{"id":2485,"date":"2024-10-27T16:40:02","date_gmt":"2024-10-27T14:40:02","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=2485"},"modified":"2024-10-29T01:59:13","modified_gmt":"2024-10-28T23:59:13","slug":"aksjomat-wyboru","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2024\/10\/27\/aksjomat-wyboru\/","title":{"rendered":"O istnieniu w matematyce czyli aksjomat wyboru"},"content":{"rendered":"

\nNa pocz\u0105tku XX wieku uwag\u0119 matematyk\u00f3w przyku\u0142 tzw. aksjomat wyboru, kt\u00f3ry przyprawi\u0142 ich o niema\u0142y zawr\u00f3t g\u0142owy i mocno podni\u00f3s\u0142 kwesti\u0119 tego co w matematyce wolno.
\n<\/p>\n

\nW ka\u017cdej dziedzinie zdarzaj\u0105 si\u0119 kontrowersje. W matematyce r\u00f3wnie\u017c. Jedn\u0105 z nich, na pocz\u0105tku XX wieku, by\u0142 w\u0142a\u015bnie aksjomat wyboru. W 1904 Ernst Zermelo, w swojej pracy Beweis, da\u00df jede Menge wohlgeordnet werden kann<\/a> (tj. Dow\u00f3d, \u017ce ka\u017cdy zbi\u00f3r mo\u017ce by\u0107 dobrze uporz\u0105dkowany<\/em>), u\u017cy\u0142 w dowodzie sformu\u0142owanego przez siebie, tytu\u0142owego aksjomatu.<\/p>\n

\nZanim przejdziemy do szczeg\u00f3\u0142\u00f3w musimy sobie uzmys\u0142owi\u0107 jaka sytuacja panowa\u0142a wtedy w matematyce. A matematyka by\u0142a w tamtych czasach inna. Obecnie, tak\u0105 domy\u015bln\u0105 podstaw\u0105 matematyki s\u0105 tzw. aksjomaty Zermela-Fraenkla z tytu\u0142owym aksjomatem wyboru. Jest to powszechnie przyj\u0119ty zestaw regu\u0142 dotycz\u0105cych zbior\u00f3w, taki punkt wyj\u015bcia. Bo od czego\u015b w ko\u0144cu zawsze trzeba zacz\u0105\u0107. Regu\u0142y te to podstawowe narz\u0119dzia matematyczne, kt\u00f3re trzymaj\u0105 w logicznych ryzach wnioskowanie o zbiorach. Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce jest to zgodny z nasz\u0105 ludzk\u0105 intuicj\u0105 pojmowania zbioru zestaw niezb\u0119dnych narz\u0119dzi do pos\u0142ugiwania si\u0119 tym poj\u0119ciem. W\u015br\u00f3d tych aksjomat\u00f3w mo\u017cna znale\u017a\u0107 m.in. <\/p>\n

\n

\nAksjomat sumy<\/strong> m\u00f3wi\u0105cy, \u017ce dla dowolnej rodziny zbior\u00f3w \\(\\mathcal U\\) istnieje zbi\u00f3r z\u0142o\u017cony z tych i tylko tych element\u00f3w, kt\u00f3re nale\u017c\u0105 do jakiego\u015b zbioru z \\(\\mathcal U\\).<\/p><\/blockquote>\n

\nCzyli aksjomat ten gwarantuje istnienie sumy zbior\u00f3w. Innym aksjomatem jest np. aksjomat niesko\u0144czono\u015bci<\/strong> gwarantuj\u0105cy istnienie zbioru niesko\u0144czonego, kt\u00f3rym de facto<\/em> jest zbi\u00f3r liczb naturalnych. Mo\u017cemy wi\u0119c powiedzie\u0107, \u017ce zbiory niesko\u0144czone istniej\u0105 bo… zak\u0142adamy, \u017ce istniej\u0105. Ale zgodzimy si\u0119 chyba, \u017ce ma\u0142o jest obiekt\u00f3w matematycznych, kt\u00f3rych chcieliby\u015bmy u\u017cywa\u0107 jak w\u0142a\u015bnie zbi\u00f3r \\(\\mathbb N\\).<\/p>\n

\nNaturalnie rozwa\u017ca si\u0119 r\u00f3wnie\u017c inne zestawy aksjomat\u00f3w, ale w tym wpisie zbytnio nie o tym. Przed prac\u0105 Zermela zasadniczo nie by\u0142o takiej aksjomatyki dotycz\u0105cej chyba najwa\u017cniejszego obiektu matematyki jakim jest zbi\u00f3r. Takie poj\u0119cia jak zbi\u00f3r czy przynale\u017cno\u015b\u0107 do zbioru s\u0105 intuicyjnie oczywiste. Na tej podstawie, korzystaj\u0105c z logiki dowodzono nowych twierdze\u0144 i po prostu poszerzano i rozwijano matematyk\u0119. By\u0142 to czas tzw. naiwnej teorii mnogo\u015bci<\/strong> (tzn. naiwnej teorii zbior\u00f3w). Okaza\u0142o si\u0119 jednak, \u017ce takie podej\u015bcie prowadzi do problem\u00f3w i sprzeczno\u015bci. Przyk\u0142adem jest tzw. antynomia Russella<\/strong>.<\/p>\n

\nRussell rozwa\u017ca\u0142 zbiory, kt\u00f3re nie s\u0105 swoimi elementami. Je\u017celi tworz\u0105 one zbi\u00f3r \\(A\\), to pojawia si\u0119 pytanie. Czy \\(A\\) jest swoim w\u0142asnym elementem? Je\u017celi tak, to z definicji zbioru \\(A\\) nie mo\u017ce nim by\u0107. Je\u015bli za\u015b \\(A\\) nie jest swoim w\u0142asnym elementem, to znowu z definicji zbioru \\(A\\), zbi\u00f3r ten jest swoim elementem. Ka\u017cda z opcji prowadzi do sprzeczno\u015bci!<\/p>\n

