\n| 2017<\/td>\n | 206 410<\/td>\n | 51,35%<\/td>\n | 195 572<\/td>\n | 48,65%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n Natomiast w latach 2010-2019 (tj. okres 10 lat) ch\u0142opc\u00f3w urodzi\u0142o si\u0119 \\(51,46\\%\\) (zaokr\u0105glaj\u0105c do 2 miejsc po przecinku).<\/p>\n Jak widzimy cz\u0119sto\u015b\u0107 nie jest tutaj roz\u0142o\u017cona r\u00f3wnomiernie. Ch\u0142opc\u00f3w rodzi si\u0119 wi\u0119cej i jest to og\u00f3lny trend, nie tylko w Polsce.<\/p>\n Przyjmijmy liczb\u0119 \\(0,5146\\) za prawdopodobie\u0144stwo urodzenia ch\u0142opca oraz \\(0,4854\\) urodzenia dziewczynki. W\u00f3wczas szanse, \u017ce urodzi si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du s\u0105 r\u00f3wne w przybli\u017ceniu \\(0,000171\\). Czyli s\u0105 znikome. Mo\u017cna wi\u0119c poniek\u0105d powiedzie\u0107, \u017ce Miejsce Odrza\u0144skie jest wyj\u0105tkowe. Tak jak mog\u0142aby powiedzie\u0107 o sobie osoba, kt\u00f3ra trafi\u0142a sz\u00f3stk\u0119 w lotka. Ale czy kogo\u015b dziwi, \u017ce jaka\u015b osoba trafi\u0142a sz\u00f3stk\u0119 w lotka? Chyba nie. Zdarza si\u0119 to dosy\u0107 regularnie. Czy wi\u0119c powinno nas dziwi\u0107, \u017ce trafi\u0142a si\u0119 miejscowo\u015b\u0107 z tak\u0105 seri\u0105 dziewczynek?<\/p>\n Zanim przejdziemy do rozk\u0142adu Bernoulliego, musimy najpierw zacz\u0105\u0107 od poj\u0119cia pr\u00f3by Bernoulliego<\/em>. Rozwa\u017cmy do\u015bwiadczenie spe\u0142niaj\u0105ce poni\u017csze warunki:<\/p>\n\n- mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwa wyniki, kt\u00f3re nazywa\u0107 b\u0119dziemy sukcesem i pora\u017ck\u0105;<\/li>\n
- prawdopodobie\u0144stwo sukcesu jest r\u00f3wne \\(p\\), a pora\u017cki, w takim razie, \\(1-p\\);<\/li>\n<\/ul>\n
Nazywamy takie do\u015bwiadczenie pr\u00f3b\u0105 Bernoulliego. B\u0119dziemy jednak zainteresowani wielokrotnym powtarzaniem pr\u00f3b Bernoulliego (czyli tzw. schematem Bernoulliego<\/em>) spe\u0142niaj\u0105cym warunek:<\/p>\n\n- wszystkie powt\u00f3rzenia do\u015bwiadczenia s\u0105 od siebie niezale\u017cne, tj. wyniki wcze\u015bniejszych do\u015bwiadcze\u0144 nie maj\u0105 \u017cadnego wp\u0142ywu na przysz\u0142e.<\/li>\n<\/ul>\n
Dobrym przyk\u0142adem jest rzut, niekoniecznie uczciw\u0105, monet\u0105. S\u0105 dwa mo\u017cliwe wyniki (nie bierzemy pod uwag\u0119 mo\u017cliwo\u015bci, \u017ce moneta mo\u017ce zawisn\u0105\u0107 w powietrzu lub stan\u0105\u0107 na sztorc \ud83d\ude09 ). Wynik konkretnego rzutu w \u017caden spos\u00f3b nie zale\u017cy od poprzednich. Mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c rozwa\u017ca\u0107 do\u015bwiadczenie maj\u0105ce wi\u0119cej mo\u017cliwych wynik\u00f3w, o ile jeste\u015bmy w stanie je podzieli\u0107 na dwie grupy.<\/p>\n Tu za przyk\u0142ad niech pos\u0142u\u017cy ruletka. W jej europejskiej odmianie wypa\u015b\u0107 mo\u017ce jedno z 37 p\u00f3l (od 0 do 36). Opr\u00f3cz 0 ka\u017cde ma kolor czarny lub czerwony. Je\u017celi postawili\u015bmy na kolor czerwony, to gdy kulka zatrzyma si\u0119 na kt\u00f3rymkolwiek polu tego koloru, b\u0119dzie to dla nas sukces. Szanse na to wynosz\u0105 \\(\\frac{18}{37}\\). Ka\u017cdy inny wynik, to nasza pora\u017cka.