![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktfermata01.png\")
<\/p>\n\nWyobra\u017amy sobie, \u017ce mamy trzy miejscowo\u015bci i musimy wybra\u0107 lokalizacj\u0119 gazowni, kt\u00f3ra dostarczy do ka\u017cdej z nich gaz. Jak to zrobi\u0107 aby musie\u0107 zu\u017cy\u0107 jak najmniej rur na wybudowanie gazoci\u0105g\u00f3w do tych miejscowo\u015bci?<\/p>\n
\nProblemy takiego typu jak ten sformu\u0142owany we wst\u0119pie pojawiaj\u0105 si\u0119 dosy\u0107 powszechnie. To znaczy gdzie ulokowa\u0107 np. magazyn aby m\u00f3c jak najtaniej przewozi\u0107 towary do miejsc docelowych. Owe najtaniej jest bardzo cz\u0119sto silnie zwi\u0105zane z jak najmniejszymi odleg\u0142o\u015bciami. Dlatego umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania tego typu problem\u00f3w ma niezwyk\u0142e znaczenie praktyczne. W tym wpisie przedstawimy bardzo prosty w sformu\u0142owania, acz nie tak \u0142atwy, wbrew pozorom, do rozwi\u0105zania problem.<\/p>\n
\nSformu\u0142owany przez nas problem jest dosy\u0107 prosty i daje nam dowolno\u015b\u0107 w wyborze lokalizacji. W rzeczywisto\u015bci na og\u00f3\u0142 nie mamy pe\u0142nej dowolno\u015bci w wyborze lecz spotykamy si\u0119 z pewnymi, mniejszymi lub wi\u0119kszymi, ograniczeniami. Jednak aby m\u00f3c rozwi\u0105zywa\u0107 problemy bardziej skomplikowane, warto zaj\u0105\u0107 si\u0119 wpierw tymi prostszymi. Tym bardziej, \u017ce nawet i takie problemy jak najbardziej mog\u0105 pojawi\u0107 si\u0119 i pojawiaj\u0105 si\u0119 w rzeczywisto\u015bci. Przyk\u0142adowo je\u017celi na terenie firmy znajduj\u0105 si\u0119 budynki, kt\u00f3re musimy po\u0142\u0105czy\u0107 jakimi\u015b kablami czy du\u017co dro\u017cszymi ruroci\u0105gami lub podziemnymi tunelami, to mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce nie b\u0119dzie nas praktycznie nic ogranicza\u0142o co do ich umiejscowienia. Ka\u017cda oszcz\u0119dno\u015b\u0107 na d\u0142ugo\u015bci potrzebnego ruroci\u0105gu, kana\u0142u czy kabla mo\u017ce prowadzi\u0107 do znacznego ograniczenia koszt\u00f3w. A w przypadku ruroci\u0105g\u00f3w czy tuneli r\u00f3wnie\u017c i do czasu przesy\u0142u tego co ma by\u0107 nimi transportowane lub przez nie pobierane. A jak wiadomo czas to pieni\u0105dz, wi\u0119c optymalne u\u0142o\u017cenie i po\u0142\u0105czenie takich ruroci\u0105g\u00f3w mo\u017ce si\u0119 przek\u0142ada\u0107 na dalsze oszcz\u0119dno\u015bci w przysz\u0142o\u015bci. Np. kr\u00f3tsza d\u0142ugo\u015b\u0107 ruroci\u0105g\u00f3w oznacza zapewne r\u00f3wnie\u017c mniejsze koszty serwisowania jak i mniej awarii.<\/p>\n
\nSformu\u0142ujmy teraz nasz problem matematycznie. We wst\u0119pie powiedzieli\u015bmy o trzech lokalizacjach. Oczywi\u015bcie, mo\u017cemy tr\u00f3jk\u0119 zast\u0105pi\u0107 dowoln\u0105 inn\u0105 liczb\u0105 lokacji. Jednak\u017ce wi\u0119ksza liczba punkt\u00f3w prowadzi do wi\u0119kszego skomplikowania problemu, dlatego w tym wpisie zajmiemy si\u0119 problemem z trzema punktami. Ale do rzeczy.<\/p>\n
