\nM\u00f3wi si\u0119 czasem, \u017ce 2 doda\u0107 2 nie zawsze daje cztery. To oczywi\u015bcie nieprawda gdy m\u00f3wimy o matematyce, a dok\u0142adniej o dodawaniu liczb naturalnych, ca\u0142kowitych itp., bo 2+2 zawsze jest r\u00f3wne cztery. Niemniej, jest to dobra okazja do tego aby powiedzie\u0107 czym jest dzia\u0142anie w matematyce.
\n<\/p>\n
\nB\u0119d\u0105c ma\u0142ym zdarza\u0142o mi si\u0119 ogl\u0105da\u0107 w telewizji kultowy teleturniej Familiada prowadzony przez Karola Strasburgera. W pami\u0119\u0107 zapad\u0142 mi odcinek, w kt\u00f3rym jednym z uczestnik\u00f3w by\u0142 zdaje si\u0119 pewien student matematyki. Prowadz\u0105cy zagadn\u0105\u0142 go o to, \u017ce podobno nie zawsze 2+2 daje 4 (lub 1+1 to nie zawsze 2). Odpowied\u017a owego studenta by\u0142a wtedy dla mnie dosy\u0107 m\u0119tna i kompletnie niezrozumia\u0142a. Wspomnia\u0142 co\u015b, \u017ce w matematyce jest co\u015b takiego jak klasy abstrakcji. Gdy poszed\u0142em na studia matematyczne i nauczy\u0142em si\u0119 czym jest owa klasa abstrakcji, to nadal wspomniana odpowied\u017a wydawa\u0142a mi si\u0119 m\u0119tna. By\u0107 mo\u017ce tamten student mia\u0142 na my\u015bli arytmetyk\u0119 modularn\u0105, o kt\u00f3rej r\u00f3wnie\u017c sobie nieco wspomnimy w tym wpisie? We\u017amy te\u017c pod uwag\u0119, \u017ce bez w\u0105tpienia by\u0142 zestresowany wyst\u0119puj\u0105c przed kamer\u0105 w dosy\u0107 popularnym wtedy programie. Niestety kompletnie ju\u017c nie pami\u0119tam jego odpowiedzi, zosta\u0142y mi w g\u0142owie jedynie klasy abstrakcji. No ale jak to wi\u0119c w ko\u0144cu jest? Czy naprawd\u0119 2+2 to nie zawsze 4?<\/p>\n
\nOkazuje si\u0119, \u017ce 2+2 to zawsze 4 gdy m\u00f3wimy o dodawaniu liczb naturalnych, rzeczywistych itp. W sytuacji gdy kto\u015b twierdzi, w kontek\u015bcie matematyki, \u017ce 2+2 to niekoniecznie zawsze 4, to na og\u00f3\u0142 ma na my\u015bli co\u015b innego i jego\/jej „dow\u00f3d” czy rozumowanie jest dowodem przez tzw. dyskretn\u0105 zmian\u0119 za\u0142o\u017ce\u0144<\/em>. Wykorzystywane jest to, \u017ce s\u0142uchaj\u0105cy domy\u015blnie my\u015bli o zwyk\u0142ym, standardowym dodawaniu liczb, a twierdz\u0105cy ma na my\u015bli inne dzia\u0142anie.<\/p>\n \nZasadniczo mo\u017cna spotka\u0107 si\u0119 dwoma 'przyk\u0142adami’, gdzie 2+2 to pono\u0107 nie 4. Pierwszym z nich jest twierdzenie, \u017ce np. w systemie tr\u00f3jkowym 2+2 daje 11. Tylko, \u017ce w takim rozumowaniu jest to oszustwo. To taka wspomniana wcze\u015bniej dyskretna zmiana za\u0142o\u017ce\u0144. W tym wypadku polegaj\u0105ca na tym, \u017ce liczb\u0119 4 uto\u017csamiamy nie z liczb\u0105 sam\u0105 w sobie lecz ze znakiem, kt\u00f3rym j\u0105 oznaczamy. W systemie dziesi\u0119tnym b\u0119dzie to 4, a w systemie tr\u00f3jkowym 11 bo w tym systemie mamy tylko trzy cyfry: 0, 1 oraz 2. Jednak\u017ce to jawne oszustwo! To jakby powiedzie\u0107, \u017ce samoch\u00f3d w Polsce nie jest samochodem w Anglii. Tam wszak m\u00f3wi si\u0119 car<\/em>, a nie samoch\u00f3d czy auto jak u nas. Wszyscy jednak si\u0119 zgodzimy, \u017ce samoch\u00f3d, taka np. Toyota Corolla, nadal jest tym samym, nie wa\u017cne jak j\u0105 nazywamy. Podobnie jest z systemami liczbowymi. Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce s\u0105 to r\u00f3\u017cne j\u0119zyki do zapisu tego samego. System dziesi\u0119tny ma wi\u0119cej cyfr ni\u017c system tr\u00f3jkowy. Dlatego w tym drugim czw\u00f3rk\u0119 zapisujemy jako 11 a nie 4, gdy\u017c cyfry 4 tam nie ma. Jednak nadal zapis 11 w systemie tr\u00f3jkowym jak i zapis 4 w dziesi\u0119tnym oznaczaj\u0105 ten sam obiekt: liczb\u0119 cztery. O rzymskim systemie liczbowym ju\u017c nawet szerzej wspomina\u0107 nie b\u0119dziemy. <\/p>\n \nDrugim przyk\u0142adem, o kt\u00f3rym cz\u0119sto si\u0119 wspomina w kontek\u015bcie tego, \u017ce np. 2+2 to nie zawsze 4 jest dodawanie w innym zbiorze ni\u017c liczby rzeczywiste (lub naturalne czy ca\u0142kowite itp.). Sztandarowym przyk\u0142adem jest zbi\u00f3r \\(\\mathbb Z_3=\\{0,1,2\\}\\). Zbi\u00f3r \\(\\mathbb Z_n\\) sk\u0142ada si\u0119 z reszt jakie mo\u017cemy otrzyma\u0107 dziel\u0105c (z reszt\u0105) liczb\u0119 naturaln\u0105 przez \\(n\\). Je\u015bli dzielimy liczb\u0119 naturaln\u0105 przez \\(n\\) (gdzie \\(n\\geqslant 2\\)), to nie otrzymamy reszty r\u00f3wnej \\(n\\) lub wi\u0119kszej. Wobec tego \\(\\mathbb Z_n=\\{0,1,\\ldots,n-1\\}\\). <\/p>\n \nZ zbiorze \\(\\mathbb Z_n\\) mo\u017cemy elementy naturalnie dodawa\u0107. Tylko dodawanie to, mimo i\u017c jest dodawaniem nazywane i bywa r\u00f3wnie\u017c oznaczane znakiem +, to jest ju\u017c dzia\u0142aniem innym. Jest ono okre\u015blone na innym zbiorze! Na tym polega dyskretna zmiana za\u0142o\u017ce\u0144 w tym przypadku, na zmianie zbioru, w kt\u00f3rym rozpatrujemy dzia\u0142anie i wykorzystaniu faktu, \u017ce w nazwie tego dzia\u0142ania wyst\u0119puje dodawanie bo formalnie nazywa si\u0119 ono dodawaniem modulo<\/em> \\(n\\). <\/p>\n \nW zbiorze \\(\\mathbb Z_9=\\{0,1,2,\\ldots,8\\}\\) suma 2+2, to oczywi\u015bcie 4. A ile jest r\u00f3wna w tym zbiorze suma 6+6? Nie mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce 12 bo w \\(\\mathbb Z_9\\) nie ma takiej liczby. Aby doda\u0107 w tym zbiorze 6+6 musimy spojrze\u0107 jak\u0105 reszt\u0119 przy dzieleniu przez 9 otrzymamy dodaj\u0105c dwie liczby, kt\u00f3re przy dzieleniu przez 9 daj\u0105 reszt\u0119 6. Najpro\u015bciej wzi\u0105\u0107 po prostu dwie sz\u00f3stki. Dziel\u0105c 12 przez 9 otrzymamy reszt\u0119 3. Gdyby\u015bmy wzi\u0119li inne liczby daj\u0105ce reszt\u0119 6 dzieleniu przez 9, to r\u00f3wnie\u017c w wyniku otrzymamy liczb\u0119 daj\u0105c\u0105 reszt\u0119 3. Zatem 6+6=3 w tym przypadku. Tylko pami\u0119tajmy, \u017ce mimo i\u017c u\u017cywamy znaku +, to mamy na my\u015bli inne dzia\u0142anie ni\u017c zwyk\u0142e dodawanie! Swoj\u0105 drog\u0105 to dobry moment aby powiedzie\u0107 sobie czym w og\u00f3le jest dzia\u0142anie w matematyce.