{"id":400,"date":"2021-04-07T20:25:51","date_gmt":"2021-04-07T20:25:51","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=400"},"modified":"2022-04-18T21:20:57","modified_gmt":"2022-04-18T19:20:57","slug":"gps-a-matematyka","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/","title":{"rendered":"GPS a matematyka"},"content":{"rendered":"

\nKa\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b si\u0119 zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idea jest prosta.
\n<\/p>\n

\nZnajomo\u015b\u0107 swojego bie\u017c\u0105cego po\u0142o\u017cenia niemal od zawsze by\u0142a wa\u017cna aby m\u00f3c si\u0119 efektywnie przemieszcza\u0107 oraz podr\u00f3\u017cowa\u0107. Metody nawigacji wraz z rozwojem ludzko\u015bci si\u0119 zmienia\u0142y i dzisiaj dysponujemy nowoczesnymi systemami nawigacji satelitarnej. Najbardziej znanym jest Global Positioning System<\/a> czyli GPS.<\/p>\n

\nNajwa\u017cniejszym sk\u0142adnikiem systemu GPS s\u0105 satelity okr\u0105\u017caj\u0105ce Ziemi\u0119 po orbitach ko\u0142owych, na wysoko\u015bci ok. 20 183 km. Satelity orbituj\u0105 w sze\u015bciu p\u0142aszczyznach nachylonych do r\u00f3wnika pod k\u0105tem oko\u0142o \\(55^\\circ\\). Ka\u017cda z nich zawiera co najmniej cztery satelity. S\u0105 rozmieszczone tak, \u017ce z ka\u017cdego punktu na Ziemi w ka\u017cdym momencie ,,widoczne” s\u0105 co najmniej cztery (na og\u00f3\u0142 jest ich wi\u0119cej).<\/p>\n

\"GPS\"<\/p>\n

\nW du\u017cym skr\u00f3cie, ka\u017cdy satelita wysy\u0142a powtarzaj\u0105cy si\u0119 ze sta\u0142\u0105 cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 sygna\u0142, kt\u00f3ry jest odbierany przez urz\u0105dzenia na Ziemi. Znaj\u0105c moment nadania sygna\u0142u oraz pr\u0119dko\u015b\u0107 \u015bwiat\u0142a mo\u017cemy wyliczy\u0107 odleg\u0142o\u015b\u0107 dziel\u0105c\u0105 satelit\u0119 oraz urz\u0105dzenie. Je\u017celi \\(\\Delta t\\), to r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy czasem nadania, a odbioru sygna\u0142u, to odleg\u0142o\u015b\u0107 od satelity do urz\u0105dzenia jest r\u00f3wna \\(c\\cdot\\Delta t\\). Oczywi\u015bcie \\(c\\) to pr\u0119dko\u015b\u0107 \u015bwiat\u0142a.<\/p>\n

\nUrz\u0105dzenie nie komunikuje si\u0119 z satelitami, jest tylko odbiornikiem. To w\u0142a\u015bnie ono wykonuje obliczenia, kt\u00f3re pozwalaj\u0105 wyznaczy\u0107 odleg\u0142o\u015b\u0107 od satelit\u00f3w, dzi\u0119ki czemu mo\u017cna ustali\u0107 po\u0142o\u017cenie odbiornika.<\/p>\n

Wyobra\u017amy sobie teraz sytuacj\u0119 idealn\u0105, w kt\u00f3rej nie musimy si\u0119 martwi\u0107 \u017cadnymi trudno\u015bciami praktycznymi. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce satelita \\(S_1\\) znajduje si\u0119 w punkcie \\((a_1,b_1,c_1)\\) w odleg\u0142o\u015bci \\(r_1\\) od odbiornika. <\/p>\n

\nGdyby sytuacja mia\u0142a miejsce na p\u0142aszczy\u017anie, oznacza\u0142oby to, \u017ce odbiornik jest po\u0142o\u017cony na okr\u0119gu o \u015brodku w \\(S_1\\) i promieniu \\(r_1\\). W przestrzeni jest analogicznie. Odbiornik znajduje si\u0119 na sferze (tj. brzegu kuli), a nie okr\u0119gu. Informacja ta wiele nam nie daje. Je\u017celi dodamy do tego informacje z drugiego satelity, to ju\u017c b\u0119dzie nieco lepiej, gdy\u017c przeci\u0119cie tak otrzymanych sfer jest na og\u00f3\u0142 okr\u0119giem.<\/p>\n