\nMatematycznie mamy trzy punkty na p\u0142aszczy\u017anie \\(A, B, C\\) i szukamy takiego punktu \\(D\\), aby suma \\(|AD|+|BD|+|CD|\\) by\u0142a jak najmniejsza. Sp\u00f3jrzmy na rysunek. <\/p>\n
\nProblem ten zosta\u0142 sformu\u0142owany w XVII wieku przez Fermata. Pierwsze, cz\u0119\u015bciowe rozwi\u0105zanie przedstawi\u0142 Evangelista Torricelli. Dlatego szukany punkt \\(D\\) bywa zwany punktem Fermata. Mo\u017cna te\u017c spotka\u0107 si\u0119 z nazwa punkt Fermata-Torricellego, i ta nazwa wydaje si\u0119 poprawniejsza. No ale ju\u017c wr\u00f3\u0107my do postawionego problemu.<\/p>\n
\nW sytuacji, gdy wszystkie trzy punkty le\u017c\u0105 na jednej prostej, to szukanym punktem, minimalizuj\u0105cym sum\u0119 odleg\u0142o\u015bci, jest ten \u015brodkowy, przyjmijmy, \u017ce to \\(B\\). Suma odleg\u0142o\u015bci jest r\u00f3wna wtedy d\u0142ugo\u015bci odcinka \\(AC\\). Natomiast gdy punkty nie le\u017c\u0105 na jednej prostej, to tworz\u0105 tr\u00f3jk\u0105t \\(\\triangle ABC\\). Nietrudno si\u0119 przekona\u0107, \u017ce punkt Fermata-Torricellego \\(D\\) nie mo\u017ce le\u017ce\u0107 na zewn\u0105trz tr\u00f3jk\u0105ta.<\/p>\n
\nPrzed\u0142u\u017cenia wszystkich bok\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) dziel\u0105 p\u0142aszczyzn\u0119 na obszary. Je\u017celi szukany punkt znajduje si\u0119 w jednym z \u017c\u00f3\u0142tych obszar\u00f3w, to \u0142\u0105czymy go ze znajduj\u0105cym si\u0119 naprzeciwko wierzcho\u0142kiem tr\u00f3jk\u0105ta. \u0141atwo zauwa\u017cy\u0107, \u017ce przy poni\u017cszych oznaczeniach zachodzi: \\[|AD|+|BD|+|CD|\\gt |AE|+|BE|+|CE|.\\] ![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktfermata02.png\")
<\/p>\n
\nJe\u017celi natomiast szukany punkt \\(D\\) znajduje si\u0119 w jednym z zielonych obszar\u00f3w,
\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktfermata03.png\")
to nietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce przy poni\u017cszych za\u0142o\u017ceniach, mamy \\[|AD|+|BD|\\gt |AC|+|BC|,\\] a wi\u0119c tym bardziej \\[|AD|+|BD|+|CD|\\gt |AC|+|BC|.\\] Wobec tego dla punktu \\(C\\) suma jego odleg\u0142o\u015bci od wierzcho\u0142k\u00f3w jest mniejsza ni\u017c dla punktu \\(D\\). Zatem szukany punkt \\(D\\), minimalizuj\u0105cy sum\u0119 odleg\u0142o\u015bci od wierzcho\u0142k\u00f3w, le\u017cy na kt\u00f3rym\u015b boku tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) lub w jego wn\u0119trzu. Najpierw przyjrzyjmy si\u0119 tej drugiej opcji.<\/p>\n
\nRozwa\u017cmy tr\u00f3jk\u0105t r\u00f3wnoboczny \\(\\triangle ADD’\\) taki jak na rysunku poni\u017cej. Dodatkowo wykre\u015blmy kolejny tr\u00f3jk\u0105t r\u00f3wnoboczny \\(\\triangle ACB’\\).