\nDo tego, by\u0142 to w miar\u0119 \u015bwie\u017cy czas po s\u0142ynnych pracach Georga Cantora, kt\u00f3ry jako pierwszy pokaza\u0142, \u017ce s\u0105 r\u00f3\u017cne niesko\u0144czono\u015bci. Przyk\u0142adowo liczb rzeczywistych jest wi\u0119cej ni\u017c naturalnych mimo i\u017c oba zbiory s\u0105 niesko\u0144czone. Liczb\u0119 m\u00f3wi\u0105c\u0105 nam ile element\u00f3w ma zbi\u00f3r liczb naturalnych oznaczamy \\(\\aleph_0\\) i nazywamy alef zero. Z kolei liczb\u0119 m\u00f3wi\u0105c\u0105 nam ile element\u00f3w ma zbi\u00f3r liczb rzeczywistych oznaczamy \\(\\mathfrak c\\) i nazywamy continuum. S\u0105 to tzw. liczby kardynalne<\/strong>. Wi\u0119cej o liczbach niesko\u0144czonych mo\u017cna poczyta\u0107 w tym wpisie<\/a>. Z prac Cantora wynika, \u017ce \\[\\aleph_0 \\lt\\mathfrak{c}.\\] Cantor postawi\u0142 hipotez\u0119, \u017ce nie istnieje zbi\u00f3r maj\u0105cy wi\u0119cej element\u00f3w ni\u017c \\(\\aleph_0\\) i jednocze\u015bnie mniej ni\u017c \\(\\mathfrak c\\). Innymi s\u0142owy, nie istnieje liczba kardynalna \\(\\mathfrak a\\) taka, \u017ce \\[\\aleph_0 \\lt \\mathfrak a \\lt\\mathfrak c.\\] Hipoteza continuum sp\u0119dza\u0142a sen z powiek matematykom do lat 60. XX wieku kiedy to sprawa zosta\u0142a finalnie rozwi\u0105zana dzi\u0119ki Kurtowi G\u00f6dlowi (tu ju\u017c w latach 30.) oraz Paulowi Cohenowi. Okaza\u0142o si\u0119, \u017ce hipotezy continuum nie da si\u0119 ani udowodni\u0107 ani dowie\u015b\u0107, \u017ce jest prawdziwa. Ale szczeg\u00f3\u0142y zdecydowanie wykraczaj\u0105 poza ramy tego wpisu. <\/p>\n

\nOpr\u00f3cz zaskakuj\u0105cych i na pierwszy rzut oka, nieraz sprzecznych z intuicj\u0105 wynik\u00f3w, z prac Cantora wynika\u0142o, \u017ce trzeba by\u0107 bardzo ostro\u017cnym w definiowaniu nowych zbior\u00f3w. Bo Cantor pokaza\u0142 m.in., \u017ce nie istnieje zbi\u00f3r wszystkich zbior\u00f3w. W skr\u00f3cie m\u00f3wi\u0105c, zbior\u00f3w jest za du\u017co aby mo\u017cna by\u0142o stworzy\u0107 z nich zbi\u00f3r. To pokaza\u0142o, \u017ce trzeba by\u0107 bardzo ostro\u017cnym i uwa\u017cnym, gdy definiujemy nowe zbiory, czy og\u00f3lniej poj\u0119cia, bo nawet wydawa\u0142oby si\u0119 proste i oczywiste dla ludzi rzeczy mog\u0105 okaza\u0107 si\u0119 jednak problematyczne z logicznego punktu widzenia. Z tego tez wzgl\u0119du dobr\u0105 praktyk\u0105 w matematyce jest sprawdzanie poprawno\u015bci definicji nowych obiekt\u00f3w.<\/p>\n

\nDrugim wa\u017cnym, i w kontek\u015bcie tytu\u0142owego aksjomatu chyba wa\u017cniejszym, problemem postawionym przez Cantora by\u0142a hipoteza znana dzi\u015b jako twierdzenie o dobrym uporz\u0105dkowaniu<\/strong> (to w\u0142a\u015bnie w dowodzie tego twierdzenia Zermelo u\u017cy\u0142 aksjomatu wyboru) m\u00f3wi\u0105ce, \u017ce ka\u017cdy zbi\u00f3r mo\u017cna dobrze uporz\u0105dkowa\u0107. Co to znaczy? Ot\u00f3\u017c zbi\u00f3r dobrze uporz\u0105dkowany sk\u0142ada si\u0119 z dwu sk\u0142adowych. Pierwsz\u0105 z nich, co za niespodzianka, jest dowolny zbi\u00f3r \\(A\\), a drug\u0105 uporz\u0105dkowanie (czyli mniej \u015bci\u015ble kolejno\u015b\u0107) jego element\u00f3w. Ale to uporz\u0105dkowanie nie byle jakie! Maj\u0105ce t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce ka\u017cdy podzbi\u00f3r zbioru \\(A\\) ma element najmniejszy. Przyk\u0142adem zbioru dobrze uporz\u0105dkowanego jest zbi\u00f3r liczb naturalnych ustawionych zgodnie ze zwyk\u0142ym porz\u0105dkiem \\[0, 1, 2, 3,\\ldots\\] M\u00f3wi\u0105c najmniejszy element mamy tu na my\u015bli kolejno\u015b\u0107. Nie nale\u017cy jej myli\u0107 z tym, kt\u00f3ra liczba jest mniejsza, a kt\u00f3ra wi\u0119ksza, gdy porz\u0105dkujemy podzbiory \\(\\mathbb R\\). Lepiej to wida\u0107 w przypadku zbioru liczb ca\u0142kowitych \\(\\mathbb Z\\) ze zwyk\u0142ym porz\u0105dkiem, kt\u00f3ry ju\u017c nie jest dobrze uporz\u0105dkowany. Przyk\u0142adowo, w jego podzbiorze sk\u0142adaj\u0105cym si\u0119 z liczb ujemnych nie ma liczby najmniejszej. Mo\u017cemy jednak zmieni\u0107 kolejno\u015b\u0107 jego element\u00f3w na poni\u017csz\u0105 \\[0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4 \\ldots\\] Regu\u0142a ustawiania kolejnych element\u00f3w jest chyba dobrze widoczna. Przy takim uporz\u0105dkowaniu ju\u017c ka\u017cdy niepusty podzbi\u00f3r zawiera element najmniejszy. Przy czym, m\u00f3wi\u0105c najmniejszy odnosimy si\u0119 do kolejno\u015bci w jakiej kolejne liczby si\u0119 pojawiaj\u0105. W tym przypadku podzbi\u00f3r liczb ujemnych ma element najmniejszy, kt\u00f3rym jest -1 bo jest to pierwsza w kolejno\u015bci liczba ujemna. Ca\u0142a sztuka w przypadku zbioru \\(\\mathbb Z\\) si\u0119 uda\u0142a bo byli\u015bmy w stanie ustawi\u0107 liczby ca\u0142kowite w ci\u0105g indeksowany liczbami naturalnymi. A czy da si\u0119 w podobny spos\u00f3b dobrze uporz\u0105dkowa\u0107 zbi\u00f3r liczb wymiernych \\(\\mathbb Q\\)? Tu jeszcze si\u0119 da. Zacznijmy od liczb wymiernych nieujemnych. \\[\\frac 01,\\ \\frac 11,\\ \\frac 12,\\ \\frac 21,\\ \\frac13,\\ \\frac 31,\\ \\frac 14,\\ \\frac 23,\\ \\frac 32,\\ \\frac 41\\ldots\\] Idea jest wbrew pozorom prosta. Ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105 nieujemn\u0105 przedstawmy w postaci u\u0142amka nieskracalnego \\(\\frac ab\\), gdzie \\(b>0\\). Mo\u017cemy w\u00f3wczas liczby te uporz\u0105dkowa\u0107 wpierw rosn\u0105co wzgl\u0119dem sumy \\(a+b\\), a w obr\u0119bie ka\u017cdej z grup wzgl\u0119dem rosn\u0105cego licznika. Na koniec je\u017celi po ka\u017cdej liczbie dodatniej wci\u015bniemy liczb\u0119 do niej przeciwn\u0105, to mamy dobrze uporz\u0105dkowany zbi\u00f3r liczb wymiernych. \\[\\frac 01,\\ \\frac 11,\\ -\\frac 11,\\ \\frac 12,\\ -\\frac12,\\ \\frac 21,\\ \\ldots\\] Natomiast przys\u0142owiowego konia z rz\u0119dem temu kto umia\u0142by wskaza\u0107 regu\u0142\u0119 dobrze porz\u0105dkuj\u0105c\u0105 ca\u0142y zbi\u00f3r liczb rzeczywistych!<\/p>\n