<\/p>\n Podobnie je\u017celi postawili\u015bmy u bukmachera na zwyci\u0119stwo Barcelony w meczu z Realem, to wygrana Katalo\u0144czyk\u00f3w jest dla nas sukcesem. Remis lub wygrana Kr\u00f3lewskich, to nasza pora\u017cka.<\/p>\n Pr\u00f3ba Bernoulliego mo\u017ce by\u0107 powtarzana wielokrotnie lub te\u017c zachodzi\u0107, nawet w tym samym czasie, w wielu miejscach, o ile tylko wyniki w \u017caden spos\u00f3b od siebie nie zale\u017c\u0105. Wykorzystamy rozk\u0142ad Bernoulliego do tego aby zobaczy\u0107, \u017ce Miejsce Odrza\u0144skie wcale takie niezwyk\u0142e nie jest. Przynajmniej z matematycznego punktu widzenia.<\/p>\n Je\u017celi powtarzamy pr\u00f3b\u0119 Bernoulliego \\(n\\) razy, to mo\u017cemy si\u0119 zastanawia\u0107 jakie s\u0105 szanse, \u017ce odniesiemy sukces np. dok\u0142adnie 5 razy albo co najmniej 3 razy itd.<\/p>\n Rozk\u0142ad Bernoulliego, oznaczany \\(B(n;p)\\), pokazuje jakie jest prawdopodobie\u0144stwo tego, \u017ce otrzymamy dok\u0142adnie jeden sukces, dok\u0142adnie dwa lub \u017cadnego itd. Czyli pokazuje jak, przy wspomnianych za\u0142o\u017ceniach, prawdopodobie\u0144stwo jest roz\u0142o\u017cone pomi\u0119dzy liczby \\(0, 1, \\ldots, n\\).<\/p>\n Sp\u00f3jrzmy na kilka prostych przyk\u0142ad\u00f3w. Je\u017celi rzucamy uczciw\u0105 monet\u0105 dwa razy, to mamy nast\u0119puj\u0105ce mo\u017cliwe wyniki: \\[(O,O), (O,R), (R,O), (R,R).\\]<\/p>\n Powiedzmy, \u017ce orze\u0142 to sukces. W\u00f3wczas szanse na 0 sukces\u00f3w (czyli dwie reszki) s\u0105 r\u00f3wne \\(\\frac 14\\). Na dok\u0142adnie 1 sukces \\(\\frac 12\\), a na dwa sukcesy \\(\\frac 14\\). Jest to rozk\u0142ad \\(B(2;0,5)\\). To jak roz\u0142o\u017cone jest prawdopodobie\u0144stwo lepiej zobaczy\u0107, zw\u0142aszcza dla wi\u0119kszych \\(n\\), na wykresie. Poni\u017cej rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa \\(B(2;0,5)\\).
\n![\"rzut](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern01.jpg\") <\/p>\n W przypadku 10 rzut\u00f3w uczciw\u0105 monet\u0105 wygl\u0105da to tak:
\n![\"rozk\u0142ad](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern02.jpg\") <\/p>\n Szanse na brak (lub 10) sukces\u00f3w nie s\u0105 zerowe, tylko s\u0105 tak ma\u0142e (dok\u0142adnie \\(\\frac{1}{1024}\\)), \u017ce s\u0105 w zasadzie niewidoczne na wykresie.<\/p>\n Jak wida\u0107 najwi\u0119ksze szanse s\u0105 na otrzymanie pi\u0119ciu sukces\u00f3w. Nie oznacza to, \u017ce zawsze liczba sukces\u00f3w b\u0119dzie r\u00f3wna pi\u0119\u0107. Prawdopodobie\u0144stwo otrzymania dok\u0142adnie pi\u0119ciu sukces\u00f3w (czyli or\u0142\u00f3w) jest r\u00f3wne w przybli\u017ceniu \\(0,246\\). Czyli cz\u0119\u015bciej otrzymamy inn\u0105 liczb\u0119 or\u0142\u00f3w\/sukces\u00f3w ni\u017c 5. Poni\u017cej wykres dla \\(n=10\\) oraz \\(p=0,75\\).
