\n
![\"r\u00f3g](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2025\/01\/rog01.png\")
<\/p>\n\nM\u00f3wi si\u0119, \u017ce matematyka opisuje rzeczywisto\u015b\u0107. R\u00f3g Gabriela jest obiektem pokazuj\u0105cym, \u017ce trzeba do tego stwierdzenia podchodzi\u0107 z pewn\u0105 doz\u0105 ostro\u017cno\u015bci i rozwagi.
\n<\/p>\n
\nRozwa\u017cmy wykres funkcji \\(f(x)=\\frac 1x\\), a dok\u0142adniej fragment tego wykresu dla \\(x\\in [1,+\\infty]\\).
\n<\/p>\n
\nJe\u017celi obr\u00f3cimy ten wykres wok\u00f3\u0142 osi poziomej, to otrzymamy powierzchni\u0119 znan\u0105 w\u0142a\u015bnie jako R\u00f3g Gabriela<\/strong> lub te\u017c Tr\u0105bka Toricellego<\/strong>. \nZacznijmy od policzenia obj\u0119to\u015bci rogu Gabriela. Wbrew pozorom policzenie jej nie jest specjalnie trudne, je\u015bli tylko zna si\u0119 nieco rachunek ca\u0142kowy. Mamy do policzenia obj\u0119to\u015b\u0107 bry\u0142y ograniczonej powierzchni\u0105 powsta\u0142\u0105 przez obr\u00f3t wykresu funkcji \\(f(x)=\\frac 1x,\\ x\\geqslant 1\\). Mamy \\[V=\\pi\\int\\limits_1^{+\\infty}\\frac{dx}{x^2}=\\lim\\limits_{t\\to +\\infty}\\pi\\left(1-\\frac1t\\right)=\\pi.\\] Czyli obj\u0119to\u015b\u0107 jest r\u00f3wna \\(\\pi\\). Nie jest to jakie\u015b dziwne czy zaskakuj\u0105ce i to mimo i\u017c r\u00f3g Gabriela jest obiektem, kt\u00f3ry si\u0119 nie ko\u0144czy.<\/p>\n \nCiekawiej si\u0119 zacznie, gdy policzymy jego powierzchni\u0119 ca\u0142kowit\u0105. To te\u017c nie jest specjalnie trudne dzi\u0119ki rachunkowi ca\u0142kowemu. I z tej w\u0142asno\u015bci bierze si\u0119 s\u0142ynny paradoks malarza. No bo sp\u00f3jrzmy, gdyby\u015bmy do takiej tr\u0105bki wlali farb\u0119, to zmie\u015bci si\u0119 jej tam sko\u0144czona ilo\u015b\u0107, bo obj\u0119to\u015b\u0107 tr\u0105bki jest r\u00f3wna \\(\\pi\\). Z drugiej jednak strony, poniewa\u017c powierzchnia tr\u0105bki jest niesko\u0144czenie cienka, to pole wewn\u0105trz jest takie samo jak pole na zewn\u0105trz, czyli jest niesko\u0144czone. Wlanie farby do rogu Gabriela pozwala przy pomocy sko\u0144czonej obj\u0119to\u015bci pomalowa\u0107 niesko\u0144czon\u0105 powierzchni\u0119! Czy\u017c to nie wspania\u0142e? Szkoda tylko, \u017ce nie do ko\u0144ca prawdziwe i pokazuj\u0105ce, \u017ce gdy staramy si\u0119 u\u017cywa\u0107 obiekt\u00f3w matematycznych do opisu rzeczywisto\u015bci, to musimy by\u0107 nad wyraz ostro\u017cni.<\/p>\n \nR\u00f3g Gabriela jest obiektem matematycznym i to takim, jakby to uj\u0105\u0107, wyidealizowanym jak niemal ka\u017cda krzywa, kt\u00f3ra jest nomen omen<\/em>… krzywa. I nie chodzi tylko o jego niesko\u0144czono\u015b\u0107 lecz tak\u017ce o krzywizn\u0119 i jakby to uj\u0105\u0107, g\u0142adko\u015b\u0107. To ju\u017c sprawia, \u017ce istnienie takiego obiektu (jak i wielu innych) w rzeczywisto\u015bci wymaga istnienia punktu. Mimo to, takie wyidealizowane obiekty \u015bwietnie si\u0119 nadaj\u0105 do przybli\u017cania obiekt\u00f3w prawdziwych.