\nGdyby\u015bmy mieli dwa du\u017ce worki ziemniak\u00f3w i dostali zadanie stwierdzenia, w kt\u00f3rym z nich jest wi\u0119cej tych\u017ce ziemniak\u00f3w, to mo\u017cna by to by\u0142o zrobi\u0107 bardzo \u0142atwo. Wystarczy\u0142oby policzy\u0107 ile jest ziemniak\u00f3w w jednym worku, a ile w drugim. A mo\u017ce mogliby\u015bmy sobie jako\u015b \u017cycie u\u0142atwi\u0107? W ko\u0144cu nie musimy wiedzie\u0107 ile jest ziemniak\u00f3w w ka\u017cdym z work\u00f3w, tylko w kt\u00f3rym jest wi\u0119cej. Zerknijmy na inny przyk\u0142ad.<\/p>\n
\nWyobra\u017amy sobie, \u017ce przybyli\u015bmy na pewne przyj\u0119cie. Przybyli\u015bmy jako pierwsi wi\u0119c mo\u017cemy zobaczy\u0107 puste miejsca zaproszonych go\u015bci. Przy ka\u017cdym znajduje si\u0119 talerz wraz z widelcem oraz no\u017cem. Gdyby si\u0119 okaza\u0142o, \u017ce np. widelc\u00f3w jest za ma\u0142o, to by\u015bmy byli w stanie dostrzec to bardzo szybko. W takiej sytuacji by\u0142by co najmniej jeden talerz jedynie z no\u017cem, bez widelca. Przy za\u0142o\u017ceniu naturalnie, \u017ce osoby odpowiedzialne za nakrywanie do sto\u0142\u00f3w zawsze k\u0142ad\u0105 przy talerzu n\u00f3\u017c oraz widelec gdy oba s\u0105 dost\u0119pne. \nI to jest w\u0142a\u015bnie idea por\u00f3wnywania zbior\u00f3w niesko\u0144czonych! Zamiast liczy\u0107 elementy b\u0119dziemy \u0142\u0105czy\u0107 je w pary!! Je\u017celi znajdziemy spos\u00f3b na sparowanie wszystkich element\u00f3w obu zbior\u00f3w, to oznacza to, \u017ce maj\u0105 one tyle po samo element\u00f3w. Prze\u015bled\u017amy t\u0119 ide\u0119 najpierw na przyk\u0142adzie sko\u0144czonym, tj. na przyk\u0142adzie z naszymi ziemniakami. P\u00f3\u017aniej przejdziemy do niesko\u0144czono\u015bci. Cho\u0107 w przypadku niesko\u0144czonym b\u0119dziemy musieli by\u0107 bardzo ostro\u017cni. \u015awiat niesko\u0144czony istotnie r\u00f3\u017cni si\u0119 od sko\u0144czonego! <\/p>\n \nW przyk\u0142adzie z ziemniakami mieli\u015bmy dwa ogromne worki ziemniak\u00f3w. Naszym celem jest stwierdzenie, w kt\u00f3rym z nich znajduje si\u0119 ich wi\u0119cej. Mo\u017cemy to zrobi\u0107 bez liczenia. Wystarczy jednocze\u015bnie wyci\u0105ga\u0107 z ka\u017cdego worka po jednym ziemniaku. Czyli wk\u0142adamy lew\u0105 r\u0119k\u0119 do jednego worka, praw\u0105 do drugiego, \u0142apiemy po ziemniaku, wyci\u0105gamy i odk\u0142adamy. Je\u017celi liczba ziemniak\u00f3w w workach si\u0119 r\u00f3\u017cni, to pr\u0119dzej czy p\u00f3\u017aniej dojdziemy do momentu, w kt\u00f3rym jeden worek b\u0119dzie pusty, a drugi nie. Ten, w kt\u00f3rym zosta\u0142 co najmniej jeden ziemniak jest tym, gdzie by\u0142o wi\u0119cej ziemniak\u00f3w. Tym sposobem nie trzeba sobie zaprz\u0105ta\u0107 g\u0142owy jakimkolwiek liczeniem. Nale\u017cy jedynie pilnowa\u0107 aby w ka\u017cdym kroku wyci\u0105ga\u0107 jednocze\u015bnie po jednym ziemniaku z ka\u017cdego worka.<\/p>\n \nMo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107, \u017ce w przypadku niesko\u0144czonym taki pomys\u0142 nie zadzia\u0142a bo przecie\u017c r\u00f3wnie\u017c nigdy takiego wyci\u0105gania by\u015bmy nie sko\u0144czyli. Wi\u0119c jak tu ta pono\u0107 b\u0142yskotliwa idea mia\u0142aby zadzia\u0142a\u0107? Okazuje si\u0119, \u017ce cz\u0119sto mo\u017cemy jakim\u015b bystrym sposobem sparowa\u0107 za jednym zamachem elementy dwu niesko\u0144czonych zbior\u00f3w. Zerknijmy na dwa przyk\u0142ady.<\/p>\n \nWe\u017amy na pocz\u0105tek zbi\u00f3r \\(\\mathbb N\\) liczb naturalnych oraz zbi\u00f3r liczb naturalnych parzystych (oznaczmy go tutaj \\(\\mathbb P\\)). Ka\u017cdej liczbie naturalnej \\(n\\in\\mathbb N\\) mo\u017cemy w \u0142atwy spos\u00f3b przypisa\u0107 liczb\u0119 parzyst\u0105. Wystarczy pomno\u017cy\u0107 j\u0105 przez 2. \nInnymi s\u0142owy okre\u015blili\u015bmy funkcj\u0119 \\(f:\\mathbb N\\to\\mathbb P\\) dan\u0105 prostym wzorem \\(f(n)=2n\\). Przyjrzyjmy si\u0119 nieco bli\u017cej temu co si\u0119 tutaj w\u0142a\u015bnie sta\u0142o. A sta\u0142o si\u0119 wbrew pozorom sporo!<\/p>\n \nZauwa\u017cmy, \u017ce ka\u017cda znajduj\u0105ca si\u0119 w g\u00f3rnym rz\u0119dzie liczba naturalna ma swoj\u0105 par\u0119 na dole. I gwoli \u015bcis\u0142o\u015bci, \u017cadne dwie liczby naturalne nie maj\u0105 dwu takich samych par! Podobnie, znajduj\u0105ce si\u0119 na dole liczby parzyste r\u00f3wnie\u017c maj\u0105 swoje pary w\u015br\u00f3d liczb na g\u00f3rze i r\u00f3wnie\u017c ka\u017cda liczba z do\u0142u ma inn\u0105 par\u0119 bo ani na g\u00f3rze \u017cadne liczby si\u0119 nie powtarzaj\u0105 ani na dole. Do tego na g\u00f3rze znajduj\u0105 si\u0119 wszystkie liczby naturalne, a na dole wszystkie parzyste.