{"id":2202,"date":"2023-08-16T22:01:30","date_gmt":"2023-08-16T20:01:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=2202"},"modified":"2023-09-28T23:05:29","modified_gmt":"2023-09-28T21:05:29","slug":"paradoks-simpsona","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/","title":{"rendered":"Paradoks Simpsona"},"content":{"rendered":"

\nCzy mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce w ka\u017cdej grupie wiekowej (wg jakiego\u015b podzia\u0142u) pewna choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn ni\u017c u kobiet, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to jest na odwr\u00f3t, \u017ce wyst\u0119puje cz\u0119\u015bciej u kobiet? Okazuje si\u0119, \u017ce mo\u017ce. M\u00f3wi o tym paradoks Simpsona.
\n<\/p>\n

\nW 1973 roku okaza\u0142o si\u0119, \u017ce istotnie wi\u0119kszy odsetek m\u0119\u017cczyzn ni\u017c kobiet zosta\u0142 przyj\u0119ty na Uniwersytet Berkeley. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, spo\u015br\u00f3d m\u0119\u017cczyzn, kt\u00f3rzy aplikowali, przyj\u0119tych zosta\u0142o 44%. Natomiast, je\u015bli chodzi o kobiety, to przyj\u0119tych zosta\u0142o 35%. R\u00f3\u017cnica jak wida\u0107 jest niema\u0142a. Sprawi\u0142o to, \u017ce Uniwersytet Berkeley zosta\u0142 pos\u0105dzony o dyskryminacj\u0119 kobiet. Sp\u00f3jrzmy jednak na dane, w tym wypadku, dotycz\u0105ce kilku wydzia\u0142\u00f3w z najwi\u0119ksz\u0105 liczb\u0105 kandydat\u00f3w.
\n\"paradoks Jak widzimy spo\u015br\u00f3d tych wydzia\u0142\u00f3w, jedynie na dw\u00f3ch (C oraz E) odsetek przyj\u0119tych kandydat\u00f3w jest wi\u0119kszy (i to nieznacznie) ni\u017c kandydatek. Mimo tego, gdy spojrzymy na ca\u0142o\u015b\u0107, to procentowo wi\u0119cej przyj\u0119to na te wydzia\u0142y m\u0119\u017cczyzn ni\u017c kobiet.<\/p>\n

\nW tym konkretnym przypadku wynika to z faktu, \u017ce na og\u00f3\u0142 wi\u0119cej kobiet ni\u017c m\u0119\u017cczyzn stara si\u0119 o przyj\u0119cie na wydzia\u0142y, kt\u00f3re przyjmuj\u0105 ma\u0142o kandydat\u00f3w. Zw\u0142aszcza sp\u00f3jrzmy na wydzia\u0142y A oraz B. Do tego wi\u0119cej m\u0119\u017cczyzn sk\u0142ada podania na te przyjmuj\u0105ce sporo os\u00f3b. Zanim przejdziemy do matematycznego opisu tego co si\u0119 w\u0142a\u015bciwie tutaj sta\u0142o, sp\u00f3jrzmy na jeszcze jeden przyk\u0142ad. B\u0119dzie to przyk\u0142ad nie pokazuj\u0105cy \u017cadnych danych prawdziwych, stworzony jedynie ze wzgl\u0119d\u00f3w edukacyjnych.<\/p>\n

\nZa\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce mamy pewn\u0105 chorob\u0119 X i chcemy wiedzie\u0107 czy np. p\u0142e\u0107 i\/lub wiek maj\u0105 wp\u0142yw na zachorowanie na ni\u0105. W tym celu przebadano 5000 tysi\u0119cy os\u00f3b. Grup\u0119 t\u0119 podzielmy wzgl\u0119dem p\u0142ci, na m\u0119\u017cczyzn oraz kobiety. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce jest w niej 2000 m\u0119\u017cczyzn oraz 3000 kobiet. Dodatkowo podzielmy tych ludzi r\u00f3wnie\u017c wzgl\u0119dem wieku. Dla prostoty, jedynie na dwie grupy: np. na tych do 45 roku \u017cycia w\u0142\u0105cznie i starszych. Dok\u0142adny podzia\u0142 przedstawiono w poni\u017cszej tabeli, gdzie r\u00f3wnie\u017c s\u0105 dane dotycz\u0105ce liczby os\u00f3b chorych i zdrowych.
\n\"paradoks<\/p>\n

