u0142ki s\u0105 po\u0142\u0105czone kraw\u0119dziami. Rysunek danego grafu mo\u017cna na og\u00f3\u0142 wykona\u0107 na wiele r\u00f3\u017cnych sposob\u00f3w.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Kolorowanie grafu oznacza przypisanie <em>kolor\u00f3w<\/em> jego wierzcho\u0142kom w taki spos\u00f3b, aby \u017cadne dwa po\u0142\u0105czone kraw\u0119dzi\u0105 nie mia\u0142y takiego samego koloru. Najmniejsz\u0105 mo\u017cliw\u0105 liczb\u0119 kolor\u00f3w jak\u0105 mo\u017cna pokolorowa\u0107 dany graf nazywamy jego <em>liczb\u0105 chromatyczn\u0105<\/em>. Twierdzenie o czterech barwach m\u00f3wi wi\u0119c, \u017ce liczba chromatyczna ka\u017cdego prostego grafu planarnego jest r\u00f3wna co najwy\u017cej 4.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Dlaczego wi\u0119c, mimo i\u017c samo twierdzenie o czterech barwach jest prawdziwe, to jednak nie ka\u017cd\u0105 map\u0119 mo\u017cna pokolorowa\u0107 u\u017cywaj\u0105c jedynie czterech kolor\u00f3w? Jest kilka problem\u00f3w. Ci co bardziej spostrzegawczy zapewne zauwa\u017cyli, \u017ce twierdzenie o czterech barwach m\u00f3wi o grafach planarnych, a przecie\u017c Ziemia jest nieco zniekszta\u0142con\u0105 sfer\u0105. Na sferze bez problemu da si\u0119 narysowa\u0107 bez samoprzeci\u0119\u0107 ka\u017cdy graf planarny. Jednak czy ka\u017cdy graf, kt\u00f3ry mo\u017cna bez samoprzeci\u0119\u0107 narysowa\u0107 na sferze jest planarny nie jest ju\u017c takie oczywiste na pierwszy rzut oka. Na szcz\u0119\u015bcie na drugi rzut oka, pokazanie i\u017c jest tak w istocie nie jest wcale trudne. Mo\u017cna si\u0119 o tym \u0142atwo przekona\u0107 wykorzystuj\u0105c tzw. <a href=\"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Rzut_stereograficzny\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">rzut streograficzny<\/a>.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-850\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/rzut_stereo.png\" alt=\"graf sferyczny\" width=\"320\" height=\"235\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/rzut_stereo.png 320w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/rzut_stereo-300x220.png 300w\" sizes=\"(max-width: 320px) 100vw, 320px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nSferyczno\u015b\u0107 Ziemi nie jest wi\u0119c problemem. Sp\u00f3jrzmy jednak na poni\u017csz\u0105 map\u0119<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_09.png\" alt=\"twierdzenie o czterech barwach\" width=\"478\" height=\"298\" class=\"aligncenter size-full wp-image-851\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_09.png 478w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_09-300x187.png 300w\" sizes=\"(max-width: 478px) 100vw, 478px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nNa niebiesko zaznaczono dwa jeziora. Z oczywistych powod\u00f3w chcemy, aby wszystkie zbiorniki wodne mia\u0142y ten sam kolor. Jednak nie tworz\u0105 one sp\u00f3jnej ca\u0142o\u015bci i w przypadku powy\u017cszej mapy mo\u017cemy albo u\u017cy\u0107 pi\u0119ciu kolor\u00f3w albo oba jeziora pokolorowa\u0107 innymi kolorami.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nNie zapominajmy, \u017ce s\u0105 r\u00f3wnie\u017c kraje, kt\u00f3re nie s\u0105 w jednym kawa\u0142ku. Poszczeg\u00f3lne kraje traktujemy jak jeden wierzcho\u0142ek, dlatego graf otrzymany w przypadku kraju, kt\u00f3ry sk\u0142ada si\u0119 z kilku terytori\u00f3w mo\u017ce nie by\u0107 planarny. <\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nJe\u017celi pomin\u0105\u0107 morza i oceany, to map\u0119 polityczn\u0105 \u015bwiata mo\u017cna pokolorowa\u0107 korzystaj\u0105c jedynie z czterech kolor\u00f3w.<br \/>\n<figure id=\"attachment_855\" aria-describedby=\"caption-attachment-855\" style=\"width: 640px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png\" alt=\"twierdzenie o czterech barwach\" width=\"640\" height=\"277\" class=\"size-full wp-image-855\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png 640w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10-300x130.png 300w\" sizes=\"(max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-855\" class=\"wp-caption-text\">Fibonacci, CC BY-SA 3.0 <https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0>, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nTwierdzenie o czterech barwach zosta\u0142o udowodnione dopiero w XX wieku i to przy u\u017cyciu komputer\u00f3w. Dokonali tego Kenneth Apple i Wolfgang Hapel. Wi\u0119cej na temat historii samego dowodu oraz jego idei mo\u017cna poczyta\u0107 <a href=\"http:\/\/www.deltami.edu.pl\/temat\/matematyka\/teoria_grafow\/2011\/05\/16\/Cztery_barwy_wystarcza\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">tutaj<\/a>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nDow\u00f3d twierdzenia o czterech barwach okaza\u0142 si\u0119 niezwykle trudny. Zadowoliwszy si\u0119 nie czterema barwami a pi\u0119cioma barwami, otrzymamy wspomniane ju\u017c twierdzenie o pi\u0119ciu barwach (zaskakuj\u0105ca nazwa, nieprawda\u017c?), kt\u00f3rego dow\u00f3d jest znacznie \u0142atwiejszy. