{"id":1987,"date":"2023-05-09T22:02:46","date_gmt":"2023-05-09T20:02:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=1987"},"modified":"2023-07-11T17:37:07","modified_gmt":"2023-07-11T15:37:07","slug":"liczby-przestepne","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2023\/05\/09\/liczby-przestepne\/","title":{"rendered":"Liczby przest\u0119pne i co o nich wiemy"},"content":{"rendered":"

\nWiemy ze szko\u0142y, \u017ce liczby rzeczywiste mo\u017cna podzieli\u0107 na wymierne i niewymierne. W\u015br\u00f3d tych drugich s\u0105 tzn. liczby przest\u0119pne<\/strong> czyli takie jakby bardziej niewymierne. Mimo i\u017c, co mo\u017ce niekt\u00f3rych zaskoczy\u0107, prawie wszystkie liczby s\u0105 przest\u0119pne, to nie jest rzecz\u0105 \u0142atw\u0105 pokaza\u0107, \u017ce dana liczba jest przest\u0119pna.
\n<\/p>\n

\nZanim przejdziemy do meritum musimy wspomnie\u0107 o liczbach algebraicznych. S\u0105 to te liczby zespolone, kt\u00f3re s\u0105 pierwiastkami wielomian\u00f3w o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych. Liczbami algebraicznymi s\u0105 wszystkie liczby wymierne \\(\\frac pq\\in\\mathbb Q\\) jako pierwiastki wielomian\u00f3w \\(x-\\frac pq\\). Jest ni\u0105 tak\u017ce \\(\\sqrt{2}\\) bo jest pierwiastkiem wielomianu \\(x^2-2\\).<\/p>\n

\nSuma, iloczyn, r\u00f3\u017cnica oraz iloraz liczb algebraicznych nadal jest liczb\u0105 algebraiczn\u0105. Wa\u017cn\u0105 w\u0142asno\u015bci\u0105, zbioru liczb algebraicznych, z kt\u00f3rej p\u00f3\u017aniej b\u0119dziemy korzystali, jest to, \u017ce nawet je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynniki wielomianu s\u0105 liczbami algebraicznymi, to jego pierwiastki r\u00f3wnie\u017c b\u0119d\u0105 liczbami algebraicznymi. M\u00f3wi\u0105c bardziej matematycznie, oznacza to, \u017ce liczby algebraiczne tworz\u0105 tzw. cia\u0142o algebraicznie domkni\u0119te<\/em>. Ma to te\u017c odzwierciedlenie w notacji. Zbi\u00f3r liczb wymiernych oznaczamy \\(\\mathbb Q\\), a zbi\u00f3r liczb algebraicznych \\(\\overline{\\mathbb Q}\\). Wi\u0119cej o liczbach algebraicznych mo\u017cna poczyta\u0107 w tym miejscu<\/a>.<\/p>\n

\nW tym wpisie zajmiemy si\u0119 liczbami, kt\u00f3re algebraiczne nie s\u0105. Liczby te to liczby przest\u0119pne<\/strong>. Czyli innymi s\u0142owy s\u0105 to liczby, kt\u00f3re nie s\u0105 pierwiastkami wielomian\u00f3w o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych (ani, jak ju\u017c wiemy, tych o wsp\u00f3\u0142czynnikach algebraicznych). Zatem liczby takie jak \\(\\sqrt{2}\\) czy \\(1+7\\sqrt[23]{28+\\sqrt{37}}\\) liczbami przest\u0119pnymi nie s\u0105. <\/p>\n

\nMo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107, \u017ce liczby przest\u0119pne s\u0105 czym\u015b rzadkim. Wszak wi\u0119kszo\u015b\u0107 liczb, kt\u00f3re znamy s\u0105 algebraiczne. Wszystkie liczby wymierne czy liczby utworzone z nich przy pomocy czterech dzia\u0142a\u0144 arytmetycznych oraz wyci\u0105gania pierwiastk\u00f3w dowolnych naturalnych stopni s\u0105, jak ju\u017c wiemy, algebraiczne. Jednak jest to z\u0142udne wra\u017cenie. Jest ono spowodowane tym, \u017ce wi\u0119kszo\u015b\u0107 liczb, kt\u00f3re poznajemy w szkole to takie, kt\u00f3re zasadniczo pojawiaj\u0105 si\u0119 ,,gdzie\u015b” w spos\u00f3b naturalny. Bardzo cz\u0119sto owe ,,gdzie\u015b” zwi\u0105zane jest z jakim\u015b r\u00f3wnaniem wielomianowym, co naturalnie prowadzi do liczb algebraicznych w\u0142a\u015bnie.<\/p>\n

