{"id":310,"date":"2021-03-31T23:05:11","date_gmt":"2021-03-31T23:05:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=310"},"modified":"2021-05-28T00:51:34","modified_gmt":"2021-05-28T00:51:34","slug":"czym-jest-topologia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/","title":{"rendered":"Czym jest topologia"},"content":{"rendered":"<p style=\"line-height: 1.2;\">Na pocz\u0105tku by\u0142a geometria&#8230; . Przez d\u0142ugi czas pod nazw\u0105 matematyka kry\u0142a si\u0119 g\u0142\u00f3wnie ona. Z czasem z geometrycznych idei zrodzi\u0142a si\u0119 topologia, kt\u00f3r\u0105 nazywa si\u0119 niekiedy gumow\u0105 geometri\u0105. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?<br \/>\n<!--more--><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">14 listopada 1750 Leonhard Euler w li\u015bcie do swojego przyjaciela Christiana Goldbacha, podzieli\u0142 si\u0119 spostrze\u017ceniem, \u017ce w przypadku bry\u0142 zachodzi zwi\u0105zek \\[W+S=K+2,\\] gdzie \\(W\\) &#8211; liczba wierzcho\u0142k\u00f3w, \\(K\\) &#8211; liczba kraw\u0119dzi, a \\(S\\) &#8211; liczba \u015bcian.<\/p>\n<blockquote>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">In omni solido hedris planis incluso aggregatum ex numero hedrarum et numero angulorum solidorum binario superat numerum acierum, seu est \\(H+S=A+2\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mo\u017cna sprawdzi\u0107, \u017ce dla sze\u015bcianu, jakiegokolwiek graniastos\u0142upa czy ostros\u0142upa istotnie zachodzi \\[W-K+S=2.\\]<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Pami\u0119tajmy, \u017ce podstawa bry\u0142y, to te\u017c \u015bciana. Nawet je\u017celi we\u017amiemy bardziej skomplikowane bry\u0142y takie jak np. dwudziesto\u015bcian foremny to r\u00f3wno\u015b\u0107 nadal b\u0119dzie spe\u0142niona. Sprawdzenie tego to ciekawe \u0107wiczenie na lekcj\u0119 matematyki.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-314\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/platonskie.png\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"447\" height=\"364\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/platonskie.png 447w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/platonskie-300x244.png 300w\" sizes=\"(max-width: 447px) 100vw, 447px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mimo i\u017c bry\u0142y te s\u0105, na pierwszy rzut oka, zupe\u0142nie r\u00f3\u017cne, to jak widzimy, maj\u0105 interesuj\u0105ce wsp\u00f3lne cechy. Owa obserwacja by\u0142a jedn\u0105 z pierwszych, kt\u00f3re zapocz\u0105tkowa\u0142y powstanie topologii. Historia tej obserwacji, dzi\u0119ki kt\u00f3rej zdefiniowana zosta\u0142a charakterystyka Eulera, oraz pr\u00f3by jej udowodnienia to \u015bwietny kawa\u0142 nie tylko matematycznej historii, lecz tak\u017ce samej matematyki oraz tego jak si\u0119 rozwija\u0142a i rozwija.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Gdyby\u015bmy, w kt\u00f3rej\u015b z tych bry\u0142 dokonali niewielkich zmian, np. nieco przesuwaj\u0105c po\u0142o\u017cenie jednego z wierzcho\u0142k\u00f3w, to nadal wszystko b\u0119dzie si\u0119 zgadza\u0107. A czy mo\u017cemy dokonywa\u0107 bardziej drastycznych zmian? I jak daleko mo\u017cemy si\u0119 w tym posun\u0105\u0107 aby w\u0142asno\u015b\u0107 zauwa\u017cona przez Eulera nadal by\u0142a spe\u0142niona? A mo\u017ce spe\u0142niona b\u0119dzie zawsze dla ka\u017cdej bry\u0142y? M. in. takimi problemami zajmuje si\u0119 topologia. Samo s\u0142owo wywodzi si\u0119 z dwu greckich s\u0142\u00f3w:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><em>\u03c4\u03cc\u03c0\u03bf\u03c2 (topos)<\/em> &#8211; miejsce, okolica oraz <em>\u03bb\u03cc\u03b3\u03bf\u03c2 (logos) <\/em> &#8211; nauka.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Przez pewien czas, za spraw\u0105 pracy Poincar\u00e9go funkcjonowa\u0142a nazwa <em>analysis situs<\/em> czyli <em>analiza miejsca\/po\u0142o\u017cenia<\/em>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Sp\u00f3jrzmy na inny przyk\u0142ad. Jaki jest okr\u0105g ka\u017cdy widzi.