<\/p>\n \nUda\u0142o nam si\u0119 wi\u0119c liczby naturalne po\u0142\u0105czy\u0107 w pary z parzystymi. Czy\u017cby wi\u0119c wychodzi\u0142o na to, \u017ce jest ich tyle samo? \u017be liczb naturalnych jest tyle samo i to mimo tego, \u017ce ka\u017cda liczba ze zbioru \\(\\mathbb P\\) jest naturalna oraz istniej\u0105 liczby naturalne nie b\u0119d\u0105ce parzystymi?? Okazuje si\u0119 \u017ce tak, jest ich tyle samo! Po\u0142\u0105czyli\u015bmy elementy dwu tych zbior\u00f3w w pary tak jak w pary po\u0142\u0105czone s\u0105 no\u017ce i widelce przy nakryciach do sto\u0142u! I to w taki spos\u00f3b, \u017ce nie zosta\u0142o nic bez pary!<\/p>\n \nW tym miejscu po raz pierwszy uwidacznia si\u0119 istotna r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy zbiorami sko\u0144czonymi, a tymi, kt\u00f3re sko\u0144czone nie s\u0105. Sparowali\u015bmy elementy dwu zbior\u00f3w gdzie jeden jest w\u0142a\u015bciwym podzbiorem drugiego tzn. jest w nim zawarty (\\(\\mathbb P\\subset\\mathbb N\\)) oraz istniej\u0105 elementy w \\(\\mathbb N\\) nieb\u0119d\u0105ce w \\(\\mathbb P\\). Czyli w\u0142a\u015bciwa, r\u00f3\u017cna od ca\u0142o\u015bci cz\u0119\u015b\u0107 zbioru ma dok\u0142adnie tyle samo element\u00f3w co ca\u0142y zbi\u00f3r. Co\u015b co w \u015bwiecie sko\u0144czonym jest niemo\u017cliwe!!<\/p>\n \nGdyby\u015bmy mieli dwa takie zbiory sko\u0144czone \\(A, B\\), \u017ce \\(A\\subset B\\) oraz \\(A\\neq B\\), to oznacza\u0142oby to, \u017ce \\(B\\) ma wi\u0119cej element\u00f3w i nigdy nie uda\u0142oby si\u0119 nam ich wszystkich sparowa\u0107 z elementami zbioru \\(A\\) tak aby ka\u017cdy mia\u0142 inn\u0105 par\u0119. Troch\u0119 tak jakby\u015bmy mieli 15 widelc\u00f3w i 20 no\u017cy. Uda\u0142oby si\u0119 nam stworzy\u0107 pe\u0142ny zestaw sztu\u0107c\u00f3w co najwy\u017cej dla 15 talerzy. W takiej sytuacji zawsze co najmniej 5 no\u017cy nie b\u0119dzie mia\u0142o swojego widelca. <\/p>\n \nPoniewa\u017c jednak zbiory \\(\\mathbb N\\) oraz \\(\\mathbb P\\) s\u0105 niesko\u0144czone, to… mo\u017cemy wybiera\u0107 z nich elementy w niesko\u0144czono\u015b\u0107. I ta ,,drobna” r\u00f3\u017cnica sprawia, \u017ce nawet mimo tego i\u017c pozornie liczb naturalnych wydaje si\u0119 wi\u0119cej, to nigdy nie zabraknie w zbiorze \\(\\mathbb P\\) liczb parzystych. Dlatego jeste\u015bmy w stanie ka\u017cdej liczbie naturalnej znale\u017a\u0107 par\u0119 w\u015br\u00f3d liczb parzystych z \\(\\mathbb P\\). W przypadku zbior\u00f3w sko\u0144czonych, tak jak w przypadku work\u00f3w z ziemniakami, w ko\u0144cu w kt\u00f3rym\u015b zabraknie element\u00f3w.<\/p>\n \nJak widzimy \u015bwiat sko\u0144czony r\u00f3\u017cni si\u0119 od niesko\u0144czonego. A to dopiero pocz\u0105tek niezwykle ciekawych rzeczy dziej\u0105cych si\u0119 w tym drugim! Swoj\u0105 drog\u0105 zbiory sko\u0144czone lub maj\u0105ce tyle samo element\u00f3w co \\(\\mathbb N\\) nazywamy przeliczalnymi<\/strong>.<\/p>\n \nReasumuj\u0105c, dotychczas znale\u017ali\u015bmy przyk\u0142ad dwu r\u00f3\u017cnych zbior\u00f3w niesko\u0144czonych o tej samej liczbie element\u00f3w. Dodatkowo mamy prosty spos\u00f3b aby pokaza\u0107, \u017ce jaki\u015b zbi\u00f3r \\(A\\) ma tyle samo element\u00f3w co zbi\u00f3r liczb naturalnych. Wystarczy elementy tego zbioru ustawi\u0107 w ci\u0105g niesko\u0144czony (bez \u017cadnych powt\u00f3rze\u0144) i zadba\u0107 o to, aby w tym ci\u0105gu pojawi\u0142 si\u0119 ka\u017cdy element zbioru \\(A\\). Je\u015bli nam si\u0119 to uda, oznacza to, \u017ce \\(A\\) ma tyle samo element\u00f3w co \\(\\mathbb N\\). Zanim przekujemy t\u0119 ide\u0119 w konkretn\u0105 matematyk\u0119, przejdziemy przez jeszcze kilka przyk\u0142ad\u00f3w. Poka\u017cemy m.in., \u017ce nie ka\u017cdy zbi\u00f3r da si\u0119 ustawi\u0107 w ci\u0105g. Czyli istniej\u0105 zbiory nieprzeliczalne, a co za tym idzie, mniejsze i wi\u0119ksze niesko\u0144czono\u015bci!! P\u00f3\u017aniejszy, \u015bci\u015blejszy matematyczny opis naszych rozumowa\u0107 pozwoli nie tylko zrobi\u0107 porz\u0105dek, ale r\u00f3wnie\u017c spojrze\u0107 z szerszej perspektywy na rozwa\u017cane przyk\u0142ady.