{"id":244,"date":"2021-03-25T23:45:07","date_gmt":"2021-03-25T23:45:07","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=244"},"modified":"2021-06-06T17:41:19","modified_gmt":"2021-06-06T17:41:19","slug":"zlota-spirala","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/","title":{"rendered":"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane"},"content":{"rendered":"

Z\u0142ota spirala, to kolejny obiekt, kt\u00f3ry upodobali sobie mi\u0142o\u015bnicy z\u0142otej proporcji. Muszle, tor lotu owad\u00f3w czy ptak\u00f3w, galaktyki, huragany i wiele innych rzeczy ma podobno kszta\u0142t z\u0142otej spirali. To zestaw popularnych mit\u00f3w. Zupe\u0142nie jakby na \u015bwiecie inne spirale nie istnia\u0142y.
\n<\/p>\n

Zanim jednak powiemy sobie czym jest z\u0142ota spirala, powiedzmy kilka s\u0142\u00f3w o tym czym w og\u00f3le s\u0105 spirale. Niezbyt \u015bci\u015ble m\u00f3wi\u0105c, spirala to krzywa zakre\u015blona przez punkt poruszaj\u0105cy si\u0119 wok\u00f3\u0142 innego punktu (zwanego \u015brodkiem spirali) i jednocze\u015bnie si\u0119 od niego oddalaj\u0105cy. M\u00f3wi\u0105c ju\u017c bardziej matematycznie, mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce spirala, to krzywa kt\u00f3ra we wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych biegunowych<\/a> \\((r,\\theta)\\) dana jest r\u00f3wnaniem
\n\\[r=f(\\theta),\\]
\ngdzie \\(f\\) jest pewn\u0105 funkcj\u0105 rosn\u0105c\u0105.<\/p>\n

Gdy punkt oddala si\u0119 od \u015brodka ze sta\u0142\u0105 pr\u0119dko\u015bci\u0105 oraz porusza si\u0119 wok\u00f3\u0142 niego r\u00f3wnie\u017c ze sta\u0142\u0105 pr\u0119dko\u015bci\u0105, to otrzymamy w ten spos\u00f3b spiral\u0119 Archimedesa<\/em>, kt\u00f3ra jest dana wzorem \\(r(\\theta)=k\\theta\\), gdzie \\(k\\) jest pewn\u0105 sta\u0142\u0105.\"spirala<\/p>\n

Je\u015bli ze \u015brodka spirali narysujemy p\u00f3\u0142prost\u0105, to odleg\u0142o\u015bci od \u015brodka kolejnych punkt\u00f3w przeci\u0119cia utworz\u0105 ci\u0105g arytmetyczny. Gdyby\u015bmy chcieli aby te odleg\u0142o\u015bci zmienia\u0142y si\u0119 geometrycznie, to otrzymamy tzw. spiral\u0119 logarytmiczn\u0105<\/em>. Jest to rodzina spiral dana wzorem og\u00f3lnym \\[r(\\theta)=ae^{k\\theta}.\\]<\/p>\n

\"spirala<\/p>\n

Odleg\u0142o\u015bci punkt\u00f3w \\(A, B, C\\) od \u015brodka \\(O\\) spirali zmieniaj\u0105 si\u0119 geometrycznie, tzn.
\n\\[|OB|=|OA|\\cdot e^{2k\\pi}\\textrm{ oraz } |OC|=|OB|\\cdot e^{2k\\pi}.\\] Spirala nawija si\u0119 niesko\u0144czenie wiele razy wok\u00f3\u0142 \u015brodka nie tylko przy oddalaniu si\u0119 od niego, lecz r\u00f3wnie\u017c przy zbli\u017caniu si\u0119. Mimo tego dla dowolnego k\u0105ta \\(\\theta\\) odcinek spirali \\((r(0),r(\\theta)\\rangle\\) jest sko\u0144czony!<\/p>\n

Szczeg\u00f3lnym przypadkiem spirali logarytmicznej jest z\u0142ota spirala, kt\u00f3ra bywa cz\u0119sto mylona lub uto\u017csamiana ze spiral\u0105 Fibonacciego<\/em>. S\u0105 to jednak dwie r\u00f3\u017cne spirale.<\/p>\n