\nZ liczb niewymiernych poznajemy w szkole zasadniczo pierwiastki oraz liczb\u0119 \\(\\pi\\) dlatego mo\u017cemy odnosi\u0107 wra\u017cenie, \u017ce niemal wszystkie liczby s\u0105 algebraiczne. Prawda mo\u017ce niekt\u00f3rym wyda\u0107 si\u0119 zaskakuj\u0105ca. Niemal ka\u017cda liczba (rzeczywista czy og\u00f3lniej zespolona) jest przest\u0119pna!! Gdyby\u015bmy ze zbioru liczb (zespolonych czy rzeczywistych) wybrali w spos\u00f3b losowy jedn\u0105 z nich, to z prawdopodobie\u0144stwem r\u00f3wnym 1 b\u0119dzie to liczba przest\u0119pna (pami\u0119tajmy, \u017ce w og\u00f3lno\u015bci prawdopodobie\u0144stwo r\u00f3wne 1 nie oznacza, \u017ce zdarzenie zajdzie!!). Liczby algebraiczne, mimo i\u017c wydaj\u0105 si\u0119 tak naturalne stanowi\u0105 istotn\u0105 mniejszo\u015b\u0107 w\u015br\u00f3d liczb!<\/p>\n

\nMimo i\u017c niemal ka\u017cda liczba rzeczywista jest przest\u0119pna, to podawanie przyk\u0142ad\u00f3w liczb przest\u0119pnych nie jest tak \u0142atwe jak w przypadku liczb algebraicznych. Jako pierwszy przyk\u0142ad takiej liczby poda\u0142 w XIX wieku Liouville, kt\u00f3ry udowodni\u0142, \u017ce przest\u0119pn\u0105 jest liczba \\[L=\\sum_{n=1}^\\infty\\dfrac{1}{10^{n!}}=0,110001000000000000000001\\ldots\\] maj\u0105ca po przecinku jedynki na miejscach o numerach n!, a reszta cyfr jej rozwini\u0119cia dziesi\u0119tnego to zera. Jest to dosy\u0107 intryguj\u0105ca liczba. Bo nie jest to jaka\u015b s\u0142ynna liczba pokroju \\(\\pi\\). Liouville pokaza\u0142, \u017ce jest ona przest\u0119pna. Dok\u0142adniej, udowodni\u0142 nast\u0119puj\u0105ce twierdzenie:<\/p>\n

Twierdzenie (Liouville)<\/strong><\/p>\n

\nJe\u017celi \\(x\\) jest rzeczywist\u0105 liczb\u0105 algebraiczn\u0105 stopnia \\(n>1\\), to istnieje taka dodatnia sta\u0142a \\(c(\\alpha)\\), \u017ce dla wszystkich liczb wymiernych \\(\\frac pq\\), gdzie \\(q>0\\) oraz \\(p,q\\) s\u0105 wzgl\u0119dnie pierwsze, zachodzi \\[\\left|x-\\dfrac pq\\right|>\\dfrac{c(\\alpha)}{q^n}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n

\na nast\u0119pnie skonstruowa\u0142 powy\u017csz\u0105 liczb\u0119 niewymiern\u0105, kt\u00f3ra tezy tego twierdzenia nie spe\u0142nia. Liczba \\(L\\) jest przyk\u0142adem tzw. liczby Liouville’a<\/strong>. S\u0105 to takie liczby rzeczywiste \\(x\\), \u017ce dla dowolnego \\(n\\in\\mathbb N^+\\) nier\u00f3wno\u015b\u0107 \\[0\\lt \\left|x-\\frac pq\\right|\\lt\\frac{1}{q^n}\\] ma jedynie sko\u0144czenie wiele rozwi\u0105za\u0144 \\(\\frac pq\\in\\mathbb Q\\). Liczby Liouville’a s\u0105 przest\u0119pne. Ka\u017cda liczba postaci \\[\\sum_{n=1}^\\infty\\dfrac{c_i}{10^{n!}},\\] gdzie wszystkie \\(c_i\\) s\u0105 cyframi (w systemie dziesi\u0119tnym), jest liczb\u0105 Liouville’a, a wi\u0119c w szczeg\u00f3lno\u015bci jest liczb\u0105 przest\u0119pn\u0105.<\/p>\n

