\nNiech \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n\\) b\u0119dzie szeregiem, gdzie \\(a_n\\in\\mathbb{R}^k\\) dla pewnego \\(k\\in\\mathbb N^+\\). Oznaczmy przez \\(S(a_n)\\) zbi\u00f3r wszystkich mo\u017cliwych sum, kt\u00f3re mo\u017cemy otrzyma\u0107 zmieniaj\u0105c kolejno\u015b\u0107 wyraz\u00f3w w rozwa\u017canym szeregu. Tj. \\[S(a_n)=\\{x\\in\\mathbb R^k: \\textrm{ istnieje bijekcja } \\pi:\\mathbb N\\to\\mathbb N,\\ \\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_{\\pi(n)}=x\\}\\]<\/p>\n
\nDok\u0142adniej ograniczymy si\u0119 jedynie do sum b\u0119d\u0105cych elementami \\(\\mathbb R^k\\), nie bierzemy pod uwag\u0119 sytuacji, gdy cho\u0107 na jednej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej otrzymamy szereg rozbie\u017cny. Zaznaczmy przy tym, \u017ce zamieniamy kolejno\u015b\u0107 wyraz\u00f3w \\(a_n\\) tzn. jednocze\u015bnie na wszystkich wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych, a nie, \u017ce na jednej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej w jeden spos\u00f3b, a na drugiej w inny.<\/p>\n
\nW przypadku, gdy \\(k=1\\), to wspomniane twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbie\u017cnych m\u00f3wi, \u017ce zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) mo\u017ce by\u0107:<\/p>\n
- \n
- zbiorem pustym (gdy szereg jest rozbie\u017cny);<\/li>\n
- zbiorem jednoelementowym (gdy szereg jest zbie\u017cny bezwzgl\u0119dnie);<\/li>\n
- ca\u0142ym \\(\\mathbb R\\) (gdy szereg jest zbie\u017cny warunkowo).\n<\/ul>\n
\nNaturalnym pytaniem jest to jak wygl\u0105da sytuacja w wy\u017cszych wymiarach. Czy r\u00f3wnie \u0142atwo mo\u017cna opisa\u0107 zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\), gdy \\(a_n\\in\\mathbb R^k\\) oraz \\(k>1\\)? Proste przyk\u0142ady pokazuj\u0105, \u017ce w wy\u017cszych wymiarach sytuacja jest nieco ciekawsza. Najpierw rozwa\u017cmy kilka szereg\u00f3w w \\(\\mathbb R^2\\). Oznaczmy \\(a_n=(x_n,y_n)\\), gdzie \\(x_n, y_n\\in\\mathbb R\\) i sp\u00f3jrzmy na kilka przyk\u0142ad\u00f3w w zale\u017cno\u015bci od zbie\u017cno\u015bci szereg\u00f3w \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty x_n\\) oraz \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty y_n\\). <\/p>\n
\nJe\u017celi oba s\u0105 zbie\u017cne bezwzgl\u0119dnie lub co najmniej jeden jest np. rozbie\u017cny i ma wyrazy tylko dodatnie to sytuacja jest prosta. W pierwszym przypadku zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) jest jednoelementowy, bo na obu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych bez wzgl\u0119du na kolejno\u015b\u0107 wyraz\u00f3w stosowne sumy si\u0119 nie zmieniaj\u0105. W drugim przypadku, zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) jest naturalnie pusty. Szereg rozbie\u017cny o wyrazach dodatnich, przy \u017cadnej permutacji jego sk\u0142adnik\u00f3w nie da wyniku sko\u0144czonego.<\/p>\n
