{"id":787,"date":"2021-06-02T23:20:18","date_gmt":"2021-06-02T23:20:18","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=787"},"modified":"2022-04-18T21:19:49","modified_gmt":"2022-04-18T19:19:49","slug":"elipsa-a-kamienie-nerkowe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/","title":{"rendered":"Elipsa a kamienie nerkowe"},"content":{"rendered":"

Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c znacznie mniej os\u00f3b.<\/p>\n

<\/p>\n

W szkole, gdy uczymy si\u0119 o krzywych to na og\u00f3\u0142 jeste\u015bmy uczeni jedynie wzor\u00f3w je opisuj\u0105cych. Np. w liceum dowiadujemy si\u0119, \u017ce parabola, to wykres funkcji kwadratowej. O tym jakie ma geometryczne w\u0142asno\u015bci i jakie dzi\u0119ki nim ma zastosowania na og\u00f3\u0142 ju\u017c nie. Wa\u017cniejsza jest znajomo\u015b\u0107 wzoru na wyr\u00f3\u017cnik (zwany nie potocznie delt\u0105).<\/p>\n

Ka\u017cda krzywa, kt\u00f3ra jest znana na tyle, \u017ce doczeka\u0142a si\u0119 swojej nazwy, jest z jakich\u015b powod\u00f3w wyj\u0105tkowa. Na og\u00f3\u0142 ze wzgl\u0119du na w\u0142asno\u015bci (cz\u0119sto geometryczne) jakie posiada. O tym jakie w\u0142asno\u015bci i zastosowania ma parabola mo\u017cna poczyta\u0107 tutaj<\/a>. Poniewa\u017c pojawi\u0142a si\u0119 parabola, to tym razem czas na elips\u0119.<\/p>\n

Zacznijmy od tego czym w\u0142a\u015bciwie jest ta krzywa. Z wygl\u0105du jest to takie sp\u0142aszczone ko\u0142o, jakby kto\u015b na nim usiad\u0142. Mo\u017cna j\u0105, jak wiele krzywych, opisa\u0107 wzorem \\[\\dfrac{x^2}{a^2}+\\dfrac{y^2}{b^2}=1.\\] Ale wz\u00f3r za bardzo nie m\u00f3wi jak\u0105 ciekaw\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 ma elipsa. S\u0105 z ni\u0105 zwi\u0105zane dwa szczeg\u00f3lne punkty \\(F_1, F_2\\) zwane ogniskami<\/em>.
\n\"elipsa\" Mo\u017cna elips\u0119 r\u00f3wnie\u017c zdefiniowa\u0107 geometrycznie. Jest to krzywa maj\u0105ca t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce dla dowolnego jej punktu \\(P\\) suma odleg\u0142o\u015bci od ognisk jest zawsze taka sama, tzn. \\[|F_1P|+|F_2P|=C\\]<\/p>\n

dla pewnej liczby \\(C
\n\\gt 0\\).<\/p>\n

Szczeg\u00f3lnym przypadkiem jest okr\u0105g, kt\u00f3ry sk\u0142ada si\u0119 z punkt\u00f3w r\u00f3wno oddalonych od \u015brodka. Odpowiada to sytuacji, gdy oba ogniska s\u0105 tym samym punktem, czyli \u015brodkiem okr\u0119gu.<\/p>\n

Je\u017celi obr\u00f3cimy elips\u0119 wok\u00f3\u0142 prostej przechodz\u0105cej przez ogniska, to zakre\u015bli ona elipsoid\u0119 obrotow\u0105.
\n\"elipsoida\"<\/p>\n

Elipsa ma jeszcze inn\u0105 wa\u017cn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107, kt\u00f3ra sprawia, \u017ce ma praktyczne zastosowania. Mianowicie, ka\u017cdy promie\u0144 wychodz\u0105cy z jednego ogniska, odbiwszy si\u0119 od elipsy, przejdzie przez drugie ognisko. Na ko\u0144cu tego wpisu przedstawimy dow\u00f3d tej w\u0142asno\u015bci. Analogiczn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 ma naturalnie elipsoida powsta\u0142a przez obr\u00f3t elipsy wok\u00f3\u0142 osi przechodz\u0105cej przez ogniska.<\/p>\n

W jaki spos\u00f3b mo\u017cna t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107 wykorzysta\u0107? Jednym z zastosowa\u0144, cho\u0107 ma\u0142o praktycznym, s\u0105 tzw. galerie szept\u00f3w<\/em>. Elipsoidalny kszta\u0142t pozwala uzyskiwa\u0107 ciekawe efekty akustyczne. Je\u017celi budowla ma np. elipsoidalne sklepienie, to gdy jedna osoba stanie w jednym ognisku i zacznie szepta\u0107, to spora cz\u0119\u015b\u0107 fal d\u017awi\u0119kowych odbije si\u0119 od owego sklepienia i trafi do drugiego ogniska. Nawet je\u017celi b\u0119dzie je dzieli\u0142a odleg\u0142o\u015b\u0107 kilkudziesi\u0119ciu metr\u00f3w, to osoba stoj\u0105ca w drugim ognisku b\u0119dzie w stanie ten szept us\u0142ysze\u0107.<\/p>\n