\nJak widzimy, zar\u00f3wno w grupie os\u00f3b do 45 roku \u017cycia jak i u tych maj\u0105cych wi\u0119cej ni\u017c 45 lat, wi\u0119kszy odsetek chorych jest w\u015br\u00f3d kobiet ni\u017c m\u0119\u017cczyzn. Mimo tego, je\u017celi spojrzymy ca\u0142o\u015bciowo na przebadane osoby, to okazuje si\u0119, \u017ce wi\u0119kszy odsetek chorych jest w\u015br\u00f3d m\u0119\u017cczyzn.<\/p>\n

\nSpr\u00f3bujmy teraz oba powy\u017csze przyk\u0142ady opisa\u0107 matematycznie. Na pocz\u0105tku mamy pewn\u0105 przestrze\u0144 zdarze\u0144 elementarnych \\(\\Omega\\). Mo\u017cemy j\u0105 uto\u017csamia\u0107 np. z pewn\u0105 populacj\u0105 typu studenci, osoby poddane jakim\u015b badaniom itp. Dzielimy j\u0105 na dwie roz\u0142\u0105czne (i niepuste) cz\u0119\u015bci. M\u00f3wi\u0105c \u015bci\u015blej, wyodr\u0119bniamy pewne zdarzenie \\(B\\subset\\Omega\\), gdzie \\(0\\lt P(B)\\lt 0\\), kt\u00f3re daje nam rozk\u0142ad \\[\\Omega=B\\cup B^{’},\\] kt\u00f3ry graficznie mo\u017cemy przedstawi\u0107 tak:
\n\"paradoks<\/p>\n

\nOdpowiada to np. podzia\u0142owi populacji na kobiety oraz m\u0119\u017cczyzn. Nast\u0119pnie bierzemy pewne zdarzenie \\(A\\subset\\Omega\\). Mo\u017ce ono oznacza\u0107 np. osoby chore lub podania na studia rozpatrzone pozytywnie. Pozwala nam to rozwa\u017ca\u0107 prawdopodobie\u0144stwa warunkowe<\/a> \\[P(A|B)\\textrm{ oraz } P(A|B^{’}).\\] Mo\u017cemy si\u0119 w takiej sytuacji zastanawia\u0107, kt\u00f3re z nich jest wi\u0119ksze. <\/p>\n

\nPoniewa\u017c \\(P(A|B)\\) to nic innego jak prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia \\(A\\), w sytuacji gdy ograniczymy nasz\u0105 przestrze\u0144 zdarze\u0144 elementarnych \\(\\Omega\\) do zbioru \\(B\\) (przy czym \\(P(B)>0\\)), to b\u0119dziemy stosowa\u0107 r\u00f3wnie\u017c niestandardowe oznaczenie \\(P_B(A)\\) aby uwypukli\u0107 ten fakt. W mniejszej przestrzeni \\(B\\) tak\u017ce mo\u017cemy rozwa\u017ca\u0107 prawdopodobie\u0144stwa warunkowe, kt\u00f3re r\u00f3wnie\u017c b\u0119dziemy oznacza\u0107 niestandardowo \\(P_B(C|D)\\). Taka notacja wydaje si\u0119 bardziej intuicyjna na potrzeby tego wpisu ni\u017c powszechnie przyj\u0119ta \\(P(B|C,D)\\).<\/p>\n

\nMamy wi\u0119c p\u00f3ki co sytuacj\u0119 wygl\u0105daj\u0105c\u0105 nast\u0119puj\u0105co:
\n\"paradoks<\/p>\n

\nRozwa\u017camy prawdopodobie\u0144stwa warunkowe \\(P(A|B)\\) oraz \\(P(A|B^{’})\\). Na og\u00f3\u0142 jedno z tych prawdopodobie\u0144stw b\u0119dzie wi\u0119ksze ni\u017c drugie. Dajmy na to niech \\(P(A|B)>P(A|B^{’})\\)<\/p>\n

