{"id":79,"date":"2021-03-15T22:55:01","date_gmt":"2021-03-15T22:55:01","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=79"},"modified":"2021-05-28T00:53:27","modified_gmt":"2021-05-28T00:53:27","slug":"ciag-fibonacciego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/","title":{"rendered":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105, co je \u0142\u0105czy i jaka jest ich historia?"},"content":{"rendered":"

Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja (zwana te\u017c bosk\u0105) oraz z\u0142ota spirala s\u0105 podobno wsz\u0119dzie. W naturze, sztuce, architekturze, ludzkim ciele i wielu innych miejscach. To taki zestaw standardowy informacji o z\u0142otej proporcji (tylko ile w tym prawdy?). Wobec tego obiekty te przyci\u0105ga\u0142y i wci\u0105\u017c przyci\u0105gaj\u0105 uwag\u0119 wielu os\u00f3b, co czasami prowadzi do swego rodzaju niezdrowej fascynacji wszystkim co z\u0142ote. W tym wpisie opowiemy sobie nieco o tym czym jest ci\u0105g Fibonacciego i co go \u0142\u0105czy z bosk\u0105 proporcj\u0105 oraz poruszymy histori\u0119 tych poj\u0119\u0107.<\/p>\n

<\/p>\n

Wst\u0119p<\/h4>\n

W polskim internecie temat ten jest znany w du\u017cej mierze dzi\u0119ki filmowi Miros\u0142awa Zelenta Tajemniczy ci\u0105g Fibonacciego. Z\u0142ota liczba. Boska proporcja<\/em> znajduj\u0105cemu si\u0119 na kanale youtube Pasja Informatyki<\/em>. S\u0105 w nim nawet sugestie, \u017ce ci\u0105g Fibonacciego oraz z\u0142ota proporcja to odcisk Boga<\/em>.<\/p>\n

Opr\u00f3cz wspomnianego zestawu standardowego mo\u017cna znale\u017a\u0107 w polskim Internecie aluzje, \u017ce z\u0142ota proporcja jest obecna w dzie\u0142ach Puszkina oraz w Panu Tadeuszu Adama Mickiewicza (oraz wiele innych informacji). Np. tutaj<\/a><\/p>\n

Podobnie z\u0142ota spirala jest zdaje si\u0119 wszechobecna. W jej kszta\u0142t podobno formuj\u0105 si\u0119 huragany oraz galaktyki, owady i ptaki poruszaj\u0105 cz\u0119sto si\u0119 podobno po trajektorii w jej kszta\u0142cie, a muszle wielu zwierz\u0105t maj\u0105 podobno kszta\u0142t z\u0142otej spirali. Zupe\u0142nie jakby na \u015bwiecie istnia\u0142a tylko jedna spirala.<\/p>\n

Zdecydowana wi\u0119kszo\u015b\u0107 kwiat\u00f3w ma podobno liczb\u0119 p\u0142atk\u00f3w r\u00f3wn\u0105 jakiej\u015b liczbie ci\u0105gu Fibonacciego, a li\u015bcie kwiat\u00f3w rozmieszczaj\u0105 si\u0119 (k\u0105towo) w odst\u0119pach r\u00f3wnych podobno z\u0142otemu k\u0105towi.<\/p>\n

Mo\u017cna wr\u0119cz odnie\u015b\u0107 wra\u017cenie, \u017ce nawet gdyby\u015bmy zajrzeli do lod\u00f3wki, to i tam by\u015bmy znale\u017ali z\u0142ot\u0105 spiral\u0119 oraz bosk\u0105 proporcj\u0119. Parafrazuj\u0105c s\u0142ynne Prawo Godwina m\u00f3wi\u0105ce, \u017ce<\/p>\n