\nTeraz niech pierwszy szereg b\u0119dzie zbie\u017cny bezwzgl\u0119dnie, a drugi zbie\u017cny warunkowo. Wtedy, bez wzgl\u0119du na to jak zmienimy kolejno\u015b\u0107 wyraz\u00f3w szeregu \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n\\), to na pierwszej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej zawsze mamy t\u0119 sam\u0105 liczb\u0119 r\u00f3wn\u0105 \\(s=\\sum\\limits_{n-1}^\\infty x_n\\). Natomiast na drugiej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej mo\u017cemy otrzyma\u0107 dowoln\u0105 liczb\u0119. We\u017amy jaki\u015b konkretny przyk\u0142ad. Niech np. \\[x_n=\\dfrac{1}{2^n}\\textrm{ oraz }y_n=\\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}.\\] Na pierwszej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej, bez wzgl\u0119du na kolejno\u015b\u0107 wyraz\u00f3w szeregu \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n\\), suma zawsze b\u0119dzie r\u00f3wna 1. Natomiast na drugiej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej, odpowiednio permutuj\u0105c, jeste\u015bmy w stanie otrzyma\u0107 dowoln\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105. Innymi s\u0142owy, zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) mo\u017cemy uto\u017csamia\u0107 z prost\u0105 \\(x=1\\). Og\u00f3lniej, gdy na pierwszej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej mamy szereg zbie\u017cny bezwzgl\u0119dnie do sumy \\(s\\), a na drugiej zbie\u017cny warunkowo, to zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) jest prost\u0105 \\(x=s\\). Je\u015bli zamienimy miejscami wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne, to otrzymamy prost\u0105 \\(y=s\\).<\/p>\n
\nId\u017amy dalej, je\u017celi na obu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych mamy szereg warunkowo zbie\u017cny, np. we\u017amy \\[a_n=\\left(\\frac{(-1)^{n+1}}{n},\\frac{(-1)^{n+1}}{n}\\right),\\] to zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) jest prost\u0105 \\(y=x\\).<\/p>\n
\nNietrudno te\u017c otrzyma\u0107 dowoln\u0105 prost\u0105 \\(y=ax+b\\). W tym celu wystarczy najpierw rozwa\u017cy\u0107 szereg \\[a_n=\\left(\\frac{(-1)^{n+1}}{n},\\frac{a\\cdot(-1)^{n+1}}{n}\\right).\\] Je\u017celi pewna permutacja jego element\u00f3w sumuje si\u0119 na pierwszej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej do liczby \\(x\\in\\mathbb R\\), to si\u0142\u0105 rzeczy na drugiej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej suma musi by\u0107 r\u00f3wna \\(ax\\). Teraz wystarczy np. przesun\u0105\u0107 wyrazy tego szeregu o jeden i na pierwsze miejsce wcisn\u0105\u0107 \\((0,b)\\). Dzi\u0119ki temu otrzymujemy szereg \\[(0,b)+\\left(\\frac{1}{1},\\frac{a}{1}\\right)+\\left(-\\frac{1}{2},-\\frac{a}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3},\\frac{a}{3}\\right)+\\cdots,\\] kt\u00f3ry od poprzedniego r\u00f3\u017cni si\u0119 tym, \u017ce na drugiej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej suma zwi\u0119ksza si\u0119 o \\(b\\). Innymi s\u0142owy, w tej sytuacji \\(S(a_n)\\) jest prost\u0105 \\(y=ax+b\\). <\/p>\n
\nZatem uda\u0142o nam si\u0119 znale\u017a\u0107 przyk\u0142ady szereg\u00f3w, dla kt\u00f3rych zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) mo\u017cemy uto\u017csamia\u0107 z:<\/p>\n
