{"id":1621,"date":"2022-08-03T23:27:07","date_gmt":"2022-08-03T21:27:07","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=1621"},"modified":"2023-08-05T21:08:10","modified_gmt":"2023-08-05T19:08:10","slug":"grupa-wolna","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/","title":{"rendered":"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)"},"content":{"rendered":"

\nCiekawe twierdzenie! Grupa o generatorach {a,b,…,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna. Przedstawimy dow\u00f3d tego twierdzenia oraz om\u00f3wimy takie poj\u0119cia jak grupa wolna, generatory oraz relacje.
\n<\/p>\n

\nMatematyka znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, o dziwo nawet w lingwistyce. Co prawda wspomniane we wst\u0119pie twierdzenie nie jest chyba czym\u015b co mo\u017ce mie\u0107 jakie\u015b praktyczne zastosowania, jednak mimo wszystko stanowi interesuj\u0105c\u0105 ciekawostk\u0119. Ponadto, budowa wspomnianej grupy mo\u017ce dawa\u0107 nam pewne informacje o danym j\u0119zyku. Jej trywialno\u015b\u0107 sugeruje r\u00f3\u017cnorodno\u015b\u0107 z jak\u0105 mog\u0105 by\u0107 zapisywane te same d\u017awi\u0119ki.<\/p>\n

\nW tym wpisie przedstawimy dow\u00f3d tego twierdzenia dla j\u0119zyka francuskiego a potem analogiczny dla j\u0119zyka angielskiego. Om\u00f3wimy r\u00f3wnie\u017c j\u0119zyk niemiecki. Jest to te\u017c dobra okazja aby wspomnie\u0107 o tym czym s\u0105 takie poj\u0119cia jak grupa wolna czy generatory oraz relacje (w kontek\u015bcie teorii grup). Na pocz\u0105tek jednak zaprezentujemy wspomniane dowody. Nast\u0119pnie dla zainteresowanych, kt\u00f3rzy nie s\u0105 zaznajomieni ze wspomnianymi poj\u0119ciami, opowiemy czym one s\u0105 oraz wspomnimy o wa\u017cnych w\u0142asno\u015bciach grup wolnych.<\/p>\n

\nZacznijmy od precyzyjnego sformu\u0142owania naszego twierdzenia. Niech \\(G\\) b\u0119dzie grup\u0105 woln\u0105 generowan\u0105 przez zbi\u00f3r 26-elementowy, kt\u00f3rego elementy uto\u017csamiamy z literami alfabetu \u0142aci\u0144skiego. Grup\u0119 t\u0119 nazwijmy lingwistyczn\u0105 grup\u0105 woln\u0105<\/strong>. Dla j\u0119zyka \\(J\\), kt\u00f3rego alfabet jest oparty na \u0142aci\u0144skim (z by\u0107 mo\u017ce dodatkowymi literami) zdefiniujmy zbi\u00f3r \\(R_J\\) sk\u0142adaj\u0105cy si\u0119 z relacji \\(A=B\\), gdy tylko \\(A\\) oraz \\(B\\) s\u0105 zapisane literami alfabetu \u0142aci\u0144skiego oraz maj\u0105 tak\u0105 sam\u0105 wymow\u0119. Grup\u0119 \\[G_J=\\langle\\{a,b,c,\\ldots,z\\}| R_J\\rangle\\] nazwijmy ilorazem homofonicznym<\/strong> j\u0119zyka \\(J\\).<\/p>\n

\n

\nTwierdzenie [Mestre, Schoof, Washington, Zagier]<\/strong>
\nIlorazy homofoniczne j\u0119zyka francuskiego oraz angielskiego s\u0105 trywialne.\n<\/p><\/blockquote>\n

\nNajpierw przedstawimy dow\u00f3d dla j\u0119zyka francuskiego. Jego idea jest bardzo prosta. B\u0119dziemy po kolei pokazywali, \u017ce poszczeg\u00f3lne litery alfabetu \u0142aci\u0144skiego s\u0105 trywialne. Dow\u00f3d ten pochodzi z pracy Homophonic Quotients of Free Groups<\/a> autorstwa matematyk\u00f3w wymienionych powy\u017cej. Praca zosta\u0142a napisana w bardzo ciekawy spos\u00f3b. Dow\u00f3d dla j\u0119zyka francuskiego jest po angielsku, a dla j\u0119zyka angielskiego po francusku.<\/p>\n