\"GPS\"<\/p>\n

\nPotrzebujemy jeszcze jednej sfery. Bior\u0105c pod uwag\u0119 po\u0142o\u017cenie satelit\u00f3w, otrzymane sfery przetn\u0105 si\u0119 w dw\u00f3ch punktach. Jeden z nich b\u0119dziemy w stanie wykluczy\u0107, gdy\u017c nie b\u0119dzie si\u0119 znajdowa\u0142 na Ziemi. <\/p>\n

\nMaj\u0105c uk\u0142ad wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych mo\u017cemy to zapisa\u0107 matematycznie. Sfera o \u015brodku w punkcie \\((a,b,c)\\) i promieniu \\(r\\), to zbi\u00f3r punkt\u00f3w przestrzeni, kt\u00f3rych wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne \\((x,y,z)\\) spe\u0142niaj\u0105 r\u00f3wnanie \\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2.\\] \u0141\u0105cz\u0105c informacje z satelit\u00f3w w jedn\u0105 ca\u0142o\u015b\u0107, dochodzimy do wniosku, \u017ce odbiornik znajduje si\u0119 w punkcie, kt\u00f3rego wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne spe\u0142niaj\u0105 poni\u017cszy uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144:
\n\\[\\left\\{\\begin{array}{lllllll}
\n(x-a_1)^2 & + & (y-b_1)^2 & + & (z-c_1)^2 &= &r_1^2 \\\\
\n(x-a_2)^2 & + & (y-b_2)^2 & + & (z-c_2)^2 &= &r_2^2 \\\\
\n(x-a_3)^2 & + & (y-b_3)^2 & + & (z-c_3)^2 &= &r_3^2.
\n\\end{array}\\right.\\]
\nGdyby kto\u015b kiedy\u015b pyta\u0142 o praktyczne zastosowania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144, to mamy tu prosty i ciekawy przyk\u0142ad. Innym jest tomografia komputerowa, w kt\u00f3rej swoj\u0105 rol\u0119 odegra\u0142a tzw. metoda Kaczmarza<\/em> s\u0142u\u017c\u0105ca do przybli\u017conego rozwi\u0105zywania du\u017cych uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 liniowych. O metodzie Kaczmarza oraz o tym jak zosta\u0142a u\u017cyta w tomografii mo\u017cna poczyta\u0107 tutaj<\/a>.<\/p>\n

\nRozwi\u0105zanie takiego uk\u0142adu r\u00f3wna\u0144 nie nastr\u0119cza wi\u0119kszych trudno\u015bci. Jednak, jak wspomnieli\u015bmy, jest to sytuacja idealna. W rzeczywisto\u015bci trzeba si\u0119 jeszcze upora\u0107 z napotykanymi trudno\u015bciami.<\/p>\n

\nZacznijmy od tego, \u017ce satelity dysponuj\u0105 zegarem atomowym, kt\u00f3ry jest (na og\u00f3\u0142) znacznie dok\u0142adniejszy od zegara posiadanego przez odbiornik GPS. To powoduje pewien b\u0142\u0105d. Poniewa\u017c zegary satelit\u00f3w s\u0105 zsynchronizowane, to \u00f3w b\u0142\u0105d jest taki sam wzgl\u0119dem ka\u017cdego z nich. Dlatego potrzebujemy informacji z czwartego satelity. Otrzymamy w\u00f3wczas uk\u0142ad czterech r\u00f3wna\u0144 z czterema niewiadomymi. Mo\u017cna go rozwi\u0105za\u0107 bez wi\u0119kszych problem\u00f3w, o ile wszystkie satelity nie b\u0119d\u0105 si\u0119 znajdowa\u0107 w jednej p\u0142aszczy\u017anie.<\/p>\n

\nNie mo\u017cna tak\u017ce bagatelizowa\u0107 efekt\u00f3w relatywistycznych. \u015awiat\u0142o (w pr\u00f3\u017cni) pokonuje w czasie \\(10^{-8}s\\) nieca\u0142e 3 metry. To pokazuje jak dok\u0142adne pomiary s\u0105 potrzebne.<\/p>\n