<\/p>\n \nSpos\u00f3b rozumowania w ostatnim przyk\u0142adzie mo\u017cemy de facto<\/em> zastosowa\u0107 do ka\u017cdego niesko\u0144czonego podzbioru zbioru \\(\\mathbb N\\) aby pokaza\u0107, \u017ce ma on tyle samo element\u00f3w co \\(\\mathbb N\\). Nawet je\u015bli usuniemy z \\(\\mathbb N\\) jakie\u015b liczby w spos\u00f3b bardzo fiku\u015bny. Zawsze mo\u017cemy to co zostanie ustawi\u0107 w ci\u0105g porz\u0105dkuj\u0105c liczby np. rosn\u0105co.<\/p>\n \nPrzyjrzyjmy si\u0119 teraz zbiorowi \\(\\mathbb Z\\) liczb ca\u0142kowitych. Okazuje si\u0119, \u017ce zbi\u00f3r ten r\u00f3wnie\u017c jest przeliczalny! Bardzo \u0142atwo jeste\u015bmy w stanie jego elementy ustawi\u0107 w ci\u0105g: \\[0,\\ 1,\\ -1,\\ 2,\\ -2,\\ 3,\\ -3,\\ 4,\\ -4,\\ 5,\\ -5,\\ \\ldots \\] Idea jest chyba jest jasna. Najpierw 0, a potem liczba raz dodatnia, raz ujemna uszeregowane wzgl\u0119dem wzrastaj\u0105cej warto\u015bci bezwzgl\u0119dnej. Oczywiste jest, \u017ce w tym ci\u0105gu znajdzie si\u0119 ka\u017cda liczba ca\u0142kowita. Warto to podkre\u015bli\u0107 aby nie ulec z\u0142udzeniu, \u017ce elementy ka\u017cdego zbioru niesko\u0144czonego da si\u0119 ustawi\u0107 w ci\u0105g! Czyli zbi\u00f3r \\(\\mathbb Z\\) r\u00f3wnie\u017c jest przeliczalny! Swoj\u0105 drog\u0105, mo\u017cemy funkcj\u0119 paruj\u0105c\u0105 elementy zbior\u00f3w \\(\\mathbb N\\) oraz \\(\\mathbb Z\\) zapisa\u0107 przy pomocy jawnych wzor\u00f3w. \nSp\u00f3jrzmy teraz na zbi\u00f3r \\(\\mathbb Q\\) liczb wymiernych. Jest to zbi\u00f3r znacznie g\u0119\u015bciej upakowany na osi liczbowej ni\u017c r\u00f3wnomiernie roz\u0142o\u017cone co 1 liczby ca\u0142kowite. Mi\u0119dzy dowolne dwie liczby wymierne jeste\u015bmy w stanie bez problemu wcisn\u0105\u0107 niesko\u0144czenie wiele innych liczb wymiernych. Gdyby\u015bmy chcieli je zaznaczy\u0107 na osi liczbowej, to by\u0142oby zatrz\u0119sienie tych liczb. Niemal ca\u0142a o\u015b by\u0142aby nimi pokryta. Tak na marginesie, w topologii<\/a> istnieje poj\u0119cie zbioru g\u0119stego. Mimo swej g\u0119sto\u015bci tak\u017ce i ten zbi\u00f3r jest przeliczalny!!<\/p>\n \nSpr\u00f3bujmy to udowodni\u0107. Bez w\u0105tpienia liczb wymiernych jest co najmniej tyle co liczb naturalnych bo ka\u017cda liczba naturalna jest tak\u017ce wymierna. Przypomnijmy, \u017ce wymierne to liczby postaci \\(\\frac ab\\), gdzie \\(a,b\\in\\mathbb Z\\) oraz \\(b\\neq 0\\). Przy czym, takie przedstawienie liczby wymiernej nie jest jednoznaczne. Ka\u017cda liczba wymierna ma niesko\u0144czenie wiele przedstawie\u0144 jako u\u0142amek zwyk\u0142y np. \\[\\frac 23=\\frac 46=\\frac 69=\\frac{8}{12}=\\cdots\\] Zatem u\u0142amk\u00f3w nie mo\u017ce by\u0107 mniej ni\u017c liczb wymiernych. Ka\u017cdy taki u\u0142amek \\(\\frac ab\\) mo\u017cemy uto\u017csamia\u0107 z par\u0105 uporz\u0105dkowan\u0105 (tj. tak\u0105 gdzie liczy si\u0119 kolejno\u015b\u0107) liczb ca\u0142kowitych, gdzie \\(b\\neq 0\\). Dla przejrzysto\u015bci dowodu ustawimy najpierw w ci\u0105g u\u0142amki gdzie \\(a,b>0\\).<\/p>\n \nUstawmy u\u0142amki (gdzie \\(a,b>0\\)) w ci\u0105g nast\u0119puj\u0105co: \\[\\frac 11,\\ \\frac 12,\\ \\frac 21,\\ \\frac 13,\\ \\frac 22,\\ \\frac 31,\\ \\frac 14,\\ \\frac 23,\\ \\frac 32,\\ \\frac 41,\\ \\frac 15,\\ \\frac 24,\\ \\frac 33,\\ldots\\]<\/p>\n \nIdea by\u0107 mo\u017ce nie jest tak oczywista do dostrze\u017cenia na pierwszy rzut oka, ale jest bardzo prosta. Najpierw bierzemy te u\u0142amki \\(\\frac ab\\), gdzie \\(a+b=2\\), w dalszej kolejno\u015bci te gdzie \\(a+b=3\\), \\(a+b=4\\) itd. Natomiast w obr\u0119bie ka\u017cdej z grup porz\u0105dkujemy u\u0142amki wzgl\u0119dem wzrastaj\u0105cego licznika. <\/p>\n \nSwoj\u0105 drog\u0105 zbi\u00f3r par uporz\u0105dkowanych liczb naturalnych (tj. iloczyn kartezja\u0144ski \\(\\mathbb N\\times\\mathbb N\\)) mo\u017cemy sparowa\u0107 ze zbiorem \\(\\mathbb N\\) poprzez funkcj\u0119 \\(f:\\mathbb N\\times\\mathbb N\\to\\mathbb N\\) dan\u0105 wzorem \\[f(a,b)=2^{a-1}\\cdot (2b-1)\\]<\/p>\n \nAle wr\u00f3\u0107my do naszego ci\u0105gu u\u0142amk\u00f3w. W ci\u0105gu tym znajdzie si\u0119 ka\u017cdy u\u0142amek \\(\\frac ab\\) bo suma \\(a+b\\) jest sko\u0144czona dla ka\u017cdego z nich i jest tylko sko\u0144czenie wiele u\u0142amk\u00f3w o sumie licznika i mianownika mniejszej ni\u017c lub r\u00f3wnej \\(a+b\\). Co oczywiste, ka\u017cdy dodatni u\u0142amek pojawi si\u0119 w tym ci\u0105gu dok\u0142adnie raz. Czyli zbi\u00f3r u\u0142amk\u00f3w dodatnich jest przeliczalny! W szczeg\u00f3lno\u015bci przeliczalny jest r\u00f3wnie\u017c zbi\u00f3r liczb wymiernych dodatnich! Nietrudno ju\u017c teraz pokaza\u0107, \u017ce je\u017celi dorzucimy u\u0142amki ujemne to nadal b\u0119dziemy mie\u0107 zbi\u00f3r przeliczalny. Wystarczy po ka\u017cdym u\u0142amku \\(\\frac ab\\) wcisn\u0105\u0107 u\u0142amek \\(-\\frac ab\\) otrzymuj\u0105c ci\u0105g \\[\\frac 11,\\ -\\frac 11,\\ \\frac 12,\\ -\\frac 12,\\ \\frac 21,\\ -\\frac 21,\\ \\frac 13,\\ -\\frac 13,\\ \\frac 22,-\\frac 22,\\ \\frac 31,\\ -\\frac 31,\\ \\frac 14,\\ -\\frac 14,\\ \\cdots \\] Je\u017celi nast\u0119pnie na pocz\u0105tek dodamy jeszcze u\u0142amek \\(\\frac 01\\), to w tak otrzymanym ci\u0105gu u\u0142amk\u00f3w znajdziemy wszystkie liczby wymierne co pokazuje, \u017ce jest to zbi\u00f3r przeliczalny.