\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF004.png\")
<\/p>\n
\nOczywi\u015bcie \\(|AD|=|AD’|\\) oraz \\(|AC|=|AB’|\\). Do tego \\[\\sphericalangle DAC+\\sphericalangle CAD’ = \\sphericalangle CAD’+\\sphericalangle D’AB’ = 60^{\\circ}.\\] Wobec tego \\[\\sphericalangle DAC = \\sphericalangle D’AB’,\\] a st\u0105d wynika, na mocy cechy BKB, \u017ce tr\u00f3jk\u0105ty \\(\\triangle ACD\\) oraz \\(\\triangle AB’D’\\) s\u0105 przystaj\u0105ce. Z tego dostajemy, \u017ce \\[|AD|+|BD|+|CD| = |DD’|+|BD|+|D’B’|.\\] Innymi s\u0142owy, suma odleg\u0142o\u015bci punktu \\(D\\) od wierzcho\u0142k\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) jest r\u00f3wna d\u0142ugo\u015bci \u0142amanej \\(BDD’B’\\).<\/p>\n
\nTeraz wystarczy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce \u0142amana ta ma najmniejsz\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107, gdy jest po prostu odcinkiem \u0142\u0105cz\u0105cym punty \\(B\\) oraz \\(B^{’}\\). Je\u017celi teraz powt\u00f3rzymy konstrukcj\u0119 przy innym boku ni\u017c \\(AC\\), to dostajemy prosty przepis pozwalaj\u0105cy (na og\u00f3\u0142) konstrukcyjnie odnale\u017a\u0107 punkt \\(D\\). Wystarczy na bokach tr\u00f3jk\u0105ta wykre\u015bli\u0107 tr\u00f3jk\u0105ty r\u00f3wnoboczne i po\u0142\u0105czy\u0107 wierzcho\u0142ki jak poni\u017cej. ![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF006.png\")
<\/p>\n
\nDodatkowo zauwa\u017cmy, \u017ce w sytuacji, gdy \u0142amana \\(BDD’B’\\) jest odcinkiem, to \\(\\sphericalangle ADB’ = 60^{\\circ}\\), a wi\u0119c \\(\\sphericalangle ADB= 120^{\\circ}\\). Co za tym idzie r\u00f3wnie\u017c \\(\\sphericalangle ADC = \\sphericalangle BDC = 120^{\\circ}.\\) Z tego r\u00f3wnie\u017c wynika, \u017ce w tr\u00f3jk\u0105cie \\(\\triangle ADB\\) suma k\u0105t\u00f3w przy boku \\(AB\\) jest r\u00f3wna \\(60^{\\circ}\\). Analogicznie w przypadku tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w \\(\\triangle ADC\\) oraz \\(\\triangle BDC\\). Wbrew pozorom ta prosta obserwacja jest bardzo wa\u017cna. Z niej wynika, \u017ce nasza konstrukcja przestaje dzia\u0142a\u0107 gdy, kt\u00f3ry\u015b z k\u0105t\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) ma miar\u0119 wi\u0119ksz\u0105 ni\u017c \\(120^{\\circ}\\).<\/p>\n
\nJe\u017celi k\u0105t przy kt\u00f3rym\u015b wierzcho\u0142ku (np. \\(A\\)) ma miar\u0119 \\(120^{\\circ}\\), to punkt \\(D\\) pokrywa si\u0119 z tym punktem. O czym nietrudno si\u0119 przekona\u0107, gdy\u017c wtedy punkty \\(A, B\\) oraz \\(B’\\) s\u0105 wsp\u00f3\u0142liniowe.
\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF007.png\")
<\/p>\n
\nZa\u015b w sytuacji, gdy k\u0105t przy kt\u00f3rym\u015b wierzcho\u0142ku (np. \\(A\\)) jest wi\u0119kszy ni\u017c \\(120^{\\circ}\\), to punktem Fermata-Torricellego jest w\u0142a\u015bnie wierzcho\u0142ek przy tym k\u0105cie oraz \\[|AD|+|BD|+|CD| = |AB|+|AC|\\] Udowodnimy to pokazuj\u0105c co\u015b og\u00f3lniejszego. Mianowicie, poka\u017cemy \u017ce w takim przypadku, dla dowolnego punktu na p\u0142aszczy\u017anie \\(X\\neq A\\) suma odleg\u0142o\u015bci od wierzcho\u0142k\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) jest wi\u0119ksza ni\u017c \\(|AB|+|AC|\\). A co za tym idzie to w\u0142a\u015bnie wierzcho\u0142ek \\(A\\) jest punktem Fermata-Torricellego. Sp\u00f3jrzmy na rysunek. Co prawda ilustruje on sytuacj\u0119, gdy punkt \\(X\\) jest na zewn\u0105trz tr\u00f3jk\u0105ta, ale rozumowanie dzia\u0142a bez przeszk\u00f3d r\u00f3wnie\u017c gdy jest na lub wewn\u0105trz tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\).