- \n
- zbiorem pustym;<\/li>\n
- punktem p\u0142aszczyzny;<\/li>\n
- dowoln\u0105 prost\u0105 na p\u0142aszczy\u017anie.<\/li>\n<\/ul>\n
\nCzy da si\u0119 otrzyma\u0107 inne zbiory? Nieco finezji pozwala nam znale\u017a\u0107 szereg, dla kt\u00f3rego \\(S(a_n)=\\mathbb R^2\\). Wystarczy wpierw wzi\u0105\u0107 dwa dowolne, zbie\u017cne warunkowo szeregi liczb rzeczywistych \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty x_n\\) oraz \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty y_n\\) i dzi\u0119ki nim utworzy\u0107 szereg \\[(x_1,0)+(0,y_1)+(x_2,0)+(0,y_2)+\\cdots+(x_n,0)+(0,y_n)+\\cdots.\\] Poniewa\u017c oba szeregi s\u0105 zbie\u017cne warunkowo, to zmieniaj\u0105c jedynie kolejno\u015b\u0107 wyraz\u00f3w postaci \\((x_n,0)\\) mo\u017cemy, po zsumowaniu, otrzyma\u0107 dowoln\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105 na pierwszej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej. Analogicznie na drugiej wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnej mo\u017cemy otrzyma\u0107 dowoln\u0105 liczb\u0119. Czyli dla tak skonstruowanego szeregu zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) jest ca\u0142\u0105 p\u0142aszczyzn\u0105!<\/p>\n
\nPost\u0119puj\u0105c podobnie, mo\u017cemy konstruowa\u0107 szeregi w wy\u017cszych wymiarach, dla kt\u00f3rych zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) jest dowolnym punktem, prost\u0105, p\u0142aszczyzn\u0105 czy przestrzeni\u0105 afiniczn\u0105 wy\u017cszego wymiaru. Pojawia si\u0119 wi\u0119c naturalne pytanie czy istniej\u0105 szeregi w \\(\\mathbb R^k\\), dla kt\u00f3rych \\(S(a_n)\\) jest innej postaci? Ot\u00f3\u017c nie! Spraw\u0119 wyja\u015bnia tytu\u0142owe twierdzenie Levy’ego Steinitza.<\/p>\n
\n
Twierdzenie (L\u00e9vy-Steinitz)<\/strong><\/p>\n
\nJe\u017celi \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n\\) jest szeregiem w \\(\\mathbb R^k\\), to zbi\u00f3r sum \\(S(a_n)\\) jest albo zbiorem pustym albo zbiorem postaci \\(v+M\\), gdzie \\(M\\subseteq\\mathbb R^k\\) jest podprzestrzeni\u0105 liniow\u0105 oraz \\(v\\in\\mathbb R^k\\).\n<\/p><\/blockquote>\n
\nPrzyjmuj\u0105c \\(k=1\\), otrzymujemy klasyczne twierdzenie Riemanna. Twierdzenie Levy’ego Steinitza zosta\u0142o po raz pierwszy sformu\u0142owane przez francuskiego matematyka Paula Levy’ego w jego pracy z 1905 roku (Link do pracy tutaj<\/a>). Jednak\u017ce jego dow\u00f3d zawiera\u0142 b\u0142\u0105d, kt\u00f3ry zosta\u0142 zauwa\u017cony przez Ernsta Steinitza, kt\u00f3ry w 1913 opublikowa\u0142 poprawny dow\u00f3d (link do pracy tutaj<\/a>).<\/p>\n
\nDow\u00f3d tego twierdzenia wykracza poza ramy tego wpisu. Zainteresowani nim powinni bez w\u0105tpienia zajrze\u0107 do dw\u00f3ch pozycji. Pierwsz\u0105 z nich jest cytowana na samym ko\u0144cu praca Rosenthala. Natomiast drug\u0105, praca ukrai\u0144skiego matematyka Tarasa Banacha (c\u00f3\u017c za pi\u0119kne nazwisko dla matematyka, nieprawda\u017c?). Ta druga praca zawiera prostszy dow\u00f3d w por\u00f3wnaniu z klasycznym, opisanym w pracy Rosenthala, podej\u015bciem. Powsta\u0142a jako rozwi\u0105zanie na postawione przez gruzi\u0144skiego matematyka Wad\u017c\u0119 Terialadzego pytanie o prosty dow\u00f3d twierdzenia L\u00e9vy’ego-Steinitza. Problem ten zosta\u0142 postawiony w jednej z nowych wersji Ksi\u0119gi szkockiej<\/a>. <\/p>\n