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-317 size-full\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag1.png\" alt=\"o czym jest topologia\" width=\"217\" height=\"217\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag1.png 217w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag1-150x150.png 150w\" sizes=\"(max-width: 217px) 100vw, 217px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mo\u017cna o nim powiedzie\u0107 wiele. Wszyscy wiemy jak obliczy\u0107 jego obw\u00f3d oraz pole ko\u0142a nim ograniczonego. To s\u0105 typowe zagadnienia geometryczne z nim zwi\u0105zane. Pozb\u0105d\u017amy si\u0119 teraz sztywnych, geometrycznych ram, gdzie takie rzeczy odleg\u0142o\u015b\u0107, pole czy d\u0142ugo\u015b\u0107 s\u0105 istotne.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Jakie inne, w\u0142asno\u015bci ma okr\u0105g?<br \/>\nNp. jest krzyw\u0105 zamkni\u0119t\u0105. Dzieli p\u0142aszczyzn\u0119 na dwie cz\u0119\u015bci: wewn\u0119trzn\u0105 i zewn\u0119trzn\u0105. Je\u017celi nieco go sp\u0142aszczymy tak aby powsta\u0142a elipsa, to ta w\u0142asno\u015b\u0107 zostanie zachowana.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-318\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/elipsa.png\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"238\" height=\"157\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/elipsa.png 238w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/elipsa-120x80.png 120w\" sizes=\"(max-width: 238px) 100vw, 238px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Gdyby okr\u0105g by\u0142 z rozci\u0105gliwej gumy, to mogliby\u015bmy tworzy\u0107 przy jego pomocy przer\u00f3\u017cne kszta\u0142ty, kt\u00f3re nadal mia\u0142yby wiele cech wsp\u00f3lnych. Jak cho\u0107by t\u0119 o rozcinaniu p\u0142aszczyzny na dwie cz\u0119\u015bci.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-319\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ksztalty.png\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"516\" height=\"143\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ksztalty.png 516w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ksztalty-300x83.png 300w\" sizes=\"(max-width: 516px) 100vw, 516px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Obw\u00f3d czy ograniczone krzyw\u0105 pole mog\u0105 si\u0119 zmienia\u0107, lecz pewne inne w\u0142asno\u015bci nadal pozostaj\u0105 spe\u0142nione. Tak jak geometria jest dosy\u0107 sztywna, to \u015bwiat topologiczny jest bardzo elastyczny. Wszystkie powy\u017csze krzywe, tj. okr\u0105g, elipsa, serce i &#8230; ten ostatni, s\u0105 z topologicznego punktu widzenia nieodr\u00f3\u017cnialne.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Topolodzy powiedzieliby, \u017ce s\u0105 <em>homeomorficzne<\/em>. S\u0142owo mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 trudne, ale idea oraz \u015bcis\u0142a definicja s\u0105 ju\u017c \u0142atwiejsze. Aby dwa obiekty \\(X\\) oraz \\(Y\\) by\u0142y homeomorficzne wystarczy aby istnia\u0142a funkcja mi\u0119dzy nimi, kt\u00f3ra:<\/p>\n<ul>\n<li>\u0142\u0105czy punkty \\(X\\) oraz \\(Y\\) w pary (tzn. jest bijekcj\u0105),<\/li>\n<li>jest ci\u0105g\u0142a,<\/li>\n<li>funkcja do niej odwrotna jest r\u00f3wnie\u017c ci\u0105g\u0142a.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Tak\u0105 funkcj\u0119 nazywamy <em>homeomorfizmem<\/em>. Jak widzimy na przyk\u0142adach, mo\u017cemy bardzo daleko si\u0119 posun\u0105\u0107 w naszych zabawach z gumowym okr\u0119giem aby otrzymany obiekt nadal by\u0142 z nim homeomorficzny.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">A czego robi\u0107 nie mo\u017cna? Na przyk\u0142ad nie mo\u017cemy przerwa\u0107 okr\u0119gu. W\u00f3wczas zamieni si\u0119 w odcinek i nie b\u0119dzie dzieli\u0142 ju\u017c p\u0142aszczyzny na dwie cz\u0119\u015bci. Bardziej matematycznie, takie rozerwanie cz\u0119sto nie jest odwzorowaniem ci\u0105g\u0142ym. Podobnie sklejanie mo\u017ce prowadzi\u0107 do problem\u00f3w. Gdy skleimy dwa punkty okr\u0119gu, to otrzymamy \u00f3semk\u0119. Matematycznie problem ze sklejaniem pojawia si\u0119 z odwzorowaniem odwrotnym. Nie da si\u0119 go w tym przypadku okre\u015bli\u0107.