\nTwierdzenie o dobrym uporz\u0105dkowaniu m\u00f3wi, \u017ce ka\u017cdy zbi\u00f3r mo\u017cna w jaki\u015b spos\u00f3b dobrze uporz\u0105dkowa\u0107. Mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce nie b\u0119dziemy w stanie wskaza\u0107 jakiego\u015b konkretnego porz\u0105dku na danym zbiorze \\(A\\). By\u0107 mo\u017ce nawet nie jest po prostu mo\u017cliwe wskazanie jakiej\u015b konkretnej regu\u0142y dobrego porz\u0105dku, ale prawdziwo\u015b\u0107 tego twierdzenia gwarantowa\u0142aby, \u017ce zawsze jaki\u015b dobry porz\u0105dek na zbiorze \\(A\\) istnieje.<\/p>\n

\nAntynomia Russella czy kwestia ,,zbioru” wszystkich zbior\u00f3w pokaza\u0142y, \u017ce potrzebne jest inne podej\u015bcie ni\u017c naiwna teoria mnogo\u015bci. Z tego wzgl\u0119du pojawi\u0142a si\u0119 pr\u00f3ba aksjomatyzacji Zermela. Obecnie aksjomaty te znamy teraz jako aksjomaty Zermela-Fraenkla. Wraz z tytu\u0142owym aksjomatem wyboru (zwanym te\u017c pewnikiem wyboru), stanowi\u0105 one aktualnie standardowy zestaw aksjomat\u00f3w b\u0119d\u0105cy podstaw\u0105 teorii mnogo\u015bci. Cho\u0107 jak wspomnieli\u015bmy, rozwa\u017ca si\u0119 inne zestawy aksjomat\u00f3w lub og\u00f3lniej podej\u015bcia. <\/p>\n

\n\u017baden z aksjomat\u00f3w nie wzbudzi\u0142 jednak takich kontrowersji i nie by\u0142 tak dyskutowany jak w\u0142a\u015bnie aksjomat wyboru. Dzi\u015b ju\u017c nie budzi on \u017cadnych wi\u0119kszych sprzeciw\u00f3w, ale w poprzednim wieku naprawd\u0119 dzia\u0142o si\u0119 w jego temacie. Sprawi\u0142 on, \u017ce zacz\u0119to \u015bmielej pyta\u0107 co to znaczy istnie\u0107 w matematyce?<\/p>\n

\nAle o co si\u0119 w\u0142a\u015bciwie rozchodzi? Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce mamy rodzin\u0119 niepustych zbior\u00f3w. Aksjomat wyboru m\u00f3wi, \u017ce mo\u017cemy z ka\u017cdego wybra\u0107 po dok\u0142adanie jednym elemencie i stworzy\u0107 z nich nowy zbi\u00f3r. Mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c spotka\u0107 si\u0119 z wersj\u0105, gdzie zak\u0142adamy, \u017ce zbiory s\u0105 dodatkowo parami roz\u0142\u0105czne. Nie ma to jednak \u017cadnego wi\u0119kszego znaczenia, gdy\u017c obie wersje s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne. <\/p>\n

\n\"aksjomat Tak jak na rysunku powy\u017cej. Mamy pewne niepuste zbiory i z ka\u017cdego wybieramy po jednym elemencie i tworzymy z nich nowy zbi\u00f3r. Aksjomat wyboru m\u00f3wi, \u017ce jest to zawsze mo\u017cliwe.<\/p>\n

\nSam Zermelo rozwa\u017ca\u0142 zbi\u00f3r \\(M\\). Przez \\(M’\\) oznacza\u0142 dowolny niepusty podzbi\u00f3r zbioru \\(M\\). Za\u015b rodzin\u0119 wszystkich takich niepustych podzbior\u00f3w zioru \\(M\\) oznacza\u0142 \\(\\mathbb M\\). Tu troch\u0119 zmienili\u015bmy czcionk\u0119, aby unikn\u0105\u0107 nieporozumie\u0144 przez podobne oznaczenia. Dalej rozwa\u017ca\u0142 tzw. pokrycia<\/em>. pami\u0119tajmy, \u017ce j\u0119zyk i pewne sformu\u0142owania, w tym tak\u017ce matematyczne, r\u00f3\u017cni\u0142y si\u0119 od dzisiejszych. Sw\u00f3j aksjomat (w pracy z 1904 roku) sformu\u0142owa\u0142 nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n