\nParadoks Simpsona mo\u017ce pojawi\u0107 si\u0119 w sytuacji, gdy zbi\u00f3r zdarze\u0144 elementarnych \\(\\Omega\\) rozbijemy na mniejsze i roz\u0142\u0105czne podzbiory. Dok\u0142adniej niech \\[\\Omega=C_1\\cup C_2\\cup\\ldots\\cup C_n\\] gdzie \\[P(C_i)\\neq 0 \\textrm{ dla } i\\in\\{1,2,\\ldots, n\\}\\] oraz \\[C_i\\cap C_j=\\emptyset\\textrm{ dla } i\\neq j\\] W tych ograniczonych podzbiorach (czy te\u017c podpopulacjach) mo\u017cemy, tak jak w przypadku ca\u0142ej przestrzeni \\(\\Omega\\) rozwa\u017ca\u0107 prawdopodobie\u0144stwa warunkowe \\(A\\) pod warunkiem \\(B\\) (czy te\u017c \\(B^{’}\\)). Tj. prawdopodobie\u0144stwa \\[P_{C_i}(A|B)\\textrm{ oraz }P_{C_i}(A|B^{’}).\\] Z paradoksem Simpsona mamy do czynienia, gdy w co najmniej wi\u0119kszo\u015bci podzbior\u00f3w \\(C_i\\) zale\u017cno\u015b\u0107 mi\u0119dzy prawdopodobie\u0144stwami \\(P_{C_i}(A|B)\\) oraz \\(P_{C_i}(A|B^{’})\\) jest odwrotna ni\u017c pomi\u0119dzy \\(P(A|B)\\) a \\(P(A|B^{’})\\).<\/p>\n

\nDotychczasowe dwa przyk\u0142ady pokazuj\u0105, \u017ce taka sytuacja jest mo\u017cliwa. W przypadku Uniwersytetu Berkeley za przestrze\u0144 \\(\\Omega\\) mo\u017cemy przyj\u0105\u0107 zbi\u00f3r wszystkich poda\u0144 na studia. Podzia\u0142 na m\u0119\u017cczyzn i kobiety by\u0142 naszym podzia\u0142em na \\(B\\) oraz \\(B^{’}\\). Za\u015b zdarzenie \\(A\\) oznacza\u0142o, \u017ce podanie zosta\u0142o rozpatrzone pozytywnie. Nast\u0119pnie zbi\u00f3r poda\u0144 zosta\u0142 podzielony na poszczeg\u00f3lne wydzia\u0142y, co odpowiada podzia\u0142owi na podzbiory \\(C_i\\). Okaza\u0142o si\u0119, \u017ce gdy rozpatrze\u0107 ca\u0142o\u015b\u0107, to \\[P(A|B)>P(A|B^{’}),\\] o ile przyj\u0105\u0107, \u017ce \\(B\\) to m\u0119\u017cczy\u017ani. Gdy jednak spojrzy si\u0119 na stosowne prawdopodobie\u0144stwa na poszczeg\u00f3lnych wydzia\u0142ach, to w wi\u0119kszo\u015bci z nich sytuacja jest odwrotna. Na og\u00f3\u0142 zachodzi \\[P_{C_i}(A|B)\\lt P_{C_i}(A|B^{’}).\\] Czyli wyst\u0105pi\u0142 tutaj paradoks Simpsona. <\/p>\n

\nNa pierwszy rzut oka mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 zaskakuj\u0105ce, \u017ce np. m\u0119\u017cczy\u017ani mog\u0105 mie\u0107 wi\u0119ksz\u0105 szans\u0119 na zachorowanie na pewn\u0105 chorob\u0119, mimo i\u017c w ka\u017cdej (wg pewnego podzia\u0142u) grupie wiekowej wi\u0119ksze szanse na zachorowanie maj\u0105 kobiety. Istnienie paradoksu Simpsona (w tym wypadku dla jedynie dw\u00f3ch podpopulacji) wynika z tego, \u017ce istniej\u0105 u\u0142amki spe\u0142niaj\u0105ce zestaw zale\u017cno\u015bci: \\[\\frac ab\\lt\\frac cd,\\ \\frac AB\\lt\\frac CD\\textrm{ oraz }\\frac{a+A}{b+B}\\gt\\frac{c+C}{d+D}.\\]<\/p>\n