\n![\"rozk\u0142ad](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg\") <\/p>\n Tym razem najwi\u0119ksze szanse mamy mamy na 8 sukces\u00f3w.<\/p>\n Og\u00f3lnie, dok\u0142adnie \\(k\\) sukces\u00f3w, w \\(n\\) pr\u00f3bach, mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107 na tyle sposob\u00f3w, na ile jeste\u015bmy w stanie rozmie\u015bci\u0107 \\(k\\) sukces\u00f3w na \\(n\\) miejscach. Czyli na tyle sposob\u00f3w, ile jest \\(k\\) elementowych podzbior\u00f3w zbioru \\(n\\) elementowego.<\/p>\n Wobec tego prawdopodobie\u0144stwo \\(P(k)\\) dok\u0142adnie \\(k\\) sukces\u00f3w w \\(n\\) pr\u00f3bach Bernoulliego (\\(k\\leq n\\)) jest r\u00f3wne \\[P(k)={n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\\]<\/p>\n Gdy rzucamy uczciw\u0105 monet\u0105, to wiemy \u017ce \u015brednio powinno wypada\u0107 mniej wi\u0119cej tyle samo or\u0142\u00f3w jak i reszek. Nie oznacza to, \u017ce d\u0142ugie serie np. or\u0142\u00f3w nie powinny si\u0119 zdarza\u0107. Wbrew pozorom, powinny si\u0119 pojawia\u0107 coraz d\u0142u\u017csze serie, im d\u0142u\u017cej rzucamy. O tym jak policzy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo tego, \u017ce np. wypadnie 10 or\u0142\u00f3w z rz\u0119du przy stukrotnym rzucie monet\u0105 mo\u017cna poczyta\u0107 tutaj<\/a>.<\/p>\nRzucanie monet\u0105 mo\u017cemy traktowa\u0107 jak seri\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego, gdzie \\(p=0,5\\). Je\u017celi rzucamy monet\u0105 \\(n\\) razy, to \u015brednio padnie \\(0,5n\\) or\u0142\u00f3w. M\u00f3wi\u0105c nieco bardziej matematycznie, powiedzieliby\u015bmy, \u017ce warto\u015b\u0107 oczekiwana zmiennej losowej o rozk\u0142adzie \\(B(n;0,5)\\) jest r\u00f3wna \\(0,5n\\).<\/p>\n W przypadku rozk\u0142adu Bernoulliego \\(B(n,p)\\) \u015brednia liczba sukces\u00f3w jest r\u00f3wna \\(np\\). Nie oznacza to, \u017ce zawsze tyle otrzymamy.<\/p>\n Jak ju\u017c wiemy szanse, \u017ce urodzi si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du s\u0105 r\u00f3wne oko\u0142o \\(0,000171\\). Wsi w Polsce jest 43037 (\u017ar\u00f3d\u0142o<\/a>).<\/p>\nRozwa\u017cmy nast\u0119puj\u0105cy eksperyment. Od okre\u015blonego momentu, w ka\u017cdej polskiej wsi zaczynamy odnotowywa\u0107 urodzenia dzieci a\u017c do dwunastego dziecka. Za sukces uznajemy urodzenie si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du. Poniewa\u017c urodzenia dzieci w dwu r\u00f3\u017cnych wsiach od siebie nie zale\u017c\u0105, to mamy poprawnie okre\u015blony schemat Bernoulliego.<\/p>\n \u015arednia liczba sukces\u00f3w to \\[43037\\cdot 0,000171…\\approx 7,36.\\]<\/p>\n Nie oznacza to jednak, \u017ce w Polsce miejscowo\u015bci z 12 dziewczynkami z rz\u0119du by\u0142oby oko\u0142o 7. To jedynie oznacza, \u017ce gdyby wzi\u0105\u0107 Polskie wsie i np. po tak\u0105 sam\u0105 ilo\u015b\u0107 wsi w innych krajach, to mog\u0142oby si\u0119 okaza\u0107, \u017ce w Polsce odnie\u015bliby\u015bmy 1 sukces (czyli Miejsce Odrza\u0144skie), a np. w Hiszpanii 15.