{"id":586,"date":"2021-05-03T22:17:44","date_gmt":"2021-05-03T22:17:44","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=586"},"modified":"2021-06-06T17:39:38","modified_gmt":"2021-06-06T17:39:38","slug":"parabola","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/","title":{"rendered":"Po co nam parabola?"},"content":{"rendered":"<p style=\"line-height: 1.2;\">Legenda g\u0142osi, \u017ce wykorzystuj\u0105c pewn\u0105 prost\u0105 geometryczn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 jak\u0105 ma parabola, Archimedes skonstruowa\u0142 zwierciad\u0142a, kt\u00f3re mia\u0142y tak skupia\u0107 promienie s\u0142oneczne by powodowa\u0107 zap\u0142on rzymskich statk\u00f3w podczas obl\u0119\u017cenia Syrakuz. Ma\u0142o kto zna t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107. O tym si\u0119 w szkole na og\u00f3\u0142 nie wspomina. Lecz o tym, \u017ce wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie ka\u017cdy absolwent polskiego liceum.<!--more--><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Jak wygl\u0105da parabola wie chyba ka\u017cdy kto chodzi\u0142 do szko\u0142y i musia\u0142 si\u0119 uczy\u0107 funkcji kwadratowej. Krzywa ta by\u0142a jednak znana ju\u017c w staro\u017cytno\u015bci, gdy o czym\u015b takim jak funkcja kwadratowa nikt nie s\u0142ysza\u0142. Ale niestety program nauczania w szkole jest taki, \u017ce w zasadzie wszyscy ucz\u0105 si\u0119 wzor\u00f3w zbytnio si\u0119 nie zastanawiaj\u0105c sk\u0105d si\u0119 wzi\u0119\u0142y. Tak wi\u0119c ka\u017cdy wie jak wygl\u0105da wz\u00f3r funkcji kwadratowej, wz\u00f3r na wyr\u00f3\u017cnik (zwany potocznie <em>delt\u0105<\/em>) itd. Czy jest w tym wszystkim jaki\u015b g\u0142\u0119bszy sens, jest ju\u017c mniej wa\u017cne, bo tego na maturze przecie\u017c nie b\u0119dzie wi\u0119c nie trzeba si\u0119 tego uczy\u0107. Tam s\u0105 tylko zadania w stylu rozwi\u0105\u017c r\u00f3wnanie kwadratowe.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">To, \u017ce parabola jest krzyw\u0105 po kt\u00f3rej porusza si\u0119 rzucony kamie\u0144 czy wystrzelony pocisk (o ile pominiemy op\u00f3r powietrza) mog\u0142o si\u0119 obi\u0107 o uszy na lekcjach fizyki. Ale o tym, \u017ce:<\/p>\n<ul>\n<li>anteny satelitarne maj\u0105 kszta\u0142t fragmentu (tr\u00f3jwymiarowej) paraboli,<\/li>\n<li>niekt\u00f3re mikrofony kierunkowe r\u00f3wnie\u017c,<\/li>\n<li>jak i radioteleskopy,<\/li>\n<li>ogie\u0144 olimpijski jest tradycyjnie rozpalany (o ile pogoda pozwala) przy pomocy zwierciad\u0142a parabolicznego,<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">to ju\u017c nie zawsze w szkole si\u0119 m\u00f3wi. Za te (i inne) zastosowania paraboli odpowiedzialna jest pewna w\u0142asno\u015b\u0107, kt\u00f3ra wyr\u00f3\u017cnia j\u0105 spo\u015br\u00f3d innych krzywych. Bo z krzywymi jest tak, \u017ce wzory je opisuj\u0105ce nie wzi\u0119\u0142y si\u0119 st\u0105d, \u017ce kto\u015b sobie dany wz\u00f3r wymy\u015bli\u0142 i pomy\u015bla\u0142 <em>no to zobaczmy co z tego wyjdzie<\/em>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Na og\u00f3\u0142 jest inaczej. Najpierw krzyw\u0105 si\u0119 opisuje poprzez jak\u0105\u015b w\u0142asno\u015b\u0107, kt\u00f3r\u0105 chcemy aby posiada\u0142a, a dopiero potem wyprowadza si\u0119 z niej wz\u00f3r. Przyk\u0142adem krzywej (a w\u0142a\u015bciwie rodzin\u0105 krzywych) maj\u0105cej interesuj\u0105c\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 jest spirala logarytmiczna. Szczeg\u00f3lnym jej przypadkiem jest tzw. <em>z\u0142ota spirala<\/em>. O mitach zwi\u0105zanych ze z\u0142ot\u0105 spiral\u0105 mo\u017cna poczyta\u0107 <a href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">tutaj<\/a>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Podobnie jest z parabol\u0105. Ona te\u017c ma w\u0142asno\u015bci \u015bci\u015ble z ni\u0105 zwi\u0105zane. Ot\u00f3\u017c to nie tylko krzywa b\u0119d\u0105ca wykresem w\u0142a\u015bnie funkcji kwadratowej. Tylko jak j\u0105 zdefiniowa\u0107 nie odnosz\u0105c si\u0119 do funkcji kwadratowej?