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Nale\u017cy jednak zaznaczy\u0107, \u017ce nie oznacza to jeszcze, \u017ce okr\u0105g i \u00f3semka nie s\u0105 homeomorficzne. To oznacza jedynie, \u017ce sklejenie nie jest homeomorfizmem. Intuicyjnie jednak czujemy, \u017ce s\u0105 to obiekty nawet topologicznie r\u00f3\u017cne. Przes\u0142ank\u0105 mo\u017ce by\u0107 to, \u017ce okr\u0105g dzieli p\u0142aszczyzn\u0119 na dwie cz\u0119\u015bci, \u00f3semka za\u015b na trzy.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Innym, znanym przyk\u0142adem jest ten z kubkiem, kt\u00f3ry z topologicznego punktu widzenia jest obwarzankiem\/oponk\u0105.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-320\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/torus_kubek.gif\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"240\" height=\"240\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Homeomorficzne obiekty mog\u0105 si\u0119, na pierwszy rzut oka, drastycznie r\u00f3\u017cni\u0107. Poni\u017cej tzw. <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Alexander_horned_sphere\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">sfera rogata Alexandera<\/a><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-323\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/sfera_a.png\" alt=\"sfera rogata Alexandera\" width=\"420\" height=\"315\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/sfera_a.png 420w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/sfera_a-300x225.png 300w\" sizes=\"(max-width: 420px) 100vw, 420px\" \/><br \/>\nkt\u00f3ra jest topologicznie r\u00f3wnowa\u017cna zwyk\u0142ej sferze.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-321\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/sfera.png\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"286\" height=\"286\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/sfera.png 286w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/sfera-150x150.png 150w\" sizes=\"(max-width: 286px) 100vw, 286px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Tak, te dwa obiekty s\u0105 topologicznie nierozr\u00f3\u017cnialne.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Topologia zajmuje si\u0119 r\u00f3wnie\u017c jeszcze s\u0142abszymi zwi\u0105zkami mi\u0119dzy obiektami. Na przyk\u0142ad okr\u0105g oraz pier\u015bcie\u0144 ko\u0142owy nie s\u0105 homeomorficzne (maj\u0105 r\u00f3\u017cne wymiary), ale mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107, \u017ce ich kszta\u0142t jest podobny.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-325\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/homot.png\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"375\" height=\"179\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/homot.png 375w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/homot-300x143.png 300w\" sizes=\"(max-width: 375px) 100vw, 375px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Topolog by powiedzia\u0142, \u017ce s\u0105 <em>homotopijnie r\u00f3wnowa\u017cne<\/em>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Uzbrojeni ju\u017c w nieco topologicznej intuicji, spr\u00f3bujmy teraz rozwi\u0105za\u0107 dwie topologiczne zagadki.<\/p>\n<figure id=\"attachment_326\" aria-describedby=\"caption-attachment-326\" style=\"width: 530px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-326 size-full\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad1a.png\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"530\" height=\"260\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad1a.png 530w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad1a-300x147.png 300w\" sizes=\"(max-width: 530px) 100vw, 530px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-326\" class=\"wp-caption-text\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u0179r\u00f3d\u0142o: V.V. Prasolov, Intuitive Topology<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">W jaki spos\u00f3b z figury po lewej stronie, stosuj\u0105c jedynie topologiczne przekszta\u0142cenia, otrzyma\u0107 figur\u0119 po prawej stronie? Przez topologiczne przekszta\u0142cenia mamy na my\u015bli, takie kt\u00f3re niczego nie sklejaj\u0105 ani nie rozrywaj\u0105.