Jedno z najbardziej znanych miejsc tego typu znajduje si\u0119 na dworcu Grand Central Terminal w Nowym Jorku.<\/p>\n

\"galeria
Ryan Ng, CC BY-SA 2.0 <https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/2.0>, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n

Jak to wygl\u0105da w praktyce mo\u017cna zobaczy\u0107 na tym filmiku<\/a>.<\/p>\n

Galerie szept\u00f3w s\u0105 bez w\u0105tpienia ciekaw\u0105 atrakcj\u0119, lecz nie maj\u0105 raczej \u017cadnych wi\u0119kszych praktycznych zastosowa\u0144. Jednak\u017ce, wspomniana w\u0142asno\u015b\u0107 elipsy znalaz\u0142a zastosowanie w medycynie. Dok\u0142adniej przy usuwaniu kamieni nerkowych. Jednym ze sposob\u00f3w pozbywania si\u0119 ich jest u\u017cywanie fal d\u017awi\u0119kowych.<\/p>\n

S\u0142u\u017cy do tego urz\u0105dzenie zwane litotryptorem<\/em>. W elipsoidalnym reflektorze, w jednym z jego ognisk, generowana jest fala uderzeniowa. Urz\u0105dzenie jest ustawione w taki spos\u00f3b, \u017ce w drugim ognisku znajduj\u0105 si\u0119 kamienie. Fala uderzeniowa, odbiwszy si\u0119 od elipsoidalnego reflektora, jest skupiana w drugim ognisku rozbijaj\u0105c znajduj\u0105ce si\u0119 tam kamienie.<\/p>\n

\"litotrypsja\"
\u0179r\u00f3d\u0142o: Smith’s Textbook of Endourology, I&II<\/em>, 3rd Edition, rozdzia\u0142 38 R.O. Cleveland, J.A. McAteer The Physics of Shock Wave Lithotripsy<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

\nTeraz poka\u017cemy, korzystaj\u0105c z geometrycznej definicji elipsy, \u017ce istotnie posiada w\u0142asno\u015b\u0107 i\u017c ka\u017cdy promie\u0144 wychodz\u0105cy z jednego ogniska, odbiwszy si\u0119 od niej, trafi do drugiego ogniska.<\/p>\n

\nJe\u017celi promie\u0144 odbija si\u0119 od prostej, to k\u0105t padania jest r\u00f3wny k\u0105towi odbicia. Jednak w jaki spos\u00f3b taki promie\u0144 odbija si\u0119 od krzywej? Ot\u00f3\u017c, w takim przypadku k\u0105t padania jest k\u0105tem mi\u0119dzy promieniem, a styczn\u0105 w punkcie padania promienia. Oznaczmy przez \\(a\\) sum\u0119 odleg\u0142o\u015bci dowolnego punktu elipsy od jej ognisk. W\u00f3wczas, je\u017celi \\(R\\) jest dowolnym punktem p\u0142aszczyzny, to:<\/p>\n

    \n
  • \\(|F_1R|+|F_2R| < a\\Leftrightarrow R\\) jest wewn\u0105trz elipsy,<\/li>\n
  • \\(|F_1R|+|F_2R|=a\\Leftrightarrow R\\) jest na elipsie,<\/li>\n
  • \\(|F_1R|+|F_2R| > a\\Leftrightarrow R\\) jest na zewn\u0105trz elipsy.<\/li>\n<\/ul>\n

    \nNiech \\(P\\) b\u0119dzie punktem na elipsie. Na p\u00f3\u0142prostej o pocz\u0105tku w ognisku \\(F_1\\) zaznaczmy, jak na rysunku poni\u017cej, punkt \\(F\\), tak aby \\(|PF|=|F_2P|\\).
    \n\"elipsa\"<\/p>\n

    \nPrzez punkt \\(P\\) poprowad\u017amy symetraln\u0105 \\(k\\) odcinka \\(FF_2\\). W\u00f3wczas
    \n\\[\\sphericalangle F_2PR=\\sphericalangle RPF=\\sphericalangle F_1PS,\\]
    \ngdy\u017c tr\u00f3jk\u0105t \\(\\triangle F_2PF\\) jest r\u00f3wnoramienny. Druga r\u00f3wno\u015b\u0107 wynika z tego, \u017ce k\u0105ty \\(\\sphericalangle RPF\\) oraz \\(\\sphericalangle F_1PS\\) s\u0105 wierzcho\u0142kowe. Wobec tego promie\u0144 \u015bwiat\u0142a wychodz\u0105cy z jednego ogniska, odbiwszy si\u0119 od prostej \\(k\\) przejdzie przez drugie ognisko. Wystarczy pokaza\u0107, \u017ce \\(k\\) jest styczn\u0105 do elipsy w punkcie \\(P\\). W przypadku elipsy, jest to jedyna prosta, kt\u00f3ra ma z ni\u0105 tylko jeden punkt wsp\u00f3lny, kt\u00f3rym jest \\(P\\). Nale\u017cy wi\u0119c pokaza\u0107, \u017ce ka\u017cdy r\u00f3\u017cny ni\u017c \\(P\\) punkt prostej \\(k\\) nie le\u017cy na elipsie.<\/p>\n