Wraz z trwaniem dyskusji w Internecie prawdopodobie\u0144stwo u\u017cycia por\u00f3wnania, w kt\u00f3rym wyst\u0119puje nazizm b\u0105d\u017a Hitler, d\u0105\u017cy do 1.<\/p><\/blockquote>\n

mo\u017cemy sformu\u0142owa\u0107 ,,Z\u0142ote” Prawo Godwina:<\/p>\n

Im d\u0142u\u017cej jaki\u015b obiekt (np. dzie\u0142o sztuki, cz\u0142owiek) jest znany, to prawdopodobie\u0144stwo tego, \u017ce kto\u015b uzna i\u017c jest tam ukryta z\u0142ota proporcja d\u0105\u017cy do 1.<\/p><\/blockquote>\n

Ile w tym wszystkim jest jednak prawdy? Okazuje si\u0119, \u017ce ilo\u015b\u0107 nieprawdziwych informacji zwi\u0105zanych z tytu\u0142owymi zagadnieniami jest ogromna. Jest to o tyle zadziwiaj\u0105ce, \u017ce przynajmniej cz\u0119\u015b\u0107 z nich ka\u017cdy mo\u017ce albo \u0142atwo zweryfikowa\u0107, albo spr\u00f3bowa\u0107 sprawdzi\u0107 na tyle, aby nabra\u0107 podejrze\u0144, \u017ce co\u015b jest, cho\u0107 troch\u0119, podejrzane.<\/p>\n

Jest to pierwszy wpis, z ca\u0142ej serii, dotycz\u0105cych ci\u0105gu Fibonacciego, boskiej proporcji. Om\u00f3wimy w nich i zweryfikujemy informacje jakie mo\u017cna znale\u017a\u0107 na ich temat w internecie. Tutaj opowiemy czym jest ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja oraz z\u0142oty podzia\u0142, a tak\u017ce zajmiemy si\u0119 histori\u0105 tych poj\u0119\u0107.<\/p>\n

Z\u0142oty podzia\u0142<\/h4>\n

Po raz pierwszy z\u0142oty podzia\u0142 pojawi\u0142 si\u0119 w s\u0142ynnych Elementach<\/em> Euklidesa. Nie nazywa on go oczywi\u015bcie ani z\u0142otym ani boskim. Wbrew pozorom przydomek z\u0142oty jest dosy\u0107 \u015bwie\u017cym wynalazkiem.<\/p>\n

Czym w og\u00f3le jest to co dzisiaj nazywamy z\u0142otym lub boskim podzia\u0142em? Jest to podzia\u0142 odcinka (dla prostoty d\u0142ugo\u015bci \\(1\\)) na dwie cz\u0119\u015bci tak aby stosunek ca\u0142o\u015bci do cz\u0119\u015bci wi\u0119kszej by\u0142 taki sam jak wi\u0119kszej do mniejszej.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Oznaczaj\u0105c d\u0142u\u017cszy odcinek przez \\(x\\), otrzymujemy proporcj\u0119
\n\\[\\dfrac{1}{x}=\\dfrac{x}{1-x}\\] prowadz\u0105c\u0105 do r\u00f3wnania kwadratowego \\[x^2+x-1=0.\\]<\/p>\n

Jedynym pierwiastkiem dodatnim tego r\u00f3wnania jest liczba \\[\\Phi=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{2}.\\] Wobec tego z\u0142ota proporcja (czyli s\u0142ynna liczba fi<\/em>) jest r\u00f3wna \\[\\varphi=\\dfrac{1}{\\Phi}=\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}.\\]<\/p>\n

Z\u0142ota proporcja pojawia si\u0119 nie wprost w twierdzeniu 11 ksi\u0119gi II Element\u00f3w (oczywi\u015bcie nie jest nazywana z\u0142ot\u0105). Natomiast w twierdzeniu 30 ksi\u0119gi VI pojawia si\u0119 ju\u017c w spos\u00f3b jawny jako podzia\u0142 odcinka w stosunku skrajne do \u015brodkowej<\/em>. Euklides u\u017cywa jej nast\u0119pnie do konstrukcji pi\u0119ciok\u0105ta foremnego oraz wielo\u015bcian\u00f3w foremnych.<\/p>\n