\nTak wi\u0119c pierwsze liczby przest\u0119pne mamy i to nawet niesko\u0144czenie wiele. Zosta\u0142y one jednak skonstruowana specjalnie pod twierdzenie Liouville’a. Ju\u017c sam fakt, \u017ce do podania w og\u00f3le przyk\u0142adu liczby przest\u0119pnej potrzebne by\u0142o, niebanalne przecie\u017c, twierdzenie Liouville’a pokazuje, \u017ce s\u0105 to liczby ci\u0119\u017csze do badania ni\u017c liczby algebraiczne. Sprawdzenie natomiast czy jaka\u015b konkretna matematyczna sta\u0142a, zw\u0142aszcza taka pojawiaj\u0105ca si\u0119 w interesuj\u0105cy spos\u00f3b, jest liczb\u0105 algebraiczn\u0105 czy przest\u0119pn\u0105 to ju\u017c inna para kaloszy. Bez w\u0105tpienia s\u0105 dwie bardzo znane matematyczne sta\u0142e. Jedn\u0105 z nich jest oczywi\u015bcie \\(\\pi\\), o kt\u00f3rej s\u0142ysza\u0142 ka\u017cdy licealista. Drug\u0105 jest nieco mniej znana w\u015br\u00f3d licealist\u00f3w liczba \\(e\\). O obu z nich wiemy, \u017ce s\u0105 przest\u0119pne, cho\u0107 nie s\u0105 to fakty oczywiste. Przest\u0119pno\u015b\u0107 \\(e\\) udowodni\u0142 w 1873 Charles Hermite, za\u015b co do \\(\\pi\\), to jej przest\u0119pno\u015b\u0107 wykaza\u0142 w 1882 Ferdinand Lindemann.<\/p>\n

\n\\(\\pi\\) czyli liczba, kt\u00f3r\u0105 otrzymujemy bardzo prosto, przez zwyk\u0142y iloraz obwodu ko\u0142a do jego \u015brednicy nie mo\u017ce by\u0107 rozwi\u0105zaniem \u017cadnego r\u00f3wnania wielomianowego o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych czy algebraicznych! Z tego wynika mi\u0119dzy innymi niemo\u017cno\u015b\u0107 wykonania s\u0142ynnej kwadratury ko\u0142a przy pomocy cyrkla i linijki bez podzia\u0142ki.<\/p>\n

\nMimo i\u017c wiemy, \u017ce liczby \\(e\\) oraz \\(\\pi\\) s\u0105 przest\u0119pne, to nie wiemy czy przest\u0119pnymi s\u0105 liczby: \\[e+\\pi, e\\pi, \\pi^e,\\pi^{\\pi}, \\pi^{{\\pi}^{\\pi}},\\pi^{{\\pi}^{{\\pi}^{\\pi}}} \\] jak i wiele innych. Ba! W przypadku liczby \\[\\mathfrak p=\\pi^{{\\pi}^{{\\pi}^{\\pi}}}\\] nie jeste\u015bmy w stanie stwierdzi\u0107 nawet czy jest to liczba ca\u0142kowita czy nie!<\/p>\n