<\/p>\n W ramach ciekawostki poni\u017cej znajduj\u0105 si\u0119 wyniki prostego programu komputerowego symuluj\u0105cego opisany wy\u017cej eksperyment. Tj. dla ka\u017cdej z 43037 wsi losujemy 12 dzieci i patrzymy na p\u0142e\u0107 ka\u017cdego z nich. Je\u017celi pierwsze 5 dzieci to dziewczynki, a sz\u00f3stym dzieckiem jest ch\u0142opak to dla danej wsi przypisujemy wynik 5. W tabeli znajduje si\u0119 liczba wsi z poszczeg\u00f3lnymi wynikami. Pierwszy wiersz zawiera liczb\u0119 wsi z wynikiem 0 w poszczeg\u00f3lnych symulacjach, tj. pierwszym dzieckiem by\u0142 ch\u0142opak. Pi\u0105ty wiersz liczb\u0119 wsi z wynikiem 4 itd.<\/p>\n \n\n\n0<\/strong><\/td>\n| 22067<\/td>\n | 21972<\/td>\n | 22167<\/td>\n | 22188<\/td>\n | 22197<\/td>\n | 22069<\/td>\n | 22201<\/td>\n | 22238<\/td>\n | 22041<\/td>\n | 22170<\/td>\n<\/tr>\n | \n1<\/strong><\/td>\n| 10914<\/td>\n | 10790<\/td>\n | 10801<\/td>\n | 10726<\/td>\n | 10763<\/td>\n | 10784<\/td>\n | 10709<\/td>\n | 10819<\/td>\n | 10770<\/td>\n | 10769<\/td>\n<\/tr>\n | \n2<\/strong><\/td>\n| 5186<\/td>\n | 5421<\/td>\n | 5177<\/td>\n | 5194<\/td>\n | 5168<\/td>\n | 5255<\/td>\n | 5121<\/td>\n | 5063<\/td>\n | 5252<\/td>\n | 5219<\/td>\n<\/tr>\n | \n3<\/strong><\/td>\n| 2573<\/td>\n | 2479<\/td>\n | 2540<\/td>\n | 2570<\/td>\n | 2491<\/td>\n | 2468<\/td>\n | 2587<\/td>\n | 2513<\/td>\n | 2534<\/td>\n | 2557<\/td>\n<\/tr>\n | \n4<\/strong><\/td>\n| 1170<\/td>\n | 1201<\/td>\n | 1209<\/td>\n | 1234<\/td>\n | 1269<\/td>\n | 1238<\/td>\n | 1275<\/td>\n | 1234<\/td>\n | 1270<\/td>\n | 1167<\/td>\n<\/tr>\n | \n5<\/strong><\/td>\n| 589<\/td>\n | 608<\/td>\n | 601<\/td>\n | 557<\/td>\n | 584<\/td>\n | 644<\/td>\n | 593<\/td>\n | 571<\/td>\n | 612<\/td>\n | 602<\/td>\n<\/tr>\n | \n6<\/strong><\/td>\n| 290<\/td>\n | 310<\/td>\n | 284<\/td>\n | 293<\/td>\n | 299<\/td>\n | 292<\/td>\n | 290<\/td>\n | 317<\/td>\n | 287<\/td>\n | 296<\/td>\n<\/tr>\n | \n7<\/strong><\/td>\n| 131<\/td>\n | 129<\/td>\n | 132<\/td>\n | 146<\/td>\n | 134<\/td>\n | 147<\/td>\n | 135<\/td>\n | 156<\/td>\n | 146<\/td>\n | 141<\/td>\n<\/tr>\n | \n8<\/strong><\/td>\n| 63<\/td>\n | 73<\/td>\n | 59<\/td>\n | 68<\/td>\n | 64<\/td>\n | 74<\/td>\n | 66<\/td>\n | 58<\/td>\n | 63<\/td>\n | 59<\/td>\n<\/tr>\n | \n9<\/strong><\/td>\n| 35<\/td>\n | 39<\/td>\n | 31<\/td>\n | 34<\/td>\n | 34<\/td>\n | 29<\/td>\n | 33<\/td>\n | 36<\/td>\n | 32<\/td>\n | 30<\/td>\n<\/tr>\n | \n10<\/strong><\/td>\n| 9<\/td>\n | 8<\/td>\n | 22<\/td>\n | 16<\/td>\n | 11<\/td>\n | 18<\/td>\n | 13<\/td>\n | 15<\/td>\n | 17<\/td>\n | 14<\/td>\n<\/tr>\n | \n11<\/strong><\/td>\n| 4<\/td>\n | 5<\/td>\n | 9<\/td>\n | 5<\/td>\n | 10<\/td>\n | 8<\/td>\n | 7<\/td>\n | 11<\/td>\n | 8<\/td>\n | 5<\/td>\n<\/tr>\n | \n12<\/strong><\/td>\n| 6<\/td>\n | 2<\/td>\n | 5<\/td>\n | 6<\/td>\n | 13<\/td>\n | 11<\/td>\n | 7<\/td>\n | 6<\/td>\n | 5<\/td>\n | 8<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n \nAni razu nie zdarzy\u0142o si\u0119 aby nie by\u0142o wsi z 12 dziewczynkami z rz\u0119du. Najmniejsza ich liczba to 2, a najwi\u0119ksza 13. Za\u015b \u015brednia liczba wsi z 12 dziewczynkami z rz\u0119du jest r\u00f3wna 6,9.<\/p>\n Zatem nie ma niczego nadzwyczajnego w tym, \u017ce s\u0105 w Polsce miejscowo\u015bci, gdzie urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du. Tym bardziej, \u017ce rozwa\u017cyli\u015bmy przypadek mocno uproszczony, tj. taki, w kt\u00f3rym urodzenia zaczynamy odnotowywa\u0107 od pewnego momentu i w ka\u017cdej wsi bierzemy pod uwag\u0119 tylko 12 urodze\u0144.