<\/p>\n \nDotychczasowe przyk\u0142ady mog\u0105 powodowa\u0107 mylne wyobra\u017cenie, \u017ce ka\u017cdy zbi\u00f3r niesko\u0144czony jest przeliczalny. Nie jest to prawda. Podamy teraz przyk\u0142ad zbioru nieprzeliczalnego, kt\u00f3rym jest np. zbi\u00f3r liczb rzeczywistych. Jego element\u00f3w nie si\u0119 ustawi\u0107 w ci\u0105g! Ma on za du\u017co element\u00f3w aby to si\u0119 uda\u0142o! <\/p>\n \nZrobimy to pokazuj\u0105c, \u017ce zbi\u00f3r liczb rzeczywistych z przedzia\u0142u \\([0,1]\\) jest nieprzeliczalny. Poniewa\u017c \\([0,1]\\subset\\mathbb R\\), to wynika z tego, \u017ce i ca\u0142y zbi\u00f3r liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny. Jak wiemy ka\u017cdej liczbie \\(a\\in [0,1]\\) mo\u017cemy przyporz\u0105dkowa\u0107 jej rozwini\u0119cie w u\u0142amek dziesi\u0119tny. Przy czym, dla pewnych liczb nie jest ono jednoznaczne. Wiemy ze szko\u0142y, \u017ce ka\u017cda liczba rzeczywista r\u00f3\u017cna od 0 o sko\u0144czonym rozwini\u0119ciu dziesi\u0119tnym, ma r\u00f3wnie\u017c rozwini\u0119cie, w kt\u00f3rym od pewnego momentu wyst\u0119puj\u0105 same dziewi\u0105tki. Przyk\u0142adowo \nI teraz wystarczy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce liczba ta r\u00f3\u017cni si\u0119 od ka\u017cdej liczby z ci\u0105gu \\((a_n)\\) bo ma inn\u0105 cyfr\u0119 na \\(n\\)-tym miejscu swojego rozwini\u0119cia od liczby \\(a_n\\)! Mamy wi\u0119c sprzeczno\u015b\u0107<\/strong> z za\u0142o\u017ceniem, \u017ce ci\u0105g \\((a_n)\\) zawiera wszystkie liczby z przedzia\u0142u \\([0,1]\\)! Cho\u0107 tutaj jeszcze trzeba zauwa\u017cy\u0107, \u017ce liczba \\(x\\) na pewna nie ma w swym rozwini\u0119ciu od pewnego miejsca samych dziewi\u0105tek. Wynika to z tego, \u017ce jest niesko\u0144czenie wiele liczb w \\([0,1]\\), kt\u00f3re nie maj\u0105 \u00f3semek w swoim rozwini\u0119ciu dziesi\u0119tnym. <\/p>\n \nUda\u0142o si\u0119 nam pokaza\u0107, \u017ce liczb z przedzia\u0142u \\([0,1]\\) jest nieprzeliczalnie wiele, jest ich wi\u0119cej ni\u017c liczb naturalnych. Okazuje si\u0119 wi\u0119c, \u017ce mamy r\u00f3\u017cne niesko\u0144czono\u015bci!<\/p>\n \nAle przejd\u017amy ju\u017c do konkret\u00f3w i spr\u00f3bujmy teraz te rozwa\u017cania przeku\u0107 w matematyk\u0119. Pomys\u0142 parowania element\u00f3w dwu zbior\u00f3w polega na niczym innym jak na znalezieniu odpowiedniej funkcji z jednego do drugiego. Takie np. ustawienie element\u00f3w jakiego\u015b zbioru \\(A\\) w ci\u0105g to nic innego jak okre\u015blenie odpowiedniej funkcji \\(\\mathbb N\\to A\\). Aby w pe\u0142ni zrozumie\u0107 t\u0119 ide\u0119 i zdefiniowa\u0107 \u015bci\u015ble w jaki spos\u00f3b w og\u00f3le por\u00f3wnywa\u0107 liczby element\u00f3w zbior\u00f3w niesko\u0144czonych musimy wyr\u00f3\u017cni\u0107 pewne trzy rodzaje funkcji zwane d\u017awi\u0119cznie iniekcj\u0105, suriekcj\u0105 oraz bijekcj\u0105.<\/p>\n \nIniekcja<\/strong>, zwana inaczej funkcj\u0105 r\u00f3\u017cnowarto\u015bciow\u0105 lub funkcj\u0105 1-1, to taka funkcja, kt\u00f3ra dw\u00f3m r\u00f3\u017cnym argumentom przypisuje r\u00f3\u017cne warto\u015bci. Lub to samo inaczej: \u017cadnym dw\u00f3m argumentom nie jest przypisana ta sama warto\u015b\u0107. M\u00f3wi\u0105c matematycznie, funkcj\u0119 \\(f:A\\to B\\) nazywamy iniekcj\u0105, o ile dla dowolnych \\(x,y\\in A\\) spe\u0142niony jest warunek \\[x\\neq y\\Rightarrow f(x)\\neq f(y).\\]<\/p>\n \nGdyby\u015bmy, tak jak czasami w szkole, narysowali funkcj\u0119 jako graf ze strza\u0142kami, to koniec ka\u017cdej strza\u0142ki wyl\u0105dowa\u0142by w innym miejscu. \nNa rysunku powy\u017cej, po lewej mamy przyk\u0142ad iniekcji. Ka\u017cda strza\u0142ka ko\u0144czy si\u0119 w innym elemencie przeciwdziedziny \\(B\\). Tutaj warunek \\(x\\neq y\\Rightarrow f(x)\\neq f(y)\\) jest spe\u0142niony dla wszystkich \\(x,y\\in A=\\{a,b,c,d\\}\\). Po prawej za\u015b mamy przyk\u0142ad funkcji, kt\u00f3ra iniekcj\u0105 nie jest. Dwie strza\u0142ki (zaznaczone na zielono) ko\u0144cz\u0105 si\u0119 w elemencie \\(c\\in B\\), tzn. warto\u015b\u0107 tej funkcji dla argumentu \\(c\\in A\\) jest taka sama jak dla argumentu \\(d\\in A\\). Czyli stosowny warunek nie jest spe\u0142niony i funkcja ta nie jest r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowa.<\/p>\n \nPrzyk\u0142ady iniekcji ju\u017c mieli\u015bmy okazje zobaczy\u0107 w tym wpisie. Jednym z przyk\u0142ad\u00f3w jest okre\u015blona wcze\u015bniej funkcja \\(F:\\mathbb N\\to\\mathbb Z\\). R\u00f3wnie\u017c funkcja \\(G: \\mathbb N\\to\\mathbb Z\\) taka, \u017ce \\(G(n)=n\\) jest przyk\u0142adem funkcji r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowej.<\/p>\n \nDrugim wa\u017cnym rodzajem funkcji jest tzw. suriekcja<\/strong> zwana r\u00f3wnie\u017c funkcj\u0105 na<\/em>. Jest to ka\u017cda taka funkcja \\(f:A\\to B\\), w kt\u00f3rej zbi\u00f3r warto\u015bci \\(f(A)\\) pokrywa si\u0119 ze zbiorem \\(B\\) (tj. \\(f(A)=B\\)). Tzn. dla ka\u017cdego \\(y\\in B\\) istnieje taki argument \\(x\\in A\\), \u017ce \\(f(x)=y\\). Takich argument\u00f3w mo\u017ce by\u0107 naturalnie wi\u0119cej ni\u017c jeden dla danego \\(y\\in B\\). Gdyby\u015bmy spojrzeli na graf takiej funkcji, to dla ka\u017cdego elementu przeciwdziedziny istnia\u0142aby co najmniej jedna strza\u0142ka, kt\u00f3ra w tym elemencie by si\u0119 ko\u0144czy\u0142a. \nPowy\u017cej mamy po prawej funkcj\u0119, kt\u00f3ra jest przyk\u0142adem suriekcji (zauwa\u017cmy, \u017ce zarazem nie jest to iniekcja). W ka\u017cdym elemencie przeciwdziedziny ko\u0144czy si\u0119 co najmniej jedna strza\u0142ka. Natomiast po lewej, jak widzimy, s\u0105 dwa elementy (zaznaczone na zielono), w kt\u00f3rych nie ko\u0144czy si\u0119 \u017cadna strza\u0142ka. <\/p>\n \nCzasami w ksi\u0105\u017ckach matematycznych mo\u017cna spotka\u0107 sformu\u0142owanie, \u017ce funkcja \\(f:A\\to B\\) odwzorowuje zbi\u00f3r \\(A\\) na zbi\u00f3r \\(B\\). Oznacza ono, ni mniej ni wi\u0119cej, \u017ce funkcja \\(f\\) jest po prostu suriekcj\u0105.<\/p>\n \nPoj\u0119cie suriekcji pozwala nam nieco og\u00f3lniej spojrze\u0107 na zbiory przeliczalne. Ot\u00f3\u017c, zbi\u00f3r \\(A\\) jest przeliczalny je\u017celi istnieje suriekcja \\(\\mathbb N\\to A\\).<\/p>\n \nZdefiniowana wcze\u015bniej funkcja \\(F:\\mathbb N\\to\\mathbb Z\\) jest nie tylko iniekcj\u0105, lecz r\u00f3wnie\u017c suriekcj\u0105! Natomiast r\u00f3wnie\u017c wspominana wcze\u015bniej funkcja \\(G\\) ju\u017c suriekcj\u0105 nie jest. Og\u00f3lnie, funkcja mo\u017ce by\u0107 iniekcj\u0105, suriekcj\u0105, jednym i drugim jednocze\u015bnie lub \u017cadnym z tych rodzaj\u00f3w funkcji. Funkcje, kt\u00f3re s\u0105 zar\u00f3wno iniekcj\u0105 jak i suriekcj\u0105 nosz\u0105 specjaln\u0105 nazw\u0119 bijekcji<\/strong>.<\/p>\n \nBijekcja to w\u0142a\u015bnie nic innego jak funkcja, kt\u00f3ra pozwala elementy dwu zbior\u00f3w po\u0142\u0105czy\u0107 w pary. Aby funkcja \\(f:A\\to B\\) by\u0142a bijekcj\u0105, to musz\u0105 by\u0107 spe\u0142nione nast\u0119puj\u0105ce warunki:<\/p>\n \nW kontek\u015bcie graf\u00f3w i strza\u0142ek, bijekcja to taka funkcja, gdzie z ka\u017cdego argumentu dziedziny wychodzi dok\u0142adnie jest strza\u0142ka (jak w przypadku ka\u017cdej funkcji) oraz w ka\u017cdym elemencie przeciwdziedziny ko\u0144czy si\u0119 dok\u0142adnie jedna strza\u0142ka. I nie ma elementu przeciwdziedziny, w kt\u00f3rym \u017cadna strza\u0142ka by si\u0119 nie ko\u0144czy\u0142a. Tak jak na poni\u017cszym rysunku funkcja po prawej jest w\u0142a\u015bnie przyk\u0142adem bijekcji. \nWr\u00f3\u0107my na chwil\u0119 do zbior\u00f3w sko\u0144czonych. Gdy zbi\u00f3r \\(A\\) ma inn\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w ni\u017c zbi\u00f3r \\(B\\), to nie istnieje bijekcja mi\u0119dzy nimi. Gdy zbi\u00f3r \\(A\\) ma wi\u0119cej element\u00f3w, to nie istnieje iniekcja \\(A\\to B\\), gdy za\u015b zbi\u00f3r \\(B\\) ma element\u00f3w wi\u0119cej, to nie istnieje suriekcja \\(A\\to B\\). Innymi s\u0142owy bijekcja istnieje tylko wtedy, gdy zbiory \\(A\\) oraz \\(B\\) maj\u0105 t\u0119 sam\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w.<\/p>\n \nI to jest w\u0142a\u015bnie idea parowania element\u00f3w przekuta w matematyk\u0119. Dok\u0142adniej, m\u00f3wimy, \u017ce zbiory \\(A\\) oraz \\(B\\) s\u0105 r\u00f3wnoliczne<\/strong> gdy istnieje bijekcja \\(A\\to B\\). Istnienie bijekcji mi\u0119dzy zbiorami oznacza, \u017ce maj\u0105 one po tyle samo element\u00f3w. Fakt ten oznaczamy \\(A\\sim B\\).