{"id":2285,"date":"2024-01-28T04:05:46","date_gmt":"2024-01-28T02:05:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=2285"},"modified":"2024-02-05T23:22:38","modified_gmt":"2024-02-05T21:22:38","slug":"pole-kola","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2024\/01\/28\/pole-kola\/","title":{"rendered":"Jak Archimedes pole ko\u0142a policzy\u0142"},"content":{"rendered":"

\nWszyscy znamy ze szko\u0142y wz\u00f3r na pole ko\u0142a. A czy wiemy sk\u0105d si\u0119 wzi\u0105\u0142? Okazuje si\u0119, \u017ce pole ko\u0142a policzy\u0107 umia\u0142 ju\u017c Archimedes. Cho\u0107 nie do ko\u0144ca jego wynik jest tym co znamy ze szko\u0142y. W tym wpisie przedstawimy zaadaptowany do dzisiejszych czas\u00f3w dow\u00f3d Archimedesa.<\/p>\n

\nM\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, Archimedes nie do ko\u0144ca pokaza\u0142, \u017ce pole ko\u0142a jest r\u00f3wne \\(\\pi r^2\\). Pokaza\u0142 natomiast, \u017ce jest ono r\u00f3wne polu tr\u00f3jk\u0105ta prostok\u0105tnego, kt\u00f3rego jedna przyprostok\u0105tna ma d\u0142ugo\u015b\u0107 \\(r\\), a druga jest r\u00f3wna obwodowi. Poniewa\u017c obw\u00f3d ko\u0142a o promieniu \\(r\\) to \\(2\\pi r\\), daje to znany nam wz\u00f3r na pole \\[P=\\dfrac 12\\cdot r\\cdot 2\\pi r=\\pi r^2.\\]
\n\"pole M\u00f3wienie nie o konkretnych liczbach, lecz o tym, \u017ce pole jednej figury jest r\u00f3wne polu innej by\u0142o dosy\u0107 powszechne w\u015br\u00f3d staro\u017cytnych uczonych jak Archimedes.<\/p>\n

\nIdea dowodu Archimedesa by\u0142a bardzo prosta. Polega\u0142a na przybli\u017caniu pola ko\u0142a z do\u0142u i z g\u00f3ry. Przybli\u017canie z do\u0142u odbywa si\u0119 poprzez wpisywanie w ko\u0142o wielok\u0105t\u00f3w foremnych o coraz wi\u0119kszej liczbie bok\u00f3w 4, 8, 16,… . Przy czym, wpisujemy je tak, \u017ce ka\u017cdy wierzcho\u0142ek wielok\u0105ta o \\(n\\) bokach jest jednocze\u015bnie wierzcho\u0142kiem wielok\u0105ta o dwukrotnie wi\u0119kszej liczbie bok\u00f3w.
\n\"pole<\/p>\n

\nNowe wierzcho\u0142ki nast\u0119pnego w kolejno\u015bci wielok\u0105ta s\u0105 \u015brodkami kr\u00f3tszych \u0142uk\u00f3w okr\u0119gu \u0142\u0105cz\u0105cych s\u0105siednie wierzcho\u0142ki wyj\u015bciowego wielok\u0105ta. Wraz ze zwi\u0119kszaj\u0105c\u0105 si\u0119 liczb\u0105 bok\u00f3w, pole wielok\u0105ta zbli\u017ca si\u0119 coraz bardziej do pola ko\u0142a, jednak zawsze pozostaje od niego mniejsze.<\/p>\n

\nNatomiast przybli\u017canie z g\u00f3ry odbywa si\u0119 poprzez opisywanie na kole wielok\u0105t\u00f3w foremnych, r\u00f3wnie\u017c o coraz wi\u0119kszej liczbie bok\u00f3w 4, 8, 16, … .
\n\"pole<\/p>\n

