{"id":1816,"date":"2022-11-06T23:59:27","date_gmt":"2022-11-06T21:59:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=1816"},"modified":"2024-11-01T12:59:11","modified_gmt":"2024-11-01T10:59:11","slug":"twierdzenie-riemanna","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/","title":{"rendered":"Twierdzenie Riemanna czyli dlaczego dodawanie czasami nie jest przemienne"},"content":{"rendered":"

\nGdy dodajemy do siebie dwie liczby rzeczywiste, to przemienno\u015b\u0107 takiego dzia\u0142ania jest oczywista. Sprawy jednak si\u0119 nieco komplikuj\u0105, gdy bierzemy pod uwag\u0119 dodawanie niesko\u0144czenie wielu liczb. Tutaj kolejno\u015b\u0107 miewa nieraz ogromne znaczenie. M\u00f3wi o tym klasyczne twierdzenie Riemanna. Jest to jeden z przyk\u0142ad\u00f3w pokazuj\u0105cych, \u017ce \u015bwiat niesko\u0144czony r\u00f3\u017cni si\u0119 istotnie od tego sko\u0144czonego.
\n<\/p>\n

\nO ile to czym jest suma dw\u00f3ch (lub og\u00f3lniej sko\u0144czenie wielu liczb rzeczywistych) rozumie ka\u017cdy, o tyle to jak doda\u0107 niesko\u0144czenie wiele liczb nie jest takie oczywiste i to mimo i\u017c z takimi dzia\u0142aniami niesko\u0144czonymi spotykamy si\u0119 ju\u017c w szkole podstawowej. Przyk\u0142adowo \\[\\dfrac 13=0,3333\\ldots=0,3+0,03+0,003+\\cdots\\] Ten przyk\u0142ad pokazuje, \u017ce suma niesko\u0144czenie wielu liczb mo\u017ce mie\u0107 sens i by\u0107 liczb\u0105 sko\u0144czon\u0105! Innym klasycznym przyk\u0142adem jest suma \\[s=\\frac 12+\\frac 14+\\frac 18+\\cdots+\\frac{1}{2^n}+\\cdots,\\] kt\u00f3rej przedstawienie graficznie
\n\"twierdzenie sugeruje, \u017ce owa suma, je\u017celi ma by\u0107 r\u00f3wna liczbie sko\u0144czonej, to musi by\u0107 r\u00f3wna 1. Pomy\u015blmy o tym kwadracie jak o serniku, kt\u00f3ry jest zjadany przez niesko\u0144czenie wiele os\u00f3b w taki spos\u00f3b, \u017ce ka\u017cda kolejna osoba zjada po\u0142ow\u0119 tego co zosta\u0142o. Wszystkie te osoby nie zjedz\u0105 wi\u0119cej ni\u017c 1 ca\u0142y sernik. Z drugiej strony, po tym gdy n-ta osoba wzi\u0119\u0142a swoj\u0105 cz\u0119\u015b\u0107, pozostaje jedynie \\(\\frac{1}{2^n}\\) sernika. I wielko\u015b\u0107 ta nieub\u0142aganie, wraz ze wzrostem \\(n\\), coraz bardziej zbli\u017ca si\u0119 do zera. Zatem suma \\(s\\) nie mo\u017ce by\u0107 mniejsza ni\u017c 1. Wniosek jest oczywisty, musi by\u0107 r\u00f3wna 1!<\/p>\n

Gdyby\u015bmy jednak chcieli doda\u0107 niesko\u0144czenie wiele jedynek, to co chyba naturalne, taka suma sko\u0144czona by\u0107 nie mo\u017ce. Og\u00f3lnie, gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele razy t\u0119 sam\u0105, r\u00f3\u017cn\u0105 od 0 liczb\u0119, to otrzymamy sum\u0119 r\u00f3wn\u0105 jednej z niesko\u0144czono\u015bci. Niewa\u017cne czy niesko\u0144czenie wiele razy dodamy liczb\u0119 1 czy 0,5 czy jak\u0105\u015b bardzo ma\u0142\u0105 typu 0,0000000000000001, suma i tak b\u0119dzie niesko\u0144czona. A co z sum\u0105 \\[1-1+1-1+1-1+\\cdots+ (-1)^{n+1}+\\cdots?\\] Dodaj\u0105c kolejne sk\u0142adniki na przemian otrzymujemy 1 oraz 0. Czyli suma nie istnieje?<\/p>\n