<\/p>\n \nTo co zrobili\u015bmy, to dosy\u0107 powszechny w matematyce spos\u00f3b uog\u00f3lniania pewnych idei. Pierwotnego pomys\u0142u, czyli liczenia element\u00f3w zbior\u00f3w sko\u0144czonych nie da\u0142o si\u0119 przenie\u015b\u0107 do \u015bwiata zbior\u00f3w niesko\u0144czonych. Zatem znale\u017ali\u015bmy (lub raczej G. Cantor znalaz\u0142) inny, r\u00f3wnowa\u017cny spos\u00f3b okre\u015blenia w znanym nam, sko\u0144czonym \u015bwiecie tego co oznacza, \u017ce dwa zbiory maj\u0105 tyle samo element\u00f3w (tj. istnieje bijekcja mi\u0119dzy nimi). I okaza\u0142o si\u0119, \u017ce ten nowy spos\u00f3b da si\u0119 ju\u017c przenie\u015b\u0107 do \u015bwiata niesko\u0144czonego. <\/p>\n \nZwr\u00f3\u0107my uwag\u0119, \u017ce istnienie bijekcji \\(A\\to B\\) oznacza, \u017ce istnieje r\u00f3wnie\u017c bijekcja \\(B\\to A\\). Nietrudno si\u0119 o tym przekona\u0107. Niezbyt formalnie mo\u017cemy to pokaza\u0107 dosy\u0107 \u0142atwo. Poniewa\u017c bijekcja \\(A\\to B\\), to nic innego jak sparowanie element\u00f3w dwu zbior\u00f3w, to wystarczy\u0142oby na grafie takiej funkcji odwr\u00f3ci\u0107 strza\u0142ki w drug\u0105 stron\u0119.<\/p>\n \nIstnienie naszej funkcji \\(F\\) m\u00f3wi nam, \u017ce zbiory liczb naturalnych oraz ca\u0142kowitych maj\u0105 po tyle samo element\u00f3w! I to mimo i\u017c ka\u017cda liczba naturalna jest ca\u0142kowita, lecz nie na odwr\u00f3t! Co\u015b co w \u015bwiecie sko\u0144czonym jest niemo\u017cliwe! A to dopiero pocz\u0105tek rzeczy niezwyk\u0142ych!<\/p>\n \nKa\u017cdemu zbiorowi sko\u0144czonemu mo\u017cemy przypisa\u0107 liczb\u0119 naturaln\u0105 b\u0119d\u0105c\u0105 liczb\u0105 jego element\u00f3w. Liczby oznaczaj\u0105ce liczb\u0119 element\u00f3w jakiego\u015b zbioru (niekoniecznie sko\u0144czonego!) to tzw. liczby kardynalne<\/strong>. Ka\u017cda liczba naturalna (oraz zero) jest wi\u0119c, w szczeg\u00f3lno\u015bci, liczb\u0105 kardynaln\u0105. Nie b\u0119dziemy tu przedstawia\u0107 formalnej definicji tych liczb bo nieco to ju\u017c wykracza poza ramy tego wpisu.<\/p>\n \nLiczb\u0119 kardynaln\u0105 oznaczaj\u0105c\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w zbioru liczb naturalnych (a wi\u0119c i ca\u0142kowitych!!) oznaczamy \\(\\aleph_0\\) i czytamy alef zero<\/em>. Jest to najmniejsza liczba kardynalna niesko\u0144czona. Z kolei je\u015bli chodzi o liczb\u0119 kardynaln\u0105 oznaczaj\u0105c\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w zbioru \\([0,1]\\) (a tak\u017ce zbioru \\(\\mathbb R\\) jak poka\u017cemy!) to oznaczamy j\u0105 \\(\\mathfrak c\\) i nazywamy continuum<\/strong>.<\/p>\n \nLiczb\u0119 element\u00f3w zbioru \\(A\\) nazywamy jego moc\u0105. Czyli powiemy, \u017ce zbi\u00f3r liczb naturalnych jest mocy \\(\\aleph_0\\). Stosowane s\u0105 r\u00f3\u017cne oznaczenia mocy zbioru: \\[|A|,\\ \\overline{\\overline{A}},\\ \\# A,\\ n(A).\\] Najpopularniejszym jest obecnie oznaczenie \\(|A|\\), za\u015b oznaczenie \\(\\overline{\\overline{A}}\\) mo\u017cna spotka\u0107 ju\u017c raczej w starszych podr\u0119cznikach. Pozosta\u0142e natomiast s\u0105 raczej niszowe.<\/p>\n \nZnamy p\u00f3ki co jedynie dwie liczby kardynalne niesko\u0144czone. Pojawia si\u0119 naturalne pytanie czy istniej\u0105 inne niesko\u0144czono\u015bci, wi\u0119ksze od \\(\\mathfrak c\\)? Okazuje si\u0119, \u017ce tak i do tego dojdziemy.<\/p>\n \nInnym pytaniem jest to czy istniej\u0105 liczby kardynalne pomi\u0119dzy \\(\\aleph_0\\) a \\(\\mathfrak c\\)? Wbrew pozorom jest to kwestia wielkiej wagi w matematyce i o niezwyk\u0142ej historii. Zagadnienie to jest znane w matematyce jako tzw. hipoteza continuum<\/strong>. Zosta\u0142o ono sformu\u0142owane w XIX wieku przez Georga Cantora, kt\u00f3ry razem z wieloma innymi matematykami s\u0105dzi\u0142, \u017ce nie ma \u017cadnej innej niesko\u0144czono\u015bci pomi\u0119dzy \\(\\aleph_0\\) a \\(\\mathfrak c\\). Dlatego m\u00f3wimy o hipotezie. By\u0142o to o tyle wa\u017cne zagadnienie, \u017ce w roku 1900 David Hilbert umie\u015bci\u0142 j\u0105 na pierwszym miejscu swojej listy najwa\u017cniejszych nierozwi\u0105zanych wg niego problem\u00f3w matematyki tamtych czas\u00f3w. Rozwi\u0105zanie jest jednak zaskakuj\u0105ce, je\u015bli nie powiedzie\u0107 szokuj\u0105ce, gdy si\u0119 o tym s\u0142yszy po raz pierwszy. Nie wdaj\u0105c si\u0119 w szczeg\u00f3\u0142y (bo to ju\u017c historia na inn\u0105 opowie\u015b\u0107), okaza\u0142o si\u0119, \u017ce hipotezy continuum nie da si\u0119 ani obali\u0107 ani udowodni\u0107 jej prawdziwo\u015bci. Mo\u017cemy za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce jest ona prawdziwa albo za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce nie. I to nawet mo\u017cemy przyj\u0105\u0107 ka\u017cde (sensowne) jej zaprzeczenie! W \u017cadnym przypadku nie popadniemy w sprzeczno\u015b\u0107!! Innym s\u0142owy, mo\u017cemy mie\u0107 r\u00f3\u017cne matematyki! Z prawdziw\u0105 hipotez\u0105 continuum albo nie!!! Teraz czas na nieco wi\u0119cej przyk\u0142ad\u00f3w zbior\u00f3w przeliczalnych, mocy \\(\\mathfrak c\\) oraz o mocach jeszcze wi\u0119kszych.