\nMo\u017ce si\u0119 to wydawa\u0107 absurdalne, \u017ce nie wiemy nawet czy \\(\\mathfrak p\\) jest ca\u0142kowita! W ko\u0144cu przecie\u017c tutaj wystarczy zapewne policzy\u0107 t\u0119 liczb\u0119 z dok\u0142adno\u015bci\u0105 do kilku miejsc po przecinku i pewnie by si\u0119 okaza\u0142o, \u017ce nie jest to liczba ca\u0142kowita. Jej ewentualna niewymierno\u015b\u0107 czy przest\u0119pno\u015b\u0107 to ju\u017c naturalnie ci\u0119\u017cszy problem, ale to czy jest ca\u0142kowita? No c\u00f3\u017c to mo\u017ce by\u0107 za problem w 2023 roku? No, okazuje si\u0119, \u017ce mo\u017ce! Mianowicie liczba \\(\\mathfrak p\\) jest, delikatnie m\u00f3wi\u0105c, dosy\u0107 spor\u0105 liczb\u0105. Pami\u0119tajmy, \u017ce przy takiej pot\u0119gowej ,,wie\u017cy” aby policzy\u0107 \\(\\mathfrak p\\) musimy najpierw policzy\u0107 \\[\\pi^{\\pi^{\\pi}}\\] Czyli najpierw musimy policzy\u0107 \\(\\pi^{\\pi}=36,462159\\ldots\\) i nast\u0119pnie wzi\u0105\u0107 \\(\\pi\\) do tej pot\u0119gi otrzymuj\u0105c w przybli\u017ceniu \\[1340164183006357435,297\\ldots\\] I to nadal nie koniec. Bo jeszcze musimy wzi\u0105\u0107 \\(\\pi\\) do tej pot\u0119gi!! Mog\u0142oby si\u0119 wydawa\u0107, \u017ce obecne komputery powinny da\u0107 sobie z tym rad\u0119, ale problem jest taki, \u017ce aby m\u00f3c to zrobi\u0107 nale\u017cycie, musimy zna\u0107 rozwini\u0119cie dziesi\u0119tne \\(\\pi\\) do bardzo wielu miejsc po przecinku. A obecny rekord (maj 2023) to znajomo\u015b\u0107 rozwini\u0119cia \\(\\pi\\) do 100 trylion\u00f3w (tj. \\(10^{14}\\)) miejsc po przecinku. Zdecydowanie za ma\u0142o by m\u00f3c stwierdzi\u0107 z ca\u0142\u0105 pewno\u015bci\u0105, \u017ce \\(\\mathfrak p\\) nie jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105. I \u017caden WolphramAlpha czy ChatGPT nie odpowiedz\u0105 poprawnie na to pytanie bo operuj\u0105 na znacznie mniej dok\u0142adnych przybli\u017ceniach (delikatnie m\u00f3wi\u0105c). Wi\u0119cej szczeg\u00f3\u0142\u00f3w co do tego problemu mo\u017cna znale\u017a\u0107 w tym filmie<\/a>. <\/p>\n

\nOczywi\u015bcie mo\u017ce wydawa\u0107 si\u0119 intuicyjnie raczej oczywiste, \u017ce \\(\\mathfrak p\\) nie tylko nie jest ca\u0142kowita, ale jest przest\u0119pna. No ale intuicja, mimo i\u017c jest niezwykle przydatna, to w matematyce potrafi bardzo cz\u0119sto zawie\u015b\u0107. W matematyce jest troch\u0119 jak w pi\u0142ce no\u017cnej. Dru\u017cyna A mo\u017ce mie\u0107 znacznie lepszych pi\u0142karzy ni\u017c dru\u017cyna B, ca\u0142y mecz mo\u017ce atakowa\u0107, odda\u0107 sporo strza\u0142\u00f3w na bramk\u0119 i mie\u0107 o 10 wi\u0119cej rzut\u00f3w ro\u017cnych, a mimo to mo\u017ce przegra\u0107 mecz. Koniec ko\u0144c\u00f3w liczy si\u0119 wy\u0142\u0105cznie to co w siatce. W matematyce za\u015b mo\u017cemy by\u0107 czego\u015b niemal pewni, mo\u017ce si\u0119 nam wydawa\u0107, \u017ce co\u015b jest na pewno prawd\u0105, ale koniec ko\u0144c\u00f3w liczy si\u0119 dow\u00f3d. Albo umiemy go przedstawi\u0107 albo nie. No jest jeszcze trzecia opcja, \u017ce potrafimy pokaza\u0107, \u017ce czego\u015b nie da si\u0119 pokaza\u0107. \ud83d\ude09<\/p>\n

\nA nie jest niczym nadzwyczajnym, \u017ce liczba przest\u0119pna podniesiona do przest\u0119pnej pot\u0119gi daje wynik ca\u0142kowity. Prostym przyk\u0142adem jest chocia\u017cby \\[e^{\\ln{3}}=3\\] Jest to przyk\u0142ad wr\u0119cz trywialny, bo z definicji \\(\\ln{3}\\) jest tak\u0105 liczb\u0105 aby ta r\u00f3wno\u015b\u0107 by\u0142a prawdziwa. Zaznaczmy, \u017ce w tym miejscu o przest\u0119pno\u015bci liczby \\(\\ln{3}\\) m\u00f3wimy nieoficjalnie. Zostanie to pokazane p\u00f3\u017aniej. Zwi\u0105zek mi\u0119dzy liczbami \\(e\\) oraz \\(\\ln{3}\\) jest prosty. Ale kto wie, mo\u017ce liczba \\(\\pi\\) ma jak\u0105\u015b nieznan\u0105 nam w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce gdyby\u015bmy j\u0105 poznali, to ju\u017c nie by\u0142oby to dla nas takie zadziwiaj\u0105ce, \u017ce \\(\\mathfrak p\\) lub taka pot\u0119gowa wie\u017ca zawieraj\u0105ca wi\u0119cej ni\u017c 4 liczby \\(\\pi\\) mog\u0142aby by\u0107 liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105?<\/p>\n