\nZ drugiej strony, gdyby\u015bmy przedstawili sum\u0119 w postaci \\[(1-1)+(1-1)+(1-1)+\\cdots=0+0+0+\\cdots\\] to mo\u017ce powinna ona by\u0107 r\u00f3wna 0? Inne u\u0142o\u017cenie nawias\u00f3w daje nam wynik \\[1+ (-1+1)+(-1+1)+\\cdots=1.\\] Z trzeciej strony, mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107, \u017ce \\[1-S=1-(1-1+1-\\cdots)=1-1+1-\\cdots =S\\] co prowadzi do zaskakuj\u0105cego wniosku, \u017ce \\(S=\\frac 12\\) i to mimo i\u017c dodajemy tylko liczby ca\u0142kowite! Wbrew pozorom, tego typu rozwa\u017cania, \u017ce naprzemienna suma jedynek i minus jedynek jest r\u00f3wna \\(\\frac 12\\) nie s\u0105 takie bezsensowne jak si\u0119 mo\u017ce wydawa\u0107. Tego typu wyniki pojawiaj\u0105 si\u0119 w fizyce oraz takich dzia\u0142ach matematyki jak topologia<\/a>. Daje to te\u017c namiastk\u0119 jak bardzo bogaty (i r\u00f3\u017cny od sko\u0144czonego) jest \u015bwiat niesko\u0144czono\u015bci oraz tego, \u017ce zmiana kolejno\u015bci dodawania mo\u017ce prowadzi\u0107 do r\u00f3\u017cnych wynik\u00f3w! <\/p>\n

\nTe przyk\u0142ady prowadz\u0105 do naturalnych pyta\u0144. Czym w og\u00f3le taka suma jest? Jak j\u0105 zdefiniowa\u0107? Kiedy mo\u017cemy doda\u0107 niesko\u0144czenie wiele liczb, a kiedy nie? Bo jak pokazuj\u0105 dotychczasowe przyk\u0142ady taka suma mo\u017ce by\u0107 sko\u0144czona lub nie, a nawet mog\u0105 zdarzy\u0107 si\u0119 przypadki, z kt\u00f3rymi w sumie nie wiadomo co zrobi\u0107. I wreszcie, czy takie dodawanie liczb niesko\u0144czenie wielu rzeczywistych ma takie same w\u0142asno\u015b\u0107 jak jego sko\u0144czony odpowiednik?<\/p>\n

\nNiewiedza i\u017c suma niesko\u0144czenie wielu liczb rzeczywistych mo\u017ce by\u0107 sko\u0144czona le\u017cy, u podstaw znanych paradoks\u00f3w takich jak ten dotycz\u0105cy Achillesa oraz \u017c\u00f3\u0142wia<\/a>. Zacznijmy wi\u0119c od zdefiniowania czym w\u0142a\u015bciwie jest suma niesko\u0144czenie wielu liczb.<\/p>\n

\nPrzyk\u0142ad z sernikiem dobrze oddaje intuicj\u0119 stoj\u0105c\u0105 za definicj\u0105 sumy \\[a_1+a_2+a_3+\\cdots +a_n+\\cdots\\] niesko\u0144czenie wielu liczb rzeczywistych jako granicy \\[\\lim_{n\\to\\infty}S_n,\\] gdzie \\(S_n=a_1+a_2+\\cdots+a_n\\), o ile oczywi\u015bcie owa granica istnieje. W naszym przyk\u0142adzie istnieje i jest r\u00f3wna 1. Przyk\u0142ady z niesko\u0144czon\u0105 sum\u0105 jedynek (czy og\u00f3lniej niesko\u0144czon\u0105 sum\u0105 tych samych liczb) oraz przyk\u0142ad z naprzemienn\u0105 sum\u0105 jedynek i minus jedynek uwidaczniaj\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 jak\u0105 musi posiada\u0107 ci\u0105g \\((a_n)\\). Warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym, co poka\u017ce nast\u0119pny przyk\u0142ad) aby suma \\[a_1+a_2+a_3+\\cdots\\] by\u0142a sko\u0144czona jest to aby ci\u0105g \\((a_n)\\) d\u0105\u017cy\u0142 do zera. <\/p>\n