Je\u017celi w z\u0142otym prostok\u0105cie<\/a> narysujemy kwadrat, to otrzymamy jednocze\u015bnie drugi z\u0142oty prostok\u0105t. Mo\u017cemy ten proces powtarza\u0107. W ka\u017cdy kwadrat mo\u017cemy wpisa\u0107 \u0107wiartk\u0119 okr\u0119gu otrzymuj\u0105c tym samym spiral\u0119 Fibonacciego.<\/p>\n

\"spirala<\/p>\n

Z\u0142ota spirala to taka spirala logarytmiczna, w kt\u00f3rej przy zwi\u0119kszeniu k\u0105ta o \\(90^\\circ\\), odleg\u0142o\u015b\u0107 punktu spirali od \u015brodka zmienia si\u0119 \\(\\varphi\\) razy. Z tego wynika, \u017ce
\n\\[k=\\dfrac{2\\ln{\\varphi}}{\\pi}\\approx 0,306.\\]<\/p>\n

Czy wi\u0119c owady oraz drapie\u017cne ptaki podczas polowania poruszaj\u0105 si\u0119 zataczaj\u0105c kszta\u0142t z\u0142otej spirali? Bior\u0105c pod uwag\u0119, \u017ce z\u0142ota spirala jest krzyw\u0105 p\u0142ask\u0105, a trajektoria lotu owada czy ptaka na og\u00f3\u0142 nie, to odpowied\u017a jest oczywista. Nawet gdyby taki owad czy ptak si\u0119 porusza\u0142 w pewnej p\u0142aszczy\u017anie, to by si\u0119 porusza\u0142 (w dobrym przybli\u017ceniu) po pewnej spirali logarytmicznej, kt\u00f3ra na og\u00f3\u0142 z\u0142ot\u0105, nawet w przybli\u017ceniu, nie b\u0119dzie.<\/p>\n

Tylko sk\u0105d tutaj spirala logarytmiczna? Wynika to po pierwsze z wa\u017cnej w\u0142asno\u015bci jak\u0105 posiada. Ka\u017cda p\u00f3\u0142prosta wychodz\u0105ca ze \u015brodka spirali przecina j\u0105 pod tym samym k\u0105tem \\(\\alpha\\).
\n\"spirala
\nWsp\u00f3\u0142czynnik \\(k\\) we wzorze og\u00f3lnym spirali logarytmicznej, to kotangens k\u0105ta \\(\\alpha\\). W przypadku z\u0142otej spirali ten k\u0105t jest r\u00f3wny oko\u0142o \\(73^\\circ\\).<\/p>\n

Owady maj\u0105 cz\u0119sto z\u0142o\u017cone oczy, tj. takie, kt\u00f3re sk\u0142adaj\u0105 si\u0119 z wielu omatidi\u00f3w<\/a> (zwanych oczkami prostymi lub fasetkami). Ka\u017cde omatidium pozwala widzie\u0107 fragment pola widzenia.<\/p>\n

By\u0107 mo\u017ce z tego powodu wiele owad\u00f3w porusza si\u0119 wykorzystuj\u0105c naturalne \u017ar\u00f3d\u0142a \u015bwiat\u0142a takie jak s\u0142o\u0144ce czy ksi\u0119\u017cyc. Je\u017celi taki owad chce si\u0119 przemie\u015bci\u0107 w linii prostej z punktu \\(A\\) do punktu \\(B\\), to poruszaj\u0105c si\u0119 w taki spos\u00f3b aby np. ksi\u0119\u017cyc by\u0142 widziany ca\u0142y czas przez te same omatidia (czyli aby by\u0142 widoczny pod sta\u0142ym k\u0105tem) uda mu si\u0119 dotrze\u0107 do punktu \\(B\\). Jest to mo\u017cliwe dzi\u0119ki temu, \u017ce wspomniany ksi\u0119\u017cyc znajduje si\u0119 w sporej odleg\u0142o\u015bci od Ziemi a ka\u017cdy odbity od niego promie\u0144 \u015bwiat\u0142a dociera do owada pod praktycznie sta\u0142ym k\u0105tem.<\/p>\n