<\/p>\n<figure id=\"attachment_327\" aria-describedby=\"caption-attachment-327\" style=\"width: 324px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-327 size-full\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad2a.png\" alt=\"\" width=\"324\" height=\"331\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad2a.png 324w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad2a-294x300.png 294w\" sizes=\"(max-width: 324px) 100vw, 324px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-327\" class=\"wp-caption-text\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u0179r\u00f3d\u0142o: V.V. Prasolov, Intuitive Topology<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">A w jaki spos\u00f3b przekszta\u0142ci\u0107 podw\u00f3jny torus tak aby krzywa narysowana na g\u00f3rze sta\u0142a si\u0119 t\u0105 na dole?<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Takie zagadki lubi\u0105 topolodzy. Ich rozwi\u0105zanie znajduje si\u0119 na ko\u0144cu wpisu.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Topologia zajmuje si\u0119 badaniem w\u0142asno\u015bci, kt\u00f3re s\u0105 takie same dla obiekt\u00f3w homeomorficznych czy te\u017c homotopijnie r\u00f3wnowa\u017cnych. A tak\u017ce badaniem topologicznych w\u0142asno\u015bci spotykanych w matematyce obiekt\u00f3w. Jej metody mo\u017cna spotka\u0107 w niemal ca\u0142ej matematyce. Wiele obiekt\u00f3w matematycznych mo\u017cna w naturalny spos\u00f3b wyposa\u017cy\u0107 w struktur\u0119 topologiczn\u0105. Dzi\u0119ki czemu dostajemy nowe narz\u0119dzia do ich badania. Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce pozwala to spojrze\u0107 w inny spos\u00f3b na takie obiekty.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Jako odr\u0119bna dziedzina matematyki, jest dosy\u0107 m\u0142oda. Mimo i\u017c jej pocz\u0105tki zacz\u0119\u0142y si\u0119 kilkaset lat temu, to dopiero w XX wieku topologia nabra\u0142a obecnego kszta\u0142tu. Jej podstawy, to tzw. topologia og\u00f3lna, kt\u00f3ra stanowi swego rodzaju szkielet ca\u0142ej dziedziny. To jej na pocz\u0105tku ucz\u0105 si\u0119 studenci matematyki. Takie poj\u0119cia jak przestrze\u0144 topologiczna, zbiory otwarte\/domkni\u0119te, homeomorfizm, sp\u00f3jno\u015b\u0107, zwarto\u015b\u0107 itd., to podstawowe poj\u0119cia topologiczne, kt\u00f3re poznaje si\u0119 podczas nauki topologii og\u00f3lnej.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Jednak wi\u0119ksze znaczenie ma obecnie topologia algebraiczna, gdzie algebra spotyka si\u0119 z topologi\u0105. Jak sama nazwa wskazuje jest to cz\u0119\u015b\u0107 topologii, w kt\u00f3rej bada si\u0119 obiekty topologiczne metodami algebraicznymi. W jaki spos\u00f3b? Oto przyk\u0142ad.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Powr\u00f3\u0107my do okr\u0119gu. Prostymi przyk\u0142adami funkcji ci\u0105g\u0142ych okr\u0119gu w siebie s\u0105: odwzorowanie sta\u0142e oraz identyczno\u015b\u0107. Funkcja sta\u0142a to ta, kt\u00f3ra wszystko przekszta\u0142ca w jeden konkretny punkt. Identyczno\u015b\u0107 za\u015b, to funkcja, kt\u00f3ra nic nie zmienia czyli przekszta\u0142ca ka\u017cdy punkt w samego siebie. S\u0105 to proste i zarazem porz\u0105dne przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych.<\/p>\n<figure id=\"attachment_340\" aria-describedby=\"caption-attachment-340\" style=\"width: 495px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-340\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag_f.png\" alt=\"odwzorowanie sta\u0142e\" width=\"495\" height=\"178\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag_f.png 495w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag_f-300x108.png 300w\" sizes=\"(max-width: 495px) 100vw, 495px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-340\" class=\"wp-caption-text\">Funkcja sta\u0142a okr\u0119gu w siebie. Ca\u0142y okr\u0105g jest przekszta\u0142cany w punkt A.<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Identyczno\u015b\u0107, mo\u017cemy powiedzie\u0107, jest jednokrotnym nawini\u0119ciem okr\u0119gu na siebie.