    \nNiech \\(R\\) b\u0119dzie, r\u00f3\u017cnym od \\(P\\), punktem prostej \\(k\\). Z okre\u015blenia punktu \\(F\\), wiemy \u017ce \\(|FP|=|F_2P|\\). Zatem \\(|F_1F|=|F_1P|+|F_2P|\\). Ponadto, \\(|F_2R|=|FR|\\), gdy\u017c \\(k\\) jest symetraln\u0105 odcinka \\(F_2F\\). Teraz wystarczy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce \\[|F_1R|+|F_2R|=|F_1R|+|FR|>|F_1F|=|F_1P|+|F_2P|,\\] gdy\u017c \\(F_1F, F_1R\\) oraz \\(FR\\) s\u0105 bokami tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle F_1FR\\). Czyli punkt \\(R\\) znajduje si\u0119 na zewn\u0105trz elipsy.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c znacznie mniej os\u00f3b.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":798,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[59,28,45,43],"tags":[60,31,46,44],"class_list":["post-787","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-geometria","category-krzywe","category-stozkowe","category-zastosowania-matematyki","tag-geometria","tag-krzywe","tag-stozkowe","tag-zastosowania-matematyki"],"yoast_head":"\nElipsa a kamienie nerkowe<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. . Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c mniej os\u00f3b.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Elipsa a kamienie nerkowe\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. . Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c mniej os\u00f3b.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-06-02T23:20:18+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-04-18T19:19:49+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"799\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"428\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Elipsa a kamienie nerkowe\",\"datePublished\":\"2021-06-02T23:20:18+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T19:19:49+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/\"},\"wordCount\":1092,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png\",\"keywords\":[\"Geometria\",\"Krzywe\",\"Sto\u017ckowe\",\"Zastosowania matematyki\"],\"articleSection\":[\"Geometria\",\"Krzywe\",\"Sto\u017ckowe\",\"Zastosowania matematyki\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/\",\"name\":\"Elipsa a kamienie nerkowe\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png\",\"datePublished\":\"2021-06-02T23:20:18+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T19:19:49+00:00\",\"description\":\"Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. . Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c mniej os\u00f3b.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png\",\"width\":799,\"height\":428,\"caption\":\"\u0179r\u00f3d\u0142o: Smith's Textbook of Endourology, I&II, 3rd Edition, rozdzia\u0142 49 R.O. Cleveland, J.A. McAteer The Physics of Shock Wave Lithotripsy\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Elipsa a kamienie nerkowe\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Elipsa a kamienie nerkowe","description":"Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. . Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c mniej os\u00f3b.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Elipsa a kamienie nerkowe","og_description":"Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. . Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c mniej os\u00f3b.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-06-02T23:20:18+00:00","article_modified_time":"2022-04-18T19:19:49+00:00","og_image":[{"width":799,"height":428,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Elipsa a kamienie nerkowe","datePublished":"2021-06-02T23:20:18+00:00","dateModified":"2022-04-18T19:19:49+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/"},"wordCount":1092,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png","keywords":["Geometria","Krzywe","Sto\u017ckowe","Zastosowania matematyki"],"articleSection":["Geometria","Krzywe","Sto\u017ckowe","Zastosowania matematyki"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/","name":"Elipsa a kamienie nerkowe","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png","datePublished":"2021-06-02T23:20:18+00:00","dateModified":"2022-04-18T19:19:49+00:00","description":"Czym jest elipsa wie chyba ka\u017cdy. . Ale o tym, \u017ce pewna jej w\u0142asno\u015b\u0107 znalaz\u0142a zastosowanie przy usuwaniu kamieni nerkowych, wie ju\u017c mniej os\u00f3b.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/litotrypsja.png","width":799,"height":428,"caption":"\u0179r\u00f3d\u0142o: Smith's Textbook of Endourology, I&II, 3rd Edition, rozdzia\u0142 49 R.O. Cleveland, J.A. McAteer The Physics of Shock Wave Lithotripsy"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/06\/02\/elipsa-a-kamienie-nerkowe\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Elipsa a kamienie nerkowe"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/787","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=787"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/787\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1298,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/787\/revisions\/1298"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/798"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=787"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=787"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=787"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}