Problem zaczyna si\u0119 gdy w pobli\u017cu owada pojawi si\u0119 sztuczne \u017ar\u00f3d\u0142o \u015bwiat\u0142a np. lampa. W\u00f3wczas chc\u0105c porusza\u0107 si\u0119 jak opisali\u015bmy przed chwil\u0105, ale u\u017cywaj\u0105c owej lampy zamiast ksi\u0119\u017cyca, b\u0119dzie porusza\u0142 si\u0119 tak, aby widzie\u0107 lamp\u0119 pod sta\u0142ym k\u0105tem. Gdyby wi\u0119c taki ruch odbywa\u0142 si\u0119 w pewnej p\u0142aszczy\u017anie, to owad zbli\u017ca\u0142by si\u0119 do lampy po pewnej spirali logarytmicznej, kt\u00f3ra nawet w przybli\u017ceniu nie musi by\u0107 z\u0142ot\u0105.<\/p>\n

Tak na marginesie m. in. dlatego zanieczyszczenie \u015bwiat\u0142em jest bardzo gro\u017ane dla wielu owad\u00f3w.<\/p>\n

Drapie\u017cne ptaki, jak np. sok\u00f3\u0142 w\u0119drowny, podczas polowania na ofiar\u0119 r\u00f3wnie\u017c poruszaj\u0105 tak, aby widzie\u0107 j\u0105 pod sta\u0142ym k\u0105tem. Jest to spowodowane tym, \u017ce pewne gatunki ptak\u00f3w maj\u0105 obszary oczu, kt\u00f3re s\u0105 wyspecjalizowane w ostrym widzeniu, tzw. do\u0142ki. Dzi\u0119ki nim np. sok\u00f3\u0142 w\u0119drowny widzi najostrzej pod k\u0105tem ok. \\(45^\\circ\\) wzgl\u0119dem osi g\u0142owy. Je\u017celi taki ptak \u015bciga ofiar\u0119, to mamy pewien konflikt. Aby widzie\u0107 j\u0105 najlepiej, to lec\u0105c wprost na ni\u0105 powinien odwr\u00f3ci\u0107 g\u0142ow\u0119 o wspomniane \\(45^\\circ\\), zwi\u0119kszy to jednak op\u00f3r powietrza. Wobec tego ptaki te potrafi\u0105 si\u0119 porusza\u0107 tak, aby widzie\u0107 ofiar\u0119 pod wspomnianym k\u0105tem oraz nie musie\u0107 odwraca\u0107 g\u0142owy czyli w przypadku lotu w p\u0142aszczy\u017anie, tor lotu by\u0142by spiral\u0105 logarytmiczn\u0105. I to tak\u0105, kt\u00f3rej jak wida\u0107, daleko do z\u0142otej spirali.<\/p>\n

Je\u017celi wi\u0119c kiedykolwiek us\u0142yszymy, \u017ce jakie\u015b zwierz\u0119 porusza si\u0119 po z\u0142otej spirali, to z du\u017c\u0105 doz\u0105 prawdopodobie\u0144stwa owe zwierz\u0119 porusza si\u0119 z jakich\u015b powod\u00f3w w taki spos\u00f3b, aby widzie\u0107 pewien punkt pod sta\u0142ym k\u0105tem. Gdyby za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce taki ruch odbywa si\u0119 w pewnej p\u0142aszczy\u017anie, to jego tor by\u0142by pewn\u0105 spiral\u0105 logarytmiczn\u0105, najprawdopodobniej nie z\u0142ot\u0105.<\/p>\n

A czy w muszlach jest ukryta z\u0142ota spirala? Najcz\u0119\u015bciej w tym kontek\u015bcie mo\u017cemy znale\u017a\u0107 zdj\u0119cie muszli \u0142odzika, kt\u00f3ra jakoby mia\u0142aby mie\u0107 kszta\u0142t w\u0142a\u015bnie z\u0142otej spirali. Jak si\u0119 domy\u015blamy, mo\u017cna tam znale\u017a\u0107 jak\u0105\u015b spiral\u0119 logarytmiczn\u0105. Na og\u00f3\u0142 nie jest to z\u0142ota spirala. Poni\u017cej przyk\u0142adowe zdj\u0119cie muszli z naniesion\u0105 z\u0142ot\u0105 spiral\u0105. Nawet gdy j\u0105 przeskalujemy, nie b\u0119dzie zbytnio pasowa\u0107 do kszta\u0142tu muszli.<\/p>\n

\"\u0142odzik\"
NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg: Chris 73derivative work: Akkana Peck, CC BY-SA 3.0 https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n