<\/p>\n \nZanim jednak przejdziemy do konkret\u00f3w musimy wiedzie\u0107 czym jest para uporz\u0105dkowana<\/em>. M\u00f3wi\u0105c niezbyt precyzyjnie, jest to para element\u00f3w, w kt\u00f3rej wa\u017cna jest ich kolejno\u015b\u0107. Dobrym przyk\u0142adem s\u0105 punkty na p\u0142aszczy\u017anie. Punkt \\((1,2)\\) to nie to samo co punkt \\((2,1)\\). Bardzo ciekawa jest formalna definicja pary uporz\u0105dkowanej. Ot\u00f3\u017c z formalnego punktu widzenia para uporz\u0105dkowana \\((a,b)\\) to zbi\u00f3r \\(\\{\\{a\\},\\{a,b\\}\\}\\), kt\u00f3rego elementami s\u0105 dwa inne zbiory, o ile \\(a\\neq b\\). W tym przypadku jeden z tych zbior\u00f3w jest jednoelementowy. To w\u0142a\u015bnie w taki spos\u00f3b pierwszy cz\u0142on pary uporz\u0105dkowanej zostaje jednoznacznie okre\u015blony. Je\u017celi za\u015b \\(a=b\\), to dostajemy \\[\\{\\{a\\},\\{a,a\\}\\}=\\{\\{a\\},\\{a\\}\\}=\\{\\{a\\}\\}\\] i nadal pierwszy cz\u0142on pary jest jednoznacznie okre\u015blony, a poniewa\u017c nie ma drugiego zbioru (tj. \\(\\{a,b\\}\\)), to wiemy, \u017ce \\(a=b\\). Zbi\u00f3r wszystkich par uporz\u0105dkowanych na zbiorze \\(X\\) oznaczamy \\(X\\times X\\). <\/p>\n \nAle przejd\u017amy ju\u017c do rzeczy. Zajmiemy si\u0119 przede wszystkim tzw. dzia\u0142aniami dwuargumentowymi czyli podobnymi do znanych nam dzia\u0142a\u0144 takich jak dodawanie, odejmowanie czy mno\u017cenie. Dzia\u0142ania te maj\u0105, jak sama nazwa wskazuje, dwa argumenty. Typowe dodawanie czy dzielenie dotyczy zasadniczo dw\u00f3ch liczb. Dlatego by\u0142a nam potrzebna definicja pary uporz\u0105dkowanej.<\/p>\n \nAby okre\u015bli\u0107 dzia\u0142anie potrzebujemy dowolnego zbioru \\(X\\). Zbi\u00f3r \\(X\\) mo\u017ce by\u0107 dowolny, nie musi to by\u0107 zbi\u00f3r liczbowy. Dzia\u0142ania, w og\u00f3lno\u015bci, mo\u017cemy okre\u015bla\u0107 na dowolnych zbiorach. Je\u017celi ka\u017cdej parze uporz\u0105dkowanej \\((a,b)\\), gdzie \\(a,b\\in X\\) przyporz\u0105dkujemy (w dowolny spos\u00f3b!) jakikolwiek element zbioru \\(X\\), to m\u00f3wimy, \u017ce okre\u015blili\u015bmy dzia\u0142anie na zbiorze \\(X\\). M\u00f3wi\u0105c formalnie, dzia\u0142anie (dwuargumentowe) na zbiorze \\(X\\) to dowolna funkcja \\[X\\times X\\to X.\\]<\/p>\n \nI tak np. zwyk\u0142e dodawanie liczb rzeczywistych jest dzia\u0142aniem \\(\\mathbb R\\times\\mathbb R\\to\\mathbb R\\), kt\u00f3re parze uporz\u0105dkowanej (3,5) przyporz\u0105dkowuje liczb\u0119 8. Swoj\u0105 drog\u0105, je\u015bli zmienimy kolejno\u015b\u0107, to dzia\u0142anie to przypisuje 8 r\u00f3wnie\u017c parze (5,3). W przypadku dodawania czy mno\u017cenia liczb rzeczywistych kolejno\u015b\u0107 nie ma znaczenia. Takie dzia\u0142ania nazywamy przemiennymi<\/em>. Prostym przyk\u0142adem dzia\u0142ania nieprzemiennego jest odejmowanie. <\/p>\n \nJak wspomnieli\u015bmy, dodawanie liczb rzeczywistych to funkcja \\(\\mathbb R\\times\\mathbb R\\to\\mathbb R\\). Dlatego jest ono innym dzia\u0142aniem ni\u017c dodawanie modulo n b\u0119d\u0105ce funkcj\u0105 \\(\\mathbb Z_n\\times\\mathbb Z_n\\to\\mathbb Z_n\\). Mamy inne dziedziny i przeciwdziedziny, wi\u0119c s\u0105 to r\u00f3\u017cne funkcje. I to mimo i\u017c drugie cz\u0119sto bywa nazywane r\u00f3wnie\u017c dodawaniem. Aby t\u0119 r\u00f3\u017cno\u015b\u0107 podkre\u015bli\u0107, to dzia\u0142anie to oznacza si\u0119 cz\u0119sto \\(+_n\\) lub \\(\\oplus_n\\).