Kr\u00f3liki<\/h4>\n

W 1202 roku w\u0142oski matematyk Leonardo z Pizy, znany dzi\u015b bardziej jako Leonardo Fibonacci, w swoim dziele Liber Abaci<\/em> umie\u015bci\u0142 s\u0142ynne zadanie arytmetyczne dotycz\u0105ce kr\u00f3lik\u00f3w, kt\u00f3rego tre\u015b\u0107 by\u0142a taka:<\/p>\n

Ile par kr\u00f3lik\u00f3w powstanie z jednej pary w ci\u0105gu roku?<\/p>\n

Pewien m\u0119\u017cczyzna mia\u0142 par\u0119 kr\u00f3lik\u00f3w w pewnym ogrodzonym miejscu. Nale\u017cy si\u0119 dowiedzie\u0107 ile par kr\u00f3lik\u00f3w powstanie z tej pary w ci\u0105gu roku je\u017celi w ich naturze le\u017cy w jednym miesi\u0105cu urodzi\u0107 kolejn\u0105 par\u0119, a w nast\u0119pnym miesi\u0105cu te urodzone tak\u017ce urodz\u0105.<\/p><\/blockquote>\n

Jako, \u017ce t\u0142umacz ze mnie marny, to poni\u017cej tre\u015b\u0107 tego zadania ze wsp\u00f3\u0142czesnego angielskiego wydania ksi\u0105\u017cki. Zachowano pisowni\u0119 oryginaln\u0105.<\/p>\n

How Many Pairs of Rabbits Are Created by One Pair in One Year?<\/p>\n

A certain man had one pair of rabbits together in a certain enclosed place, and one wishes to know how many are created from the pair in one year when it is in the nature of them in a single month to bear another pair, and in the second month those born to bear also.<\/p><\/blockquote>\n

Natomiast w samej ksi\u0105\u017cce Fibonacciego wygl\u0105da\u0142o to tak:<\/p>\n

\"Ci\u0105g<\/p>\n

Jest to tylko proste \u0107wiczenie arytmetyczne. Za\u0142o\u017cenia naturalnie, nie maj\u0105 zbyt wiele wsp\u00f3lnego z rzeczywisto\u015bci\u0105. To proste zadanie prowadzi do s\u0142ynnego ci\u0105gu Fibonacciego<\/em> \\((F_n)\\). Definiujemy go rekurencyjnie przyjmuj\u0105c
\n\\[F_1=F_2=1 \\textrm{ oraz } F_{n+1}=F_n+F_{n-1} \\textrm{ dla } n>1.\\]
\nTo znaczy, nie licz\u0105c dw\u00f3ch pierwszych, ka\u017cdy kolejny wyraz jest sum\u0105 dw\u00f3ch poprzednich.
\n\\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, \\ldots\\]<\/p>\n

Z ci\u0105giem Fibonacciego stowarzyszony jest wa\u017cny ci\u0105g iloraz\u00f3w \\[a_n=\\dfrac{F_{n+1}}{F_n},\\] kt\u00f3rego granic\u0105 jest boska proporcja. Dow\u00f3d tutaj<\/a>. Ten fakt zauwa\u017cy\u0142 Johannes Kepler w pracy z 1611 pt. Strena, Seu de Nive Sexangula<\/em>. Je\u017celi w definicji ci\u0105gu \\(F_n\\) przyjmiemy za \\(F_1\\) oraz \\(F_2\\) jakiekolwiek inne liczby dodatnie, to ci\u0105g iloraz\u00f3w r\u00f3wnie\u017c b\u0119dzie zbiega\u0142 do \\(\\varphi\\).<\/p>\n

Liczby ci\u0105gu Fibonacciego mo\u017cna wyrazi\u0107 za pomoc\u0105 jawnego wzoru, tzw. wzoru Bineta<\/em>:
\n\\[F_n=\\dfrac{\\left(\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}\\right)^n-\\left(\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}\\right)^n}{\\sqrt{5}}.\\]<\/p>\n

