\nPonadto, wspomnimy r\u00f3wnie\u017c o uog\u00f3lnieniach charakterystyki Eulera, kt\u00f3r\u0105 mo\u017cna zdefiniowa\u0107 dla znacznie og\u00f3lniejszych obiekt\u00f3w ni\u017c wielo\u015bciany. Co ciekawe, w takich przypadkach nie musi by\u0107 ona liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105! Do tego poka\u017cemy, \u017ce mo\u017cna j\u0105 bardzo \u0142atwo opisa\u0107 aksjomatycznie.<\/p>\n
Wz\u00f3r Eulera jest czym\u015b co \u0142\u0105czy np. ostros\u0142upy, graniastos\u0142upy oraz wiele innych bry\u0142. Mimo i\u017c s\u0105 to obiekty, na pierwszy rzut oka, zupe\u0142nie r\u00f3\u017cne, to jak mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107, maj\u0105 pewne cechy wsp\u00f3lne, kt\u00f3re s\u0105 niezale\u017cne od ich kszta\u0142tu.<\/p>\n
Jak wspomnieli\u015bmy, problemy z dowiedzeniem wzoru Eulera pochodzi\u0142y m. in. z braku \u015bcis\u0142ej definicji takich poj\u0119\u0107 jak wielo\u015bcian czy \u015bciana. Jak matematycy poradzili sobie z tym problem? Czas pobawi\u0107 si\u0119 matematycznym lego, tzn. sympleksami.<\/p>\n
Aby zdefiniowa\u0107 wielo\u015bcian potrzebujemy odpowiedniej definicji wierzcho\u0142ka, kraw\u0119dzi oraz \u015bciany. Co prowadzi do og\u00f3lniejszego poj\u0119cia sympleksu.<\/p>\n
Sympleksem 0-wymiarowym jest po prostu punkt, 1-wymiarowym odcinek, 2-wymiarowym tr\u00f3jk\u0105t (razem z wn\u0119trzem), 3-wymiarowym za\u015b jest czworo\u015bcian (niekoniecznie foremny i r\u00f3wnie\u017c z wn\u0119trzem). Matematycy przyjmuj\u0105 jeszcze, \u017ce zbi\u00f3r pusty jest sympleksem wymiaru -1.
\n![\"sympleks\"](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/sympleks.png\")
<\/p>\n
Mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c analogicznie zdefiniowa\u0107 sympleksy dowolnego wymiaru. By\u0107 mo\u017ce trudno jest je sobie wyobrazi\u0107, gdy\u017c s\u0105 to obiekty, kt\u00f3rych nie da si\u0119 umie\u015bci\u0107 w najbardziej nam znanej przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej.<\/p>\n
Maj\u0105c \\(n+1\\) wierzcho\u0142k\u00f3w \\(x_1,x_2,\\ldots,x_{n+1}\\in\\mathbb R^k\\ (k\\geq n-1)\\), definiujemy sympleks jako zbi\u00f3r tych punkt\u00f3w \\(x\\in\\mathbb R^k\\), kt\u00f3rych wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne mo\u017cna wyrazi\u0107 jako sum\u0119 \\[a_1x_1+a_2x_2+\\ldots+a_{n+1}x_{n+1},\\] gdzie liczby \\(a_1,a_2,\\ldots,a_{n+1}\\) s\u0105 nieujemne oraz ich suma jest r\u00f3wna 1. Zak\u0142adamy przy tym, \u017ce nie wszystkie wierzcho\u0142ki znajduj\u0105 si\u0119 w jednej \\((n-1)\\)-wymiarowej hiperp\u0142aszczy\u017anie.<\/p>\n