\nTaki zestaw zale\u017cno\u015bci mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 paradoksalny lub co najmniej nieintuicyjny na pierwszy rzut oka! Wystarczy jednak spojrze\u0107 na poni\u017cszy rysunek, aby ju\u017c taki nieintuicyjny nie by\u0142.
\n\"paradoks<\/p>\n

\nWsp\u00f3\u0142czynnik kierunkowy prostej przechodz\u0105cej przez punkty \\((0,0)\\) oraz \\((b,a)\\) jest r\u00f3wny \\(\\frac ab\\). Jest on mniejszy ni\u017c wsp\u00f3\u0142czynnik analogicznej prostej wyznaczonej przez punkt \\((d,c)\\). Oznacza to, \u017ce \\[\\frac ab\\lt\\frac cd.\\] Analogiczn\u0105 sytuacj\u0119 w przypadku punkt\u00f3w \\((B,A)\\) oraz \\((D,C)\\). Wsp\u00f3\u0142czynnik kierunkowy prostej przechodz\u0105cej przez \\((0,0)\\) oraz \\((B,A)\\) jest r\u00f3wny \\(\\frac AB\\) i jest mniejszy od wsp\u00f3\u0142czynnika kierunkowego prostej przechodz\u0105cej przez \\((0,0)\\) oraz \\((D,C)\\), kt\u00f3ry jest r\u00f3wny \\(\\frac CD\\). To z kolei oznacza, \u017ce \\[\\frac AB\\lt\\frac CD.\\] Mimo to, dodawszy stosowne wektory, jak na rysunku, okazuje si\u0119, \u017ce wsp\u00f3\u0142czynnik kierunkowy prostej wyznaczonej przez \\((b+B,a+A)\\) jest wi\u0119kszy ni\u017c w przypadku \\((d+D,c+C)\\). Tzn. \\[\\frac{a+A}{b+B}\\gt\\frac{c+C}{d+D}.\\] Wida\u0107 to dobitnie na rysunku. Spr\u00f3bujmy teraz ten rysunek przet\u0142umaczy\u0107 na j\u0119zyk prawdopodobie\u0144stw w przypadku gdy dokonali\u015bmy rozbicia przestrzeni \\(\\Omega\\) na \\(C_1\\) oraz \\(C_2\\).<\/p>\n

\nZauwa\u017cmy, \u017ce \\[P_{C_i}(A|B)=\\dfrac{P(A\\cap B\\cap C_i)}{P(B\\cap C_i)},\\] oraz \\[P(A|B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}.\\] Dodatkowo zbiory \\(C_i\\) s\u0105 z za\u0142o\u017cenia roz\u0142\u0105czne, zatem \\[P(A\\cap B)=P(A\\cap B\\cap C_1)+P(A\\cap B\\cap C_2).\\] Wobec tego mo\u017cemy przyj\u0105\u0107, \u017ce \\[a=P(A\\cap B\\cap C_1),\\ c=P(A\\cap B^{’}\\cap C_1)\\] i analogicznie
\n\\[A=P(A\\cap B\\cap C_2),\\ C=P(A\\cap B^{’}\\cap C_2)\\] St\u0105d wynika, \u017ce r\u00f3wnie\u017c \\[b=P(B\\cap C_1), d=P(B^{’}\\cap C_1), B=P(B\\cap C_2), D=P(B^{’}\\cap C_2)\\]<\/p>\n

\nO paradoksie Simpsona mo\u017cemy my\u015ble\u0107 w inny spos\u00f3b. Wyobra\u017amy sobie, \u017ce badamy zale\u017cno\u015b\u0107 mi\u0119dzy dwoma cechami ludzi w jakiej\u015b populacji. I ka\u017cdej badanej osobie przypisujemy odpowiednie warto\u015bci liczbowe tych\u017ce cech. Mo\u017cemy w tej sytuacji bada\u0107 ich wsp\u00f3\u0142czynnik korelacji. I je\u017celi podzielimy populacj\u0119 na mniejsze podpopulacje (np. wzgl\u0119dem wieku), to mo\u017ce si\u0119 okaza\u0107, \u017ce w mniejszych podpopulacjach wsp\u00f3\u0142czynnik korelacji b\u0119dzie np. dodatni, podczas gdy w ca\u0142ej populacji ujemny. Dosy\u0107 dobrze wida\u0107 to na poni\u017cszym rysunku.
\n