\nRelacja<\/p>\n

soie = soi<\/strong><\/p>\n

oznacza, \u017ce litera \\(e\\) jest trywialna w \\(G_J\\). Dalej mamy dalsze relacje oraz po prawej stronie kolejne litery, kt\u00f3re dzi\u0119ki danej relacji staj\u0105 si\u0119 trywialne.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
soit=soi <\/td>\n t<\/tr>\n
sois=soi <\/td>\n s<\/tr>\n
aux=au <\/td>\n x<\/tr>\n
serre=sert <\/td>\n r<\/tr>\n
ce=se <\/td>\n s<\/tr>\n
balle=bal<\/td>\n l<\/tr>\n
laid=lait<\/td>\n d<\/tr>\n
haut=au<\/td>\n h<\/tr>\n
parlent=parle<\/td>\n n<\/tr>\n
allez=aller<\/td>\n z<\/tr>\n
sept=cet<\/td>\n p<\/tr>\n
champs=chant<\/td>\n m<\/tr>\n
fard=phare<\/td>\n f<\/tr>\n
an=en<\/td>\n a<\/tr>\n
mais=mets<\/td>\n i<\/tr>\n
bayer=bailler<\/td>\n y<\/tr>\n
sang=cent<\/td>\n g<\/tr>\n
jet=geai<\/td>\n j<\/tr>\n
abbesse=abaisse<\/td>\n b<\/tr>\n<\/table>\n

Je\u015bli chodzi o k, to relacja khan=quand<\/strong> implikuje, \u017ce k=qu<\/strong>. Za\u015b lacque=lac<\/strong>, \u017ce qu<\/strong> jest trywialne.<\/p>\n\n\n\n\n\n
coq=coke <\/td>\nq, u<\/tr>\n
pot=peau <\/td>\no<\/tr>\n
watt=ouate <\/td>\nw<\/tr>\n
vaguons=wagon<\/td>\nv<\/tr>\n<\/table>\n

\nco ko\u0144czy dow\u00f3d. Bez problemu mo\u017cna owe twierdzenie uog\u00f3lni\u0107 dodaj\u0105c do liter \u0142aci\u0144skich (wymienione ni\u017cej) litery akcentowane alfabetu francuskiego oraz ligatur\u0119 \u0153. Mamy w\u00f3wczas<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
l\u00e0=la <\/td>\n\u00e0<\/tr>\n
gu\u00e8re=guerre <\/td>\n\u00e8<\/tr>\n
all\u00e9=aller <\/td>\n\u00e9<\/tr>\n
\u00f4te=haute <\/td>\n\u00f4<\/tr>\n
app\u00e2t=appas <\/td>\n\u00e2<\/tr>\n
m\u00f9r=mur <\/td>\n\u00fb<\/tr>\n
\u00eele=il<\/td>\n\u00ee<\/tr>\n
f\u00eate=fa\u00eete<\/td>\n\u00ea<\/tr>\n
\u0153ufs=eux<\/td>\n\u0153<\/tr>\n
\u00e7a=sa<\/td>\n\u00e7<\/tr>\n<\/table>\n

\nPewn\u0105 w\u0105tpliwo\u015b\u0107 wzbudzi\u0142a u autora tego wpisu r\u00f3wno\u015b\u0107 se=ce<\/strong>. T\u0142umacz google podaje r\u00f3\u017cn\u0105 wymow\u0119 tych s\u0142\u00f3w, jednak s\u0142ownik pons<\/a> ju\u017c tak\u0105 sam\u0105. Uznajemy wi\u0119c i\u017c wymowa jest taka sama, zw\u0142aszcza bior\u0105c pod uwag\u0119, \u017ce w\u015br\u00f3d autor\u00f3w dowodu jest francuski matematyk Jean-Fran\u00e7ois Mestre<\/a>.<\/p>\n

