\nInnymi s\u0142owy, liczb\u0119 zespolon\u0105 \\(z\\) nazywamy liczb\u0105 algebraiczn\u0105 je\u017celi istnieje taki wielomian \\[W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\cdots+a_1x+a_0,\\] \u017ce wszystkie wsp\u00f3\u0142czynniki \\(a_n, a_{n-1},\\ldots,a_1,a_0\\) s\u0105 wymierne oraz \\(W(z)=0\\). W definicji tej, mogli\u015bmy r\u00f3wnie\u017c za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce wsp\u00f3\u0142czynniki s\u0105 ca\u0142kowite. Je\u017celi wielomian \\(W(x)\\) pomno\u017cymy np. przez \\(a_0\\cdot a_1\\cdot\\ldots\\cdot a_n\\), to otrzymamy wielomian o wsp\u00f3\u0142czynnikach ca\u0142kowitych maj\u0105cy te same pierwiastki.<\/p>\n
\nTak wi\u0119c liczbami algebraicznymi s\u0105, jak ju\u017c wiemy, wszystkie liczby wymierne. Dowolny pierwiastek dowolnego, naturalnego stopnia \\(n\\), z dowolnej liczby wymiernej \\(\\frac pq\\) jest r\u00f3wnie\u017c liczb\u0105 algebraiczn\u0105 jako pierwiastek wielomianu \\(x^n-\\frac pq\\). Og\u00f3lnie suma, r\u00f3\u017cnica, iloczyn oraz iloraz liczb algebraicznych jest r\u00f3wnie\u017c liczb\u0105 algebraiczn\u0105. Tak na marginesie, oznacza to, \u017ce zbi\u00f3r liczb algebraicznych \\(\\overline{\\mathbb Q}\\) tworzy tzw. cia\u0142o<\/em>. W matematyce cia\u0142em (w tym wypadku liczbowym) nazywamy, w telegraficznym skr\u00f3cie, zbi\u00f3r liczb, w kt\u00f3rym mo\u017cemy bezkarnie dodawa\u0107, odejmowa\u0107, mno\u017cy\u0107 i dzieli\u0107 (ale nie przez 0). Bezkarnie, tzn. \u017ce ka\u017cde z dzia\u0142a\u0144 na elementach cia\u0142a daje element tego cia\u0142a. Dobrym przyk\u0142adem cia\u0142a s\u0105 liczby wymierne. Dowolne z czterech dzia\u0142a\u0144 arytmetycznych, zastosowane na dwu liczbach wymiernych (nie licz\u0105c dzielenia przez 0) daje w wyniku liczb\u0119 wymiern\u0105. Podobnie liczby rzeczywiste oraz zespolone tworz\u0105 cia\u0142a. Natomiast liczby ca\u0142kowite cia\u0142a ju\u017c nie tworz\u0105. Iloraz dwu liczb ca\u0142kowitych na og\u00f3\u0142 ju\u017c liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 nie jest.<\/p>\n \nZauwa\u017cmy, \u017ce \\(\\sqrt{2}\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(x^2-2\\), kt\u00f3ry jest stopnia drugiego. Nie jest natomiast pierwiastkiem wielomianu stopnia 1. Podobnie liczba \\(\\sqrt[3]{2}\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(x^3-2\\) i nie jest pierwiastkiem \u017cadnego wielomianu stopnia ni\u017cszego. Og\u00f3lnie dla ka\u017cdej liczby algebraicznej \\(z\\) istnieje wielomian najni\u017cszego stopnia, kt\u00f3rego pierwiastkiem jest \\(z\\). Stopie\u0144 tego wielomianu nazywamy stopniem liczby<\/strong> \\(z\\). Pozwala to podzieli\u0107 zbi\u00f3r liczb algebraicznych wzgl\u0119dem ich stopnia. Liczby wymierne maj\u0105 stopie\u0144 1, \\(\\sqrt{2}\\),\\(i\\), \\(\\frac{3+\\sqrt{7}}{5}\\) stopie\u0144 2, \\(\\sqrt[3]{2}\\) stopie\u0144 3, \\(\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\\) stopie\u0144 4, a liczba \\(\\sqrt{\\sqrt{2}+\\sqrt[3]{5}}+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\\) jest stopnia 24.<\/p>\n \nNa rysunku poni\u017cej widzimy wizualizacj\u0119 rozmieszczenia liczb algebraicznych (dla wielomian\u00f3w o wsp\u00f3\u0142czynnikach ca\u0142kowitych od -5 do 5) na p\u0142aszczy\u017anie zespolonej w zale\u017cno\u015bci od stopnia. Stopie\u0144 1 – zielony, stopie\u0144 2 – czerwony, stopie\u0144 3 – cyjan, stopie\u0144 4 – niebieski. \nLiczby algebraiczne \\(\\overline{\\mathbb Q}\\) tworz\u0105 cia\u0142o i to nie byle jakie! Jest to tzw. cia\u0142o algebraicznie domkni\u0119te<\/strong>. To takie cia\u0142o, \u017ce ka\u017cdy wielomian o wsp\u00f3\u0142czynnikach w tym ciele ma pierwiastki nale\u017c\u0105ce do tego cia\u0142a. Cia\u0142em, kt\u00f3re