\"\"
Pace~svwiki, CC BY-SA 4.0 , via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Czy mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce w ka\u017cdej grupie wiekowej (wg jakiego\u015b podzia\u0142u) pewna choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn ni\u017c u kobiet, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to jest na odwr\u00f3t, \u017ce wyst\u0119puje<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2236,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[23,24,43],"tags":[62,22,44],"class_list":["post-2202","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-paradoksy","category-prawdopodobienstwo","category-zastosowania-matematyki","tag-paradoksy","tag-prawdopodobienstwo","tag-zastosowania-matematyki"],"yoast_head":"\nParadoks Simpsona<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Czy mo\u017ce by\u0107 tak, \u017ce w ka\u017cdym wieku choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to u kobiet? Mo\u017ce! To tzw. paradoks Simpsona.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Paradoks Simpsona\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Czy mo\u017ce by\u0107 tak, \u017ce w ka\u017cdym wieku choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to u kobiet? Mo\u017ce! To tzw. paradoks Simpsona.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-16T20:01:30+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2023-09-28T21:05:29+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"974\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"323\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"8 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Paradoks Simpsona\",\"datePublished\":\"2023-08-16T20:01:30+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-28T21:05:29+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/\"},\"wordCount\":1641,\"commentCount\":2,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png\",\"keywords\":[\"Paradoksy\",\"Prawdopodobie\u0144stwo\",\"Zastosowania matematyki\"],\"articleSection\":[\"Paradoksy\",\"Prawdopodobie\u0144stwo\",\"Zastosowania matematyki\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/\",\"name\":\"Paradoks Simpsona\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png\",\"datePublished\":\"2023-08-16T20:01:30+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-28T21:05:29+00:00\",\"description\":\"Czy mo\u017ce by\u0107 tak, \u017ce w ka\u017cdym wieku choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to u kobiet? Mo\u017ce! To tzw. paradoks Simpsona.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png\",\"width\":974,\"height\":323},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Paradoks Simpsona\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Paradoks Simpsona","description":"Czy mo\u017ce by\u0107 tak, \u017ce w ka\u017cdym wieku choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to u kobiet? Mo\u017ce! To tzw. paradoks Simpsona.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Paradoks Simpsona","og_description":"Czy mo\u017ce by\u0107 tak, \u017ce w ka\u017cdym wieku choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to u kobiet? Mo\u017ce! To tzw. paradoks Simpsona.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2023-08-16T20:01:30+00:00","article_modified_time":"2023-09-28T21:05:29+00:00","og_image":[{"width":974,"height":323,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"8 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Paradoks Simpsona","datePublished":"2023-08-16T20:01:30+00:00","dateModified":"2023-09-28T21:05:29+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/"},"wordCount":1641,"commentCount":2,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png","keywords":["Paradoksy","Prawdopodobie\u0144stwo","Zastosowania matematyki"],"articleSection":["Paradoksy","Prawdopodobie\u0144stwo","Zastosowania matematyki"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/","name":"Paradoks Simpsona","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png","datePublished":"2023-08-16T20:01:30+00:00","dateModified":"2023-09-28T21:05:29+00:00","description":"Czy mo\u017ce by\u0107 tak, \u017ce w ka\u017cdym wieku choroba wyst\u0119puje procentowo cz\u0119\u015bciej u m\u0119\u017cczyzn, a jak si\u0119 spojrzy na ca\u0142\u0105 populacj\u0119, to u kobiet? Mo\u017ce! To tzw. paradoks Simpsona.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/simspon05xx.png","width":974,"height":323},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/08\/16\/paradoks-simpsona\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Paradoks Simpsona"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2202","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2202"}],"version-history":[{"count":35,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2202\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2263,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2202\/revisions\/2263"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2236"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2202"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2202"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2202"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}