<\/p>\n \nZacznijmy od zbior\u00f3w przeliczalnych. S\u0105 to zbiory sko\u0144czone lub mocy \\(\\aleph_0\\). Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce s\u0105 takie zbiory, kt\u00f3rych elementy mo\u017cemy ustawi\u0107 w (sko\u0144czony lub nie) ci\u0105g. Oznacza to, \u017ce niepusty zbi\u00f3r \\(A\\) jest przeliczalny dok\u0142adnie wtedy, gdy istnieje suriekcja \\(\\mathbb N\\to A\\). Korzystaj\u0105c z poprzednich przyk\u0142ad\u00f3w nieco uporz\u0105dkujemy nasz\u0105 wiedz\u0119 podaj\u0105c kolejne przyk\u0142ady.<\/p>\n \nPrzypomnijmy sobie jak pokazali\u015bmy, \u017ce zbi\u00f3r u\u0142amk\u00f3w jest przeliczalny. Najpierw pokazali\u015bmy, \u017ce zbi\u00f3r u\u0142amk\u00f3w jest dodatni, a nast\u0119pnie po ka\u017cdym u\u0142amku wcisn\u0119li\u015bmy taki sam tylko, \u017ce ze zmienionym znakiem. Og\u00f3lnie prawdziwe jest nast\u0119puj\u0105ce:<\/p>\n \nTwierdzenie<\/strong><\/p>\n Suma dw\u00f3ch zbior\u00f3w przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.\n<\/p><\/blockquote>\n \nWarto zwr\u00f3ci\u0107 uwag\u0119, \u017ce z tego twierdzenia wynika np., \u017ce je\u017celi od zbioru nieprzeliczalnego \\(A\\) odejmiemy zbi\u00f3r przeliczalny \\(B\\), to r\u00f3\u017cnica \\(A\\setminus B\\) jest nieprzeliczalna. Mo\u017cemy nawet powiedzie\u0107 wi\u0119cej: \\(|A\\setminus B|=|A|\\). W szczeg\u00f3lno\u015bci nieprzeliczalny jest zbi\u00f3r liczb niewymiernych.<\/p>\n \nKorzystaj\u0105c z tego twierdzenia, bez problemu poka\u017cemy, \u017ce i suma dowolnej sko\u0144czonej liczby zbior\u00f3w przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Z kolei spos\u00f3b w jaki w og\u00f3le ustawili\u015bmy u\u0142amki w ci\u0105g, mo\u017cna zastosowa\u0107 aby udowodni\u0107 poni\u017csze:<\/p>\n \nTwierdzenie<\/strong><\/p>\n \nIloczyn kartezja\u0144ski dw\u00f3ch zbior\u00f3w przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.\n<\/p><\/blockquote>\n \nZ tego twierdzenia wynika w szczeg\u00f3lno\u015bci, \u017ce suma przeliczalnie wielu zbior\u00f3w przeliczalnych jest r\u00f3wnie\u017c zbiorem przeliczalnym. W ko\u0144cu np. zbi\u00f3r \\(\\mathbb N\\times\\mathbb N\\) to nic innego jak suma \\(\\aleph_0\\) zbior\u00f3w mocy \\(\\aleph_0\\), tj. \\[\\mathbb N\\times\\mathbb N=\\{1\\}\\times\\mathbb N\\cup\\{2\\}\\times\\mathbb N\\cup\\{3\\}\\times\\mathbb N\\cup\\ldots\\] Naturalnie, z tego twierdzenia wynika m.in., \u017ce r\u00f3wnie\u017c i iloczyn \\(A_1\\times A_2\\times\\ldots\\times A_n\\) jest przeliczalny, o ile przeliczalne s\u0105 zbiory \\(A_1,A_2,\\ldots, A_n\\). A z tego bezpo\u015brednio dostajemy nast\u0119puj\u0105ce:<\/p>\n \nTwierdzenie<\/strong><\/p>\n \nZbi\u00f3r wszystkich sko\u0144czonych ci\u0105g\u00f3w o wyrazach nale\u017c\u0105cych do zbioru przeliczalnego \\(A\\) jest zbiorem przeliczalnym.\n<\/p><\/blockquote>\n \nWynika to z tego, \u017ce zbi\u00f3r ten jest sum\u0105 \\[A_1\\cup A_2\\cup\\ldots\\cup A_n\\cup\\ldots,\\] gdzie \\(A_n\\) jest zbiorem ci\u0105g\u00f3w d\u0142ugo\u015bci \\(n\\), a zbi\u00f3r \\(A_n\\) to nic innego jak \\[\\underbrace{A\\times A\\times\\ldots\\times A}_{n\\textrm{ razy }}\\] Z tego w szczeg\u00f3lno\u015bci wynika, \u017ce zbi\u00f3r wielomian\u00f3w o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych jest zbiorem mocy \\(\\aleph_0\\) bo ka\u017cdy taki wielomian stopnia \\(n\\) mo\u017cemy uto\u017csamia\u0107 ze sko\u0144czonym ci\u0105giem liczb wymiernych d\u0142ugo\u015bci \\(n\\) (tj. ci\u0105giem jego wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w przy kolejnych pot\u0119gach). A poniewa\u017c ka\u017cdy wielomian ma sko\u0144czenie wiele pierwiastk\u00f3w, to dostajemy automatycznie poni\u017csze<\/p>\n \nTwierdzenie<\/strong> <\/p>\n \nZbi\u00f3r liczb algebraicznych jest przeliczalny.