Zauwa\u017cmy, \u017ce w sympleksie wymiaru 3 znajduj\u0105 si\u0119 r\u00f3wnie\u017c sympleksy wymiar\u00f3w 0, 1, oraz 2. Og\u00f3lnie w ka\u017cdym sympleksie wymiaru \\(n\\) znajduj\u0105 si\u0119 sympleksy wszystkich wymiar\u00f3w mniejszych lub r\u00f3wnych \\(n\\). Nazywamy je \u015bcianami<\/em>.<\/p>\n Dysponuj\u0105c poj\u0119ciem sympleksu, jeste\u015bmy w stanie zdefiniowa\u0107 tzw. kompleks symplicjalny<\/em>. Jest to, w skr\u00f3cie m\u00f3wi\u0105c, obiekt b\u0119d\u0105cy sum\u0105 sympleks\u00f3w. Przy czym zak\u0142adamy, \u017ce cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3lna dwu dowolnych sympleks\u00f3w jest ich wsp\u00f3ln\u0105 \u015bcian\u0105. Wielo\u015bcianem za\u015b jest ka\u017cdy obiekt, kt\u00f3ry topologicznie<\/a> jest nieodr\u00f3\u017cnialny od jakiego\u015b kompleksu symplicjalnego (dok\u0142adniej od tzw. jego realizacji<\/em>). Dlatego okr\u0105g czy sfera to pe\u0142noprawne wielo\u015bciany.<\/p>\n Poni\u017cej przyk\u0142ady dwu kompleks\u00f3w symplicjalnych wymiaru 2. Mo\u017cemy je r\u00f3wnie\u017c traktowa\u0107 razem jako jeden kompleks. Cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3lna sympleks\u00f3w wszak mo\u017ce by\u0107 sympleksem wymiaru -1, czyli zbiorem pustym.<\/p>\n Tu z kolei przyk\u0142ady obiekt\u00f3w, kt\u00f3re kompleksami symplicjalnymi nie s\u0105. Cz\u0119\u015bci wsp\u00f3lne sympleks\u00f3w nie zawsze s\u0105 ich wsp\u00f3ln\u0105 \u015bcian\u0105.<\/p>\n Zaznaczmy, \u017ce nale\u017cy odr\u00f3\u017cni\u0107 zbi\u00f3r sympleks\u00f3w od ich sumy jako podzbioru \\(\\mathbb R^n\\). Powy\u017csze zbiory mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c na inne sposoby przedstawi\u0107 jako sum\u0119 sympleks\u00f3w. R\u00f3wnie\u017c w taki aby otrzyma\u0107 kompleks symplicjalny.<\/p>\n Maj\u0105c ju\u017c w poprawny spos\u00f3b zdefiniowane poj\u0119cia mo\u017cemy dla ka\u017cdego kompleksu symplicjalnego obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 \\(W-K+S\\). Wierzcho\u0142ki to sympleksy 0-wymiarowe, kraw\u0119dzie to te wymiaru 1, a \u015bciany to sympleksy wymiaru 2. Tylko zaraz, przecie\u017c np. taki sze\u015bcian nie jest kompleksem symplicjalnym. Jego \u015bciany s\u0105 kwadratami.<\/p>\n Mo\u017cemy jednak jego \u015bciany podzieli\u0107 na tr\u00f3jk\u0105ty. Otrzymamy wtedy pe\u0142noprawny kompleks symplicjalny. Podobnie ka\u017cdy znany nam wielo\u015bcian jeste\u015bmy w stanie przedstawi\u0107 w postaci kompleksu symplicjalnego. Na powy\u017cszym rysunku mamy jedynie brzeg sze\u015bcianu bez wn\u0119trza poniewa\u017c interesuj\u0105 nas tylko wierzcho\u0142ki, kraw\u0119dzie oraz \u015bciany. Je\u017celi we\u017amiemy pod uwag\u0119 tak\u017ce sympleksy wy\u017cszych wymiar\u00f3w, to mo\u017cemy zdefiniowa\u0107 charakterystyk\u0105 Eulera<\/em>. Dok\u0142adniej, je\u017celi przez \\(k_i\\) oznaczymy liczb\u0119 \\(k\\)-wymiarowych sympleks\u00f3w kompleksu \\(X\\), to jego charakterystyka Eulera jest r\u00f3wna \\[\\chi(X)=k_0-k_1+k_2-k_3+\\ldots=\\sum_{i=0}^\\infty (-1)^i\\cdot k_i.