\nInnym problemem praktycznym jest to, \u017ce sygna\u0142y nadawane z satelit\u00f3w musz\u0105 pokona\u0107 ziemsk\u0105 atmosfer\u0119, a pr\u0119dko\u015b\u0107 \u015bwiat\u0142a jest w niej inna ni\u017c w pr\u00f3\u017cni i zale\u017cy od panuj\u0105cych w niej warunk\u00f3w.<\/p>\n

\nPrzez trudno\u015bci praktyczne, wyznaczone odleg\u0142o\u015bci do satelit\u00f3w s\u0105 obarczone pewnym b\u0142\u0119dem co prowadzi do otrzymania pewnego przedzia\u0142u odleg\u0142o\u015bci. Geometrycznie, powinni\u015bmy ka\u017cd\u0105 ze sfer nieco ,,pogrubi\u0107”. Ich przeci\u0119cie b\u0119dzie pewnym obszarem a nie konkretnym punktem. Czy mo\u017cna ten b\u0142\u0105d zminimalizowa\u0107?<\/p>\n

\"GPS\"<\/p>\n

\nTak. Sp\u00f3jrzmy na rysunek. Po lewej, sfery s\u0105 niemal styczne. Ich cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3lna jest bardziej wyd\u0142u\u017cona w por\u00f3wnaniu do tych po prawej. Jednym ze sposob\u00f3w minimalizacji b\u0142\u0119du jest odpowiedni wyb\u00f3r satelit\u00f3w. Jak wspomnieli\u015bmy, odbiornik ma w zasi\u0119gu na og\u00f3\u0142 wi\u0119cej ni\u017c wymagane cztery.<\/p>\n

\nW tym wpisie om\u00f3wili\u015bmy tylko z grubsza dzia\u0142anie systemu GPS. Jest on naturalnie bardziej skomplikowany i spokojnie mo\u017cna by przeprowadzi\u0107 co najmniej semestralny wyk\u0142ad o tym jak dzia\u0142a.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ka\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b si\u0119 zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idea jest prosta.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":420,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[59,19,43],"tags":[60,41,40,44],"yoast_head":"\nGPS a matematyka<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Ka\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idee s\u0105 bardzo proste.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"GPS a matematyka\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Ka\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idee s\u0105 bardzo proste.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-04-07T20:25:51+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-04-18T19:20:57+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"356\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"230\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/gif\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"GPS a matematyka\",\"datePublished\":\"2021-04-07T20:25:51+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T19:20:57+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/\"},\"wordCount\":970,\"commentCount\":1,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif\",\"keywords\":[\"Geometria\",\"GPS\",\"Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144\",\"Zastosowania matematyki\"],\"articleSection\":[\"Geometria\",\"Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144\",\"Zastosowania matematyki\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/\",\"name\":\"GPS a matematyka\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif\",\"datePublished\":\"2021-04-07T20:25:51+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T19:20:57+00:00\",\"description\":\"Ka\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idee s\u0105 bardzo proste.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif\",\"width\":356,\"height\":230,\"caption\":\"GPS\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"GPS a matematyka\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"GPS a matematyka","description":"Ka\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idee s\u0105 bardzo proste.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"GPS a matematyka","og_description":"Ka\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idee s\u0105 bardzo proste.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-04-07T20:25:51+00:00","article_modified_time":"2022-04-18T19:20:57+00:00","og_image":[{"width":356,"height":230,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif","type":"image\/gif"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"5 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"GPS a matematyka","datePublished":"2021-04-07T20:25:51+00:00","dateModified":"2022-04-18T19:20:57+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/"},"wordCount":970,"commentCount":1,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif","keywords":["Geometria","GPS","Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144","Zastosowania matematyki"],"articleSection":["Geometria","Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144","Zastosowania matematyki"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/","name":"GPS a matematyka","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif","datePublished":"2021-04-07T20:25:51+00:00","dateModified":"2022-04-18T19:20:57+00:00","description":"Ka\u017cdy z nas zna system GPS i go u\u017cywa. A czy kto\u015b zastanawia\u0142 jak on w og\u00f3le dzia\u0142a i jaka matematyka si\u0119 za nim kryje? Wbrew pozorom idee s\u0105 bardzo proste.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/gps2.gif","width":356,"height":230,"caption":"GPS"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/04\/07\/gps-a-matematyka\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"GPS a matematyka"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/400"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=400"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/400\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":743,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/400\/revisions\/743"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/420"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=400"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=400"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=400"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}