\n<\/p><\/blockquote>\n \nLiczby algebraiczne, to je\u017celi kto\u015b nie wie, to dok\u0142adnie te liczby, kt\u00f3re s\u0105 w\u0142a\u015bnie pierwiastkami wielomian\u00f3w o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych. Wi\u0119cej o tych liczbach mo\u017cna poczyta\u0107 w tym wpisie<\/a>. Liczbami algebraicznymi s\u0105 niemal wszystkie konkretne liczby, kt\u00f3re poznajemy w szkole takie jak liczby wymierne czy \\(\\sqrt{2}\\). Liczb\u0105 algebraiczn\u0105 natomiast nie jest np. s\u0142ynna liczba \\(\\pi\\). Liczby nie b\u0119d\u0105ce algebraicznymi nazywamy przest\u0119pnymi.<\/p>\n \nPoniewa\u017c ka\u017cda liczba rzeczywista jest albo algebraiczna albo przest\u0119pna, a liczb rzeczywistych jest \\(\\mathfrak c\\), to z ostatniego twierdzenia dostajemy zaskakuj\u0105ce<\/p>\n \nTwierdzenie<\/strong><\/p>\n \nZbi\u00f3r liczb przest\u0119pnych jest nieprzeliczalny.\n<\/p><\/blockquote>\n \nCzyli liczb przest\u0119pnych jest wi\u0119cej ni\u017c algebraicznych! Zaskakuj\u0105ce jest to g\u0142\u00f3wnie dlatego, \u017ce niemal wszystkie liczby jakie poznajemy w trakcie nauki szkolnej to liczby algebraiczne. Mimo i\u017c niemal wszystkie liczby rzeczywiste s\u0105 przest\u0119pne, to wbrew pozorom podanie przyk\u0142ad\u00f3w liczb przest\u0119pnych by\u0142o dosy\u0107 trudne. Zreszt\u0105, nadal nie jest \u0142atwe. Mimo i\u017c znamy ju\u017c wiele przyk\u0142ad\u00f3w takich liczb, to wci\u0105\u017c wiemy o nich relatywnie niewiele. Wi\u0119cej o liczbach przest\u0119pnych mo\u017cna znale\u017a\u0107 w tym wpisie<\/a>.<\/p>\n
\n![\"liczby](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/liczby_kar_01.png\")
\n![\"liczby](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/liczby_kardynalne01.png\")
<\/p>\n
\n\\[
\nF(n)=\\left\\{\\begin{array}{lll}
\n\\frac n2 & \\textrm{ gdy } & n\\textrm{ jest parzyste,}\\\\
\n& & \\\\
\n-\\frac{n-1}{2} & \\textrm{ gdy } & n\\textrm{ jest nieparzyste}\\\\
\n\\end{array}\\right.
\n\\] Oznaczmy t\u0119 funkcj\u0119 du\u017c\u0105 liter\u0105 \\(F\\). Jeszcze do niej wr\u00f3cimy w dalszej cz\u0119\u015bci. Korzystaj\u0105c z funkcji pod\u0142oga<\/em>, mo\u017cemy pos\u0142u\u017cy\u0107 si\u0119 jednym wzorem \\[F(n)=(-1)^n \\left\\lfloor\\frac n2\\right\\rfloor\\] <\/p>\n
\n\\[
\n\\begin{array}{lll}
\n0,3 & = & 0,299999\\ldots\\\\
\n0,74 & = & 0,739999\\ldots\\\\
\n1 & = & 0,999999\\ldots
\n\\end{array}
\n\\] Je\u017celi za\u0142o\u017cymy, \u017ce wykluczymy wszystkie takie rozwini\u0119cia dziesi\u0119tne, gdzie od pewnego miejsca wyst\u0119puj\u0105 same dziewi\u0105tki, to wtedy z ka\u017cd\u0105 liczb\u0105 \\(a\\in [0,1]\\) mo\u017cemy w spos\u00f3b jednoznaczny stowarzyszy\u0107 rozwini\u0119cie dziesi\u0119tne. Przy czym, je\u017celi rozwini\u0119cie jest sko\u0144czone, to traktujemy je jakby po ostatniej cyfrze by\u0142y ju\u017c tylko same zera. Za\u0142\u00f3\u017cmy teraz, \u017ce uda\u0142o nam si\u0119 liczby z przedzia\u0142u \\([0,1]\\) ustawi\u0107 w niesko\u0144czony ci\u0105g \\(a_1,a_2,a_3,\\ldots,a_n,\\ldots\\) Np. jako\u015b nast\u0119puj\u0105co:
\n\\[
\n\\begin{array}{lll}
\na_1 & = & 0,2654645643\\ldots\\\\
\na_2 & = & 0,8132132121\\ldots\\\\
\na_3 & = & 0,5000000000\\ldots\\\\
\na_4 & = & 0,6654658882\\ldots\\\\
\na_5 & = & 0,7854932145\\ldots\\\\
\na_6 & = & 0,1111111111\\ldots\\\\
\n… &&
\n\\end{array}
\n\\] Skonstruujemy teraz liczb\u0119, kt\u00f3ra w tym ci\u0105gu si\u0119 nie pojawia. Zrobimy to bardzo prosto. Z ka\u017cdej liczby naszego ci\u0105gu wybieramy po jednej cyfrze jej rozwini\u0119cia dziesi\u0119tnego. Dok\u0142adniej, z liczby \\(a_n\\) bierzemy cyfr\u0119 \\(c_{n}\\) znajduj\u0105c\u0105 si\u0119 na \\(n\\)-tej pozycji po przecinku. Teraz, je\u017celi \\(c_n\\) jest mniejsze od 9, to zwi\u0119kszamy j\u0105 o 1 otrzymuj\u0105c cyfr\u0119 \\(d_n=c_n+1\\). Natomiast, gdy \\(c_n=9\\), to przyjmujemy, \u017ce \\(d_n=0\\). korzystaj\u0105c z cyfr \\(d_n\\) mo\u017cemy utworzy\u0107 liczb\u0119 \\(x\\in[0,1]\\) przyjmuj\u0105c, \u017ce kolejne cyfry jej rozwini\u0119cia dziesi\u0119tnego to \\(d_1, d_2, d_3,\\ldots\\). Korzystaj\u0105c z naszego ci\u0105gu \\((a_n)\\) otrzymaliby\u015bmy liczb\u0119 \\[x=0,321502\\ldots\\]<\/p>\n
\n![\"iniekcja\"](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/iniekcja01.png\")
\n![\"suriekcja\"](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/suriekcja1.png\")
\n
\n![\"liczby](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/liczby_kardynalne02.png\")
\nNasza, zdefiniowana wcze\u015bniej, funkcja \\(F\\) jest w\u0142a\u015bnie bijekcj\u0105.<\/p>\n