\\] Suma ta ma sens jedynie wtedy, gdy liczba wszystkich sympleks\u00f3w jest sko\u0144czona.<\/p>\n M\u00f3wi\u0105c w skr\u00f3cie od liczby \u015bcian parzystowymiarowych, odejmujemy liczb\u0119 \u015bcian wymiar\u00f3w nieparzystych. Okazuje si\u0119, \u017ce charakterystyka Eulera jest tzw. niezmiennikiem topologicznym<\/em> tzn. jest taka sama dla obiekt\u00f3w, kt\u00f3re z topologicznego<\/a> punktu widzenia s\u0105 nieodr\u00f3\u017cnialne. A takie s\u0105 tradycyjne wielo\u015bciany: prostopad\u0142o\u015bciany, graniastos\u0142upy czy ostros\u0142upy. Z topologicznego punktu widzenia s\u0105 sfer\u0105. Ka\u017cdy z nich mo\u017cemy w spos\u00f3b ci\u0105g\u0142y przekszta\u0142ci\u0107 na sfer\u0119, np. nadmuchuj\u0105c (przy za\u0142o\u017ceniu, \u017ce s\u0105 wykonane z elastycznej gumy). Z tego te\u017c wzgl\u0119du nie musimy si\u0119 martwi\u0107 tym, \u017ce np. sze\u015bcian mo\u017cemy przedstawi\u0107 jako kompleks na wiele r\u00f3\u017cnych spos\u00f3b. Jego charakterystyka Eulera zawsze b\u0119dzie r\u00f3wna 2.<\/p>\n Dla kwadratu, tr\u00f3jk\u0105ta i dowolnego wielok\u0105ta (bez wn\u0119trza) otrzymamy 0. Wszystkie te figury s\u0105 topologicznie r\u00f3wnowa\u017cne okr\u0119gowi, kt\u00f3ry topolodzy standardowo oznaczaj\u0105 \\(\\mathbb S^1\\). Niekt\u00f3rych m\u00f3g\u0142by pewnie zdziwi\u0107 widok topologa rysuj\u0105cego kwadrat i m\u00f3wi\u0105cego, \u017ce jest to okr\u0105g.<\/p>\n Z kolei sfer\u0119 dwuwymiarow\u0105 (czyli balon) oznaczamy \\(\\mathbb S^2\\). Mo\u017cemy wi\u0119c zapisa\u0107, \u017ce \\[\\chi(\\mathbb S^1)=0\\textrm{ oraz }\\chi(\\mathbb S^2)=2.\\]<\/p>\n Oznacza to, \u017ce okr\u0105g i sfera s\u0105 topologicznie r\u00f3\u017cne. Charakterystyka Eulera daje nam prosty spos\u00f3b rozr\u00f3\u017cniania, z topologicznego punktu widzenia, niekt\u00f3rych obiekt\u00f3w. Pami\u0119tajmy, \u017ce w drug\u0105 stron\u0119 to nie dzia\u0142a. R\u00f3wno\u015b\u0107 charakterystyk nie oznacza, \u017ce obiekty s\u0105 topologicznie nieodr\u00f3\u017cnialne.<\/p>\n Je\u017celi do okr\u0119gu dodamy wn\u0119trze, otrzymuj\u0105c ko\u0142o, to dla topologa b\u0119dzie to tym samym co dowolny wielok\u0105t z wn\u0119trzem. Ko\u0142o przez topolog\u00f3w bywa nazywane dyskiem i oznaczane \\(\\mathbb D^2\\). Jak \u0142atwo sprawdzi\u0107 \\[\\chi(\\mathbb D^2)=1.