nie jest algebraicznie domkni\u0119te jest cia\u0142o liczb wymiernych. Pierwiastki wielomianu \\(x^2-2\\) nie s\u0105 liczbami wymiernymi, mimo i\u017c jego wsp\u00f3\u0142czynniki s\u0105 wymierne. Podobnie cia\u0142o liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domkni\u0119te, gdy\u017c np. wielomian \\(x^2+1\\) nie ma pierwiastk\u00f3w rzeczywistych. Za\u015b przyk\u0142adami cia\u0142 algebraicznie domkni\u0119tych s\u0105, co ju\u017c wiemy, cia\u0142o \\(\\overline{\\mathbb Q}\\) oraz cia\u0142o liczb zespolonych \\(\\mathbb C\\). Oznacza, to w szczeg\u00f3lno\u015bci \u017ce pierwiastki dowolnych naturalnych stopni z liczb algebraicznych nadal s\u0105 liczbami algebraicznymi!<\/p>\n \nW szczeg\u00f3lno\u015bci, je\u017celi wyjdziemy od liczb wymiernych \\(\\mathbb Q\\) i zaczniemy tworzy\u0107 nowe liczby u\u017cywaj\u0105c (sko\u0144czon\u0105 ilo\u015b\u0107 razy) czterech dzia\u0142a\u0144 arytmetycznych oraz wyci\u0105gania pierwiastk\u00f3w (w tym tych b\u0119d\u0105cych liczbami zespolonymi) dowolnych naturalnych stopni, to ka\u017cda tak otrzymana liczba, np. \\[\\sqrt[3]{3+5\\sqrt{2}}-\\frac 23,\\] jest algebraiczna. O takich liczbach m\u00f3wimy, \u017ce wyra\u017caj\u0105 si\u0119 przez pierwiastniki<\/strong>. Mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 dziwne tworzenie nowego poj\u0119cia skoro ka\u017cda taka liczba jest algebraiczna. Ot\u00f3\u017c okazuje si\u0119, \u017ce istniej\u0105 liczby algebraiczne, kt\u00f3rych nie da si\u0119 wyrazi\u0107 przez pierwiastniki! Tak, zgadza si\u0119! Istniej\u0105 liczby, kt\u00f3re s\u0105 pierwiastkami wielomian\u00f3w o wsp\u00f3\u0142czynnikach ca\u0142kowitych, lecz mimo tego nie da si\u0119 tych liczb wyrazi\u0107 przy pomocy czterech dzia\u0142a\u0144 arytmetycznych i pierwiastk\u00f3w!<\/p>\n \nJest to zwi\u0105zane z niemo\u017cno\u015bci\u0105 znalezienia, analogicznych do znanych ze szko\u0142y wzor\u00f3w \\[x_{1,2}=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\\] ale dla r\u00f3wna\u0144 stopni wy\u017cszych ni\u017c 4. Przyk\u0142adem takiej liczby jest liczba rzeczywista b\u0119d\u0105ca rozwi\u0105zaniem r\u00f3wnania \\[x^5+x-3=0.\\] Te niepozorne r\u00f3wnanie ma tylko jedno rozwi\u0105zanie rzeczywiste. Pozosta\u0142e cztery s\u0105 zespolone. Mimo i\u017c r\u00f3wnanie te wydaje si\u0119 dosy\u0107 proste, wygl\u0105da przecie\u017c wr\u0119cz niewinnie, to jego jedynego rozwi\u0105zania rzeczywistego nie da si\u0119 wyrazi\u0107 przez pierwiastniki, mimo i\u017c z definicji jest liczb\u0105 algebraiczn\u0105. Powody dla kt\u00f3rych tak jest, to ju\u017c temat na zupe\u0142nie inny wpis!<\/p>\n \nCiekawym natomiast przypadkiem jest np. liczba \\(\\cos{\\frac{\\pi}{9}}\\). Z tego, \u017ce \\[\\cos{3x}=4\\cos^3{x}-3\\cos{x}\\] oraz tego, \u017ce \\[\\cos{3\\cdot\\frac{\\pi}{9}}=\\cos{\\frac{\\pi}{3}}=\\frac 12\\] wynika, \u017ce \\(\\cos{\\frac{\\pi}{9}}\\) jest rozwi\u0105zaniem r\u00f3wnania \\(4x^3-3x=\\frac 12\\), czyli jest liczb\u0105 algebraiczn\u0105. Co wi\u0119cej, mo\u017cna j\u0105 wyrazi\u0107 przez pierwiastniki. Mianowicie, \\[\\cos{\\frac{\\pi}{9}}=\\dfrac{\\sqrt[3]{1-i\\sqrt{3}}+\\sqrt[3]{1+i\\sqrt{3}}}{2\\sqrt[3]{2}}.\\] Forma wydaje si\u0119 by\u0107 na pierwszy rzut oka co najmniej niezwyk\u0142a. Wszak \\(\\cos{\\frac{\\pi}{9}}\\) jest liczb\u0105 rzeczywist\u0105, a przedstawili\u015bmy j\u0105 w postaci, z pozoru, czysto zespolonej! Jeszcze ciekawsze okazuje si\u0119, \u017ce liczby tej nie da si\u0119 wyrazi\u0107 przez pierwiastniki bez korzystania z jednostki urojonej!! Powody, kt\u00f3rych tak jest to ju\u017c temat na kolejn\u0105 histori\u0119.<\/p>\n
\n![\"liczby](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/LICZBY_ALGEBRAICZNE.png\")
\n\\(\\)<\/p>\n