\nKolejnym krokiem jest pytanie o sytuacj\u0119, gdy wymiar nie jest sko\u0144czony. Czy tutaj r\u00f3wnie\u017c zbi\u00f3r \\(S(a_n)\\) jest pewn\u0105 podprzestrzeni\u0105 lub jej translacj\u0105? Okazuje si\u0119, \u017ce nie! Jako pierwszy przyk\u0142ad takiego szeregu poda\u0142 polski matematyk J\u00f3zef Marcinkiewicz. Tym samym rozwi\u0105zuj\u0105c problem nr 106 postawiony przez samego Stefana Banacha w (oryginalnej!) Ksi\u0119dze szkockiej. W oryginale brzmia\u0142o one tak:<\/p>\n
\n
106) Problemat. Banach. (Nagroda 1 flaszka wina)<\/strong>
\nNiechaj \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty x_i\\) b\u0119dzie szeregiem (\\(x_i\\) s\u0105 elementami pewnego zbioru typu (B)) o tej w\u0142asno\u015bci, \u017ce przy pewnem uporz\u0105dkowaniu suma jego wynosi \\(y_0\\) za\u015b przy innem \\(y_1\\). Wykaza\u0107, \u017ce dla ka\u017cdej liczby rzeczywistej \\(\\lambda\\) istnieje takie uporz\u0105dkowanie danego szeregu, \u017ce suma jego wynosi \\(\\lambda y_0+(1-\\lambda)y_1\\). W szczeg\u00f3lno\u015bci rozpatrzy\u0107 przypadek, gdy \\(x_i\\) s\u0105 funkcjona\u0142ami ci\u0105g\u0142emi w przedziale \\((0,1)\\), zbie\u017cno\u015b\u0107 za\u015b wed\u0142ug normy r\u00f3wnowa\u017cna jest jednostajnej zbie\u017cno\u015bci.\n<\/p><\/blockquote>\n\nW oryginale wygl\u0105da\u0142o to tak:
\n![\"Twierdzenie](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/szkocka106.png\")
<\/p>\n\nTak postawiony problem m\u00f3wi, aby udowodni\u0107, \u017ce w przestrzeni Banacha je\u017celi szereg przy jednym uporz\u0105dkowaniu element\u00f3w sumuje si\u0119 do \\(y_0\\), a przy drugim do \\(y_1\\), to dla dowolnego elementu \\(y\\) na prostej przez \\(y_0\\) oraz \\(y_1\\) istniej\u0105 uporz\u0105dkowania sumuj\u0105ce si\u0119 do \\(y\\).<\/p>\n
\nJ\u00f3zef Marcinkiewicz jako pierwszy poda\u0142 przyk\u0142ad szeregu w przestrzeni \\(L_2(0,1)\\), kt\u00f3ry przy dwu r\u00f3\u017cnych uporz\u0105dkowaniach wyraz\u00f3w raz si\u0119 sumuje do funkcji stale r\u00f3wnej 0, a innym razem do 1 oraz nie sumuje si\u0119 np. do funkcji stale r\u00f3wnej 0,5.<\/p>\n
\nOznaczmy przez \\(\\chi(a,b)\\) funkcj\u0119 charakterystyczn\u0105 zbioru \\([a,b]\\). Dla \\(0\\leqslant k \\lt 2^i\\) niech \\[x_{i,k}=\\chi(k\\cdot 2^{-i},(k+1)\\cdot 2^{-i})\\textrm{ oraz } y_{i,k}=-x_{i,k}.\\] Niech \\[S_0=x_{0,0}+y_{0,0}+x_{1,0}+y_{1,0}+x_{1,1}+y_{1,1}+x_{2,0}+y_{2,0}+x_{2,1}+y_{2,1}+\\cdots\\] oraz
\n\\[S_1=x_{0,0}+x_{1,0}+x_{1,1}+y_{0,0}+x_{2,0}+x_{2,1}+y_{1,0}+x_{2,2}+x_{2,3}+y_{1,1}+\\cdots\\]<\/p>\n\nInnymi s\u0142owy, funkcja \\(x_{0,0}\\) jest funkcj\u0105 stale r\u00f3wn\u0105 1, za\u015b ka\u017cda inna funkcja \\(x_{i,k}\\) jest r\u00f3wna jeden na odpowiednim odcinku d\u0142ugo\u015bci \\(2^{-i}\\). Poni\u017cej, dla przyk\u0142adu, wykres funkcji \\(x_{3,3}\\).