\n\"aksjomat<\/p>\n

\nco oznacza:<\/p>\n

\n

\n1) Niech \\(M\\) b\u0119dzie dowolnym zbiorem o mocy \\(\\mathfrak m\\), kt\u00f3rego elementy mo\u017cemy oznaczy\u0107 przez \\(m\\), a \\(M^{’}\\) o mocy \\(\\mathfrak m^{’}\\) niech b\u0119dzie jednym z jego podzbior\u00f3w, kt\u00f3ry musi zawiera\u0107 co najmniej jeden element \\(m\\), ale mo\u017ce r\u00f3wnie\u017c zawiera\u0107 wszystkie elementy \\(M\\). Zbi\u00f3r \\(M-M^{’}\\) b\u0119dzie podzbiorem \u201edope\u0142niaj\u0105cym” wzgl\u0119dem \\(M^{’}\\). Dwa podzbiory uznaje si\u0119 za r\u00f3\u017cne, je\u015bli jeden z nich zawiera jakikolwiek element, kt\u00f3ry nie wyst\u0119puje w drugim. Zbi\u00f3r wszystkich \\(M^{’}\\) oznaczmy przez \\(\\mathbb M\\).<\/p>\n

\n2) Ka\u017cdemu podzbiorowi \\(M^{\u2032}\\) przypisuje si\u0119 dowolny element \\(m_1^{’}\\), kt\u00f3ry znajduje si\u0119 w samym \\(M^{\u2032}\\) i b\u0119dzie nazywany \u201ewyr\u00f3\u017cnionym” elementem \\(M^{\u2032}\\). W ten spos\u00f3b powstaje \u201epokrycie” \\(\\gamma\\) zbioru \\(\\mathbb M\\) pewnymi elementami zbioru \\(M\\). Liczba tych przyporz\u0105dkowa\u0144 jest r\u00f3wna iloczynowi \\(\\prod\\mathfrak m^{’}\\), rozci\u0105gni\u0119temu na wszystkie \\(M^{\u2032}\\) i jest z pewno\u015bci\u0105 r\u00f3\u017cna od zera. W dalszej cz\u0119\u015bci wybierzemy dowolne przyporz\u0105dkowanie \\(\\gamma\\) i na jego podstawie wyprowadzimy okre\u015blon\u0105 po\u017c\u0105dan\u0105 kolejno\u015b\u0107 element\u00f3w \\(M\\).\n<\/p><\/blockquote>\n

\nPrzyporz\u0105dkowywanie podzbiorom ich element\u00f3w prowadzi do innego, popularnego sformu\u0142owania aksjomatu wyboru m\u00f3wi\u0105cego o tzw. funkcji wyboru<\/strong>. Mianowicie, dla dowolnej rodziny niepustych zbior\u00f3w \\(\\mathcal A\\), istnieje funkcja wyboru (zwana te\u017c selektorem) \\[f:\\mathcal A\\to\\bigcup\\limits_{A\\in\\mathcal A}A\\] taka, \u017ce \\(f(A)\\in A\\) dla ka\u017cdego \\(A\\in\\mathcal A\\). Innymi s\u0142owy, istnieje funkcja, kt\u00f3ra ka\u017cdemu zbiorowi z \\(\\mathcal A\\) przyporz\u0105dkowuje jaki\u015b jego w\u0142asny element. Mo\u017cemy wi\u0119c wymiennie m\u00f3wi\u0107 o istnieniu zbioru lub funkcji. <\/p>\n

\nPraca Zermela, a dok\u0142adniej tytu\u0142owy aksjomat, szybko sta\u0142a si\u0119 przedmiotem krytyki ze strony wielu uznanych matematyk\u00f3w tamtych czas\u00f3w jak np. Borel czy Lebesgue mimo i\u017c na pierwszy rzut oka mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 dziwne czemu taki aksjomat mia\u0142by by\u0107 kontrowersyjny. W ko\u0144cu skoro mamy zbiory niepuste, to w ka\u017cdym z nich jest co najmniej jeden element, wi\u0119c z ka\u017cdego jeste\u015bmy w stanie co\u015b wybra\u0107. Na koniec wrzucamy wybrane elementy do jednego worka i tak oto mamy nowy zbi\u00f3r. Mo\u017ce wi\u0119c dziwi\u0107, \u017ce jest tu jakikolwiek problem. Pami\u0119tajmy, \u017ce nasza ludzka intuicja, kt\u00f3ra jest zale\u017cna od tego jak postrzegamy \u015bwiat (no a to jest bez w\u0105tpienia zwi\u0105zane z tym jak zbudowane s\u0105 nasze m\u00f3zgi), a logika, to dwie r\u00f3\u017cne rzeczy. To co nam ludziom, wydaje si\u0119 intuicyjnie oczywiste, mo\u017ce okaza\u0107 si\u0119 co najmniej problematyczne z logicznego punktu widzenia.<\/p>\n

\nPierwszym zagadnieniem jest problem istnienia w matematyce. Bez aksjomatu wyboru nie zawsze jeste\u015bmy w stanie zdefiniowa\u0107 stosowny zbi\u00f3r (lub wymiennie funkcj\u0119 wyboru). I to nie dlatego, \u017ce jeste\u015bmy za g\u0142upi aby to zrobi\u0107, tylko dlatego, \u017ce bez aksjomatu wyboru jest to zwyczajnie niemo\u017cliwe. Za\u015b aksjomat m\u00f3wi nam, \u017ce jest to mo\u017cliwe lecz nie m\u00f3wi zupe\u0142nie nic o tym jak wybiera\u0107 elementy ze zbior\u00f3w. Wiemy tylko tyle, \u017ce stosowny zbi\u00f3r (lub funkcja wyboru) istnieje, nie wiedz\u0105c w zasadzie nic o naturze tego obiektu. Aksjomat wyboru, w sytuacji, gdy nie mamy mo\u017cliwo\u015bci skonstruowania funkcji wyboru jawnie, ka\u017ce nam zasadniczo uwierzy\u0107 na s\u0142owo, \u017ce jaka\u015b funkcja wyboru istnieje. Dzi\u0119ki niemu jeste\u015bmy w stanie powo\u0142ywa\u0107 do matematycznego \u017cycia obiekty, kt\u00f3rych bez niego nie da\u0142oby si\u0119 nijak inaczej zdefiniowa\u0107 i rozwa\u017ca\u0107. No chyba, \u017ce przyjmiemy inny aksjomat, kt\u00f3ry nam na to pozwoli. Jest tu widoczny kontrast z innymi aksjomatami teorii mnogo\u015bci, kt\u00f3re gdy m\u00f3wi\u0105 o istnieniu jakiego\u015b zbioru, to go definiuj\u0105. Patrz\u0105c z innej strony, mo\u017cemy zapyta\u0107 czy niemo\u017cno\u015b\u0107 zdefiniowania konkretnej funkcji wyboru musi oznacza\u0107, \u017ce \u017cadna nie istnieje?<\/p>\n

