{"id":2032,"date":"2023-06-09T00:19:08","date_gmt":"2023-06-08T22:19:08","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=2032"},"modified":"2023-06-13T00:06:16","modified_gmt":"2023-06-12T22:06:16","slug":"stala-paraboliczna","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/","title":{"rendered":"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi&#8221;!"},"content":{"rendered":"<p style=\"line-height: 1.2;\">\nWszyscy wiedz\u0105, \u017ce stosunek obwodu okr\u0119gu do d\u0142ugo\u015bci jego \u015brednicy jest r\u00f3wny s\u0142ynnej liczbie \\(\\pi\\). Okazuje si\u0119, \u017ce parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje, nieco inne, \\(\\pi\\), kt\u00f3re b\u0119dziemy nazywa\u0107 (uniwersaln\u0105) sta\u0142\u0105 paraboliczn\u0105.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nZacznijmy mo\u017ce od tego czym w og\u00f3le jest parabola. Ze szko\u0142y kojarzymy j\u0105 jako wykres funkcji kwadratowej. To poniek\u0105d prawda, bo wykres ka\u017cdej funkcji kwadratowej \\(f:\\mathbb R\\to\\mathbb R\\) jest parabol\u0105, lecz nie ka\u017cda parabola jest wykresem funkcji kwadratowej.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nParabola ma bardzo prost\u0105 definicj\u0119 geometryczn\u0105. Ot\u00f3\u017c, aby j\u0105 zdefiniowa\u0107 potrzebujemy dw\u00f3ch rzeczy. Pierwsz\u0105 z nich jest dowolny, zwany <strong>ogniskiem<\/strong>, punkt \\(F\\) p\u0142aszczyzny \\(\\mathbb R^2\\). Drug\u0105 rzecz\u0105 jest nieprzechodz\u0105ca przez \\(F\\) prosta \\(k\\) zwana <strong>kierownic\u0105<\/strong>. Sama za\u015b parabola to zbi\u00f3r punkt\u00f3w p\u0142aszczyzny r\u00f3wno oddalonych zar\u00f3wno od ogniska jak i kierownicy.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys08.png\" alt=\"parabola\" width=\"477\" height=\"290\" class=\"aligncenter size-full wp-image-608\" srcset=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys08.png 477w, https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/05\/rys08-300x182.png 300w\" sizes=\"(max-width: 477px) 100vw, 477px\" \/> Innymi s\u0142owy, je\u017celi we\u017amiemy dowolny punkt \\(Q\\) paraboli, to odcinek \\(FQ\\) ma tak\u0105 sam\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 jak odcinek \\(QQ&#8217;\\) od punktu \\(Q\\) do jego rzutu prostopad\u0142ego \\(Q&#8217;\\) na kierownic\u0119. Tzn. gdyby kierownica le\u017ca\u0142a na ziemi i punkt \\(Q\\) po prostu na ni\u0105 spad\u0142 pod wp\u0142ywem grawitacji, to spad\u0142by w\u0142a\u015bnie na punkt \\(Q&#8217;\\).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nTo, \u017ce obw\u00f3d dowolnego okr\u0119gu podzielony przez d\u0142ugo\u015b\u0107 jego \u015brednicy jest zawsze r\u00f3wny \\(\\pi\\) wynika z tego, \u017ce wszystkie okr\u0119gi s\u0105 do siebie podobne. Podobnie sytuacja wygl\u0105da z parabolami. Wszystkie parabole s\u0105 do siebie podobne!<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nW jaki spos\u00f3b otrzyma\u0107 wi\u0119c nasz\u0105 sta\u0142\u0105 paraboliczn\u0105? Wbrew pozorom bardzo podobnie jak w przypadku okr\u0119gu! Trzeba tylko odpowiednio zar\u00f3wno na okr\u0105g jak i parabol\u0119 spojrze\u0107, bo mimo i\u017c na pierwszy rzut oka s\u0105 to krzywe zupe\u0142nie r\u00f3\u017cne, to maj\u0105 wiele wsp\u00f3lnego. Obie s\u0105 przyk\u0142adami tzw. <em>krzywych sto\u017ckowych<\/em>. Innymi sto\u017ckowymi s\u0105 elipsy oraz hiperbole. Swoj\u0105 drog\u0105 okr\u0105g jest szczeg\u00f3lnym przyk\u0142adem elipsy.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nNie wdaj\u0105c si\u0119 w szczeg\u00f3\u0142y, \u015brodek okr\u0119gu jest dla niego tym samym czym dla paraboli ognisko. Okr\u0105g jako zbi\u00f3r punkt\u00f3w r\u00f3wnoodleg\u0142ych od swego ogniska (czyli \u015brodka) nie ma kierownicy, cho\u0107 czasami si\u0119 przyjmuje, \u017ce jest ni\u0105 prosta w niesko\u0144czono\u015bci (szczeg\u00f3\u0142y ju\u017c pominiemy).<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nJe\u017celi przez \u015brodek okr\u0119gu poprowadzimy prost\u0105, to punkty jej przeci\u0119cia z okr\u0119giem wyznacz\u0105 odcinek, kt\u00f3ry jest zwyk\u0142\u0105 \u015brednic\u0105. Owe dwa punkty dziel\u0105 r\u00f3wnie\u017c okr\u0105g na dwie identyczne cz\u0119\u015bci. Podobn\u0105 \u015brednic\u0119 mo\u017cemy otrzyma\u0107, gdy m\u00f3wimy o paraboli. Je\u017celi poprowadzimy niepionow\u0105 prost\u0105 przez ognisko, to podzieli ona parabol\u0119 na cz\u0119\u015bci. Przy czym jedna z nich b\u0119dzie mia\u0142a sko\u0144czony obw\u00f3d. Takich prostych jest niesko\u0144czenie wiele, ale nas b\u0119dzie interesowa\u0142a jedna &#8211; r\u00f3wnoleg\u0142a do kierownicy.