\nMo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 zaskakuj\u0105ce, ale suma tzw. szeregu harmonicznego<\/em> \\[\\frac 12+\\frac 13+\\frac 14+\\frac 15+\\cdots+\\frac 1n+\\cdots\\] jest niesko\u0144czona! Mimo i\u017c dodajemy coraz mniejsze liczby, kt\u00f3re pr\u0119dzej czy p\u00f3\u017aniej s\u0105 dowolnie bliskie zeru, to suma ta jest niesko\u0144czona! Nietrudno si\u0119 o tym przekona\u0107. Zgrupujmy te liczby nast\u0119puj\u0105co: \\[\\frac 12+(\\frac 13+\\frac 14)+(\\frac 15+\\frac 16+\\frac 17+\\frac 18)+\\cdots,\\] tj. w taki spos\u00f3b, \u017ce najpierw bierzemy pierwszy wyraz (czyli 0,5), potem dwa kolejne, dalej nast\u0119pne 4, 8, 16, …, \\(2^n\\),… itd. W\u00f3wczas najmniejsz\u0105 liczb\u0105 w \\(n\\)-tej grupie jest \\(\\frac{1}{2^n}\\). Np. w grupie \\((\\frac 15+\\frac 16+\\frac 17+\\frac 18)\\) najmniejsz\u0105 liczb\u0105 jest \\(\\frac 18\\). Wobec tego \\[\\begin{array}{l}\\frac 12\\geqslant \\frac 12\\\\ \\frac 13+\\frac 14>\\frac 14+\\frac 14=\\frac 12\\\\ \\frac 15+\\frac 16+\\frac 17+\\frac 18> 4\\cdot\\frac 18=\\frac 12\\end{array}\\] I tak w niesko\u0144czono\u015b\u0107. Kolejne cz\u0119\u015bci s\u0105 r\u00f3wne co najmniej \\(\\frac 12\\). Czyli suma szeregu harmonicznego jest wi\u0119ksza ni\u017c suma niesko\u0144czenie wielu liczb \\(\\frac 12\\). Jest wi\u0119c niesko\u0144czona! Aby si\u0119 o tym przekona\u0107, w istotny spos\u00f3b skorzystali\u015bmy z tego, \u017ce sumujemy niesko\u0144czenie wiele liczb. Dzi\u0119ki temu mo\u017cna nasze grupowanie przeprowadza\u0107 w niesko\u0144czono\u015b\u0107. Innym zaskakuj\u0105cym faktem jest to, \u017ce suma odwrotno\u015bci liczb pierwszych r\u00f3wnie\u017c jest niesko\u0144czona!<\/p>\n

\nSuma niesko\u0144czenie wielu liczb dodatnich mo\u017ce by\u0107 sko\u0144czona lub r\u00f3wna \\(+\\infty\\). Intuicyjnie, gdy dodajemy wy\u0142\u0105cznie liczby dodatnie (lub wy\u0142\u0105cznie ujemne), to wynik takiego dodawania nie zale\u017cy od kolejno\u015bci tych liczb. <\/p>\n

\nTeraz przyjrzyjmy si\u0119 sytuacji, gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele liczb, w\u015br\u00f3d kt\u00f3rych s\u0105 zar\u00f3wno te dodatnie jak i ujemne. Mo\u017cemy wtedy (pomocniczo) oddzielnie doda\u0107 te ujemne otrzymuj\u0105c sum\u0119 \\(U\\) oraz oddzielnie doda\u0107 te dodatnie otrzymuj\u0105c wynik \\(D\\). Je\u017celi obie sumy s\u0105 sko\u0144czone to sytuacja jest oczywista. Sum\u0105 wszystkich tych liczb, bez znaczenia w jakiej kolejno\u015bci dodajemy, zawsze b\u0119dzie \\(U+D\\). Podobnie sytuacja wygl\u0105da, gdy jedna z sum jest sko\u0144czona, a druga nie. Wtedy wynikiem takiego dodawania, bez wzgl\u0119du na kolejno\u015b\u0107 sk\u0142adnik\u00f3w, jest jedna z niesko\u0144czono\u015bci. Problemy zaczynaj\u0105 si\u0119 wtedy, gdy obie sumy s\u0105 niesko\u0144czone.<\/p>\n