<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nZ ka\u017cd\u0105 parabol\u0105 jest zwi\u0105zany pewien szczeg\u00f3lny punkt \\(F\\), zwany <em>ogniskiem<\/em> oraz prosta \\(k\\) zwana <em>kierownic\u0105<\/em>. A sama parabola to zbi\u00f3r punkt\u00f3w p\u0142aszczyzny r\u00f3wno oddalonych od ustalonego punktu (tj. ogniska) oraz prostej nieprzechodz\u0105cej przez ten punkt (czyli kierownicy).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-608\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys08.png\" alt=\"parabola\" width=\"477\" height=\"290\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys08.png 477w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys08-300x182.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 477px) 100vw, 477px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Ma ona r\u00f3wnie\u017c t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce ka\u017cdy promie\u0144 prostopad\u0142y do kierownicy, odbiwszy si\u0119 od paraboli (po tej stronie, po kt\u00f3rej jest ognisko), przechodzi przez ognisko.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-589\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys01.png\" alt=\"parabola\" width=\"446\" height=\"376\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys01.png 446w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys01-300x253.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 446px) 100vw, 446px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Dzia\u0142a to r\u00f3wnie\u017c w odwrotn\u0105 stron\u0119, je\u017celi promie\u0144 przechodzi przez ognisko, to odbiwszy si\u0119 od paraboli, b\u0119dzie prostopad\u0142y do kierownicy.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Je\u017celi obr\u00f3cimy parabol\u0119 wzgl\u0119dem jej osi symetrii, otrzymamy <a href=\"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Paraboloida_obrotowa\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">paraboloid\u0119 obrotow\u0105<\/a>, kt\u00f3ra ma analogiczn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107, z t\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0105, \u017ce kierownica nie b\u0119dzie prost\u0105 lecz p\u0142aszczyzn\u0105. Dzi\u0119ki w\u0142asno\u015bci jak\u0105 ma parabola, mo\u017cemy skupia\u0107 r\u00f3wnoleg\u0142e promienie (np. s\u0142oneczne) w ognisku.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-592\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/paraboloida.jpg\" alt=\"paraboloida\" width=\"346\" height=\"455\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/paraboloida.jpg 346w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/paraboloida-228x300.jpg 228w\" sizes=\"auto, (max-width: 346px) 100vw, 346px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">To w\u0142a\u015bnie t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, je\u015bli wierzy\u0107 legendzie, wykorzysta\u0142 Archimedes podczas obl\u0119\u017cenia Syrakuz. Pr\u00f3by weryfikacji tej legendy by\u0142y podejmowane (i to trzykrotnie) w programie Pogromcy Mit\u00f3w, jednak wniosek by\u0142 taki, \u017ce najprawdopodobniej to tylko legenda. Mimo to powierzchnie w kszta\u0142cie paraboloidy obrotowej by\u0142y i nadal s\u0105 wykorzystywane w praktyce.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Jak wygl\u0105da antena satelitarna czy radioteleskop, ka\u017cdy chyba wie. Ale nie ka\u017cdy wie, \u017ce maj\u0105 one kszta\u0142t fragmentu paraboloidy obrotowej. Puszka na ko\u0144cu ramienia anteny satelitarnej to tzw. <em>konwerter<\/em>. Jak \u0142atwo si\u0119 domy\u015bli\u0107, znajduje si\u0119 w ognisku paraboloidy. Jego celem jest wzmacnianie sygna\u0142\u00f3w odbitych od anteny. W przypadku radioteleskop\u00f3w w ognisku mo\u017ce si\u0119 znajdowa\u0107 kolejne zwierciad\u0142o, kt\u00f3re kieruje odbite od tarczy promienie do miejsca docelowego. Poniewa\u017c fale docieraj\u0105 do niej z du\u017cej odleg\u0142o\u015bci, to s\u0105 prawie r\u00f3wnoleg\u0142e.