\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF009.png\")
<\/p>\n
\nNiech \\(\\sphericalangle BAC\\gt 120^{\\circ}\\). Obr\u00f3\u0107my tr\u00f3jk\u0105t \\(\\triangle ABX\\) wok\u00f3\u0142 punktu \\(A\\) zgodnie z ruchem wskaz\u00f3wek zegara o k\u0105t \\(\\beta = 180^{\\circ}-\\sphericalangle BAC\\). Otrzymamy wtedy nowy tr\u00f3jk\u0105t \\(\\triangle AB’X’\\). Zauwa\u017cmy, \u017ce:<\/p>\n
\nTeraz wystarczy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce \\[\\begin{array}{llll}& |BX|+|AX|+|CX| & = &\\\\ = & |B’X| + |X’A| + |CX| & \\gt &\\\\ \\gt & |B’X|+|XX’|+|CX| & \\gt & |B’C| = \\\\ = & |AB’|+|AC| & = & |AB|+|AC|\\end{array}.\\] Poniewa\u017c powy\u017csze zachodzi dla ka\u017cdego, r\u00f3\u017cnego od \\(A\\), punktu p\u0142aszczyzny, to pokazali\u015bmy, \u017ce je\u017celi jeden z k\u0105t\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) ma miar\u0119 wi\u0119ksz\u0105 ni\u017c \\(120^{\\circ}\\), to punktem Fermata-Torricellego jest wierzcho\u0142ek przy najwi\u0119kszym k\u0105cie. Dla por\u00f3wnania poni\u017cej rysunek obrazuj\u0105cy sytuacj\u0119, gdy punkt jest wewn\u0105trz lub na kt\u00f3rym\u015b z bok\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta.
\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF010.png\")
<\/p>\n
\nOstatecznie uda\u0142o nam si\u0119 udowodni\u0107, \u017ce:<\/p>\n
![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF006-231x300.png\")
\n<\/li>\n\nW szczeg\u00f3lno\u015bci, punkt Fermata-Torricellego jest jedyny. Interesuj\u0105c\u0105 ciekawostk\u0105 jest to, \u017ce mo\u017cna go r\u00f3wnie\u017c znale\u017a\u0107 wykorzystuj\u0105c prost\u0105 fizyk\u0119. Je\u017celi powiesimy jednakowe masy tak jak poni\u017cej (np. umieszczaj\u0105c w wierzcho\u0142kach kr\u0105\u017cki linowe) i po\u0142\u0105czymy sznurki, na kt\u00f3rych owe masy wisz\u0105, to ich punkt wsp\u00f3lny, w teorii znajdzie si\u0119 w\u0142a\u015bnie w punkcie Fermata. Bior\u0105c pod uwag\u0119 np. tarcie i inne fizyczne efekty oraz niedoskona\u0142o\u015b\u0107 i niedok\u0142adno\u015b\u0107 u\u017cytych materia\u0142\u00f3w, w praktyce znajdzie si\u0119 w jego bliskim pobli\u017cu. \nDo tego, \u017ce z punktu Fermata, o ile nie jest wierzcho\u0142kiem, wida\u0107 poszczeg\u00f3lne boki tr\u00f3jk\u0105ta pod k\u0105tem \\(120^{\\circ}\\) mo\u017cna doj\u015b\u0107 r\u00f3wnie\u017c w inny spos\u00f3b. Za Courantem i Robinsem podamy, z grubsza, inny dow\u00f3d tego faktu, gdy\u017c jest on na tyle ciekawy, \u017ce zas\u0142uguje na przytoczenie. Najpierw jednak przypomnimy pewn\u0105 szkoln\u0105 konstrukcj\u0119.