\n![\"Twierdzenie](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/X33.png\")
<\/p>\n\nNietrudno si\u0119 przekona\u0107 (np. wykonuj\u0105c stosowne wykresy), \u017ce \\(S_0\\) jest funkcj\u0105 stale r\u00f3wn\u0105 0, za\u015b \\(S_1\\) funkcj\u0105 stale r\u00f3wn\u0105 1. A poniewa\u017c, dla ka\u017cdego \\(x\\in (0,1)\\) ka\u017cda z funkcji \\(x_{i,k}, y_{i,k}\\) przyjmuje warto\u015bci ca\u0142kowite, to przy \u017cadnej zmianie kolejno\u015bci sk\u0142adnik\u00f3w nie otrzymamy funkcji stale r\u00f3wnej \\(\\lambda\\), gdzie \\(\\lambda\\in (0,1)\\). Gwoli \u015bcis\u0142o\u015bci nale\u017cy doda\u0107, \u017ce oryginalny przyk\u0142ad Marcinkiewicza zawiera\u0142 pewien b\u0142\u0105d w indeksowaniu funkcji przez co m\u00f3g\u0142 by\u0107 ci\u0119\u017cki do zrozumienia. Wszystko zosta\u0142o jednak wyja\u015bnione przez Korni\u0142owa.<\/p>\n
Literatura<\/h4>\n
\nT. Banakh<\/strong>, A simple inductive proof of Levy-Steinitz theorem<\/em>, https:\/\/arxiv.org\/abs\/1711.04136<\/a>
\nA. Gregosiewicz<\/strong>, O nieprzemiennym dodawaniu, czyli jak Riemann sumy przestawia\u0142<\/em>, Link<\/a>
\nI. J\u00f3\u017awik, M. Terepeta<\/strong>, Polskie spojrzenie na twierdzenie Riemanna o tasowaniu<\/em>, Link<\/a>
\nV.M. Kadets, M.I. Kadets<\/strong>, Rearrangements of Series in Banach Spaces<\/em>, Transl. Math. Monogr. vol. 86 (1991)
\nP. L\u00e9vy<\/strong>, Sur les s\u00e9ries semi-convergentes<\/em>, Nouv. Ann. Math. 64 (1905), s. 506-511
\nR.D. Mauldin<\/strong>, The Scottish Book. Mathematics from The Scottish Caf\u00e9, with Selected Problems from The New Scottish Book<\/em>, Springer (2015)
\nP. Rosenthal<\/strong>, The Remarkable Theorem of Levy and Steinitz<\/em>, Amer. Math. Monthly 94 (1987), s. 342-351
\nE. Steinitz<\/strong>, Bedingt Konvergente Reihen und Konvexe Systeme<\/em>, J. Reine Angew. Math. 143 (1913), s. 128-175<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"S\u0142ynne twierdzenie Riemanna m\u00f3wi, \u017ce suma szeregu warunkowo zbie\u017cnego zale\u017cy od kolejno\u015bci sk\u0142adnik\u00f3w i mo\u017ce by\u0107 dowolna. Za\u015b wspania\u0142e twierdzenie Levy’ego-Steinitza jest znacznie mniej znane, a wyja\u015bnia ono w pe\u0142ni jak wygl\u0105daj\u0105 sumy, gdy sumujemy<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1910,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[61,49],"tags":[58,50],"class_list":["post-1886","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-analiza-matematyczna","category-matematyka-teoretyczna","tag-analiza-matematyczna","tag-matematyka-teoretyczna"],"yoast_head":"\n
Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"S\u0142ynne twierdzenie Levy'ego-Steinitza jest znacznie mniej znane ni\u017c twierdzenie Riemanna o szeregach. Wyja\u015bnia ono w pe\u0142ni jak wygl\u0105daj\u0105 sumy szereg\u00f3w, gdy sumujemy w wy\u017cszych wymiarach.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"S\u0142ynne twierdzenie Levy'ego-Steinitza jest znacznie mniej znane ni\u017c twierdzenie Riemanna o szeregach. Wyja\u015bnia ono w pe\u0142ni jak wygl\u0105daj\u0105 sumy szereg\u00f3w, gdy sumujemy w wy\u017cszych wymiarach.