<\/p>\n \nMimo i\u017c dzia\u0142anie to, z formalnego punktu widzenia pewna funkcja \\(X\\times X\\to X\\), to nie stosuje si\u0119 w tym przypadku zwyczajowych oznacze\u0144 \\(f:X\\times X\\to X\\) jak w przypadku funkcji i nie pisze si\u0119 \\(f(a,b)=c\\) lecz dzia\u0142ania oznaczamy symbolami typu: \\(+,*,\\oplus,\\odot\\). Za\u015b warto\u015b\u0107 funkcji na argumentach \\(a,b\\in X\\) oznaczamy w stylu \\(a\\odot b\\). <\/p>\n \nSwoj\u0105 drog\u0105 warto zwr\u00f3ci\u0107 uwag\u0119, \u017ce zwyk\u0142e dodawanie liczb ca\u0142kowitych \\(\\mathbb Z\\times\\mathbb Z\\to\\mathbb Z\\) jest innym dzia\u0142aniem ni\u017c zwyk\u0142e dodawanie liczb rzeczywistych \\(\\mathbb R\\times\\mathbb R\\to\\mathbb R\\). I to mimo i\u017c suma a+b w zbiorze liczb ca\u0142kowitych jest zawsze taka sama jak analogiczna suma w zbiorze liczb rzeczywistych! S\u0105 to r\u00f3\u017cne dzia\u0142ania bo s\u0105 okre\u015blone na r\u00f3\u017cnych zbiorach. Mimo i\u017c s\u0105 to r\u00f3\u017cne dzia\u0142ania, to zauwa\u017cmy, \u017ce (na ca\u0142e szcz\u0119\u015bcie) nikt ich nie oznacza r\u00f3\u017cnymi symbolami.<\/p>\n \nDodawanie modulo n ma ze zwyk\u0142ym dodawaniem bardzo wiele wsp\u00f3lnego! Je\u017celi \\(a,b\\in\\mathbb \\{0,1,\\ldots,n-1\\}\\) oraz \\(a+b\\lt n\\), to \\(a+b=a+_nb\\). Cech wsp\u00f3lnych tych dzia\u0142a\u0144 jest oczywi\u015bcie wi\u0119cej. Owe podobie\u0144stwa, nie tylko mi\u0119dzy tymi dwoma dzia\u0142aniami, prowadz\u0105 to do podstawowych struktur algebraicznych takich jak grupa, pier\u015bcie\u0144 czy cia\u0142o. Ale to ju\u017c temat na inn\u0105 opowie\u015b\u0107.<\/p>\n \nReasumuj\u0105c, 2+2 zawsze daje w wyniku 4. Gdy kto\u015b m\u00f3wi, \u017ce mo\u017ce by\u0107 inaczej, to na og\u00f3\u0142 albo ma na my\u015bli inny zapis liczby 4 albo inne dzia\u0142anie ni\u017c zwyk\u0142e dodawanie liczb rzeczywistych czy ca\u0142kowitych (jak np \\(+_n\\)). Bo wiele dzia\u0142a\u0144, jak wspomnieli\u015bmy, ma bardzo wiele analogicznych w\u0142asno\u015bci do zwyk\u0142ego dodawania co mo\u017ce prowadzi\u0107 czasami do pewnego rozmycia poj\u0119cia dodawania. Ale twierdzenie na tej podstawie, \u017ce 2+2 to nie zawsze 4 jest ju\u017c pewn\u0105 manipulacj\u0105.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" M\u00f3wi si\u0119 czasem, \u017ce 2 doda\u0107 2 nie zawsze daje cztery. To oczywi\u015bcie nieprawda gdy m\u00f3wimy o matematyce, a dok\u0142adniej o dodawaniu liczb naturalnych, ca\u0142kowitych itp., bo 2+2 zawsze jest r\u00f3wne cztery. Niemniej, jest to<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2085,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[64,57,49],"tags":[66,63,50],"yoast_head":"\n