\nTym razem punkty styczno\u015bci z okr\u0119giem wielok\u0105ta o \\(n\\) bokach s\u0105 r\u00f3wnie\u017c punktami styczno\u015bci z okr\u0119giem wielok\u0105ta o \\(2n\\) bokach. Tutaj tak\u017ce, punkty styczno\u015bci z okr\u0119giem nast\u0119pnego wielok\u0105ta powstaj\u0105 jako stosowne \u015brodki \u0142uk\u00f3w. I naturalnie, gdy liczba bok\u00f3w si\u0119 zwi\u0119ksza, to pola wielok\u0105t\u00f3w r\u00f3wnie\u017c coraz bardziej zbli\u017caj\u0105 do pola ko\u0142a. Jednak, poniewa\u017c to ko\u0142o jest wpisane w wielok\u0105ty, to tym razem pole ko\u0142a jest mniejsze od pola ka\u017cdego wielok\u0105ta.<\/p>\n

\nSw\u00f3j dow\u00f3d Archimedes zawar\u0142 w dziele O wymierzaniu ko\u0142a<\/em>. Chocia\u017c powinni\u015bmy si\u0119 cofn\u0105\u0107 do innego dzie\u0142a Archimedesa, tj. do pierwszej cz\u0119\u015bci O kuli i walcu<\/em>, gdzie zawarte s\u0105 za\u0142o\u017cenia, z kt\u00f3rych Archimedes korzysta\u0142. Najpierw jednak przytoczymy dow\u00f3d Archimedesa adoptuj\u0105c go do wsp\u00f3\u0142czesnego j\u0119zyka. Potem za\u015b om\u00f3wimy wspomniane aksjomaty oraz pewne w\u0105tpliwo\u015bci, kt\u00f3re mog\u0105 si\u0119 pojawi\u0107 czytaj\u0105c dow\u00f3d. Ale do rzeczy.<\/p>\n

\nJe\u017celi pole \\(P_K\\) ko\u0142a \\(K\\) jest r\u00f3\u017cne od pola \\(P_T\\) wspomnianego tr\u00f3jk\u0105ta \\(T\\), to jest albo od niego wi\u0119ksze albo mniejsze. Za\u0142\u00f3\u017cmy na pocz\u0105tek, \u017ce pole ko\u0142a jest wi\u0119ksze. W\u00f3wczas \\[P_K-P_T = d\\gt 0.\\] Wa\u017cne jest, \u017ce podwajaj\u0105c liczb\u0119 bok\u00f3w wielok\u0105ta, r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy polem ko\u0142a a wielok\u0105ta zmniejsza si\u0119 ponad dwukrotnie. Poni\u017cszy, pochodz\u0105cy z dowodu twierdzenia 2 dwunastej ksi\u0119gi element\u00f3w, rysunek chyba jest dostatecznie przekonuj\u0105cy.
\n\"metoda <\/p>\n

\nSprawia to (co dopowiemy p\u00f3\u017aniej), \u017ce dojdziemy w ko\u0144cu do momentu gdy otrzymamy wielok\u0105t \\(W_n\\), kt\u00f3rego pole \\(P_n\\) b\u0119dzie r\u00f3\u017cni\u0142o si\u0119 od pola ko\u0142a o mniej ni\u017c \\(d\\). Pole owego wielok\u0105ta jest zatem wi\u0119ksze ni\u017c \\(P_T\\). \u0141\u0105cz\u0105c \u015brodek ko\u0142a z wierzcho\u0142kami \\(W_n\\) mo\u017cemy podzieli\u0107 wielok\u0105t na przystaj\u0105ce tr\u00f3jk\u0105ty r\u00f3wnoramienne jak to pokazano poni\u017cej.
\n\"metoda<\/p>\n