<br \/>\nJe\u017celi nasz okr\u0105g rozci\u0105gniemy (a w topologii mo\u017cemy przecie\u017c to robi\u0107), to jeste\u015bmy w stanie nawin\u0105\u0107 go na jego wersj\u0119 pocz\u0105tkow\u0105 wi\u0119cej ni\u017c raz.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-342\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag_f2.png\" alt=\"czym jest topologia\" width=\"402\" height=\"201\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag_f2.png 402w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/okrag_f2-300x150.png 300w\" sizes=\"(max-width: 402px) 100vw, 402px\" \/><\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mo\u017cemy te\u017c nawija\u0107 okr\u0105g na siebie najpierw kilka razy, a potem kilka razy zawr\u00f3ci\u0107 i nawija\u0107 go odwrotnie. Je\u017celi jeden kierunek przyjmiemy za dodatni, a drugi za ujemny, to je\u015bli funkcja ci\u0105g\u0142a ,,wykona&#8221; \\(n\\) pe\u0142nych nawini\u0119\u0107 w stron\u0119 dodatni\u0105 oraz \\(m\\) w stron\u0119 ujemn\u0105, to mo\u017cemy jej przypisa\u0107 liczb\u0119 \\(n-m\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Zatem dla odwzorowania sta\u0142ego by\u0142oby to 0 (nie ma \u017cadnych pe\u0142nych nawini\u0119\u0107). Dla identyczno\u015bci by\u0142oby 1 (lub -1, zale\u017cy co przyjmiemy za dodatni kierunek nawijania). Og\u00f3lnie, ka\u017cdej funkcji jeste\u015bmy w stanie przyporz\u0105dkowa\u0107 pewn\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 i dla ka\u017cdej liczby ca\u0142kowitej \\(k\\) mo\u017cemy znale\u017a\u0107 funkcj\u0119, kt\u00f3ra nawija si\u0119 na okr\u0105g \\(k\\) razy.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Powy\u017csza idea m\u00f3wi nam, \u017ce odwzorowania okr\u0119gu w siebie jeste\u015bmy w stanie sklasyfikowa\u0107 korzystaj\u0105c z liczb ca\u0142kowitych. Prowadzi to do dwu rodzaj\u00f3w obiekt\u00f3w. Mo\u017cemy odwzorowaniom okr\u0119gu w siebie przypisa\u0107 liczby jak i samemu okr\u0119gowi przypisa\u0107 zbi\u00f3r \\(\\mathbb Z\\) wszystkich liczb ca\u0142kowitych. Czyli niezwykle porz\u0105dny obiekt algebraiczny.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">W podobny spos\u00f3b mo\u017cemy torusowi (d\u0119tka lub brzeg obwarzanka\/oponki), badaj\u0105c funkcje ci\u0105g\u0142e z okr\u0119gu w torus, przypisa\u0107 zbi\u00f3r wszystkich par liczb ca\u0142kowitych. Zbi\u00f3r taki to tzw. <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Fundamental_group\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">grupa podstawowa<\/a>. Oczywi\u015bcie, to co przedstawili\u015bmy, to tylko niezbyt precyzyjna idea, zarys tego czym jest grupa podstawowa. Ale w ko\u0144cu w matematyce cz\u0119sto pocz\u0105tkiem nowej teorii jest jaka\u015b prosta obserwacja. Np. spostrze\u017cenie Eulera z wielo\u015bcianami.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Zapewne to zdziwi wielu, ale topologia ma r\u00f3wnie\u017c zastosowania praktycznie. Ciekawym zastosowaniem metod topologii algebraicznej jest <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Topological_data_analysis\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">topologiczna analiza danych<\/a>, w kt\u00f3rej z powodzeniem u\u017cywa si\u0119 tzw. <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Persistent_homology\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">homologii trwa\u0142ych<\/a>. Homologie to inny spos\u00f3b przypisywania obiektom topologicznym obiekt\u00f3w algebraicznych.