<\/p>\n Gdyby\u015bmy wzi\u0119li pod uwag\u0119 np. 30 urodze\u0144 i za sukces uznali urodzenie si\u0119 co najmniej 12 dziewczynek z rz\u0119du w trakcie tej serii, to oczekiwana liczba sukces\u00f3w by\u0142aby wi\u0119ksza. Obliczenia w tym przypadku s\u0105 nieco trudniejsze i, z matematycznego punktu widzenia, jest to ju\u017c inna historia.<\/p>\n Pokazuje to jednak, \u017ce miejscowo\u015bci, w kt\u00f3rych pojawi\u0142a si\u0119 tak d\u0142uga seria dziewczynek, zw\u0142aszcza gdyby wzi\u0105\u0107 pod uwag\u0119 kilkudziesi\u0119cioletni\u0105 histori\u0119, najprawdopodobniej by\u0142o co najmniej kilka. Tylko nikt nie zwr\u00f3ci\u0142 na inne miejscowo\u015bci uwagi na tyle, aby pisa\u0107 o tym w gazetach.<\/p>\n O ile mieszka\u0144cy Miejsca Odrza\u0144skiego, mog\u0105 si\u0119 upiera\u0107, \u017ce sta\u0142o si\u0119 u nich co\u015b niezwyk\u0142ego, o tyle nie powinno to nikogo dziwi\u0107, \u017ce gdzie\u015b w Polsce taka seria dziewczynek si\u0119 zdarzy\u0142a. To tak jak ze, wspomnianym ju\u017c, lotkiem. To, \u017ce kto\u015b trafi sz\u00f3stk\u0119 nie jest niczym niezwyk\u0142ym. Cho\u0107 osoba, kt\u00f3ra j\u0105 trafi\u0142a z pewno\u015bci\u0105 uwa\u017ca, \u017ce spotka\u0142o j\u0105 co\u015b niezwyk\u0142ego.<\/p>\n Nawet mimo i\u017c szanse na sz\u00f3stk\u0119 w Du\u017cym Lotku s\u0105 znikome, to bior\u0105c pod uwag\u0119, \u017ce na og\u00f3\u0142 gra bardzo du\u017co os\u00f3b, to szanse na to, \u017ce kto\u015b wygra ju\u017c takie znikome nie s\u0105.<\/p>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Miejsce Odrza\u0144skie, czyli wie\u015b w wojew\u00f3dztwie opolskim, sta\u0142a si\u0119 znana ze wzgl\u0119du na to, \u017ce jak grzmia\u0142y nag\u0142\u00f3wki w gazetach i Internecie, przez 10 lat nie urodzi\u0142 si\u0119 tam \u017caden ch\u0142opiec. Czy z matematycznego punktu<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":763,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[24],"tags":[22],"yoast_head":"\n Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym? Co ma z tym wsp\u00f3lnego rozk\u0142ad Bernoulliego?<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b gdzie przez 10 lat nie urodzi\u0142 si\u0119 \u017caden ch\u0142opiec. Co na to matematyka? I co ma do tego rozk\u0142ad Bernoulliego?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym? Co ma z tym wsp\u00f3lnego rozk\u0142ad Bernoulliego?\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b gdzie przez 10 lat nie urodzi\u0142 si\u0119 \u017caden ch\u0142opiec. Co na to matematyka? I co ma do tego rozk\u0142ad Bernoulliego?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-05-28T21:20:34+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-11-23T21:12:51+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"495\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"257\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"9 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym?\",\"datePublished\":\"2021-05-28T21:20:34+00:00\",\"dateModified\":\"2021-11-23T21:12:51+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/\"},\"wordCount\":1937,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg\",\"keywords\":[\"Prawdopodobie\u0144stwo\"],\"articleSection\":[\"Prawdopodobie\u0144stwo\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/\",\"name\":\"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym? Co ma z tym wsp\u00f3lnego rozk\u0142ad Bernoulliego?