\nWiemy ju\u017c, \u017ce suma odwrotno\u015bci liczb naturalnych jest r\u00f3wna \\(+\\infty\\) (lub jak to m\u00f3wi\u0105 matematycy, jest rozbie\u017cna do niesko\u0144czono\u015bci). Okazuje si\u0119, \u017ce je\u017celi odwrotno\u015bciom liczb parzystych zmienimy znaki na ujemne, to otrzymamy ju\u017c sum\u0119 sko\u0144czon\u0105, bowiem \\[1-\\frac 12+\\frac 13-\\frac 14+\\cdots +\\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\\cdots=\\ln{2}\\] W tym przypadku zar\u00f3wno \\(D\\) jak i \\(U\\) s\u0105 niesko\u0144czone. Ciekawy, rysunkowy dow\u00f3d tego, i\u017c ta suma jest rzeczywi\u015bcie r\u00f3wna \\(\\ln{2}\\) przedstawi\u0142 Hudleson. <\/p>\n

\"twierdzenie
\u0179r\u00f3d\u0142o: M. Hudleson, Proof Without Words: The Alternating Harmonic Series Sums to ln 2, Mathematics Magazine, 83:4, 294<\/figcaption><\/figure>\n

\nProces jest bardzo prosty. Zaczynamy od le\u017c\u0105cego<\/em> na osi OX kwadratu o boku d\u0142ugo\u015bci 1, kt\u00f3rego dolne wierzcho\u0142ki znajduj\u0105 si\u0119 w punktach, kt\u00f3rych pierwsze wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne to 1 oraz 2. Maj\u0105c nasz kwadrat podzielony na \\(2^n\\) cz\u0119\u015bci kolejny podzia\u0142 otrzymujemy dwuetapowo. Najpierw dzielimy ka\u017cdy prostok\u0105cik na po\u0142ow\u0119 (jak na rysunku poni\u017cej) i usuwamy praw\u0105 cz\u0119\u015b\u0107. Odpowiada to elementom ci\u0105gu postaci \\(-\\frac{1}{2m}\\). W kolejnym kroku, miejsce usuni\u0119tego prostok\u0105ta, kt\u00f3rego lewy dolny wierzcho\u0142ek znajduj\u0105 si\u0119 w punkcie \\((1+\\frac{2k+1}{2^n},0)\\) wype\u0142niamy do prostok\u0105ta o wysoko\u015bci \\[\\dfrac{1}{1+\\frac{2k+1}{2^n}}=\\dfrac{2^n}{2^n+2k+1}\\] co daje nam prostok\u0105t o polu \\[\\dfrac{2^n}{2^n+2k+1}\\cdot\\dfrac{1}{2^n}=\\dfrac{1}{2^n+2k+1}\\] Odpowiada to elementom szeregu anharmonicznego postaci \\(\\frac{1}{2m+1}\\).
\n\"twierdzenie<\/p>\n