<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARAB.jpg\" alt=\"sta\u0142a paraboliczna\" width=\"445\" height=\"334\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2037\" \/> Punkty przeci\u0119cia tej prostej z parabol\u0105 wyznaczaj\u0105 zaznaczony na niebiesko odcinek, kt\u00f3ry nazywa si\u0119 <em><strong>latus rectum<\/strong><\/em>. Jest on dwukrotnie d\u0142u\u017cszy ni\u017c odcinek zielony. Wynika to z definicji paraboli. Odleg\u0142o\u015b\u0107 punkt\u00f3w A oraz B od ogniska F jest taka sama jak ich  odleg\u0142o\u015b\u0107 od kierownicy, kt\u00f3ra jest r\u00f3wna d\u0142ugo\u015bci zielonego odcinka.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nI w\u0142a\u015bnie stosunek d\u0142ugo\u015bci czerwonego \u0142uku do d\u0142ugo\u015bci odcinka zielonego nazywa si\u0119 sta\u0142\u0105 paraboliczn\u0105. Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce jest to paraboliczny odpowiednik po\u0142owy obwodu okr\u0119gu podzielonego przez promie\u0144, gdy\u017c zasadniczo mo\u017cemy sta\u0142\u0105 paraboliczb\u0105 r\u00f3wnowa\u017cnie zdefiniowa\u0107 jako iloraz d\u0142ugo\u015bci czerwonego fragmentu paraboli przez d\u0142ugo\u015b\u0107 odcinka \\(FB\\) (czyli odpowiednik promienia okr\u0119gu). Sta\u0142a paraboliczna, jak poka\u017cemy, jest r\u00f3wna \\[P=\\ln{(1+\\sqrt{2})}+\\sqrt{2}=2,29558714&#8230;\\] Jest to liczba przest\u0119pna, co wynika z twierdzenia <a href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/05\/09\/liczby-przestepne\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Lindemanna-Weierstrassa<\/a>.<\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nA czy elipsa oraz hiperbola r\u00f3wnie\u017c maj\u0105 swoje \\(\\pi\\)? Nie, bo ani elipsy nie s\u0105 wszystkie do siebie podobne ani hiperbole. <\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\nTeraz poka\u017cemy, \u017ce istotnie sta\u0142a paraboliczna jest r\u00f3wna \\(\\ln(\\sqrt{2}+1)+\\sqrt{2}\\). Dla prostoty za\u0142o\u017cymy, \u017ce wierzcho\u0142ek paraboli znajduje si\u0119 w pocz\u0105tku uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych a ognisko w punkcie \\((0,f)\\). Z tego od razu wynika, \u017ce kierownic\u0105 jest prosta o r\u00f3wnaniu \\(y=-f\\). \u0141atwo te\u017c pokaza\u0107, \u017ce taka parabola ma r\u00f3wnanie \\(y=\\frac{x^2}{4f}\\) (dow\u00f3d w <a href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/05\/03\/parabola\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">tym wpisie<\/a>). Aby wyznaczy\u0107 dok\u0142adn\u0105 warto\u015b\u0107 sta\u0142ej \\(P\\) musimy policzy\u0107 w zasadzie jedynie d\u0142ugo\u015b\u0107 \\(l\\) czerwonego \u0142uku, gdy\u017c d\u0142ugo\u015b\u0107 zielonego odcinka jest, jak \u0142atwo zauwa\u017cy\u0107, r\u00f3wna \\(2f\\). W tym celu skorzystamy ze znanego z rachunku r\u00f3\u017cniczkowego wzoru \\[l=\\int\\limits_a^b\\sqrt{1+(f^{&#8217;}(x))^2}dx\\]<br \/>\nna d\u0142ugo\u015b\u0107 \u0142uku fragmentu wykresy funkcji \\(f(x)\\) od punktu \\((a,f(a))\\) do punktu \\((b,f(b))\\). W naszym przypadku \\(f(x)=\\frac{x^2}{4f}\\) oraz \\(f^{&#8217;}(x)=\\frac{x}{2f}\\). Ponadto \\(A=(-2f,f)\\) oraz \\(B=(2f,f)\\) Zatem \\[P=\\frac{1}{2f}\\int\\limits_{-2f}^{2f}\\sqrt{1+\\frac{x^2}{4f^2}}dx\\] Zastosujemy teraz podstawienie \\(x=2ft\\) co nam daje \\(dx=2fdt\\). Je\u017celi \\(x=2f\\), to w tej sytuacji \\(t=1\\) i mamy \\[\\begin{array}{lll}P &#038; = &#038; \\int\\limits_{-1}^1\\sqrt{1+t^2}dt=2\\int\\limits_0^1\\sqrt{1+t^2}dt=\\\\<br \/>\n &#038; = &#038; 2\\cdot \\frac{1}{2} (\\textrm{arsinh }{t}+t\\sqrt{t^2+1})|_0^1=\\\\<br \/>\n &#038; = &#038; \\textrm{arsinh }{1}+\\sqrt{2}=\\ln{(1+\\sqrt{2})}+\\sqrt{2}\\end{array}\\] <\/p>\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\n<p style=\"line-height: 1.2;\">\n\\(\\)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wszyscy wiedz\u0105, \u017ce stosunek obwodu okr\u0119gu do d\u0142ugo\u015bci jego \u015brednicy jest r\u00f3wny s\u0142ynnej liczbie . Okazuje si\u0119, \u017ce parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje, nieco inne, , kt\u00f3re b\u0119dziemy nazywa\u0107 (uniwersaln\u0105) sta\u0142\u0105 paraboliczn\u0105. Zacznijmy mo\u017ce od tego<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2042,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[59,28,3,45],"tags":[60,31,46],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v22.4 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi&quot;!