\\]<\/p>\n Rozdmuchuj\u0105c sze\u015bcian otrzymali\u015bmy sfer\u0119 z krzywymi kraw\u0119dziami oraz \u015bcianami. Je\u017celi podzielimy j\u0105 na takie krzywoliniowe sympleksy, to wz\u00f3r Eulera nadal si\u0119 b\u0119dzie zgadza\u0107. Podobnie z innymi figurami. Sp\u00f3jrzmy przyk\u0142adowo na dysk. <\/p>\n Nawet gdy go podzielimy (jakkolwiek) na takie krzywe kraw\u0119dzie i placki (zwane kom\u00f3rkami), to wz\u00f3r Eulera da nam 1. Prowadzi to do jeszcze og\u00f3lniejszych poj\u0119\u0107 takich jak CW-kompleks<\/a>. Nie wdaj\u0105c si\u0119 w techniczne szczeg\u00f3\u0142y, mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce jest to poj\u0119cie pozwalaj\u0105ce efektywniej przedstawia\u0107 topologiczne obiekty w postaci sumy kom\u00f3rek. Dzi\u0119ki temu mo\u017cemy liczy\u0107 \u0142atwiej charakterystyk\u0119 Eulera.<\/p>\n W przypadku sfery \\(\\mathbb S^2\\) wystarcz\u0105 po dwie kom\u00f3rki wymiar\u00f3w 0, 1 oraz 2.<\/p>\n Przekr\u00f3j sfery p\u0142aszczyzn\u0105 wyznacza okr\u0105g przechodz\u0105cy przez zaznaczone punkty. One z kolei dziel\u0105 go na dwa \u0142uki. Ca\u0142a reszta za\u015b sk\u0142ada si\u0119 z dwu p\u00f3\u0142kul.<\/p>\n Czyli mamy dwie kom\u00f3rki 0-wymiarowe (tj. punkty), dwie 1-wymiarowe (tj. odcinki), a wspomniane p\u00f3\u0142kule to kom\u00f3rki wymiaru 2. Mo\u017cna nawet pro\u015bciej przedstawi\u0107 sfer\u0119! Tak naprawd\u0119 wystarcz\u0105 dwie kom\u00f3rki w og\u00f3le. Je\u017celi ze sfery usuniemy jeden punkt, to ca\u0142a reszta b\u0119dzie kom\u00f3rk\u0105 wymiaru 2. Punkt+reszta, czyli dwie kom\u00f3rki, to najprostszy rozk\u0142\u0105d sfery. Taki rozk\u0142ad nie jest mo\u017cliwy, gdy m\u00f3wimy o kompleksach symplicjalnych, lecz w \u015bwiecie CW-kompleks\u00f3w mamy wi\u0119ksz\u0105 elastyczno\u015b\u0107.<\/p>\n Obliczanie charakterystyki Eulera r\u00f3\u017cnych obiekt\u00f3w mo\u017ce by\u0107 ciekawym \u0107wiczeniem na lekcj\u0119 matematyki. Ile jest r\u00f3wna charakterystyka np. liczby osiem, albo torusa?<\/p>\n \u00d3semka sk\u0142ada si\u0119 z dwu okr\u0119g\u00f3w sklejonych w punkcie. Matematycy oznaczaj\u0105 j\u0105 \\(\\mathbb S^1\\vee\\mathbb S^1\\). Nietrudno znale\u017a\u0107 rozk\u0142ad \\(\\mathbb S^1\\vee\\mathbb S^1\\) sk\u0142adaj\u0105cy si\u0119 z dwu kom\u00f3rek wymiaru 1 oraz jednej 0-wymiarowej. Wobec tego \\[\\chi(\\mathbb S^1\\vee\\mathbb S^1)=-1.\\]<\/p>\n A co z torusem (oznaczanym \\(\\mathbb T^2\\)) czyli powierzchni\u0105 d\u0119tki?<\/p>\n Je\u017celi narysujemy na jego powierzchni dwa okr\u0119gi, jeden wzd\u0142u\u017c, a drugi w poprzek, to otrzymamy jedn\u0105 kom\u00f3rk\u0119 2-wymiarow\u0105, jedn\u0105 0-wymiarow\u0105 oraz dwie 1-wymiarowe. Zatem \\(\\chi(\\mathbb T^2)=0.\\) Mimo i\u017c torus jest, nawet dla topologa, inny ni\u017c okr\u0105g, to \\(\\chi(\\mathbb T^2)=\\chi(\\mathbb S^1).