<\/p>\n \nNawet gdyby taki niesko\u0144czony obiekt istnia\u0142, to i tak w takiej sytuacji oczywi\u015bcie nie daliby\u015bmy rady wla\u0107 do niego farby o obj\u0119to\u015bci \\(\\pi\\). Poniewa\u017c r\u00f3g Gabriela jest niesko\u0144czony, to jego promie\u0144 przekroju musi male\u0107 do zera wraz z d\u0142ugo\u015bci\u0105 tr\u0105bki. W pewnym momencie b\u0119dzie tak ma\u0142y, \u017ce nie przeci\u015bnie si\u0119 przez niego \u017caden atom. Innymi s\u0142owy, nie damy rady wla\u0107 \u017cadnej prawdziwej farby, tak aby zala\u0107 wn\u0119trze ca\u0142ego rogu. Sytuacja mog\u0142aby wygl\u0105da\u0107 inaczej gdyby\u015bmy mieli jak\u0105\u015b substancj\u0119 sk\u0142adaj\u0105c\u0105 si\u0119 z obiekt\u00f3w punktowych. Ale czy punkt istnieje w rzeczywisto\u015bci?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" M\u00f3wi si\u0119, \u017ce matematyka opisuje rzeczywisto\u015b\u0107. R\u00f3g Gabriela jest obiektem pokazuj\u0105cym, \u017ce trzeba do tego stwierdzenia podchodzi\u0107 z pewn\u0105 doz\u0105 ostro\u017cno\u015bci i rozwagi.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2577,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[61,28,49,23],"tags":[58,71,62],"class_list":["post-2570","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-analiza-matematyczna","category-krzywe","category-matematyka-teoretyczna","category-paradoksy","tag-analiza-matematyczna","tag-ciekawostki","tag-paradoksy"],"yoast_head":"\n
\n![\"r\u00f3g](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2025\/01\/rog02.png\")
Jest ona w kszta\u0142cie takiego lejka czy te\u017c tr\u0105bki lub rogu. St\u0105d te\u017c jej nazwa. Z innej perspektywy, by\u0107 mo\u017ce jej tr\u0105bkowato\u015b\u0107 b\u0119dzie nieco lepiej widoczna.
\n![\"tr\u0105bka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2025\/01\/rog03.png\")
\nObiekt ten mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 niespecjalnie ciekawy, ale w matematyce wiele jest obiekt\u00f3w, kt\u00f3re na pierwszy rzut oka s\u0105 niezbyt interesuj\u0105ce, lecz na drugi, gdy si\u0119 im nieco bardziej przyjrze\u0107, potrafi\u0105 zaskoczy\u0107 swoimi nietuzinkowymi w\u0142asno\u015bciami. I tak te\u017c jest z tr\u0105bk\u0105 Toricellego. Jest ona \u017ar\u00f3d\u0142em tzw. paradoksu malarza<\/strong>. <\/p>\n
\n\\[P_c = 2\\pi\\int\\limits_1^{+\\infty}\\frac{\\sqrt{1+\\frac{1}{x^4}}}{x}dx > 2\\pi\\int\\limits_1^{+\\infty}\\frac{1}{x}dx = \\lim\\limits_{t\\to +\\infty} 2\\pi\\ln{t}=+\\infty\\] Tzn. powierzchnia ca\u0142kowita tr\u0105bki Toricellego jest niesko\u0144czona mimo i\u017c obj\u0119to\u015b\u0107 jest sko\u0144czona!<\/p>\n