<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Nie tylko okr\u0105g ma swoje pi. Ma je r\u00f3wnie\u017c parabola! Jest ni\u0105 tzw. uniwersalna sta\u0142a paraboliczna.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi&quot;!\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Nie tylko okr\u0105g ma swoje pi. Ma je r\u00f3wnie\u017c parabola! Jest ni\u0105 tzw. uniwersalna sta\u0142a paraboliczna.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"&beta;X - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-06-08T22:19:08+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2023-06-12T22:06:16+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"929\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"334\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi&#8221;!\",\"datePublished\":\"2023-06-08T22:19:08+00:00\",\"dateModified\":\"2023-06-12T22:06:16+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/\"},\"wordCount\":950,\"commentCount\":2,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg\",\"keywords\":[\"Geometria\",\"Krzywe\",\"Sto\u017ckowe\"],\"articleSection\":[\"Geometria\",\"Krzywe\",\"Liczba pi\",\"Sto\u017ckowe\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/\",\"name\":\"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi\\\"!\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg\",\"datePublished\":\"2023-06-08T22:19:08+00:00\",\"dateModified\":\"2023-06-12T22:06:16+00:00\",\"description\":\"Nie tylko okr\u0105g ma swoje pi. Ma je r\u00f3wnie\u017c parabola! Jest ni\u0105 tzw. uniwersalna sta\u0142a paraboliczna.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg\",\"width\":929,\"height\":334,\"caption\":\"parabola\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi&#8221;!\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"&beta;X - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi\"!","description":"Nie tylko okr\u0105g ma swoje pi. Ma je r\u00f3wnie\u017c parabola! Jest ni\u0105 tzw. uniwersalna sta\u0142a paraboliczna.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi\"!","og_description":"Nie tylko okr\u0105g ma swoje pi. Ma je r\u00f3wnie\u017c parabola! Jest ni\u0105 tzw. uniwersalna sta\u0142a paraboliczna.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/","og_site_name":"&beta;X - blog o matematyce","article_published_time":"2023-06-08T22:19:08+00:00","article_modified_time":"2023-06-12T22:06:16+00:00","og_image":[{"width":929,"height":334,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"5 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi&#8221;!","datePublished":"2023-06-08T22:19:08+00:00","dateModified":"2023-06-12T22:06:16+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/"},"wordCount":950,"commentCount":2,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg","keywords":["Geometria","Krzywe","Sto\u017ckowe"],"articleSection":["Geometria","Krzywe","Liczba pi","Sto\u017ckowe"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/","name":"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi\"!","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg","datePublished":"2023-06-08T22:19:08+00:00","dateModified":"2023-06-12T22:06:16+00:00","description":"Nie tylko okr\u0105g ma swoje pi. Ma je r\u00f3wnie\u017c parabola! Jest ni\u0105 tzw. uniwersalna sta\u0142a paraboliczna.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/STALA_PARABOLICZNA.jpg","width":929,"height":334,"caption":"parabola"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/06\/09\/stala-paraboliczna\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Nie tylko okr\u0105g! Parabola r\u00f3wnie\u017c ma swoje ,,pi&#8221;!"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"&beta;X - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2032"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2032"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2032\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2078,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2032\/revisions\/2078"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2042"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2032"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2032"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2032"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}