\nPodobnie nie jest niczym nadzwyczajnym, \u017ce suma czy iloczyn liczb przest\u0119pnych jest wymierna czy ca\u0142kowita lub chocia\u017c jest liczb\u0105 algebraiczn\u0105. Prosty przyk\u0142ad: liczby \\(\\pi, 1-\\pi,\\pi^{-1}\\) s\u0105 przest\u0119pne, a mimo to \\[\\pi+(1-\\pi)=\\pi\\cdot\\frac{1}{\\pi}=1.\\] Jednak\u017ce, je\u017celi \\(a\\) oraz \\(b\\) s\u0105 liczbami przest\u0119pnymi, to na pewno co najmniej jedna z liczb \\(a+b, ab\\) jest przest\u0119pna. Istotnie, poniewa\u017c \\(a,b\\) s\u0105 z za\u0142o\u017cenia przest\u0119pne, to wielomian \\[(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab\\] nie mo\u017ce mie\u0107 wszystkich wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w algebraicznych. W szczeg\u00f3lno\u015bci, mimo i\u017c nie wiemy czy liczby \\(\\pi+e\\) oraz \\(\\pi e\\) s\u0105 przest\u0119pne, to wiemy \u017ce przynajmniej jedna z nich jest.<\/p>\n

\nA o jakich jeszcze liczbach wiemy, \u017ce s\u0105 przest\u0119pne? Zacznijmy od s\u0142ynnego twierdzenia Gelfonda-Schneidera. Twierdzenie to udowodnili w 1934 niezale\u017cnie od siebie Aleksandr Gelfond oraz Theodor Schneider.<\/p>\n

Twierdzenie (Gelfond-Schneider)<\/strong><\/p>\n

\nJe\u017celi \\(a, b\\) s\u0105 liczbami algebraicznymi, przy czym \\(a\\notin \\{0,1\\}\\) oraz \\(b\\) nie jest wymierna, to ka\u017cda warto\u015b\u0107 \\(a^b\\) jest liczb\u0105 przest\u0119pn\u0105.\n<\/p><\/blockquote>\n

\nBy\u0107 mo\u017ce drobnego wyja\u015bnienia wymaga sformu\u0142owanie ,,ka\u017cda warto\u015b\u0107”. Pami\u0119tajmy, \u017ce operujemy na liczbach zespolonych i w og\u00f3lno\u015bci liczba \\(a^b\\) mo\u017ce mie\u0107 wi\u0119cej ni\u017c jedn\u0105 warto\u015b\u0107. Prostym przyk\u0142adem jest \\(1^{\\frac 12}\\), kt\u00f3ra ma dwie warto\u015bci: 1 oraz -1.<\/p>\n

\nZ twierdzenia Gelfonda-Schneidera wynika m.in., \u017ce liczby takie jak: \\[2^{\\sqrt{2}},\\sqrt{2}^{\\sqrt{2}}, (1+3\\sqrt[9]{1+\\sqrt{3}})^{3\\sqrt{5}-\\sqrt{7}},\\textrm{ itd.}\\] s\u0105 przest\u0119pne. Co wi\u0119cej, wynika z niego, \u017ce \\(e^{\\pi}\\) jest liczb\u0105 przest\u0119pn\u0105, bo najpi\u0119kniejszy wz\u00f3r matematyki m\u00f3wi nam, \u017ce \\[e^{\\pi i}=-1.\\] St\u0105d, dostajemy \u017ce \\[(-1)^{-i}=e^{\\pi i\\cdot (-i)}=e^{\\pi}\\] i liczba ta na mocy twierdzenia Gelfonda-Schneidera jest przest\u0119pna bo \\(-1\\) oraz \\(-i\\) s\u0105 liczbami algebraicznymi, a do tego \\(-i\\) nie jest liczb\u0105 wymiern\u0105. Czyli za\u0142o\u017cenia s\u0105 spe\u0142nione! Czy\u017c to nie irytuj\u0105ce, \u017ce wiemy czy \\(e^{\\pi}\\) jest przest\u0119pna, a nie wiemy tego o liczbie \\(\\pi^e\\)? Swoj\u0105 drog\u0105, liczb\u0119 \\(e^{\\pi}\\) nazywamy sta\u0142\u0105 Gelfonda, za\u015b liczb\u0119 \\(2^{\\sqrt{2}}\\) sta\u0142\u0105 Gelfonda-Schneidera. <\/p>\n