\nAle przejd\u017amy do ma\u0142ej analizy aksjomatu. Rozwa\u017cmy najpierw sytuacj\u0119 najprostsz\u0105, gdy mamy do czynienia z jednym tylko zbiorem niepustym \\(A_1\\). Jest to r\u00f3wnowa\u017cne stwierdzeniu, \u017ce istnieje \\(a_1\\in A_1\\). Mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce nie b\u0119dziemy w stanie wskaza\u0107 konkretnego elementu ze zbioru \\(A_1\\), ale jego niepusto\u015b\u0107 jest r\u00f3wnowa\u017cna temu, \u017ce co\u015b z niego mo\u017cemy wybra\u0107. Je\u017celi we\u017amiemy roz\u0142\u0105czny z nim niepusty zbi\u00f3r \\(A_2\\), to analogicznie mo\u017cemy z niego wybra\u0107 element \\(a_2\\). Aksjomaty teorii mnogo\u015bci (inne ni\u017c aksjomat wyboru) daj\u0105 nam pewno\u015b\u0107, \u017ce jeste\u015bmy w stanie utworzy\u0107 z nich zbi\u00f3r \\(\\{a_1, a_2\\}\\). I tak dalej mo\u017cemy utworzy\u0107 stosowny zbi\u00f3r \\[A=\\{a_1, a_2, \\ldots, a_n\\}\\] dla dowolnej, sko\u0144czonej rodziny roz\u0142\u0105cznych, niepustych zbior\u00f3w \\[\\mathcal A=\\{A_1, A_2, \\ldots, A_n\\}.\\] Cho\u0107 zwr\u00f3\u0107my uwag\u0119, \u017ce ca\u0142y czas zasadniczo m\u00f3wimy o czasach, gdy og\u00f3lnie przyj\u0119tej aksjomatyki teorii mnogo\u015bci jeszcze nie by\u0142o. Dopiero by\u0142a tworzona. Jednak\u017ce w przypadku sko\u0144czenie wielu zbior\u00f3w nikt nie kwestionowa\u0142 istnienia stosownego zbioru \\(A\\). Sytuacja zmienia si\u0119 gdy zbior\u00f3w jest niesko\u0144czenie wiele. W\u00f3wczas musieliby\u015bmy dokona\u0107 niesko\u0144czenie wielu wybor\u00f3w do czego potrzebowaliby\u015bmy niesko\u0144czonego czasu. <\/p>\n

\nDlatego gdy mamy niesko\u0144czenie wiele zbior\u00f3w, to musimy raczej poszuka\u0107 jakiej\u015b regu\u0142y, kt\u00f3ra pozwoli nam wybra\u0107 z ka\u017cdego z nich po jednym elemencie. A wymy\u015blenie takiej regu\u0142y wymaga pewnej wiedzy na temat zbior\u00f3w, z kt\u00f3rych chcemy wybiera\u0107 elementy. Mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce w danym przypadku wiemy zbyt ma\u0142o aby skonstruowa\u0107 funkcj\u0119 wyboru. Pos\u0142u\u017cmy si\u0119 pewnym nie do ko\u0144ca matematycznym, acz pouczaj\u0105cym, przyk\u0142adem pochodz\u0105cym zdaje si\u0119 od Russella.<\/p>\n

\nWyobra\u017amy sobie, \u017ce mamy niesko\u0144czenie wiele zbior\u00f3w, z kt\u00f3rych ka\u017cdy zawiera par\u0119 but\u00f3w. Tj. w ka\u017cdym zbiorze znajduje si\u0119 but lewy oraz but prawy. W tej sytuacji mo\u017cemy funkcj\u0119 wyboru zdefiniowa\u0107 bardzo \u0142atwo. Z ka\u017cdego zbioru wybieramy np. but prawy. Tutaj byli\u015bmy w stanie bezproblemowo z ka\u017cdego zbioru wybra\u0107 po jednym elemencie. Skorzystali\u015bmy w tym celu z natury element\u00f3w, z kt\u00f3rych zbiory but\u00f3w si\u0119 sk\u0142adaj\u0105. Da\u0142o nam to wiedz\u0119 o tych zbiorach, dzi\u0119ki kt\u00f3rej mogli\u015bmy \u0142atwo z ka\u017cdego wybra\u0107 po jednym bucie. Je\u017celi jednak rozwa\u017cymy zbiory sk\u0142adaj\u0105ce si\u0119 nie z but\u00f3w lecz skarpetek, to sytuacja wygl\u0105da ju\u017c odmiennie. Skarpetki zasadniczo zbyt rozr\u00f3\u017cnialne nie s\u0105 dla ludzkiego oka. W teorii (i tak na potrzeby tego przyk\u0142adu za\u0142\u00f3\u017cmy) obie skarpetki z tej samej pary powinny by\u0107 dla cz\u0142owieka nieodr\u00f3\u017cnialne. W tej sytuacji nie mamy \u017cadnego sposobu wyr\u00f3\u017cnienia, a tym samym wybrania, w sko\u0144czonym czasie, po jednej skarpetce z ka\u017cdego zbioru. A co za tym idzie, nie mamy mo\u017cliwo\u015bci zdefiniowania \u017cadnej konkretnej funkcji wyboru przy tak skromnej wiedzy o zbiorach skarpetek. No chyba, \u017ce posiadamy jak\u0105\u015b dodatkow\u0105 wiedz\u0119 o naszych skarpetkach typu, \u017ce np. ka\u017cda para skarpetek zosta\u0142a po\u0142o\u017cona tak, \u017ce jedna jest z lewej, a druga z prawej strony. Jednak\u017ce bez \u017cadnej dodatkowej wiedzy nie b\u0119dziemy w stanie wyr\u00f3\u017cni\u0107, a wi\u0119c i wybra\u0107 z ka\u017cdego zbioru po jednej skarpetce.<\/p>\n