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-12-21T20:19:21+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2023-09-24T23:53:24+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"956\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"268\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"10 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach\",\"datePublished\":\"2022-12-21T20:19:21+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-24T23:53:24+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/\"},\"wordCount\":2011,\"commentCount\":2,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png\",\"keywords\":[\"Analiza matematyczna\",\"Matematyka teoretyczna\"],\"articleSection\":[\"Analiza matematyczna\",\"Matematyka teoretyczna\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/\",\"name\":\"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png\",\"datePublished\":\"2022-12-21T20:19:21+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-24T23:53:24+00:00\",\"description\":\"S\u0142ynne twierdzenie Levy'ego-Steinitza jest znacznie mniej znane ni\u017c twierdzenie Riemanna o szeregach. Wyja\u015bnia ono w pe\u0142ni jak wygl\u0105daj\u0105 sumy szereg\u00f3w, gdy sumujemy w wy\u017cszych wymiarach.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png\",\"width\":956,\"height\":268,\"caption\":\"Twierdzenie Levy'ego-Steinitza\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach","description":"S\u0142ynne twierdzenie Levy'ego-Steinitza jest znacznie mniej znane ni\u017c twierdzenie Riemanna o szeregach. Wyja\u015bnia ono w pe\u0142ni jak wygl\u0105daj\u0105 sumy szereg\u00f3w, gdy sumujemy w wy\u017cszych wymiarach.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach","og_description":"S\u0142ynne twierdzenie Levy'ego-Steinitza jest znacznie mniej znane ni\u017c twierdzenie Riemanna o szeregach. Wyja\u015bnia ono w pe\u0142ni jak wygl\u0105daj\u0105 sumy szereg\u00f3w, gdy sumujemy w wy\u017cszych wymiarach.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2022-12-21T20:19:21+00:00","article_modified_time":"2023-09-24T23:53:24+00:00","og_image":[{"width":956,"height":268,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"10 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach","datePublished":"2022-12-21T20:19:21+00:00","dateModified":"2023-09-24T23:53:24+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/"},"wordCount":2011,"commentCount":2,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png","keywords":["Analiza matematyczna","Matematyka teoretyczna"],"articleSection":["Analiza matematyczna","Matematyka teoretyczna"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/","name":"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png","datePublished":"2022-12-21T20:19:21+00:00","dateModified":"2023-09-24T23:53:24+00:00","description":"S\u0142ynne twierdzenie Levy'ego-Steinitza jest znacznie mniej znane ni\u017c twierdzenie Riemanna o szeregach. Wyja\u015bnia ono w pe\u0142ni jak wygl\u0105daj\u0105 sumy szereg\u00f3w, gdy sumujemy w wy\u017cszych wymiarach.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/levy.png","width":956,"height":268,"caption":"Twierdzenie Levy'ego-Steinitza"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/12\/21\/twierdzenie-levyego-steinitza\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza czyli Riemann w wy\u017cszych wymiarach"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1886","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1886"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1886\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2261,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1886\/revisions\/2261"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1910"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1886"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1886"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1886"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}