\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg\",\"datePublished\":\"2021-05-28T21:20:34+00:00\",\"dateModified\":\"2021-11-23T21:12:51+00:00\",\"description\":\"Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b gdzie przez 10 lat nie urodzi\u0142 si\u0119 \u017caden ch\u0142opiec. Co na to matematyka? I co ma do tego rozk\u0142ad Bernoulliego?\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg\",\"width\":495,\"height\":257,\"caption\":\"rozk\u0142ad Bernoulliego\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym?\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym? Co ma z tym wsp\u00f3lnego rozk\u0142ad Bernoulliego?","description":"Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b gdzie przez 10 lat nie urodzi\u0142 si\u0119 \u017caden ch\u0142opiec. Co na to matematyka? I co ma do tego rozk\u0142ad Bernoulliego?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym? Co ma z tym wsp\u00f3lnego rozk\u0142ad Bernoulliego?","og_description":"Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b gdzie przez 10 lat nie urodzi\u0142 si\u0119 \u017caden ch\u0142opiec. Co na to matematyka? I co ma do tego rozk\u0142ad Bernoulliego?","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-05-28T21:20:34+00:00","article_modified_time":"2021-11-23T21:12:51+00:00","og_image":[{"width":495,"height":257,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"9 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym?","datePublished":"2021-05-28T21:20:34+00:00","dateModified":"2021-11-23T21:12:51+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/"},"wordCount":1937,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg","keywords":["Prawdopodobie\u0144stwo"],"articleSection":["Prawdopodobie\u0144stwo"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/","name":"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym? Co ma z tym wsp\u00f3lnego rozk\u0142ad Bernoulliego?","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg","datePublished":"2021-05-28T21:20:34+00:00","dateModified":"2021-11-23T21:12:51+00:00","description":"Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b gdzie przez 10 lat nie urodzi\u0142 si\u0119 \u017caden ch\u0142opiec. Co na to matematyka? I co ma do tego rozk\u0142ad Bernoulliego?","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/bern03.jpg","width":495,"height":257,"caption":"rozk\u0142ad Bernoulliego"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/28\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Czy Miejsce Odrza\u0144skie jest miejscem niezwyk\u0142ym?"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/747"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=747"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/747\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":939,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/747\/revisions\/939"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/763"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=747"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=747"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=747"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}} | | | | | | | | | | | | | | |