\nTeraz rozwa\u017cmy nieco bardziej matematyczny przyk\u0142ad. We\u017amy niesko\u0144czon\u0105 rodzin\u0119 zbior\u00f3w, kt\u00f3rych elementami s\u0105 liczby. Oznaczmy je \\(Z_i\\) dla indeks\u00f3w \\(i\\) przebiegaj\u0105cych pewien niesko\u0144czony zbi\u00f3r \\(\\mathcal I\\). Najpierw rozwa\u017cmy sytuacj\u0119, w kt\u00f3rej elementami ka\u017cdego \\(Z_i\\) s\u0105 liczby naturalne. Zbi\u00f3r liczb naturalnych jest dobrze uporz\u0105dowany, wi\u0119c ma t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce dowolny jego niepusty podzbi\u00f3r ma element najmniejszy. Nawet je\u015bli rozwa\u017camy podzbi\u00f3r niesko\u0144czony zbioru \\(\\mathbb N\\), to i tak jest w nim element najmniejszy. Owa w\u0142asno\u015b\u0107 zbioru \\(\\mathbb N\\) pozwala w bardzo \u0142atwy spos\u00f3b zdefiniowa\u0107 funkcj\u0119 wyboru. Wystarczy powiedzie\u0107, \u017ce z ka\u017cdego \\(Z_i\\) wybieramy element najmniejszy. Jest to prosty, matematyczny przyk\u0142ad kiedy nie potrzebujemy aksjomatu wyboru aby z ka\u017cdego \\(Z_i\\) wybra\u0107 po jednym elemencie. Posiadana wiedza o zbiorach \\(Z_i\\) nam to umo\u017cliwi\u0142a. <\/p>\n

\nSytuacja wygl\u0105da zgo\u0142a inaczej, gdy zbi\u00f3r liczb naturalnych zamienimy na zbi\u00f3r liczb rzeczywistych \\(\\mathbb R\\). Tutaj ju\u017c bardzo cz\u0119sto element najmniejszy czy najwi\u0119kszy nie istnieje. Przyk\u0142adowo przedzia\u0142y obustronnie otwarte takiego nie maj\u0105. I zasadniczo, w og\u00f3lno\u015bci, maj\u0105c niesko\u0144czon\u0105 rodzin\u0119 podzbior\u00f3w \\(\\mathbb R\\), nie jeste\u015bmy w stanie wskaza\u0107 konkretnej funkcji wyboru je\u015bli nie mamy dodatkowej, pozwalaj\u0105cej to zrobi\u0107, wiedzy na temat zbior\u00f3w \\(Z_i\\).<\/p>\n

\nPierwszy problem z aksjomatem wyboru jest, mo\u017cna powiedzie\u0107, natury nieco filozoficznej. Drugim problemem, znacznie bardziej namacalnym, s\u0105 konsekwencje jakie za sob\u0105 niesie przyj\u0119cie prawdziwo\u015bci aksjomatu wyboru. Bo mimo i\u017c sam aksjomat mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 intuicyjnie prawdziwy, zw\u0142aszcza na pierwszy rzut oka, to z jego przyj\u0119cia wynika istnienie obiekt\u00f3w i twierdze\u0144, kt\u00f3re s\u0105 ju\u017c szalenie nieintuicyjne. Cho\u0107 swoj\u0105 drog\u0105, jak ju\u017c wspomnieli\u015bmy, nasza ludzka intuicja, a logika to dwie r\u00f3\u017cne sprawy. Naturalnie i odrzucenie pewnika wyboru ma swoje dalekosi\u0119\u017cne konsekwencje. Ale o tym w dalszej cz\u0119\u015bci. Bez w\u0105tpienia nast\u0119pstwa odrzucenia aksjomatu wyboru znacz\u0105co przyczyni\u0142y si\u0119 do jego og\u00f3lnej akceptacji.<\/p>\n

\nPodamy (niechronologicznie) dwa intryguj\u0105ce przyk\u0142ady do czego prowadzi przyj\u0119cie pewnika wyboru. W pierwszym przyk\u0142adzie \u0142atwe do zrozumienia b\u0119dzie co si\u0119 sta\u0142o, cho\u0107 m\u0119tne b\u0119dzie dlaczego. Za\u015b drugi przyk\u0142ad, mimo i\u017c nieco d\u0142u\u017csze b\u0119dzie zrozumienie co si\u0119 sta\u0142o, rozja\u015bni cz\u0119\u015b\u0107 ,,dlaczego” z przyk\u0142adu pierwszego. No ale przejd\u017amy do konkret\u00f3w.<\/p>\n

\nW 1924 dwaj polscy matematycy, Stefan Banach i Alfred Tarski, pokazali, \u017ce je\u015bli za\u0142o\u017cymy pewnik wyboru, to mo\u017cna rozbi\u0107 kul\u0119 o promieniu 1 na dos\u0142ownie kilka (tj. sko\u0144czenie wiele!) kawa\u0142k\u00f3w i z\u0142o\u017cy\u0107 z nich, dok\u0142adnie tak jakby\u015bmy uk\u0142adali puzzle, dwie kule o promieniach r\u00f3wnych tak\u017ce 1. To znaczy, rozbijamy kul\u0119 na sko\u0144czenie wiele roz\u0142\u0105cznych kawa\u0142k\u00f3w. Nie stosujemy \u017cadnych sztuczek typu rozci\u0105ganie, zgniatanie, jakiekolwiek zmiany kawa\u0142k\u00f3w kuli, tworzenia nowych kul z jakimi\u015b dziurami w \u015brodku czy rozbijanie kuli wyj\u015bciowej na niesko\u0144czenie wiele cz\u0119\u015bci. Kawa\u0142k\u00f3w jest sko\u0144czenie wiele i po prostu je uk\u0142adamy dos\u0142ownie tak jak gdyby to by\u0142y tr\u00f3jwymiarowe puzzle. Bez \u017cadnych matematycznych sztuczek, kt\u00f3re s\u0105 mo\u017cliwe dzi\u0119ki temu, \u017ce kula sk\u0142ada si\u0119 z niesko\u0144czenie wielu punkt\u00f3w. No mo\u017ce opr\u00f3cz jednej sztuczki, kt\u00f3ra jest na razie niezbyt widoczna, i kt\u00f3ra pozwala nam odpowiednio rozbi\u0107 kul\u0119 na cz\u0119\u015bci. Innymi s\u0142owy, w \u015bwiecie matematycznym, w kt\u00f3rym mo\u017cemy korzysta\u0107 z pewnika wyboru mo\u017cliwe jest ,,cudowne” rozmno\u017cenie chleba, niemal jak w Biblii. Na czym polega ca\u0142y trik? To nam wyja\u015bni nast\u0119pny przyk\u0142ad.<\/p>\n