\nAnalogiczny dow\u00f3d dla j\u0119zyka angielskiego wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n

\nbye=by (e), lead=led (a), maid=made (i), sow=sew (o), buy=by (u), sow=so (w), lye=lie (y), hour=our (h), knight=night (k), damn=dam (n), psalter=salter (p), plumb=plum (b), bass=base (s), butt=but (t), tolled=told (l), barred=bard (r), dammed=damned (m), chased=chaste (d), sign=sine (g), daze=days (z), cite=sight (c), jeans=genes (j), queue=cue (q), tax=tacks (x), phase=faze (f), chivvy=chivy (v)<\/p>\n

\nNatomiast w pracy Gangla, Karaaliego oraz Lee<\/a> autorzy rozwa\u017caj\u0105 j\u0119zyki niemiecki, turecki oraz korea\u0144ski (tutaj naturalnie bierzemy alfabet korea\u0144ski a nie \u0142aci\u0144ski). Ilorazy homofoniczne grup j\u0119zyk\u00f3w tureckiego oraz korea\u0144skiego wydaj\u0105 si\u0119 nie by\u0107 trywialne.<\/p>\n

\nAutorzy pr\u00f3buj\u0105 r\u00f3wnie\u017c udowodni\u0107, \u017ce iloraz homofoniczny j\u0119zyka niemieckiego jest trywialny. Jednak ich dow\u00f3d zawiera relacj\u0119 J\u00e4ckchen \u2014 Y\u00e4kchen<\/strong>, kt\u00f3ra zawiera liter\u0119 \u00e4<\/strong>. Nie jest to litera alfabetu \u0142aci\u0144skiego! Mamy relacj\u0119 zawieraj\u0105c\u0105 znak nienale\u017c\u0105cy do zbioru generator\u00f3w! Relacja ta ma na celu pokazanie, \u017ce j jest trywialna. Podaj\u0105 r\u00f3wnie\u017c przyk\u0142ad s\u0142\u00f3w Yoghurt=Joghurt<\/strong>, cho\u0107 jogurt po niemiecku to Joghurt. By\u0107 mo\u017ce mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c pisa\u0107 Yoghurt, ale wg autora tego wpisu poprawno\u015b\u0107 dowodu jest dyskusyjna. Tym bardziej, \u017ce autorzy wykorzystuj\u0105 kilka (chyba nieco naci\u0105ganych) zapo\u017cycze\u0144.<\/p>\n

\nA jak wygl\u0105da sprawa je\u015bli chodzi o j\u0119zyk polski? C\u00f3\u017c, pracy \u017cadnej na ten temat nie uda\u0142o mi si\u0119 znale\u017a\u0107, ale wydaje si\u0119, \u017ce iloraz homofoniczny naszego j\u0119zyka raczej nie jest trywialny.<\/p>\n

\nTeraz mo\u017cemy przej\u015b\u0107 do om\u00f3wienia, idei bardziej ni\u017c formalnej konstrukcji, takich poj\u0119\u0107 jak grupa wolna, generatory czy relacje (naturalnie w kontek\u015bcie teorii grup). Zacznijmy od grupy wolnej. Idea jest bardzo prosta.<\/p>\n

\nNiech \\(X\\) b\u0119dzie niepustym zbiorem (zwanym alfabetem). Sko\u0144czony ci\u0105g element\u00f3w zbioru \\(X\\) lub element\u00f3w postaci \\(x^{-1}\\) (kt\u00f3re uto\u017csamiany z odwrotnymi do tych ze zbioru \\(X\\)) nazywamy s\u0142owem<\/strong>. Uwzgl\u0119dniamy r\u00f3wnie\u017c s\u0142owo puste. Powszechn\u0105 konwencj\u0105 jest pisanie s\u0142\u00f3w nie jak ci\u0105g\u00f3w \\(x,y,z\\) lecz tak jak zwyk\u0142e s\u0142owa (tj. bez przecink\u00f3w) \\(xyz\\).<\/p>\n