\nZmie\u0144my nieco kolejno\u015b\u0107 sk\u0142adnik\u00f3w sumy na nast\u0119puj\u0105c\u0105 \\[1-\\frac 12-\\frac 14+\\frac 13-\\frac 16-\\frac 18+\\frac 15-\\frac{1}{10}-\\frac{1}{12}+\\cdots\\] Tzn. najpierw mamy \\(1=\\frac 11\\) nast\u0119pnie odejmujemy \\(\\frac 12 \\) oraz \\(\\frac 14\\). Dalej dodajemy \\(\\frac 13\\) i odejmujemy dwie kolejne liczby tj. \\(\\frac{1}{6}\\) oraz \\(\\frac{1}{8}\\) itd. Og\u00f3lnie, w zmienionej kolejno\u015bci, mamy nast\u0119puj\u0105ce po sobie sumy sk\u0142adaj\u0105ce si\u0119 z nast\u0119puj\u0105cych trzech liczb \\[\\frac{1}{2k-1}-\\frac{1}{2(2k-1)}-\\frac{1}{4k}\\] Ka\u017cda liczba \\(\\frac{(-1)^{n+1}}{n}\\) pojawia si\u0119 tylko raz i to mimo tego, \u017ce mamy raz najpierw liczb\u0119, kt\u00f3rej mianownik jest nieparzysty a po niej zawsze dwie liczby z mianownikiem parzystym! To kolejny moment, w kt\u00f3rym uwidacznia si\u0119 r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy sko\u0144czono\u015bci\u0105 a niesko\u0144czono\u015bci\u0105. Poniewa\u017c mamy niesko\u0144czenie wiele liczb zar\u00f3wno z mianownikami parzystymi jak i nieparzystymi, to proces, w kt\u00f3rym bierzemy tak jakby dwa razy wi\u0119cej liczb z mianownikami parzystymi mo\u017cemy kontynuowa\u0107 w niesko\u0144czono\u015b\u0107! Tych liczb nigdy nam nie zabraknie! Ale wr\u00f3\u0107my do oblicze\u0144. Poniewa\u017c \\[\\frac{1}{2k-1}-\\frac{1}{2(2k-1)}=\\frac{1}{2(2k-1)},\\] to mo\u017cemy nasz\u0105 sum\u0119 zapisa\u0107 jako \\[\\frac 12-\\frac 14+\\frac 16-\\cdots\\frac 18+\\frac{1}{10}+\\cdots+\\frac{1}{2(2k-1)}-\\frac{1}{4k}+\\cdots\\] co nam daje
\n\\[\\frac 12\\left(1-\\frac 12+\\frac 13-\\frac 14+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\\cdots\\right)=\\frac 12\\ln{2}\\] Gwoli \u015bcis\u0142o\u015bci, powinni\u015bmy pokaza\u0107 jeszcze, \u017ce zamiana, kt\u00f3r\u0105 zastosowali\u015bmy nie ma wp\u0142ywu na granic\u0119, ale ten chyba oczywisty etap tutaj pominiemy.<\/p>\n

\nCzyli zmiana kolejno\u015bci sk\u0142adnik\u00f3w doprowadzi\u0142a do innego wyniku. Jak wida\u0107 wynik dodania do siebie niesko\u0144czenie wielu liczb rzeczywistych mo\u017ce zale\u017ce\u0107 od ich kolejno\u015bci. Ten przyk\u0142ad to jednak dopiero wierzcho\u0142ek g\u00f3ry lodowej! Okazuje si\u0119, \u017ce mo\u017cna w taki spos\u00f3b zmieni\u0107 kolejno\u015b\u0107 sk\u0142adnik\u00f3w aby suma by\u0142a r\u00f3wna z g\u00f3ry zadanej liczbie rzeczywistej lub nawet by\u0142a r\u00f3wna jednej z niesko\u0144czono\u015bci! M\u00f3wi o tym w\u0142a\u015bnie twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbie\u017cnych<\/strong>. Zanim jednak je przytoczymy (i udowodnimy!), to musimy sprawy nieco uporz\u0105dkowa\u0107.<\/p>\n

\nSum\u0119 niesko\u0144czenie wielu liczb \\[a_1+a_2+a_3+\\cdots+a_n+\\cdots\\] zwyczajowo nazywa si\u0119 szeregiem i oznacza \\[\\sum_{n=1}^\\infty a_n\\] Je\u017celi taka suma jest sko\u0144czona, to m\u00f3wimy, \u017ce szereg jest zbie\u017cny<\/em>. W przeciwnym wypadku m\u00f3wimy, \u017ce jest rozbie\u017cny<\/em>. Je\u017celi szereg \\[\\sum_{n=1}^\\infty a_n\\] jest zbie\u017cny a szereg warto\u015bci bezwzgl\u0119dnych \\[\\sum_{n=1}^\\infty |a_n| \\] rozbie\u017cny, to o takim szeregu m\u00f3wimy, \u017ce jest warunkowo zbie\u017cny<\/em>. Dobrym przyk\u0142adem jest tutaj znany nam ju\u017c szereg \\[1-\\frac 12+\\frac 13-\\frac 14+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}}{n}\\] Tak na marginesie, ka\u017cdy szereg postaci \\[a_1-a_2+a_3-a_4+\\cdots+(-1)^{n+1}+\\cdots,\\] gdzie \\(a_n\\geqslant 0\\) oraz \\(\\lim\\limits_{n\\to\\infty} a_n=0\\) jest zbie\u017cny! Poni\u017cej rysunkowa przes\u0142anka za prawdziwo\u015bci\u0105 tego twierdzenia.
\n\"szereg Gdyby narysowany wy\u017cej rysunkowy proces naprzemiennego dodawania i odejmowania kontynuowa\u0107, to da\u0142oby si\u0119 coraz bardziej dostrzec jak kolejne sumy cz\u0119\u015bciowe otaczaj\u0105 i zbli\u017caj\u0105 si\u0119 do sumy takiego szeregu. <\/p>\n