A tutaj sk\u0105d si\u0119 bierze spirala logarytmiczna? Pomy\u015blmy jak mo\u017ce rosn\u0105\u0107 muszla wraz z rozwojem \u017cyj\u0105cego w niej zwierz\u0105tka? Na przyk\u0142ad mo\u017ce rosn\u0105\u0107 pod\u0142u\u017cnie. W prostym, z geometrycznego punktu widzenia, scenariuszu muszla mo\u017ce si\u0119 powi\u0119ksza\u0107 w spos\u00f3b r\u00f3wnomierny tak, aby na ka\u017cdym etapie rozwoju mie\u0107 kszta\u0142t bry\u0142y zawsze podobnej do tej z poprzednich etap\u00f3w.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Takie muszle mia\u0142y np. ordowickie \u0142odziki rz\u0119du Orthoceratida. Rekonstrukcja poni\u017cej.<\/p>\n

\"\"
Nobu Tamura (http:\/\/spinops.blogspot.com), CC BY 3.0 https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by\/3.0, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n

Gdy taka pod\u0142u\u017cna muszla, zamiast rosn\u0105\u0107 prosto, zacznie si\u0119 zwija\u0107, to przybierze kszta\u0142t spirali logarytmicznej (dok\u0142adniej to brzeg jej przekroju). Taki proces wymaga tego aby zewn\u0119trzny brzeg muszli si\u0119 rozci\u0105gn\u0105\u0142, wewn\u0119trzny za\u015b przeciwnie. Gdyby wzrost zwijaj\u0105cej si\u0119 muszli przebiega\u0142 w taki spos\u00f3b, by \u015brednica jej otworu by\u0142a proporcjonalna do d\u0142ugo\u015bci (tak jak w przypadku muszli niezwijaj\u0105cej si\u0119) to przyj\u0119\u0142aby kszta\u0142t spirali logarytmicznej.<\/p>\n

Dlaczego? Bo tak\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 ma spirala logarytmiczna. Zaznaczona \u015brednica jest proporcjonalna do d\u0142ugo\u015bci \u0142uku spirali do punktu \\(A\\) (niebieski fragment).<\/p>\n

\"spirala<\/p>\n

Dok\u0142adniej, d\u0142ugo\u015b\u0107 \u0142uku \\((r(0),r(\\theta)\\rangle\\) jest r\u00f3wna \\[l=\\dfrac{a\\sqrt{1+k^2}}{k}\\cdot e^{k\\theta}.\\] Natomiast \u015brednica \\(d\\) jej ,,otworu”, to \\[d=l\\cdot\\dfrac{k}{\\sqrt{1+k^2}}\\cdot (e^{2\\pi k}-1).\\] Poniewa\u017c \\(k\\) jest sta\u0142\u0105, to r\u00f3wnie\u017c wsp\u00f3\u0142czynnik proporcjonalno\u015bci \\[\\dfrac{k}{\\sqrt{1+k^2}}\\cdot (e^{2\\pi k}-1)\\] jest sta\u0142y.<\/p>\n

Przytoczone przyk\u0142ady, to jedynie kilka spo\u015br\u00f3d wielu z prawdziwego \u017cycia, gdzie mo\u017cemy natkn\u0105\u0107 si\u0119 na spirale. Mi\u0142o\u015bnicy z\u0142otej proporcji potrafi\u0105 ka\u017cdej z nich przypisa\u0107 bycie z\u0142ot\u0105. Zupe\u0142nie jakby innych spiral nie by\u0142o. W powy\u017cszych przyk\u0142adach pojawia\u0142a si\u0119 rodzina spiral logarytmicznych, kt\u00f3rej szczeg\u00f3lnym przypadkiem jest w\u0142a\u015bnie z\u0142ota spirala. Jednak wi\u0119kszo\u015bci spiral spotykanym na \u015bwiecie, nawet tym logarytmicznym, daleko do bycia t\u0105 z\u0142ot\u0105.<\/p>\n

Natomiast samo szukanie z\u0142otych spiral czy to w opisanych tutaj sytuacjach, czy innych jak kszta\u0142t galaktyk, huragan\u00f3w itp. jest chorob\u0105 podobn\u0105 do znajdywania z\u0142otego podzia\u0142u niemal wsz\u0119dzie. Mo\u017cna j\u0105 nazwa\u0107 z\u0142ot\u0105 spiralologi\u0105.<\/p>\n