<\/p>\n<figure id=\"attachment_594\" aria-describedby=\"caption-attachment-594\" style=\"width: 640px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-594\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/piwnice.jpg\" alt=\"radioteleskop\" width=\"640\" height=\"360\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/piwnice.jpg 640w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/piwnice-300x169.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-594\" class=\"wp-caption-text\">Radioteleskop w Piwniacach pod Toruniem. \u0179r\u00f3d\u0142o: https:\/\/visittorun.com<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Na podobnej zasadzie dzia\u0142a paraboliczny mikrofon kierunkowy (mo\u017cna takie kupi\u0107 bez problemu w internecie). Tylko, \u017ce zamiast fal elektromagnetycznych skupia d\u017awi\u0119kowe.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-596\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/mikrofon.jpg\" alt=\"mikrofon paraboliczny\" width=\"454\" height=\"605\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mo\u017cliwo\u015b\u0107 skupiania d\u017awi\u0119ku by\u0142a przed II wojn\u0105 \u015bwiatow\u0105 wykorzystywana przez Anglik\u00f3w, kt\u00f3rzy na swoich wybrze\u017cach wybudowali tzw. <em>betonowe uszy<\/em>. Ich celem by\u0142o skupianie w ognisku d\u017awi\u0119ku nadlatuj\u0105cych samolot\u00f3w niemieckich aby mo\u017cna by\u0142o je zawczasu us\u0142ysze\u0107. Ze wzgl\u0119du na wynalezienie radar\u00f3w nie zrobi\u0142y zawrotnej kariery, ale trzeba przyzna\u0107, \u017ce stanowi\u0105 ciekaw\u0105 atrakcj\u0119.<\/p>\n<figure id=\"attachment_597\" aria-describedby=\"caption-attachment-597\" style=\"width: 640px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-597\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/betonowe_uszy.jpg\" alt=\"betonowe uszy\" width=\"640\" height=\"480\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/betonowe_uszy.jpg 640w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/betonowe_uszy-300x225.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-597\" class=\"wp-caption-text\">Paul Glazzard, CC BY-SA 2.0 &lt;https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/2.0&gt;, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">W ognisku mo\u017cna skupia\u0107 r\u00f3wnie\u017c promienie \u015bwiat\u0142a s\u0142onecznego. W taki w\u0142a\u015bnie spos\u00f3b, wykorzystuj\u0105c <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Parabolic_reflector\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">zwierciad\u0142o paraboliczne<\/a>, rozpala si\u0119 ogie\u0144 olimpijski na Olimpie, kt\u00f3ry nast\u0119pnie wyrusza w drog\u0119 do znicza olimpijskiego.<\/p>\n<figure id=\"attachment_602\" aria-describedby=\"caption-attachment-602\" style=\"width: 541px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-602\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ogien_olimp.jpg\" alt=\"parabola\" width=\"541\" height=\"329\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ogien_olimp.jpg 541w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ogien_olimp-300x182.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 541px) 100vw, 541px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-602\" class=\"wp-caption-text\">Waerfelu, CC BY 3.0 &lt;https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by\/3.0&gt;, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Nieco wi\u0119ksze zwierciad\u0142o paraboliczne znajduje si\u0119 we Francji, a dok\u0142adniej, w Odeillo. Jest tam najwi\u0119kszy na \u015bwiecie piec solarny pozwalaj\u0105cy otrzyma\u0107 temperatur\u0119 ponad \\(3000^\\circ C\\). Jego efektywno\u015b\u0107 jest \u015bci\u015ble zwi\u0105zana z pogod\u0105, wi\u0119c takie piece nie s\u0105 cz\u0119sto wykorzystywane w praktyce.