\nRozwa\u017camy jedynie takie s\u0142owa, w kt\u00f3rych nie wyst\u0119puj\u0105 obok siebie ci\u0105gi postaci \\(xx^{-1}\\) lub \\(x^{-1}x\\), gdy\u017c naturalnie uwa\u017camy \\(x\\) oraz \\(x^{-1}\\) za elementy wzajemnie odwrotne, wi\u0119c si\u0119 one skracaj\u0105. S\u0142owa o tej w\u0142asno\u015bci nazwijmy zredukowanymi<\/em>. Poni\u017cej przyk\u0142ad ci\u0105gu operacji prowadz\u0105cych do s\u0142owa zredukowanego.<\/p>\n

\"grupa<\/p>\n

\nDodatkowo, ci\u0105gi tych samych element\u00f3w zapisujemy u\u017cywaj\u0105c pot\u0119g. Tj. w postaci \\(x^n\\) zamiast \\(xxx\\ldots x\\), gdy tych iks\u00f3w jest \\(n\\) oraz analogicznie \\(x^{-n}\\).<\/p>\n

\nNaturalnym dzia\u0142aniem w zbiorze s\u0142\u00f3w zredukowanych jest ich \u0142\u0105czenie, i nast\u0119pnie ewentualne skracanie (np. gdy jedno s\u0142owo ko\u0144czy si\u0119 na \\(x\\), a drugie zaczyna na \\(x^{-1}\\)) a\u017c do uzyskania s\u0142owa zredukowanego. Okazuje si\u0119, \u017ce zbi\u00f3r s\u0142\u00f3w zredukowanych \\(F(X)\\) z tak zdefiniowanym dzia\u0142aniem tworzy grup\u0119. S\u0142owo puste jest elementem neutralnym, s\u0142owem odwrotnym do s\u0142owa \\[x_1x_2\\ldots x_n\\] jest \\[x_n^{-1}x_{n-1}^{-1}\\ldots x_1^{-1},\\] a i samo dzia\u0142anie jest r\u00f3wnie\u017c \u0142\u0105czne. I jest to w\u0142a\u015bnie grupa wolna<\/strong> generowana przez \\(X\\).<\/p>\n

\nProsty przyk\u0142ad. Je\u017celi \\(X=\\{x\\}\\), to grupa wolna generowana przez \\(X\\) sk\u0142ada si\u0119 ze s\u0142owa pustego oraz s\u0142\u00f3w postaci \\[x, x^{-1},\\ xx=x^2,\\ x^{-1}x^{-1}=x^{-2},\\ \\ldots \\] czyli jest izomorficzna z grup\u0105 liczb ca\u0142kowitych \\((\\mathbb Z, +)\\).<\/p>\n

\nZ kolei grupa wolna o dw\u00f3ch generatorach, to zbi\u00f3r sko\u0144czonych ci\u0105g\u00f3w takich jak \\(x^2y^{-3}xy^5\\) czy \\(y^{-1}x^7y^{12}x^4y^{-3}\\), tj. takich w kt\u00f3rych oba generatory wyst\u0119puj\u0105 naprzemiennie w niezerowych pot\u0119gach. Plus oczywi\u015bcie s\u0142owo puste oraz s\u0142owa postaci \\(x^n\\) czy \\(y^n\\). Osoby zaznajomione z topologi\u0105<\/a> wiedz\u0105, \u017ce grupa wolna o dw\u00f3ch generatorach jest izomorficzna z grup\u0105 podstawow\u0105 bukietu dwu okr\u0119g\u00f3w czyli \u00f3semki, lub og\u00f3lniej – grupa podstawowa bukietu \\(n\\) okr\u0119g\u00f3w jest izomorficzna z grup\u0105 woln\u0105 o \\(n\\) generatorach. Pojawianie si\u0119 grup, kt\u00f3re definiuje si\u0119 przy pomocy generator\u00f3w i relacji nie jest niczym nadzwyczajnym w topologii algebraicznej. <\/p>\n