Dow\u00f3d jego poprawno\u015bci mo\u017cna znale\u017a\u0107 tutaj<\/a><\/p>\n

Boska proporcja i z\u0142ote ci\u0119cie<\/h4>\n

Wbrew powszechnemu mniemaniu \\(\\varphi\\) sw\u00f3j boski przydomek naby\u0142a dopiero na prze\u0142omie XV i XVI wieku. Zawdzi\u0119cza go w\u0142oskiemu franciszkaninowi Luce Pacioliemu i wydanej w 1509 roku jego ksi\u0105\u017cce Divina Proportione<\/em> czyli Boska Proporcja<\/em>. Sam Pacioli jest bardziej znany ze swego innego dzie\u0142a Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita<\/em>. Dzi\u0119ki niemu bywa zwany ojcem rachunkowo\u015bci<\/em>.<\/p>\n

\"Luca<\/p>\n

Pierwsza cz\u0119\u015b\u0107 Compendio de Divina Proportione<\/em> dotyczy w\u0142a\u015bnie boskiej proporcji oraz bry\u0142 plato\u0144skich. Cz\u0119\u015b\u0107 t\u0119 Pacioli zadedykowa\u0142 ksi\u0119ciu Mediolanu Ludwikowi Sforzy. W pi\u0105tym rozdziale podaje pi\u0119\u0107 powod\u00f3w czemu boska proporcja powinna by\u0107 w\u0142a\u015bnie bosk\u0105. Te powody, to m.in. to, \u017ce w konstrukcji z\u0142otego podzia\u0142u wyst\u0119puj\u0105 trzy wielko\u015bci, co jest nawi\u0105zaniem do Tr\u00f3jcy \u015awi\u0119tej czy te\u017c to, \u017ce \\(\\varphi\\) jest liczb\u0105 niewymiern\u0105, wi\u0119c nie da si\u0119 jej wyrazi\u0107 przy pomocy liczb ca\u0142kowitych podobnie jak nie da si\u0119 przy pomocy s\u0142\u00f3w wyrazi\u0107 istoty Boga.<\/p>\n

Druga cz\u0119\u015b\u0107 Trattato dell\u2019architettura<\/em> po\u015bwi\u0119cona jest proporcjom oraz ich zastosowaniom w architekturze. Co by\u0107 mo\u017ce b\u0119dzie zaskakuj\u0105ce, cz\u0119\u015b\u0107 ta nie jest ju\u017c po\u015bwi\u0119cona z\u0142otej proporcji lecz witruwia\u0144skiemu systemowi proporcji, w kt\u00f3rym pr\u00f3\u017cno szuka\u0107 boskiej proporcji.<\/p>\n

Ostatnia cz\u0119\u015b\u0107 Libellus in tres partiales tractatus divisus quinque corporum regularium et dependentium active perscrutationis<\/em> jest t\u0142umaczeniem traktatu De quinque corporibus regularibus<\/em>, kt\u00f3rego autorem by\u0142 Piero della Francesca. Pacioli nigdzie nie wspomina, \u017ce to nie on jest autorem tej cz\u0119\u015bci.<\/p>\n

Interesuj\u0105cym faktem jest to, \u017ce ilustracje do Boskiej Proporcji wykona\u0142 nie kto inny tylko sam Leonardo da Vinci.
\n\"Divina<\/p>\n

Jeszcze \u015bwie\u017cszym wynalazkiem jest z\u0142oty przydomek, kt\u00f3ry liczba \\(\\varphi\\) zawdzi\u0119cza Martinowi Ohmowi. Czyli m\u0142odszemu bratu tego Ohma. W drugim wydaniu jego ksi\u0105\u017cki Die Reine Elementar Mathematik<\/em> z 1835 roku liczba \\(\\varphi\\) pierwszy (znany) raz zosta\u0142a nazwana z\u0142ot\u0105. Dok\u0142adniej, w przypisie na stronie 194 czytamy:
\n\"Martin<\/p>\n

To samo czytelniej:<\/p>\n

Diese Zertheilung einer beliebigen Linie r in 2 solche Theile, nennt man wohl auch den goldenen Schnitt<\/strong>; auch fragt man in diesem Falle zuweilen: die Linie r werde in stetige Proportion getheilt.<\/p><\/blockquote>\n