<\/p>\n<figure id=\"attachment_604\" aria-describedby=\"caption-attachment-604\" style=\"width: 640px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-604\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/odeillo.jpg\" alt=\"piec solarny\" width=\"640\" height=\"272\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/odeillo.jpg 640w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/odeillo-300x128.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-604\" class=\"wp-caption-text\">Bj\u00f6rn Appel, CC BY-SA 3.0 &lt;http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0\/&gt;, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Poka\u017cemy teraz, korzystaj\u0105c z przedstawionej definicji, \u017ce je\u017celi umie\u015bcimy ognisko w punkcie \\((0,p)\\) dla pewnego \\(p&gt;0\\), a za kierownic\u0119 przyjmiemy prost\u0105 \\(k: y=-p\\), to otrzymamy parabol\u0119 b\u0119d\u0105c\u0105 wykresem pewnej funkcji kwadratowej.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Z tego wynika, \u017ce ka\u017cda parabola jest przystaj\u0105ca do wykresu pewnej funkcji kwadratowej.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Niech wi\u0119c punkt \\((x,y)\\) b\u0119dzie mia\u0142 t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce jego odleg\u0142o\u015b\u0107 od punktu \\((0,p)\\) jest taka sama jak od prostej \\(k\\). Taki punkt istnieje co najmniej jeden, gdy\u017c \\((0,0)\\) jest oddalony od kierownicy i ogniska o \\(p\\). Odleg\u0142o\u015b\u0107 punktu \\((x,y)\\) od prostej \\(k\\) jest r\u00f3wna \\(y+p\\) (\u0142atwo zauwa\u017cy\u0107, \u017ce je\u015bli punkt nale\u017cy do paraboli, to \\(y\\geq 0\\)).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">We\u017amy jednak pod uwag\u0119 kwadrat tej odleg\u0142o\u015bci \\((y+p)^2\\). Z kolei kwadrat odleg\u0142o\u015bci od ogniska do punktu \\((x,y)\\) jest r\u00f3wny \\(x^2+(y-p)^2\\). Wobec tego \\[(y+p)^2=x^2+(y-p)^2.\\] Pozbywaj\u0105c si\u0119 nawias\u00f3w oraz redukuj\u0105c wyrazy podobne otrzymamy \\(x^2=4py\\), czyli ostatecznie \\[y=\\dfrac{x^2}{4p}.\\]<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Zatem wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne ka\u017cdego punktu le\u017c\u0105cego na paraboli spe\u0142niaj\u0105 powy\u017csze r\u00f3wnanie. Z drugiej strony, nietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce ka\u017cdy punkt le\u017c\u0105cy na krzywej \\(y=\\dfrac{x^2}{4p}\\) spe\u0142nia warunek definiuj\u0105cy parabol\u0119.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Teraz udowodnimy, \u017ce ka\u017cdy promie\u0144 prostopad\u0142y do kierownicy, odbiwszy si\u0119 od paraboli (po tej samej ,,stronie&#8221; gdzie jest ognisko) trafi w ognisko. Poniewa\u017c ka\u017cda parabola jest przystaj\u0105ca do wykresu funkcji \\(y=\\frac{x^2}{4p}\\) dla pewnego \\(p&gt;0\\), to wystarczy przeprowadzi\u0107 dow\u00f3d tylko dla \\(y=\\frac{x^2}{4p}\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Niech \\(Q=(m,\\frac{m^2}{4p})\\) b\u0119dzie punktem paraboli. Oznaczmy na czerwono promie\u0144 prostopad\u0142y do kierownicy i odbijaj\u0105cy si\u0119 od paraboli w punkcie \\(Q\\) jak na rysunku. Na pocz\u0105tku udowodnimy pewien fakt pomocniczy. Mianowicie, poka\u017cemy, \u017ce styczna do paraboli w punkcie \\((m,\\frac{m^2}{4p})\\) ma wsp\u00f3\u0142czynnik kierunkowy \\(\\frac{m}{2p}\\).<\/p>\n<p>Styczna do paraboli w punkcie \\(Q\\) jest jedyn\u0105 niepionow\u0105 prost\u0105 przechodz\u0105c\u0105 przez \\(Q\\) oraz maj\u0105c\u0105 z parabol\u0105 dok\u0142adnie jeden punkt wsp\u00f3lny.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Ci co znaj\u0105 poj\u0119cie pochodnej funkcji, uznaj\u0105 to za fakt oczywisty. Jednak\u017ce, udowodnimy to nie korzystaj\u0105c z poj\u0119cia pochodnej.