\nRozwa\u017cmy przedzia\u0142 \\(I=[0,1]\\). Powiemy, \u017ce liczby \\(x,y\\in I\\) s\u0105 ze sob\u0105 w relacji \\(\\sim\\), o ile r\u00f3\u017cnica \\(x-y\\) jest liczb\u0105 wymiern\u0105. Relacja ta ma bardzo wa\u017cn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107. Pozwala rozbi\u0107 przedzia\u0142 \\(I\\) na roz\u0142\u0105czne podzbiory. Oznaczmy przez \\([x]\\) zbi\u00f3r wszystkich element\u00f3w \\(I\\), kt\u00f3re s\u0105 we wspomnianej zale\u017cno\u015bci z \\(x\\), tj. \\[ [x] = \\{y\\in I: x-y\\in\\mathbb Q\\}.\\] Okazuje si\u0119, \u017ce dla dowolnych dwu element\u00f3w \\(x,y\\in I\\) zbiory \\([x]\\) oraz \\([y]\\) s\u0105 albo identyczne albo roz\u0142\u0105czne. Przyk\u0142adowo zbi\u00f3r \\([0]\\) sk\u0142ada si\u0119 ze wszystkich liczb wymiernych, bo je\u017celi od zera (jak i od ka\u017cdej innej liczby wymiernej) odejmiemy inn\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105, to wynik te\u017c tak\u0105 liczb\u0105 b\u0119dzie. Dlatego, mimo wyboru innego reprezentanta, zbiory postaci \\([q]\\), gdzie \\(q\\) jest wymierne, s\u0105 identyczne.<\/p>\n

\nSkoro mamy przedzia\u0142 \\([0,1]\\) rozbity, przy pomocy relacji \\(\\sim\\), na niesko\u0144czenie wiele roz\u0142\u0105cznych podzbior\u00f3w \\([q_i]\\), to mo\u017cemy zastosowa\u0107 aksjomat wyboru. Daje on nam gwarancj\u0119, \u017ce istnieje zbi\u00f3r \\(V\\) zawieraj\u0105cy po dok\u0142adnie jednym elemencie z ka\u017cdego \\([q_i]\\). Zbi\u00f3r ten bywa nazywany zbiorem Vitalego<\/strong>.<\/p>\n

\nNo i teraz zaczyna si\u0119 zabawa. Pomy\u015blmy o mierzeniu, a dok\u0142adniej o d\u0142ugo\u015bci. Mo\u017cemy sobie zada\u0107 pytanie: czy ka\u017cdy podzbi\u00f3r \\(A\\subseteq I\\) powinien mie\u0107 jak\u0105\u015b d\u0142ugo\u015b\u0107? Lub mo\u017ce nazwijmy to miar\u0105 jak\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 przedzia\u0142u \\(I\\) zajmuje podzbi\u00f3r \\(A\\). Wiemy, \u017ce przedzia\u0142 \\(I\\) ma d\u0142ugo\u015b\u0107 1. Odcinek \\([0,\\frac 12]\\) zajmuje po\u0142ow\u0119 przedzia\u0142u wi\u0119c jego d\u0142ugo\u015bc\/miara to \\(\\frac 12\\). <\/p>\n

\nZbi\u00f3r \\(V\\) jest niezwykle paskudny, nie mo\u017ce by\u0107 \u017cadnym odcinkiem. Jest taki hmm mocno poszarpany i dziurawy. Co\u015b jak np. zbi\u00f3r liczb wymiernych (zbi\u00f3r niewymiernych r\u00f3wnie\u017c). Okazuje si\u0119, \u017ce przyjmuj\u0105c pewnik wyboru nie mo\u017cemy zbiorowi Vitalego \\(V\\) przypisa\u0107 \u017cadnej d\u0142ugo\u015bci! Nie to, \u017ce nie potrafimy policzy\u0107 jaka ona powinna by\u0107. Wbrew pozorom potrafimy przypisywa\u0107 prawid\u0142ow\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 wielu niezbyt przyjemnie wygl\u0105daj\u0105cym zbiorom, kt\u00f3re r\u00f3wnie s\u0105 dziurawe i postrz\u0119pione. Przyk\u0142adowo podzbiorom liczb wymiernych czy niewymiernych z odcinka \\(I\\) potrafimy przypisa\u0107 prawid\u0142ow\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107. Tak\u017ce obiektom podobnym do s\u0142ynnego zbioru Cantora<\/a>. Ach ten Cantor, wsz\u0119dzie si\u0119 tu pojawia! Chodzi o to, \u017ce przypisanie zbiorowi Vitalego jakiejkolwiek d\u0142ugo\u015bci prowadzi do sprzeczno\u015bci. Innymi s\u0142owy, jak to mawiaj\u0105 matematycy, istniej\u0105 zbiory niemierzalne! Jak to pokaza\u0107?<\/p>\n

\nJe\u017celi zbi\u00f3r \\(V\\) przesuniemy o pewn\u0105 wymiern\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 \\(q\\), to otrzymamy nowy zbi\u00f3r \\(V+q\\). Przesuni\u0119cie o \\(q\\), to nic innego jak dodanie liczby \\(q\\) do ka\u017cdego elementu zbioru \\(V\\). Pisz\u0105c bardziej matematycznie \\[V+q=\\{v+q:v\\in V\\}.\\] Oczywistym jest, \u017ce je\u015bli zbi\u00f3r d\u0142ugo\u015bci \\(l\\) jedynie przesuwamy, to taki przesuni\u0119ty zbi\u00f3r powinien mie\u0107 tak\u0105 sam\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107\/miar\u0119.<\/p>\n