\n

Twierdzenie Riemmana o szeregach warunkowo zbie\u017cnych<\/strong>
\nJe\u017celi \\(\\sum_\\limits{n=1}^\\infty a_n\\) jest szeregiem zbie\u017cnym warunkowo, to dla ka\u017cdego \\(m\\in\\mathbb R\\cup\\{+\\infty, -\\infty\\}\\) istnieje taka permutacja \\(\\sigma:\\mathbb N^{+}\\to\\mathbb N^{+}\\), \u017ce \\[\\sum_{n=1}^\\infty a_{\\sigma (n)}=m.\\]\n<\/p><\/blockquote>\n

\nIdea dowodu jest bardzo prosta. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce \\(m\\in\\mathbb R\\). Na bazie ci\u0105gu \\(a_n\\) stw\u00f3rzmy najpierw dwa pomocnice ci\u0105gi. Pierwszym b\u0119dzie \\(a_n^{+}\\) sk\u0142adaj\u0105cy si\u0119, z zachowaniem kolejno\u015bci, z wyraz\u00f3w nieujemnych ci\u0105gu \\(a_n\\). Z kolei drugi, to ci\u0105g \\(a_n^{-}\\) sk\u0142adaj\u0105cy si\u0119 z wyraz\u00f3w ujemnych, r\u00f3wnie\u017c z zachowaniem ich kolejno\u015bci. Z za\u0142o\u017cenia szereg \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n\\) jest zbie\u017cny warunkowo, zatem \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n^{+}=+\\infty\\) oraz \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n^{-}=-\\infty\\). Najpierw sumujemy (zachowuj\u0105c kolejno\u015b\u0107) wyrazy nieujemne \\(a_n^{+}\\) do momentu a\u017c otrzymamy sum\u0119 \\[a_1^{+}+a_2^{+}+\\cdots+a_n^{+}\\] wi\u0119ksz\u0105 ni\u017c \\(m\\). Zawsze damy rad\u0119 to zrobi\u0107, bo szereg \\(\\sum\\limits_{n=1}^\\infty a_n^{+}\\) jest rozbie\u017cny do niesko\u0144czono\u015bci. Dalej dodajemy wyrazy ujemne \\(a_n^{-}\\) a\u017c otrzymamy sum\u0119 mniejsz\u0105 od \\(m\\). Proces ten potarzamy, tj. do dotychczasowej sumy dodajemy kolejne liczby nieujemne a\u017c otrzymamy ponownie liczb\u0119 wi\u0119ksz\u0105 ni\u017c \\(m\\). Poniewa\u017c liczby dodatnie sumuj\u0105 si\u0119 do niesko\u0144czono\u015bci, zawsze b\u0119dziemy w stanie to zrobi\u0107. Nigdy ich nam nie zabraknie. Analogicznie z liczbami ujemnymi. Poniewa\u017c \\(\\lim\\limits_{n\\to\\infty} a_n=0\\), to kolejne sumy cz\u0119\u015bciowe b\u0119d\u0105 coraz bli\u017csze liczbie \\(m\\). Rysunkowo ten proces wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:
\n\"twierdzenie<\/p>\n