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-617\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys09.png\" alt=\"parabola\" width=\"446\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys09.png 446w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys09-300x202.png 300w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys09-120x80.png 120w\" sizes=\"auto, (max-width: 446px) 100vw, 446px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Ka\u017cda, niepionowa, prosta przechodz\u0105ca przez punkt \\((m,\\frac{m^2}{4p})\\) ma r\u00f3wnanie \\[y=a(x-m)+\\frac{m^2}{4p}.\\] Ilo\u015b\u0107 punkt\u00f3w wsp\u00f3lnych tej prostej z parabol\u0105 \\(y=\\frac{x^2}{4p}\\) jest liczb\u0105 rozwi\u0105za\u0144 r\u00f3wnania<br \/>\n\\[a(x-m)+\\frac{m^2}{4p}=\\frac{x^2}{4p},\\] tj. \\[\\frac{x^2}{4p}-ax-\\frac{m^2}{4p}+am=0\\]<br \/>\ndla \\(a\\in\\mathbb R\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mno\u017c\u0105c przez \\(4p\\) otrzymamy inne r\u00f3wnanie, ale maj\u0105ce t\u0105 sam\u0105 liczb\u0119 rozwi\u0105za\u0144. \\[x^2-4apx-m^2+4apm=0.\\] Ma ono dok\u0142adnie jedno rozwi\u0105zanie, gdy \\(\\Delta=0\\), tj., gdy \\[(4ap)^2-4\\cdot 1\\cdot(-m^2+4apm)=0.\\] Czyli \\[16p^2a^2-16pma+4m^2=(2m-4pa)^2=0.\\] Z tego wynika, \u017ce \\(a=\\frac{m}{2p}\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Z kolei wsp\u00f3\u0142czynnik kierunkowy prostej przechodz\u0105cej przez ognisko oraz rzut punktu \\(Q\\) na kierownic\u0119 (tj. punkt \\(P\\)) ma wsp\u00f3\u0142czynnik kierunkowy \\(-\\frac{2p}{m}\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Zatem jest ona prostopad\u0142a do stycznej. Czyli zawiera wysoko\u015b\u0107 tr\u00f3jk\u0105ta r\u00f3wnoramiennego \\(\\triangle PQF\\) opuszczon\u0105 na \\(PF\\). Zatem \\(\\angle PQS=\\angle SQF=\\angle RQT\\). Z tego wynika, \u017ce promie\u0144 prostopad\u0142y do kierownicy oraz odbijaj\u0105cy si\u0119 od paraboli w punkcie \\(Q\\) przejdzie przez ognisko.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Legenda g\u0142osi, \u017ce wykorzystuj\u0105c pewn\u0105 prost\u0105 geometryczn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 jak\u0105 ma parabola, Archimedes skonstruowa\u0142 zwierciad\u0142a, kt\u00f3re mia\u0142y tak skupia\u0107 promienie s\u0142oneczne by powodowa\u0107 zap\u0142on rzymskich statk\u00f3w podczas obl\u0119\u017cenia Syrakuz. Ma\u0142o kto zna t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107. O tym<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":620,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[28,45,43],"tags":[31,46,44],"class_list":["post-586","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-krzywe","category-stozkowe","category-zastosowania-matematyki","tag-krzywe","tag-stozkowe","tag-zastosowania-matematyki"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.7 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Po co nam parabola?<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"O tym, \u017ce wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie ka\u017cdy absolwent polskiego liceum. Ale czy parabola mo\u017ce mie\u0107 praktyczne zastosowania?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Po co nam parabola?\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"O tym, \u017ce wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie ka\u017cdy absolwent polskiego liceum. Ale czy parabola mo\u017ce mie\u0107 praktyczne zastosowania?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"&beta;X - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-05-03T22:17:44+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-06-06T17:39:38+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ZDJ.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"610\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"330\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"8 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Po co nam parabola?\",\"datePublished\":\"2021-05-03T22:17:44+00:00\",\"dateModified\":\"2021-06-06T17:39:38+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/\"},\"wordCount\":1656,\"commentCount\":1,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2021\\\/05\\\/ZDJ.jpg\",\"keywords\":[\"Krzywe\",\"Sto\u017ckowe\",\"Zastosowania matematyki\"],\"articleSection\":[\"Krzywe\",\"Sto\u017ckowe\",\"Zastosowania matematyki\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/\",\"name\":\"Po co nam parabola?