\\)<\/p>\n Czy to wszystko odno\u015bnie matematycznej ewolucji charakterystyki Eulera? Oczywi\u015bcie, \u017ce nie! Obecnie matematycy u\u017cywaj\u0105 nieco og\u00f3lniejszej definicji, pozwalaj\u0105cej oblicza\u0107 j\u0105 tak\u017ce dla niekt\u00f3rych kompleks\u00f3w maj\u0105cych niesko\u0144czenie wiele sympleks\u00f3w.<\/p>\n Je\u017celi z\u0142\u0105czymy w jednym z wierzcho\u0142k\u00f3w niesko\u0144czenie wiele sympleks\u00f3w 1-wymiarowych, tj. odcink\u00f3w (analogicznie jak ni\u017cej), to otrzymamy obiekt, kt\u00f3rego charakterystyka Eulera jest r\u00f3wna 1. Tyle co w przypadku odcinka czy dysku. Wszystkie te obiekty s\u0105 co prawda z topologicznego punktu widzenia r\u00f3\u017cne, lecz tak\u017ce maj\u0105 wiele wsp\u00f3lnego. Topolog by powiedzia\u0142, \u017ce s\u0105 homotopijnie r\u00f3wnowa\u017cne<\/em>. Okr\u0105g i torus nie s\u0105 nawet homotopijnie r\u00f3wnowa\u017cne!<\/p>\n Og\u00f3lniejsze definicje charakterystyki Eulera wymagaj\u0105 nieco znajomo\u015bci matematyki, wi\u0119c cz\u0119\u015b\u0107 dalsza mo\u017ce by\u0107 dla niekt\u00f3rych nieco niezrozumia\u0142a momentami. Warto jednak zobaczy\u0107 jak bardzo wz\u00f3r Eulera dla wielo\u015bcian\u00f3w wyewoluowa\u0142 i ewoluuje nadal.<\/p>\n Obiektom topologicznym takim jak np. kompleksy symplicjalne mo\u017cemy przypisywa\u0107 obiekty algebraiczne takie jak np. grupy homologii<\/a>. Tzn. ka\u017cdemu kompleksowi \\(X\\)mo\u017cemy przypisa\u0107 ci\u0105g \\(H_n(K)\\) wspomnianych grup homologii. W\u00f3wczas \\[\\chi(X)=\\sum_{i=0}^\\infty (-1)^n\\textrm{rank}(H_n(X)),\\] W przypadku kompleks\u00f3w maj\u0105cych niesko\u0144czenie wiele sympleks\u00f3w\/kom\u00f3rek klasyczna definicja polegaj\u0105ca na zliczaniu ich ilo\u015bci w poszczeg\u00f3lnych wymiarach nie ma sensu. Mamy wi\u0119c post\u0119p!<\/p>\n A czy mo\u017cna charakterystyk\u0119 Eulera zdefiniowa\u0107 dla jeszcze og\u00f3lniejszych obiekt\u00f3w? Oczywi\u015bcie! Podamy dwa przyk\u0142ady.<\/p>\n Pierwszy z nich dotyczy tzw. sko\u0144czonych kategorii<\/a>. Kategoria w matematyce, w du\u017cym uproszczeniu sk\u0142ada si\u0119 z jakich\u015b obiekt\u00f3w i funkcji mi\u0119dzy nimi (zwanych w tym kontek\u015bcie morfizmami). Przyk\u0142adem jest kategoria zbior\u00f3w i funkcji, oznaczana Set<\/strong>. Jej obiektami s\u0105 zbiory, a morfizmami wszystkie funkcje mi\u0119dzy zbiorami. Jest te\u017c kategoria Top<\/strong>, kt\u00f3rej obiektami s\u0105 przestrzenie topologiczne, morfizmami za\u015b funkcje ci\u0105g\u0142e mi\u0119dzy nimi.<\/p>\n Sko\u0144czone kategorie, tj. takie kt\u00f3re maj\u0105 sko\u0144czenie wiele obiekt\u00f3w oraz morfizm\u00f3w, wygodnie jest przedstawia\u0107 na rysunkach. Powy\u017csza kategoria ma dwa obiekty oraz cztery morfizmy. Opr\u00f3cz dwu zaznaczonych jako strza\u0142ki, s\u0105 jeszcze dwie identyczno\u015bci, kt\u00f3re si\u0119 pomija na rysunkach. W tym przypadku mamy o tyle ciekaw\u0105 sytuacj\u0119, \u017ce jej charakterystyka Eulera jest r\u00f3wna … \\(\\dfrac 12\\).