\nTwierdzenie Riemanna pokazuje, \u017ce \u015bwiat sko\u0144czony znacznie si\u0119 r\u00f3\u017cni od niesko\u0144czonego nawet w tak prozaicznej kwestii jak zwyk\u0142e dodawanie liczb rzeczywistych. A co je\u017celi zamiast liczb rzeczywistych zechcemy dodawa\u0107 liczby zespolone, wektory z \\(\\mathbb R^n\\) lub elementy przestrzeni niesko\u0144czeniewymiarowych? Czy w takich przestrzeniach mo\u017cna sformu\u0142owa\u0107 analogiczne twierdzenie i jak ono wygl\u0105da? To ju\u017c pomys\u0142 na inny wpis, kt\u00f3rego tematem jest twierdzenie Levy\u2019ego-Steinitza<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Gdy dodajemy do siebie dwie liczby rzeczywiste, to przemienno\u015b\u0107 takiego dzia\u0142ania jest oczywista. Sprawy jednak si\u0119 nieco komplikuj\u0105, gdy bierzemy pod uwag\u0119 dodawanie niesko\u0144czenie wielu liczb. Tutaj kolejno\u015b\u0107 miewa nieraz ogromne znaczenie. M\u00f3wi o tym<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1872,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[61,49],"tags":[58],"class_list":["post-1816","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-analiza-matematyczna","category-matematyka-teoretyczna","tag-analiza-matematyczna"],"yoast_head":"\nTwierdzenie Riemanna czyli nieprzemienno\u015b\u0107 dodawania<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Twierdzenie Riemanna pokazuje, \u017ce dodawanie liczb rzeczywistych nie zawsze jest przemienne. Ale tylko gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele liczb.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Twierdzenie Riemanna czyli nieprzemienno\u015b\u0107 dodawania\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Twierdzenie Riemanna pokazuje, \u017ce dodawanie liczb rzeczywistych nie zawsze jest przemienne. Ale tylko gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele liczb.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-11-06T21:59:27+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-11-01T10:59:11+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"949\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"287\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"12 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Twierdzenie Riemanna czyli dlaczego dodawanie czasami nie jest przemienne\",\"datePublished\":\"2022-11-06T21:59:27+00:00\",\"dateModified\":\"2024-11-01T10:59:11+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/\"},\"wordCount\":2356,\"commentCount\":2,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png\",\"keywords\":[\"Analiza matematyczna\"],\"articleSection\":[\"Analiza matematyczna\",\"Matematyka teoretyczna\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/\",\"name\":\"Twierdzenie Riemanna czyli nieprzemienno\u015b\u0107 dodawania\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png\",\"datePublished\":\"2022-11-06T21:59:27+00:00\",\"dateModified\":\"2024-11-01T10:59:11+00:00\",\"description\":\"Twierdzenie Riemanna pokazuje, \u017ce dodawanie liczb rzeczywistych nie zawsze jest przemienne. Ale tylko gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele liczb.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png\",\"width\":949,\"height\":287,\"caption\":\"twierdzenie riemanna o szeregach warunkowo zbie\u017cnych\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Twierdzenie Riemanna czyli dlaczego dodawanie czasami nie jest przemienne\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Twierdzenie Riemanna czyli nieprzemienno\u015b\u0107 dodawania","description":"Twierdzenie Riemanna pokazuje, \u017ce dodawanie liczb rzeczywistych nie zawsze jest przemienne. Ale tylko gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele liczb.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Twierdzenie Riemanna czyli nieprzemienno\u015b\u0107 dodawania","og_description":"Twierdzenie Riemanna pokazuje, \u017ce dodawanie liczb rzeczywistych nie zawsze jest przemienne. Ale tylko gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele liczb.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2022-11-06T21:59:27+00:00","article_modified_time":"2024-11-01T10:59:11+00:00","og_image":[{"width":949,"height":287,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"12 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Twierdzenie Riemanna czyli dlaczego dodawanie czasami nie jest przemienne","datePublished":"2022-11-06T21:59:27+00:00","dateModified":"2024-11-01T10:59:11+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/"},"wordCount":2356,"commentCount":2,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png","keywords":["Analiza matematyczna"],"articleSection":["Analiza matematyczna","Matematyka teoretyczna"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/","name":"Twierdzenie Riemanna czyli nieprzemienno\u015b\u0107 dodawania","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png","datePublished":"2022-11-06T21:59:27+00:00","dateModified":"2024-11-01T10:59:11+00:00","description":"Twierdzenie Riemanna pokazuje, \u017ce dodawanie liczb rzeczywistych nie zawsze jest przemienne. Ale tylko gdy dodajemy niesko\u0144czenie wiele liczb.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/riem007.png","width":949,"height":287,"caption":"twierdzenie riemanna o szeregach warunkowo zbie\u017cnych"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/11\/06\/twierdzenie-riemanna\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Twierdzenie Riemanna czyli dlaczego dodawanie czasami nie jest przemienne"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1816","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1816"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1816\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2561,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1816\/revisions\/2561"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1872"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1816"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1816"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1816"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}