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Jako przyk\u0142ad niech pos\u0142u\u017cy praca<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">M. Nicolau, A.J. Levine, G. Carlsson <em>Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutational profile and excellent survival<\/em>, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2011 108 (17) s. 7265-7270<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">w kt\u00f3rej metody topologiczne zosta\u0142y u\u017cyte w identyfikacji niekt\u00f3rych typ\u00f3w raka piersi. Link do pracy <a href=\"https:\/\/www.pnas.org\/content\/108\/17\/7265\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">tutaj<\/a>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Ponadto, by\u0107 mo\u017ce niekt\u00f3rym obi\u0142o si\u0119 o uszy, \u017ce w 2016 Nagroda Nobla w dziedzinie fizyki zosta\u0142a przyznana za <em>teoretyczne odkrycia w dziedzinie topologicznych przej\u015b\u0107 fazowych i topologicznych faz materii<\/em>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Jak wida\u0107 topologia jest interesuj\u0105c\u0105 dziedzin\u0105 matematyki z ciekawymi i wymagaj\u0105cymi problemami, przenikaj\u0105c\u0105 obecnie niemal ca\u0142\u0105 matematyk\u0119. Cho\u0107 mimo i\u017c matematyk\u0119 dzieli si\u0119 na r\u00f3\u017cne dzia\u0142y jak algebra, topologia czy analiza, to obecnie tak naprawd\u0119 wszystko w niej przenika si\u0119 ze wszystkim.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mam nadziej\u0119, \u017ce w tym wpisie uda\u0142o si\u0119 cho\u0107 troch\u0119 nakre\u015bli\u0107 to czym jest topologia. Na nast\u0119pnej stronie znajduj\u0105 si\u0119 rozwi\u0105zania zagadek.<\/p>\n<figure id=\"attachment_328\" aria-describedby=\"caption-attachment-328\" style=\"width: 402px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-328 size-full\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad1b.png\" alt=\"\" width=\"402\" height=\"400\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad1b.png 402w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad1b-300x300.png 300w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad1b-150x150.png 150w\" sizes=\"(max-width: 402px) 100vw, 402px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-328\" class=\"wp-caption-text\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u0179r\u00f3d\u0142o: V.V. Prasolov, Intuitive Topology<\/figcaption><\/figure>\n<p><!--nextpage--><br \/>\nRozwi\u0105zanie pierwszej zagadki:<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Mo\u017cna j\u0105 rozwi\u0105za\u0107 r\u00f3wnie\u017c inaczej. Wystarczy przenie\u015b\u0107 si\u0119 do wymiaru czwartego. Wy\u017cszy wymiar pozwala nam rozdzieli\u0107 z\u0142\u0105czone cz\u0119\u015bci tak by si\u0119 nie przecina\u0142y.<\/p>\n<figure id=\"attachment_329\" aria-describedby=\"caption-attachment-329\" style=\"width: 649px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-329 size-full\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad2b.png\" alt=\"\" width=\"649\" height=\"170\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad2b.png 649w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/zad2b-300x79.png 300w\" sizes=\"(max-width: 649px) 100vw, 649px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-329\" class=\"wp-caption-text\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u0179r\u00f3d\u0142o: V.V. Prasolov, Intuitive Topology<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">Rozwi\u0105zanie drugiej zagadki:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.facebook.com\/MatematykaBlog\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-723\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/fbmaly.jpg\" alt=\"\" width=\"113\" height=\"113\" \/><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Na pocz\u0105tku by\u0142a geometria&#8230; . Przez d\u0142ugi czas pod nazw\u0105 matematyka kry\u0142a si\u0119 g\u0142\u00f3wnie ona. Z czasem z geometrycznych idei zrodzi\u0142a si\u0119 topologia, kt\u00f3r\u0105 nazywa si\u0119 niekiedy gumow\u0105 geometri\u0105. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":348,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[34],"tags":[35],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v22.4 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Czym jest topologia<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Topologia jest niezwykle interesuj\u0105c\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 matematyki, kt\u00f3ra ma nawet zastosowania. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/\" \/>\n<link rel=\"next\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/2\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Czym jest topologia\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Topologia jest niezwykle interesuj\u0105c\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 matematyki, kt\u00f3ra ma nawet zastosowania. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"&beta;X - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-03-31T23:05:11+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-05-28T00:51:34+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"606\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"283\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"10 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Czym jest topologia\",\"datePublished\":\"2021-03-31T23:05:11+00:00\",\"dateModified\":\"2021-05-28T00:51:34+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/\"},\"wordCount\":1909,\"commentCount\":1,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg\",\"keywords\":[\"Topologia\"],\"articleSection\":[\"Topologia\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/\",\"name\":\"Czym jest topologia\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg\",\"datePublished\":\"2021-03-31T23:05:11+00:00\",\"dateModified\":\"2021-05-28T00:51:34+00:00\",\"description\":\"Topologia jest niezwykle interesuj\u0105c\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 matematyki, kt\u00f3ra ma nawet zastosowania. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg\",\"width\":606,\"height\":283,\"caption\":\"czym jest topologia\"},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"&beta;X - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Czym jest topologia","description":"Topologia jest niezwykle interesuj\u0105c\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 matematyki, kt\u00f3ra ma nawet zastosowania. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/","next":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/2\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Czym jest topologia","og_description":"Topologia jest niezwykle interesuj\u0105c\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 matematyki, kt\u00f3ra ma nawet zastosowania. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/","og_site_name":"&beta;X - blog o matematyce","article_published_time":"2021-03-31T23:05:11+00:00","article_modified_time":"2021-05-28T00:51:34+00:00","og_image":[{"width":606,"height":283,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"10 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Czym jest topologia","datePublished":"2021-03-31T23:05:11+00:00","dateModified":"2021-05-28T00:51:34+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/"},"wordCount":1909,"commentCount":1,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg","keywords":["Topologia"],"articleSection":["Topologia"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/","name":"Czym jest topologia","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg","datePublished":"2021-03-31T23:05:11+00:00","dateModified":"2021-05-28T00:51:34+00:00","description":"Topologia jest niezwykle interesuj\u0105c\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 matematyki, kt\u00f3ra ma nawet zastosowania. Ale czym jest topologia tak naprawd\u0119?","inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/31\/czym-jest-topologia\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/topol3.jpg","width":606,"height":283,"caption":"czym jest topologia"},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"&beta;X - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/310"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=310"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/310\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":744,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/310\/revisions\/744"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/348"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=310"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=310"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=310"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}