<\/p>\n Z t\u0105 kategori\u0105 \u015bci\u015ble zwi\u0105zana jest tzw. niesko\u0144czeniewymiarowa przestrze\u0144 rzutowa<\/a>, kt\u00f3ra ma po jednej kom\u00f3rce w ka\u017cdym wymiarze od 0 do niesko\u0144czono\u015bci.<\/p>\n Suma \\[1-1+1-1+1-1+\\ldots=\\sum_{n=0}^\\infty (-1)^n\\]<\/p>\n \nnie jest okre\u015blona. By\u0107 mo\u017ce jednak niekt\u00f3rzy s\u0142yszeli (np. tu<\/a>) o tym, \u017ce ignoruj\u0105c ten fakt oraz wykonuj\u0105c na niej kilka prostych przekszta\u0142ce\u0144 mo\u017cna doj\u015b\u0107 do tego, \u017ce jest r\u00f3wna \\(\\dfrac 12\\). Wbrew pozorom nie jest to pozbawione sensu. Zwi\u0105zek z charakterystyk\u0105 Eulera przestrzeni rzutowej nie jest przypadkowy!<\/p>\n Drugim jest tzw. liczba Lefschetza<\/em>. Maj\u0105c np. CW-kompleks \\(X\\) oraz funkcj\u0119 ci\u0105g\u0142\u0105 (czyli tak\u0105 porz\u0105dn\u0105) \\(f:X\\to X\\), to jej liczb\u0105 Lefschetza jest \\[L(f)=\\sum_{n=0}^\\infty(-1)^n\\textrm{tr} f_n,\\] gdzie \\(f_n:H_n(X)\\to H_n(X)\\) to tzw. homomorfizm indukowany<\/em>, za\u015b \\(\\textrm{tr} f_n\\) to jego \u015blad<\/a>.<\/p>\n Okazuje si\u0119, \u017ce charakterystyka Eulera kompleksu \\(X\\), to liczba Lefschetza identyczno\u015bci czyli funkcji, kt\u00f3ra ka\u017cdy punkt przekszta\u0142ca na niego samego. Jest to bardzo porz\u0105dny przyk\u0142ad funkcji ci\u0105g\u0142ej.<\/p>\n \nNa nast\u0119pnej stronie przedstawimy aksjomatyczne podej\u015bcie.<\/p>\n <\/p>\n![\"kompleks](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/komp1.png\")
<\/p>\n![\"kompleks](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/komp2.png\")
<\/p>\n
\n![\"charakterystyka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/komp3.png\")
<\/p>\n![\"charakterystyka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/dysk-1.png\")
<\/p>\n![\"charakterystyka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/sfera_tr.jpg\")
<\/p>\n![\"charakterystyka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/torus.png\")
<\/p>\n
\n![\"charakterystyka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/jez.jpg\")
<\/p>\n
\ngdzie \\(\\textrm{rank}(H_n(X))\\) to tzw. ranga<\/em>. Definicja ta ma sens tylko, gdy powy\u017cszy ci\u0105g jest zbie\u017cny (czy aby na pewno \ud83d\ude09 ) i dla sko\u0144czonych kompleks\u00f3w symplicjalnych okazuje si\u0119 pokrywa\u0107 z definicj\u0105 wykorzystuj\u0105c\u0105 liczby \u015bcian. Dla obiekt\u00f3w homotopijnie r\u00f3wnowa\u017cnych, otrzymujemy t\u0119 sam\u0105 liczb\u0119.<\/p>\n
\n![\"sko\u0144czona](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/kategoria.jpg\")
<\/p>\n