\nIdea konstrukcji, kt\u00f3r\u0105 zarysowali\u015bmy by\u0142a prosta. Teraz j\u0105 uog\u00f3lnimy. Bierzemy wszystkie „s\u0142owa” (tj. sko\u0144czone ci\u0105gi), kt\u00f3re mo\u017cemy stworzy\u0107 korzystaj\u0105c z element\u00f3w zbioru \\(X\\) oraz element\u00f3w do nich odwrotnych. Przy czym zak\u0142adali\u015bmy, \u017ce s\u0142owa postaci \\(xx^{-1}\\) oraz \\(x^{-1}x\\) mo\u017cemy usun\u0105\u0107, bo elementy odwrotne si\u0119 skracaj\u0105. Mo\u017ce si\u0119 z zdarzy\u0107, \u017ce chcieliby\u015bmy aby i inne ci\u0105gi by\u0142y r\u00f3wne elementowi neutralnemu. Albo chcieliby\u015bmy r\u00f3\u017cne s\u0142owa traktowa\u0107 jako r\u00f3wne. Tego typu r\u00f3wno\u015bci nazywamy relacjami<\/strong>.<\/p>\n

\nPrzyk\u0142adem relacji (w kontek\u015bcie teorii grup) jest r\u00f3wno\u015b\u0107 \\(xx^{-1}=e\\), gdzie \\(e\\) to element neutralny. Taka relacja oznacza, \u017ce je\u015bli w s\u0142owie pojawi si\u0119 ci\u0105g \\(xx^{-1}\\), to mo\u017cemy go usun\u0105\u0107, gdy\u017c chcemy aby by\u0142 r\u00f3wnowa\u017cny s\u0142owu pustemu. Z kolei relacja \\[xy=yx\\] oznacza, \u017ce ci\u0105gi \\(xy\\) oraz \\(yx\\) chcemy uto\u017csamia\u0107. Jest to r\u00f3wnowa\u017cne r\u00f3wno\u015bci \\(xyx^{-1}y^{-1}=e\\)<\/p>\n

\nMamy wi\u0119c dwa sposoby zapisywania relacji. Mo\u017cemy je zapisywa\u0107 jako r\u00f3wno\u015bci s\u0142\u00f3w \\(s_1=s_2\\) albo w postaci s\u0142\u00f3w \\(s\\), kt\u00f3re chcemy uto\u017csamia\u0107 z elementem neutralnym. Relacj\u0119 \\(s_1=s_2\\) mo\u017cemy tym drugim sposobem zapisa\u0107 jako s\u0142owo \\(s_1s^{-1}_2\\).<\/p>\n

\"grupa
Tym razem redukujemy korzystaj\u0105c z relacji aux=au.<\/figcaption><\/figure>\n

\nJe\u017celi do grupy wolnej z jednym generatorem \\(x\\) dodamy relacj\u0119 \\(x^n\\), dla pewnego \\(n\\in\\mathbb N^{+}\\), to otrzymamy grup\u0119 cykliczn\u0105 o \\(n\\) elementach. <\/p>\n

\nPowy\u017csza konstrukcja daje nam nowy spos\u00f3b definiowania grup, kt\u00f3ry czasami jest wygodniejszy od innych. Wracaj\u0105c do topologii, znany jest algorytm, kt\u00f3ry pozwala przedstawi\u0107 grup\u0119 podstawow\u0105 kompleksu symplicjalnego w postaci w\u0142a\u015bnie generator\u00f3w i relacji. Mimo i\u017c cz\u0119sto taki spos\u00f3b definiowania grup jest niezwykle wygodny, to ma swoje mankamenty. Dan\u0105 grup\u0119 mo\u017cna cz\u0119sto na wiele r\u00f3\u017cnych sposob\u00f3w tak przedstawi\u0107. Pojawia si\u0119 pytanie: jak sprawdzi\u0107 czy dwa przedstawienia prowadz\u0105 do grup izomorficznych? <\/p>\n

\nWa\u017cn\u0105 w\u0142asno\u015bci\u0105 grupy \\(F(X)\\) jest to, \u017ce je\u015bli \\(G\\) jest grup\u0105, to dowolna funkcja \\(f:X\\to G\\) przed\u0142u\u017ca si\u0119 w spos\u00f3b jednoznaczny do homomorfizmu \\(\\tilde{f}:F(X)\\to G\\). Jest to intuicyjnie oczywiste, gdy\u017c ka\u017cdy element grupy \\(F(X)\\) mo\u017cemy uto\u017csamia\u0107 z pewnym s\u0142owem zredukowanym, tj. konkretnym ci\u0105giem generator\u00f3w.<\/p>\n