\n

Literatura<\/h4>\n

\u00d8. Hammer, The Perfect Shape. Spiral Stories<\/em>, Springer (2016)
\nM. Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number<\/em>, Broadway Books (2002)
\nV.A. Tucker, The Deep Fovea, Sideways Vision and Spiral Flight Paths in Raptors<\/em>, J. Exp. Biol. 203 (2000), str. 3745\u20133754<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Z\u0142ota spirala, to kolejny obiekt, kt\u00f3ry upodobali sobie mi\u0142o\u015bnicy z\u0142otej proporcji. Muszle, tor lotu owad\u00f3w czy ptak\u00f3w, galaktyki, huragany i wiele innych rzeczy ma podobno kszta\u0142t z\u0142otej spirali. To zestaw popularnych mit\u00f3w. Zupe\u0142nie jakby na<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":266,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[28,5],"tags":[31,30,29],"yoast_head":"\nZ\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Z\u0142ota spirala, podobnie jak z\u0142ota proporcja podobno jest wsz\u0119dzie. Muszle, tor lotu ptak\u00f3w, galaktyki itd. Ile w tym prawdy?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Z\u0142ota spirala, podobnie jak z\u0142ota proporcja podobno jest wsz\u0119dzie. Muszle, tor lotu ptak\u00f3w, galaktyki itd. Ile w tym prawdy?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-03-25T23:45:07+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2021-06-06T17:41:19+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"402\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"304\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"7 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane\",\"datePublished\":\"2021-03-25T23:45:07+00:00\",\"dateModified\":\"2021-06-06T17:41:19+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\"},\"wordCount\":1619,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg\",\"keywords\":[\"Krzywe\",\"spirala logarytmiczna\",\"z\u0142ota spirala\"],\"articleSection\":[\"Krzywe\",\"Z\u0142ota proporcja\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\",\"name\":\"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg\",\"datePublished\":\"2021-03-25T23:45:07+00:00\",\"dateModified\":\"2021-06-06T17:41:19+00:00\",\"description\":\"Z\u0142ota spirala, podobnie jak z\u0142ota proporcja podobno jest wsz\u0119dzie. Muszle, tor lotu ptak\u00f3w, galaktyki itd. Ile w tym prawdy?\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg\",\"width\":402,\"height\":304,\"caption\":\"NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg: Chris 73derivative work: Akkana Peck, CC BY-SA 3.0 https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0, via Wikimedia Commons\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane","description":"Z\u0142ota spirala, podobnie jak z\u0142ota proporcja podobno jest wsz\u0119dzie. Muszle, tor lotu ptak\u00f3w, galaktyki itd. Ile w tym prawdy?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane","og_description":"Z\u0142ota spirala, podobnie jak z\u0142ota proporcja podobno jest wsz\u0119dzie. Muszle, tor lotu ptak\u00f3w, galaktyki itd. Ile w tym prawdy?","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-03-25T23:45:07+00:00","article_modified_time":"2021-06-06T17:41:19+00:00","og_image":[{"width":402,"height":304,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"7 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane","datePublished":"2021-03-25T23:45:07+00:00","dateModified":"2021-06-06T17:41:19+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/"},"wordCount":1619,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg","keywords":["Krzywe","spirala logarytmiczna","z\u0142ota spirala"],"articleSection":["Krzywe","Z\u0142ota proporcja"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/","name":"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg","datePublished":"2021-03-25T23:45:07+00:00","dateModified":"2021-06-06T17:41:19+00:00","description":"Z\u0142ota spirala, podobnie jak z\u0142ota proporcja podobno jest wsz\u0119dzie. Muszle, tor lotu ptak\u00f3w, galaktyki itd. Ile w tym prawdy?","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/lodzik.jpg","width":402,"height":304,"caption":"NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg: Chris 73derivative work: Akkana Peck, CC BY-SA 3.0 https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0, via Wikimedia Commons"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/25\/zlota-spirala\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Z\u0142ota spirala i mity z ni\u0105 zwi\u0105zane"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/244"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=244"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/244\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":817,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/244\/revisions\/817"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/266"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=244"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=244"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=244"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}