<\/p>\n \nJednym z prostych zada\u0144, z kt\u00f3rym chyba ka\u017cdy spotka\u0142 si\u0119 w szkole (cho\u0107 mo\u017ce nie ka\u017cdy pami\u0119ta), jest znalezienie takiego punktu \\(C\\) na prostej, aby dla punkt\u00f3w \\(A, B\\) suma odleg\u0142o\u015bci \\(|AC|+|BC|\\) by\u0142a jak najmniejsza. \nAle wr\u00f3\u0107my do problemu Fermata. Z wierzcho\u0142ka, przyjmijmy \\(A\\) poprowad\u017amy okr\u0105g \\(K\\) o promieniu \\(|BD|\\), gdzie \\(D\\) jest punktem Fermata. Przyjmijmy, p\u00f3ki co, \u017ce dwa pozosta\u0142e punkty \\(B\\) oraz \\(C\\) le\u017c\u0105 na zewn\u0105trz \\(K\\). \nDla ka\u017cdego punktu \\(E\\) okr\u0119gu odcinek \\(AE\\) ma t\u0119 sam\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u00f3wn\u0105 promieniowi, wi\u0119c punkt \\(D\\) musi by\u0107 tym punktem okr\u0119gu \\(K\\), dla kt\u00f3rego suma \\(|BD|+|CD|\\) jest najmniejsza. Je\u017celi poprowadzimy styczn\u0105 do okr\u0119gu przez punkt \\(D\\), to wobec konstrukcji Herona, zaznaczone na czerwono k\u0105ty s\u0105 sobie r\u00f3wne. \nNasze rozumowanie przeprowadzili\u015bmy przy za\u0142o\u017ceniu, \u017ce punkty \\(B\\) oraz \\(C\\) le\u017c\u0105 na zewn\u0105trz okr\u0119gu. Nietrudno jednak zauwa\u017cy\u0107, \u017ce nie mog\u0105 le\u017ce\u0107 na lub wewn\u0105trz niego. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce np. \\(B\\) le\u017cy na lub wewn\u0105trz okr\u0119gu. \nPostawiony przez Fermata problem to tylko wierzcho\u0142ek g\u00f3ry lodowej. Nietrudno o uog\u00f3lnienia prowadz\u0105ce do ciekawszych problem\u00f3w. Mo\u017cna rozwa\u017ca\u0107 analogiczny problem dla wi\u0119kszej ilo\u015bci punkt\u00f3w i to znajduj\u0105cych si\u0119 niekoniecznie w jednej p\u0142aszczy\u017anie, ale w wy\u017cej wymiarowej przestrzeni. Jako, \u017ce m\u00f3wimy o odleg\u0142o\u015bciach, to mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c pomy\u015ble\u0107 o analogicznym problemie w r\u00f3\u017cnych przestrzeniach metrycznych. Albo mo\u017cemy rozwa\u017ca\u0107 jak maj\u0105c ile\u015b punkt\u00f3w na p\u0142aszczy\u017anie po\u0142\u0105czy\u0107 je liniami o najmniejszej sumie d\u0142ugo\u015bci? W przypadku trzech punkt\u00f3w b\u0119dzie to sie\u0107 utworzona z odcink\u00f3w \u0142\u0105cz\u0105cych owe trzy punkty z ich punktem Fermata-Torricellego. Jednak\u017ce ju\u017c w przypadku czterech punkt\u00f3w sytuacja wygl\u0105da inaczej. Przyk\u0142adowo, je\u017celi we\u017amiemy wierzcho\u0142ki kwadratu o boku 1, to najmniejsza sie\u0107 \u0142\u0105cz\u0105ca wszystkie te wierzcho\u0142ki jest narysowana poni\u017cej na czerwono. R. Courant, H. Robbins<\/strong>, What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods.<\/em>, Oxford Univ. Press (1996). Wyobra\u017amy sobie, \u017ce mamy trzy miejscowo\u015bci i musimy wybra\u0107 lokalizacj\u0119 gazowni, kt\u00f3ra dostarczy do ka\u017cdej z nich gaz. Jak to zrobi\u0107 aby musie\u0107 zu\u017cy\u0107 jak najmniej rur na wybudowanie gazoci\u0105g\u00f3w do tych miejscowo\u015bci? Problemy takiego<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2391,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[59,57,49,37],"tags":[60,67,50,44],"class_list":["post-2367","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-geometria","category-matematyka-szkolna","category-matematyka-teoretyczna","category-zastosowania","tag-geometria","tag-matematyka-rekreacyjna","tag-matematyka-teoretyczna","tag-zastosowania-matematyki"],"yoast_head":"\n
\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF014.png\")