Goldener Schnitt czyli, w dos\u0142ownym t\u0142umaczeniu, z\u0142ote ci\u0119cie<\/em>. W pierwszym wydaniu ksi\u0105\u017cki si\u0119 nie pojawi\u0142o. Sugeruje to, \u017ce okre\u015blenie to mog\u0142o zacz\u0105\u0107 funkcjonowa\u0107 po pierwszym wydaniu ksi\u0105\u017cki.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja (zwana te\u017c bosk\u0105) oraz z\u0142ota spirala s\u0105 podobno wsz\u0119dzie. W naturze, sztuce, architekturze, ludzkim ciele i wielu innych miejscach. To taki zestaw standardowy informacji o z\u0142otej proporcji (tylko ile w tym<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":82,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[7,5],"tags":[8,9],"yoast_head":"\nCi\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105 i co je \u0142\u0105czy?<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja czy z\u0142ota spirala podobno s\u0105 wsz\u0119dzie. Co \u0142\u0105czy te poj\u0119cia? Jaka jest ich historia?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105 i co je \u0142\u0105czy?\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja czy z\u0142ota spirala podobno s\u0105 wsz\u0119dzie. Co \u0142\u0105czy te poj\u0119cia? Jaka jest ich historia?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-03-15T22:55:01+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-05-28T00:53:27+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"340\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"301\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"7 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105, co je \u0142\u0105czy i jaka jest ich historia?\",\"datePublished\":\"2021-03-15T22:55:01+00:00\",\"dateModified\":\"2021-05-28T00:53:27+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/\"},\"wordCount\":1498,\"commentCount\":1,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg\",\"keywords\":[\"Ci\u0105g Fibonacciego\",\"Z\u0142ota proporcja\"],\"articleSection\":[\"ci\u0105g Fibonacciego\",\"Z\u0142ota proporcja\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/\",\"name\":\"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105 i co je \u0142\u0105czy?\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg\",\"datePublished\":\"2021-03-15T22:55:01+00:00\",\"dateModified\":\"2021-05-28T00:53:27+00:00\",\"description\":\"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja czy z\u0142ota spirala podobno s\u0105 wsz\u0119dzie. Co \u0142\u0105czy te poj\u0119cia? Jaka jest ich historia?\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg\",\"width\":340,\"height\":301},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105, co je \u0142\u0105czy i jaka jest ich historia?\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105 i co je \u0142\u0105czy?","description":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja czy z\u0142ota spirala podobno s\u0105 wsz\u0119dzie. Co \u0142\u0105czy te poj\u0119cia? Jaka jest ich historia?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105 i co je \u0142\u0105czy?","og_description":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja czy z\u0142ota spirala podobno s\u0105 wsz\u0119dzie. Co \u0142\u0105czy te poj\u0119cia? Jaka jest ich historia?","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-03-15T22:55:01+00:00","article_modified_time":"2021-05-28T00:53:27+00:00","og_image":[{"width":340,"height":301,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"7 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105, co je \u0142\u0105czy i jaka jest ich historia?","datePublished":"2021-03-15T22:55:01+00:00","dateModified":"2021-05-28T00:53:27+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/"},"wordCount":1498,"commentCount":1,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg","keywords":["Ci\u0105g Fibonacciego","Z\u0142ota proporcja"],"articleSection":["ci\u0105g Fibonacciego","Z\u0142ota proporcja"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/","name":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105 i co je \u0142\u0105czy?","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg","datePublished":"2021-03-15T22:55:01+00:00","dateModified":"2021-05-28T00:53:27+00:00","description":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja czy z\u0142ota spirala podobno s\u0105 wsz\u0119dzie. Co \u0142\u0105czy te poj\u0119cia? Jaka jest ich historia?","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Fibonacci.jpg","width":340,"height":301},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/15\/ciag-fibonacciego\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Ci\u0105g Fibonacciego, z\u0142ota proporcja. Czym s\u0105, co je \u0142\u0105czy i jaka jest ich historia?"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/79"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=79"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/79\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":746,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/79\/revisions\/746"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/82"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=79"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=79"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=79"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}