\nPoniewa\u017c wybrali\u015bmy po dok\u0142adnie jednym elemencie z ka\u017cdego \\([q_i]\\), to r\u00f3\u017cnica dw\u00f3ch dowolnych element\u00f3w zbioru \\(V\\) jest liczb\u0105 niewymiern\u0105. Wynika to wprost z okre\u015blenia relacji \\(\\sim\\). Do tego, dla dwu r\u00f3\u017cnych liczb wymiernych \\(q_1, q_2\\), zbiory \\(V+q_1\\) oraz \\(V+q_2\\) s\u0105 roz\u0142\u0105czne. I teraz powoli przechodzimy do fina\u0142u. Je\u017celi przesuniemy zbi\u00f3r \\(V\\) o ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105 z przedzia\u0142u \\([-1,1]\\), to otrzymamy niesko\u0144czenie wiele roz\u0142\u0105cznych zbior\u00f3w postaci \\(V+q\\). Ka\u017cdy z tych zbior\u00f3w powinien mie\u0107 t\u0119 sam\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 oraz jest zawarty w przedziale \\([-1,2]\\). Do tego w sumie tych zbior\u00f3w, zawiera si\u0119 przedzia\u0142 \\([0,1]\\). Zatem \u0142\u0105czna d\u0142ugo\u015b\u0107 sumy wszystkich \\(V+q\\) jest od 1 do 3. W szczeg\u00f3lno\u015bci \\(V\\) nie mo\u017ce mie\u0107 d\u0142ugo\u015bci\/miary r\u00f3wnej 0, musi ona by\u0107 dodatnia. Ale dodaj\u0105c do siebie niesko\u0144czenie wiele razy t\u0119 sam\u0105 liczb\u0119 dodatni\u0105, otrzymamy niesko\u0144czono\u015b\u0107. A wi\u0119c \\(V\\) nie mo\u017ce mie\u0107 te\u017c miary dodatniej. Sprzeczno\u015b\u0107! Nie da si\u0119 temu zbiorowi przypisa\u0107 \u017cadnej d\u0142ugo\u015bci\/miary. Jak to mawiaj\u0105 matematycy, jest to przyk\u0142ad zbioru niemierzalnego. Przyj\u0119cie pewnika wyboru sprawia, \u017ce takie zbiory istniej\u0105.<\/p>\n

\nCzyli aksjomat wyboru co\u015b nam nie tylko dale, lecz tak\u017ce co\u015b zabiera. Z jednej strony mamy dost\u0119p do bogatego matematycznie \u015bwiata, w kt\u00f3rym mo\u017cemy korzysta\u0107 z dobrodziejstw istnienia funkcji wyboru w ka\u017cdej sytuacji. Z drugiej za\u015b strony musimy si\u0119 pogodzi\u0107 z faktem, \u017ce nie wszystko da si\u0119 zmierzy\u0107.<\/p>\n

\nI w\u0142a\u015bnie istnienie zbior\u00f3w niemierzalnych jest sednem paradoksalnego rozk\u0142adu kuli Banacha-Tarskiego. Co prawda rozbijamy kul\u0119 na sko\u0144czenie wiele zbior\u00f3w, ale niemierzalnych! Tym razem tr\u00f3jwymiarowych niemierzalnych. Te zbiory nie maj\u0105 miary\/obj\u0119to\u015bci. Kula zosta\u0142a rozbita na zbiory o niezwykle paskudnej naturze, niezwykle porozdzierane, takie kt\u00f3re w \u015bwiecie rzeczywistych raczej nie istniej\u0105. Wi\u0119c niestety w prawdziwym \u015bwiecie, nie da si\u0119 rozmno\u017cy\u0107 chleba ot tak jak w Biblii. I do tego, mimo i\u017c z jednej kuli otrzymujemy dwie, to nie mo\u017cemy na tej podstawie twierdzi\u0107, \u017ce 1=2. Mo\u017ce si\u0119 to wydawa\u0107 kusz\u0105ce, wszak mamy sko\u0144czenie wiele zbior\u00f3w roz\u0142\u0105cznych, kt\u00f3re jednym sposobem mo\u017cemy z\u0142o\u017cy\u0107 w jedn\u0105 kul\u0119, a innym sposobem w dwie. Aby m\u00f3c rozwa\u017ca\u0107 sumy obj\u0119to\u015bci zbior\u00f3w roz\u0142\u0105cznych, z za\u0142o\u017cenia musimy mie\u0107 zbiory obj\u0119to\u015b\u0107 maj\u0105ce tzn. mierzalne.<\/p>\n

\nAby rozstrzygn\u0105\u0107 spraw\u0119 aksjomatu wyboru nale\u017ca\u0142o podej\u015b\u0107 do sprawy powa\u017cnie i metodycznie tak jak zaproponowa\u0142 Wac\u0142aw Sierpi\u0144ski:<\/p>\n

\n

\nNiezale\u017cnie od naszej osobistej sk\u0142onno\u015bci do zaakceptowania aksjomatu wyboru, musimy wzi\u0105\u0107 pod uwag\u0119, w ka\u017cdym przypadku, jego rol\u0119 w teorii mnogo\u015bci i analizie matematycznej. Z jednej strony, poniewa\u017c aksjomat wyboru zosta\u0142 zakwestionowany przez niekt\u00f3rych matematyk\u00f3w, istotne jest, by wiedzie\u0107, kt\u00f3re twierdzenia zosta\u0142y udowodnione z jego pomoc\u0105 oraz dok\u0142adnie u\u015bwiadomi\u0107 sobie, w kt\u00f3rym miejscu dow\u00f3d zosta\u0142 oparty na aksjomacie wyboru; poniewa\u017c cz\u0119sto zdarza\u0142o si\u0119, \u017ce r\u00f3\u017cni autorzy u\u017cywali aksjomatu wyboru w swoich dowodach, nie zdaj\u0105c sobie z tego sprawy. W ko\u0144cu, nawet gdyby nikt nie kwestionowa\u0142 aksjomatu wyboru, warto by\u0142oby zbada\u0107, kt\u00f3re dowody s\u0105 na nim oparte, a kt\u00f3re twierdzenia mo\u017cna udowodni\u0107 bez jego pomocy \u2013 jak wiemy, podobne analizy s\u0105 przeprowadzane r\u00f3wnie\u017c w odniesieniu do innych aksjomat\u00f3w.<\/p>\n

\nNiezwykle po\u017c\u0105dane jest rozr\u00f3\u017cnienie mi\u0119dzy twierdzeniami, kt\u00f3re mo\u017cna udowodni\u0107 bez pomocy aksjomatu wyboru, a tymi, kt\u00f3rych nie jeste\u015bmy w stanie udowodni\u0107 bez jego u\u017cycia. Analizuj\u0105c dowody oparte na aksjomacie wyboru, mo\u017cemy:<\/p>\n