\n ![\"twierdzenie](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktfermata06.png\")
Cz\u0119sto si\u0119 do tego zadania dodaje historyjk\u0119 w stylu, \u017ce np. prosta to rzeka i musimy przyk\u0142adowo punkty \\(A\\) oraz \\(B\\) po\u0142\u0105czy\u0107 z rzek\u0105 jak najkr\u00f3tsz\u0105 drog\u0105. Swoj\u0105 drog\u0105 prawda, \u017ce jest to nieco podobne do naszego problemu? Znalezienie szukanego punktu jest bardzo proste. Odbijamy jeden z punkt\u00f3w (np. \\(A\\)) symetrycznie wzgl\u0119dem prostej otrzymuj\u0105c punkt \\(A^{’}\\). Punkt przeci\u0119cia odcinka \\(A^{’}B\\) z prost\u0105 jest szukanym punktem. Do tego wszystkie cztery zaznaczone k\u0105ty s\u0105 naturalnie sobie r\u00f3wne. Konstrukcja ta pochodzi, zdaje si\u0119, od Herona.<\/p>\n
\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktfermata04.png\")
<\/p>\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktfermata07.png\")
A co za tym idzie r\u00f3wnie\u017c \\[\\sphericalangle ADC = \\sphericalangle ADB.\\] Je\u017celi przeprowadzimy takie samo rozumowanie, ale kre\u015bl\u0105c okr\u0105g o \u015brodku w punkcie \\(B\\) zamiast \\(A\\), to otrzymamy, \u017ce \\[\\sphericalangle ADB = \\sphericalangle ADC = \\sphericalangle BDC = 120^{\\circ}. \\] Innymi s\u0142owy \\(D\\) jest takim punktem, z kt\u00f3rego ko\u0144ce ka\u017cdego boku tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) wida\u0107 pod k\u0105tem \\(120^{\\circ}\\).<\/p>\n![\"punkt](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktfermata08.png\")
W\u00f3wczas \\(|AB|\\leqslant |AD|\\) oraz z nier\u00f3wno\u015bci tr\u00f3jk\u0105ta \\[|BD|+|DC|\\geqslant |BC|.\\] Zatem \\[|AB|+|BC|\\leqslant |AD|+|BD|+|CD|\\] wbrew za\u0142o\u017ceniu, \u017ce to punkt \\(D\\) jest jedynym, kt\u00f3ry minimalizuje sum\u0119 odleg\u0142o\u015bci do wierzcho\u0142k\u00f3w.<\/p>\n![\"drzewo](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/punktF012.png\")
Mamy tutaj nie jeden, lecz dwa nowe punkty. Dodatkowo zaznaczone na czerwone k\u0105ty maj\u0105 miary po \\(120^{\\circ}\\). Nieprzypadkowe podobie\u0144stwo z problemem Fermata! Proste obliczenia pokazuj\u0105, \u017ce d\u0142ugo\u015b\u0107 tej czerwonej sieci jest r\u00f3wna \\(1+\\sqrt{3}\\). Zagadnienie znalezienia takiej sieci minimalnej d\u0142ugo\u015bci \u0142\u0105cz\u0105cej ile\u015b punkt\u00f3w p\u0142aszczyzny to tzw. problem minimalnego drzewa Steinera<\/strong>. No ale to ju\u017c inna historia.<\/p>\nLiteratura<\/h3>\n
\nA. Flores, J. Park<\/strong>, Fermat’s point from five perspectives<\/em>, Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 46 (2015), s. 1-16.
\nJ. Krarup<\/strong>, On Torricelli’s geometrical solution to a problem of Fermat<\/em>, Int. J. Math. Appl. Bus. Ind. 8 (1997), s. 215-224.
\nJ. Krarup, K. Roos<\/strong>, On the Fermat point of a triangle<\/em>, Nieuw Arch. Wiskd. 5 (2017), s. 280-286
\nD. Sokolowsky<\/strong>, A note on the Fermat problem<\/em>, Amer. Math. Monthly 83(4) (1976), s. 276<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"