\nOpuszczona ze \u015brodka ko\u0142a wysoko\u015b\u0107 \\(h_w\\) ka\u017cdego z tych tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w jest kr\u00f3tsza ni\u017c promie\u0144 ko\u0142a, kt\u00f3ry ma tak\u0105 sam\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 jak jedna z przyprostok\u0105tnych tr\u00f3jk\u0105ta \\(T\\). Zauwa\u017cmy jeszcze, \u017ce pole wielok\u0105ta \\(W_n\\) jest r\u00f3wne \\[P_n = n\\cdot\\dfrac 12\\cdot h_w\\cdot a = \\dfrac 12\\cdot h_w\\cdot Ob,\\] gdzie \\(Ob\\) to obw\u00f3d wielok\u0105ta. Obw\u00f3d ten jest mniejszy od obwodu ko\u0142a, kt\u00f3ry zarazem ma d\u0142ugo\u015b\u0107 tak\u0105 jak druga przyprostok\u0105tna tr\u00f3jk\u0105ta \\(T\\). Zatem pole wielok\u0105ta \\(W_n\\) jest mniejsze od \\(P_T\\) wbrew za\u0142o\u017ceniu. Czyli pole ko\u0142a nie mo\u017ce by\u0107 wi\u0119ksze od pola tr\u00f3jk\u0105ta \\(T\\).<\/p>\n

\nTeraz za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce pole ko\u0142a jest mniejsze ni\u017c \\(P_T\\). W tej sytuacji \\[P_T-P_K=d\\gt 0.\\] Do tego niech \\(W_n\\) b\u0119dzie tym razem wielok\u0105tem foremnym opisanym na kole, a \\(P_n\\) jego polem. Pierwsz\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 dowodu przeprowadzimy, dla prostoty, dla kwadratu, ale mo\u017cna j\u0105 zastosowa\u0107 dla pozosta\u0142ych wielok\u0105t\u00f3w. Tak zreszt\u0105 w zasadzie zrobi\u0142 Archimedes. Za\u0142\u00f3\u017cmy wi\u0119c, \u017ce mamy na kole opisany kwadrat. Punkty styczno\u015bci kwadratu z okr\u0119giem dziel\u0105 okr\u0105g na cztery \u0142uki. Ka\u017cdy z nich podzielmy na po\u0142owy otrzymuj\u0105c nowe punkty. Np. punkt \\(D\\) jest \u015brodkiem \u0142uku \\(\\overset{\\LARGE\\frown}{FDE}\\). Poprowad\u017amy styczne do okr\u0119gu przez te nowe punkty.
\n\"pole <\/p>\n

\nW tym momencie kluczow\u0105 rzecz\u0105 jest pokazanie, \u017ce podwajaj\u0105c liczb\u0119 bok\u00f3w wielok\u0105ta opisanego, r\u00f3\u017cnica \\[d_n=P_n-P_K\\] zmniejsza si\u0119 ponad dwukrotnie, tj. \\[d_{2n}\\lt\\dfrac{d_n}{2}\\] Co\u015b podobnego pojawi\u0142o si\u0119 w pierwszej cz\u0119\u015bci dowodu. Poka\u017cemy to p\u00f3\u017aniej. Teraz zobaczmy w jaki spos\u00f3b wykorzysta\u0142 to Archimedes. Przy za\u0142o\u017ceniu, \u017ce to prawda, podwajaj\u0105c liczb\u0119 bok\u00f3w opisanego wielok\u0105ta, pr\u0119dzej czy p\u00f3\u017aniej dojdziemy do momentu, gdy \\(d_n\\lt d\\), tj. gdy pole wielok\u0105ta b\u0119dzie wi\u0119ksze od pola ko\u0142a o mniej ni\u017c \\(d\\). W szczeg\u00f3lno\u015bci, pole wielok\u0105ta \\(W_n\\) b\u0119dzie mniejsze ni\u017c pole tr\u00f3jk\u0105ta \\(T\\).<\/p>\n