\nAle id\u017amy dalej. Zauwa\u017cmy, \u017ce \\[i^i=\\left(e^{\\frac{\\pi i}{2}}\\right)^i=e^{-\\frac{\\pi}{2}}=0,20787…\\] Czy\u017c to nie zadziwiaj\u0105ce i pi\u0119kne, \u017ce liczba czysto urojona podniesiona do urojonej pot\u0119gi daje w wyniku liczb\u0119 rzeczywist\u0105?<\/p>\n

\nKolejnym bardzo wa\u017cnym twierdzeniem jest twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa. W twierdzeniu tym pojawia si\u0119 poj\u0119cie liniowej niezale\u017cno\u015bci, kt\u00f3re wpierw wyja\u015bnimy. Ot\u00f3\u017c m\u00f3wimy, \u017ce liczby \\(a_1,\\ldots, a_n\\) s\u0105 liniowo niezale\u017cne nad zbiorem liczb wymiernych \\(\\mathbb Q\\), gdy dla dowolnych \\(q_1,\\ldots,q_n\\in\\mathbb Q\\) z faktu, \u017ce \\[a_1q_1+a_2q_2+\\cdots+a_nq_n=0\\] wynika, \u017ce \\(q_1=q_2=\\ldots=q_n=0\\).<\/p>\n

\nPrzyk\u0142adowo liczby \\(2, \\sqrt{8}=2\\sqrt{2}\\) s\u0105 liniowo niezale\u017cne. Dla dowolnych \\(q_1,q_2\\in\\mathbb Q\\) liczba \\(2q_1+2q_2\\sqrt{2}\\) nie mo\u017ce by\u0107 r\u00f3wna 0, gdy \\(q_2\\neq 0\\) bo w\u00f3wczas suma jest liczb\u0105 niewymiern\u0105. Z kolei, gdy \\(q_2=0\\), to suma ta jest r\u00f3wna 0 tylko, gdy i \\(q_1=0\\), Natomiast liczby \\(2,2\\sqrt{2}, 1+\\sqrt{2}\\) s\u0105 ju\u017c liniowo zale\u017cne gdy\u017c \\[\\frac 12\\cdot 2+\\frac 12\\cdot 2\\sqrt{2}-1\\cdot (1+\\sqrt{2})=0.\\] W definicji zbi\u00f3r liczb wymiernych \\(\\mathbb Q\\) mo\u017cna zast\u0105pi\u0107 innym (np. \\(\\overline{\\mathbb Q}\\)). Wtedy m\u00f3wimy o liniowej niezale\u017cno\u015bci nad tym zbiorem. Przejd\u017amy do twierdzenia i tego co z niego wynika. <\/p>\n

Twierdzenie (Lindemann-Weierstrass)<\/strong><\/p>\n

\nJe\u017celi \\(a_1,a_2,\\ldots,a_n\\) s\u0105 r\u00f3\u017cnymi liczbami algebraicznymi, to \\(e^{a_1}, e^{a_2},\\ldots,e^{a_n}\\) s\u0105 liniowo niezale\u017cne nad \\(\\overline{\\mathbb Q}\\).\n<\/p><\/blockquote>\n

\nTwierdzenie wydaje si\u0119 pozornie niezwi\u0105zane z liczbami przest\u0119pnymi, ale jak zobaczymy jest inaczej! Z twierdzenia tego wynika m.in. przest\u0119pno\u015b\u0107 zar\u00f3wno liczby \\(e\\) jak i liczby \\(\\pi\\). Ale wypiszmy kilka wniosk\u00f3w p\u0142yn\u0105cych z tego twierdzenia.<\/p>\n