\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2021\\\/05\\\/ZDJ.jpg\",\"datePublished\":\"2021-05-03T22:17:44+00:00\",\"dateModified\":\"2021-06-06T17:39:38+00:00\",\"description\":\"O tym, \u017ce wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie ka\u017cdy absolwent polskiego liceum. Ale czy parabola mo\u017ce mie\u0107 praktyczne zastosowania?\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2021\\\/05\\\/ZDJ.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2021\\\/05\\\/ZDJ.jpg\",\"width\":610,\"height\":330,\"caption\":\"parabola\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/index.php\\\/2021\\\/05\\\/03\\\/parabola\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Po co nam parabola?\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/\",\"name\":\"&beta;X - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/secure.gravatar.com\\\/avatar\\\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"url\":\"https:\\\/\\\/secure.gravatar.com\\\/avatar\\\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/secure.gravatar.com\\\/avatar\\\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/secure.gravatar.com\\\/avatar\\\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Po co nam parabola?","description":"O tym, \u017ce wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie ka\u017cdy absolwent polskiego liceum. Ale czy parabola mo\u017ce mie\u0107 praktyczne zastosowania?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Po co nam parabola?","og_description":"O tym, \u017ce wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie ka\u017cdy absolwent polskiego liceum. Ale czy parabola mo\u017ce mie\u0107 praktyczne zastosowania?","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/","og_site_name":"&beta;X - blog o matematyce","article_published_time":"2021-05-03T22:17:44+00:00","article_modified_time":"2021-06-06T17:39:38+00:00","og_image":[{"width":610,"height":330,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ZDJ.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"8 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Po co nam parabola?","datePublished":"2021-05-03T22:17:44+00:00","dateModified":"2021-06-06T17:39:38+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/"},"wordCount":1656,"commentCount":1,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ZDJ.jpg","keywords":["Krzywe","Sto\u017ckowe","Zastosowania matematyki"],"articleSection":["Krzywe","Sto\u017ckowe","Zastosowania matematyki"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/","name":"Po co nam parabola?","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ZDJ.jpg","datePublished":"2021-05-03T22:17:44+00:00","dateModified":"2021-06-06T17:39:38+00:00","description":"O tym, \u017ce wykresem funkcji kwadratowej jest parabola wie ka\u017cdy absolwent polskiego liceum. Ale czy parabola mo\u017ce mie\u0107 praktyczne zastosowania?","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ZDJ.jpg","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/ZDJ.jpg","width":610,"height":330,"caption":"parabola"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Po co nam parabola?"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"&beta;X - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/586","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=586"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/586\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":814,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/586\/revisions\/814"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/620"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=586"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=586"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=586"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}