\nAle zauwa\u017cmy, \u017ce tak jak wcze\u015bniej, mo\u017cemy wielok\u0105t podzieli\u0107 na tr\u00f3jk\u0105ty.
\n\"metoda Poprowadzona ze \u015brodka ko\u0142a wysoko\u015b\u0107 ka\u017cdego z tych tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w r\u00f3wna jest promieniowi. Teraz wystarczy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce obw\u00f3d wielok\u0105ta jest wi\u0119kszy ni\u017c obw\u00f3d ko\u0142a bo przypomnijmy, \u017ce pole wielok\u0105ta jest r\u00f3wne \\[P_n=\\dfrac 12\\cdot h_w\\cdot Ob,\\] gdzie \\(Ob\\) to jego obw\u00f3d, a \\(h_w\\) to d\u0142ugo\u015b\u0107 narysowanej wysoko\u015bci. Co wobec tego, i\u017c \\(h_w=r\\) daje nam, \u017ce \\[P_n=\\dfrac 12 \\cdot r\\cdot Ob.\\] Z tego wynika, \u017ce pole wielok\u0105ta jest jednak wi\u0119ksze od pola tr\u00f3jk\u0105ta bo, obw\u00f3d wielok\u0105ta jest wi\u0119kszy od obwodu ko\u0142a, kt\u00f3ry z kolei ma tak\u0105 sam\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 jak d\u0142u\u017csza przyprostok\u0105tna tr\u00f3jk\u0105ta \\(T\\). Otrzymali\u015bmy znowu sprzeczno\u015b\u0107 dowodz\u0105c\u0105, \u017ce pole ko\u0142a r\u00f3wnie\u017c nie mo\u017ce by\u0107 mniejsze od pola tr\u00f3jk\u0105ta \\(T\\). Ostatecznie \\[P_T=P_K\\]<\/p>\n

\nOpr\u00f3cz pomini\u0119tych cz\u0119\u015bci jest jeszcze kilka rzeczy w przytoczonym dowodzie, kt\u00f3re nale\u017cy wyja\u015bni\u0107, a kt\u00f3re, co zrozumia\u0142e, mog\u0105 wydawa\u0107 si\u0119 oczywiste. Zw\u0142aszcza patrz\u0105c z perspektywy matematyki wsp\u00f3\u0142czesnej. Czy aby na pewno Archimedes nie pomin\u0105\u0142 jakich\u015b szczeg\u00f3\u0142\u00f3w? Pami\u0119tajmy, \u017ce w dowodzie Archimedesa pr\u00f3\u017cno szuka\u0107 wzmianek typu, \u017ce co\u015b wynika z tego i tego twierdzenia. Mimo to Archimedes podchodzi\u0142 do sprawy dowodzenia nader powa\u017cnie. Jak zreszt\u0105 i inni staro\u017cytni matematycy.<\/p>\n

\nKluczowe b\u0119dzie to czy potrafi\u0142 pokaza\u0107 fakt, z kt\u00f3rego korzysta\u0142 niejawnie w dowodzie lub czy ewentualnie by\u0142 on mu znany z innych \u017ar\u00f3de\u0142. Mianowicie to, \u017ce z faktu i\u017c \\[d_{2n}\\lt\\dfrac{d_n}{2}\\] wynika, \u017ce otrzymamy w ko\u0144cu \\(d_{k}\\), kt\u00f3re b\u0119dzie dowolnie ma\u0142e, b\u0119dzie mniejsze od dowolnej liczby \\(\\epsilon\\gt 0\\). Nie wspominaj\u0105c o takich faktach, jak to, \u017ce np. obw\u00f3d wielok\u0105ta opisanego jest wi\u0119kszy ni\u017c obw\u00f3d ko\u0142a. Ale najpierw zajmijmy si\u0119 pomini\u0119tymi cz\u0119\u015bciami dowodu.<\/p>\n