\nKolejn\u0105 wa\u017cn\u0105 w\u0142asno\u015bci\u0105 grup wolnych jest to, \u017ce ka\u017cda grupa \\(G\\) jest grup\u0105 ilorazow\u0105 pewnej grupy wolnej. Wobec tego wsz\u0119dzie tam, gdzie pojawiaj\u0105 si\u0119 jakiekolwiek grupy, s\u0105 spore szanse, \u017ce pojawi\u0105 si\u0119 i grupy wolne. A grupy pojawiaj\u0105 si\u0119 r\u00f3wnie\u017c w zastosowaniach nie tylko matematycznych.<\/p>\n

Literatura:<\/h4>\n
\n

\nJ-F. Mestre, R. Schoof, L. Washington, D. Zagier<\/strong>, Quotients Homophones des Groupes Libres. Homophonic Quotients of Free Groups.<\/em>, Experiment. Math. 2(3) (1993), s. 153-155.<\/p>\n

H. Gangl, G. Karaali, W. Lee<\/strong>, Homophonic Quotients of Linguistic Free Groups: German, Korean, and Turkish<\/em>, Involve 12(3) (2019), s. 463-474. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ciekawe twierdzenie! Grupa o generatorach {a,b,…,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna. Przedstawimy dow\u00f3d tego twierdzenia oraz om\u00f3wimy takie poj\u0119cia jak grupa wolna,<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1678,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[64,49],"tags":[66,67,50],"class_list":["post-1621","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-algebra","category-matematyka-teoretyczna","tag-algebra","tag-matematyka-rekreacyjna","tag-matematyka-teoretyczna"],"yoast_head":"\nGrupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Grupa wolna o alfabecie {a,b,...,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Grupa wolna o alfabecie {a,b,...,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-08-03T21:27:07+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2023-08-05T19:08:10+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"969\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"215\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"10 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)\",\"datePublished\":\"2022-08-03T21:27:07+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-05T19:08:10+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/\"},\"wordCount\":1985,\"commentCount\":2,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png\",\"keywords\":[\"Algebra\",\"Matematyka rekreacyjna\",\"Matematyka teoretyczna\"],\"articleSection\":[\"Algebra\",\"Matematyka teoretyczna\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/\",\"name\":\"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png\",\"datePublished\":\"2022-08-03T21:27:07+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-05T19:08:10+00:00\",\"description\":\"Grupa wolna o alfabecie {a,b,...,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png\",\"width\":969,\"height\":215,\"caption\":\"grupa wolna\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)","description":"Grupa wolna o alfabecie {a,b,...,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)","og_description":"Grupa wolna o alfabecie {a,b,...,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2022-08-03T21:27:07+00:00","article_modified_time":"2023-08-05T19:08:10+00:00","og_image":[{"width":969,"height":215,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"10 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)","datePublished":"2022-08-03T21:27:07+00:00","dateModified":"2023-08-05T19:08:10+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/"},"wordCount":1985,"commentCount":2,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png","keywords":["Algebra","Matematyka rekreacyjna","Matematyka teoretyczna"],"articleSection":["Algebra","Matematyka teoretyczna"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/","name":"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png","datePublished":"2022-08-03T21:27:07+00:00","dateModified":"2023-08-05T19:08:10+00:00","description":"Grupa wolna o alfabecie {a,b,...,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B s\u0105 s\u0142owami j\u0119zyka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/grupa_wolna_03.png","width":969,"height":215,"caption":"grupa wolna"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/03\/grupa-wolna\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Grupa wolna a j\u0119zyk francuski (i nie tylko)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/f16c078ff9d68ba09c4e424638234fa07c9c989195edd327510c0c8b167f1b70?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1621","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1621"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1621\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2196,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1621\/revisions\/2196"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1678"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1621"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1621"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1621"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}