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Jednym z najbardziej znanych wynik\u00f3w dotycz\u0105cych teorii graf\u00f3w jest s\u0142ynne twierdzenie o czterech barwach z kt\u00f3rego, jak si\u0119 m\u00f3wi, mo\u017cna wywnioskowa\u0107, \u017ce kraje na ka\u017cdej mapie mo\u017cna pokolorowa\u0107 korzystaj\u0105c jedynie z czterech kolor\u00f3w. Twierdzenie to<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":855,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[47],"tags":[48],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v22.4 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Twierdzenie o czterech barwach to \u015bwietny przyk\u0142ad tego, \u017ce nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 formu\u0142uj\u0105c twierdzenia matematyczne w wersji popularnonaukowej.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Twierdzenie o czterech barwach to \u015bwietny przyk\u0142ad tego, \u017ce nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 formu\u0142uj\u0105c twierdzenia matematyczne w wersji popularnonaukowej.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"&beta;X - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-06-12T19:40:22+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-02-13T19:44:57+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"640\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"277\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?\",\"datePublished\":\"2021-06-12T19:40:22+00:00\",\"dateModified\":\"2022-02-13T19:44:57+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\"},\"wordCount\":1284,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png\",\"keywords\":[\"Teoria graf\u00f3w\"],\"articleSection\":[\"Teoria graf\u00f3w\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\",\"name\":\"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png\",\"datePublished\":\"2021-06-12T19:40:22+00:00\",\"dateModified\":\"2022-02-13T19:44:57+00:00\",\"description\":\"Twierdzenie o czterech barwach to \u015bwietny przyk\u0142ad tego, \u017ce nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 formu\u0142uj\u0105c twierdzenia matematyczne w wersji popularnonaukowej.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png\",\"width\":640,\"height\":277,\"caption\":\"twierdzenie o czterech barwach\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"&beta;X - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?","description":"Twierdzenie o czterech barwach to \u015bwietny przyk\u0142ad tego, \u017ce nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 formu\u0142uj\u0105c twierdzenia matematyczne w wersji popularnonaukowej.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?","og_description":"Twierdzenie o czterech barwach to \u015bwietny przyk\u0142ad tego, \u017ce nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 formu\u0142uj\u0105c twierdzenia matematyczne w wersji popularnonaukowej.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/","og_site_name":"&beta;X - blog o matematyce","article_published_time":"2021-06-12T19:40:22+00:00","article_modified_time":"2022-02-13T19:44:57+00:00","og_image":[{"width":640,"height":277,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"6 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?","datePublished":"2021-06-12T19:40:22+00:00","dateModified":"2022-02-13T19:44:57+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/"},"wordCount":1284,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png","keywords":["Teoria graf\u00f3w"],"articleSection":["Teoria graf\u00f3w"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/","name":"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png","datePublished":"2021-06-12T19:40:22+00:00","dateModified":"2022-02-13T19:44:57+00:00","description":"Twierdzenie o czterech barwach to \u015bwietny przyk\u0142ad tego, \u017ce nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 formu\u0142uj\u0105c twierdzenia matematyczne w wersji popularnonaukowej.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/4kolory_10.png","width":640,"height":277,"caption":"twierdzenie o czterech barwach"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/12\/twierdzenie-o-czterech-barwach\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Twierdzenie o czterech barwach. Czy aby na pewno 4 kolory wystarcz\u0105 by pokolorowa\u0107 ka\u017cd\u0105 map\u0119?"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"&beta;X - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/825"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=825"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/825\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1321,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/825\/revisions\/1321"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/855"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=825"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=825"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=825"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}