\n

\n

Na pocz\u0105tek przypomnijmy rysunek.
\n\"pole Zauwa\u017cmy, \u017ce \\(|BD|=|BE|\\) bo s\u0105 one poprowadzone z \\(B\\) do punkt\u00f3w styczno\u015bci z okr\u0119giem. Do tego \\[|BC|\\gt |BD|=|BE|,\\] bo \\(|BC|\\) to przeciwprostok\u0105tna, a wi\u0119c najd\u0142u\u017cszy bok, tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle BCD\\). Do tego wysoko\u015b\u0107 \\(DG\\) jest wsp\u00f3ln\u0105 wysoko\u015bci\u0105 tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w \\(\\triangle BCD\\) oraz \\(\\triangle BDE\\).
\n\"archimedes\" Podsumowuj\u0105c, pole tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle BCD\\) jest wi\u0119ksze ni\u017c pole \\(\\triangle BDE\\). Ze wzgl\u0119du na symetri\u0119, pole tr\u00f3jk\u0105ta \\(\\triangle ABC\\) jest wi\u0119ksze ni\u017c pole wielok\u0105ta b\u0119d\u0105cego sum\u0105 tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w \\(\\triangle AFD\\) oraz \\(\\triangle BDE\\). A wi\u0119c w szczeg\u00f3lno\u015bci jest wi\u0119ksze od zaznaczonego poni\u017cej na ciemnoniebiesko pola r\u00f3wnego \\(d_8\\).
\n\"pole <\/p>\n

\nZatem \\[d_8\\lt \\dfrac{d_4}{2}.\\] Powy\u017csze rozumowanie mo\u017cna bez zmian przenie\u015b\u0107 na sytuacj\u0119 og\u00f3ln\u0105, gdy z wielok\u0105ta o \\(2^k\\) bokach przechodzimy do wielok\u0105ta o \\(2^{k+1}\\) bokach dla pewnego \\(k\\gt 1\\). Tak mniej wi\u0119cej wygl\u0105da\u0142 dow\u00f3d Archimedesa, z kt\u00f3rym mo\u017cna si\u0119 zapozna\u0107 np. w tym miejscu<\/a>. Jest to angielskie wydanie dzie\u0142 Archimedesa. Jest tam m.in. O wymierzaniu ko\u0142a<\/em> jak r\u00f3wnie\u017c O kuli i walcu<\/em>. Polskiej wersji niestety nie uda\u0142o mi si\u0119 znale\u017a\u0107.<\/p>\n

\nTeraz troch\u0119 si\u0119 cofnijmy do tego jakie w og\u00f3le za\u0142o\u017cenia przyjmowa\u0142 Archimedes. Na pocz\u0105tku dzie\u0142a O kuli i walcu<\/em> Archimedes umie\u015bci\u0142 pi\u0119\u0107 aksjomat\u00f3w, kt\u00f3re uzna\u0142 za niewymagaj\u0105ce dowodzenia. Taka praktyka nie by\u0142a niczym nadzwyczajnym w staro\u017cytno\u015bci. Wystarczy cho\u0107by wspomnie\u0107 aksjomaty Euklidesa. Za aksjomaty przyjmowano w\u0142asno\u015bci, kt\u00f3re s\u0105 na tyle oczywiste, \u017ce uznano i\u017c nie trzeba ich udowadnia\u0107 i korzystaj\u0105c z nich dowodzono dalszych w\u0142asno\u015bci i twierdze\u0144. W ko\u0144cu od czego\u015b trzeba zawsze zacz\u0105\u0107! Aksjomatyzacja jest w matematyce czym\u015b powszechnym. Proces, w kt\u00f3rym wy\u0142uskujemy kluczowe w\u0142asno\u015bci z jakich\u015b wa\u017cnych matematycznych obiekt\u00f3w by przyj\u0105\u0107 je za wst\u0119p do nowej definicji jest powszechny w matematyce. Przyk\u0142adowo takie w\u0142asno\u015bci dodawania liczb ca\u0142kowitych jak: <\/p>\n