{"id":1509,"date":"2022-01-24T19:53:50","date_gmt":"2022-01-24T17:53:50","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=1509"},"modified":"2022-06-20T00:47:07","modified_gmt":"2022-06-19T22:47:07","slug":"prawdopodobienstwo-warunkowe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/24\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/","title":{"rendered":"Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe czyli jakie s\u0105 szanse, \u017ce losowa osoba ma na imi\u0119 Marian gdy wiemy, \u017ce jest kobiet\u0105"},"content":{"rendered":"

\nPa\u0144stwo Kowalscy maj\u0105 dwoje dzieci. Wiemy jedynie, \u017ce kt\u00f3re\u015b z ich dzieci to dziewczynka. Jakie s\u0105 szanse na to, \u017ce i drugie to dziewczynka? Wydaje si\u0119 oczywiste, \u017ce 1\/2. No w\u0142a\u015bnie nie…
\n<\/p>\n

\nZapewne zdziwi to niejednego, kto nie mia\u0142 zbyt wiele do czynienia z prawdopodobie\u0144stwem warunkowym, ale odpowied\u017a na zagadk\u0119 ze wst\u0119pu wcale nie jest r\u00f3wna 1\/2, lecz 1\/3. Oczywi\u015bcie przy za\u0142o\u017ceniu, \u017ce szanse na to, \u017ce losowo wybrane dziecko jest dziewczynk\u0105 s\u0105 takie same jak, \u017ce jest ch\u0142opcem. W rzeczywisto\u015bci za\u0142o\u017cenie to jest tylko przybli\u017ceniem rzeczywisto\u015bci, gdy\u017c ch\u0142opc\u00f3w rodzi si\u0119 ciut wi\u0119cej i jest to og\u00f3lny trend. Nieco wi\u0119cej o statystykach p\u0142ci dzieci mo\u017cna poczyta\u0107 w tym miejscu<\/a>. Z kolei kobiety przeci\u0119tnie \u017cyj\u0105 d\u0142u\u017cej i liczbowo jest ich wi\u0119cej. Poniewa\u017c celem tego wpisu jest opis poj\u0119cia jakim jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, to za\u0142o\u017cenie, \u017ce szanse na ch\u0142opca (jak i na dziewczynk\u0119) s\u0105 r\u00f3wne 1\/2 wystarczy w zupe\u0142no\u015bci. <\/p>\n

\n\u017beby dok\u0142adnie zrozumie\u0107 rozwi\u0105zanie wspomnianego zadania, musimy wpierw opowiedzie\u0107 sobie o tym czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe<\/strong>. W skr\u00f3cie, jest to prawdopodobie\u0144stwo zaj\u015bcia pewnego zdarzenia w sytuacji gdy wiemy, \u017ce jakie\u015b inne zdarzenie zasz\u0142o. Lub, nieco mniej \u015bci\u015ble, gdy posiadamy jak\u0105\u015b wiedz\u0119 odno\u015bnie zdarzenia, kt\u00f3re nas interesuje. <\/p>\n

\nPrawdopodobie\u0144stwo warunkowe jest jednym z wa\u017cniejszych poj\u0119\u0107 rachunku prawdopodobie\u0144stwa i nie b\u0119dzie przesad\u0105 je\u015bli powiemy, \u017ce jednym z najwa\u017cniejszych poj\u0119\u0107 matematycznych jakie poznajemy w szkole. Jest szeroko stosowane w r\u00f3\u017cnego rodzaju badaniach naukowych czy te\u017c przez towarzystwa ubezpieczeniowe do wyliczania wielko\u015bci sk\u0142adek. Testom stosowanym w medycynie przypisuje si\u0119 takie parametry jak czu\u0142o\u015b\u0107<\/em> oraz swoisto\u015b\u0107<\/em>, kt\u00f3re s\u0105 niczym jak innym jak pewnymi prawdopodobie\u0144stwami warunkowymi. Zrozumienie tego poj\u0119cia pozwala unika\u0107 wielu b\u0142\u0119dnych wniosk\u00f3w do jakich mo\u017cna doj\u015b\u0107 np. prowadz\u0105c jakie\u015b badania. Jest ono r\u00f3wnie\u017c dobrym narz\u0119dziem do r\u00f3\u017cnych manipulacji. Dobre przyk\u0142ady to klasyczny b\u0142\u0105d rozumowania prokuratorskiego czy paradoks Berksona.<\/p>\n

\nSp\u00f3jrzmy na prosty przyk\u0142ad pokazuj\u0105cy jak wiedza o zdarzeniu wp\u0142ywa na prawdopodobie\u0144stwo. Rozwa\u017cmy rzut tzw. uczciw\u0105 kostk\u0105, tj. tak\u0105, \u017ce z g\u00f3ry zak\u0142adamy i\u017c szanse na wypadni\u0119cie ka\u017cdej liczby oczek s\u0105 r\u00f3wne 1\/6. <\/p>\n

\"rzut<\/p>\n

\nW szczeg\u00f3lno\u015bci, szanse na to, \u017ce wypadnie jedynka s\u0105 r\u00f3wne w\u0142a\u015bnie 1\/6. Je\u017celi natomiast wiemy, \u017ce wypad\u0142a nieparzysta liczba oczek, to prawdopodobie\u0144stwo wypadni\u0119cia owej jedynki ju\u017c b\u0119dzie inne. Wiedza ta sprawi\u0142a, \u017ce jedynymi mo\u017cliwymi wynikami s\u0105 1, 3 oraz 5.<\/p>\n

\"prawdopodobie\u0144stwo<\/p>\n

Zatem szanse na jedynk\u0119 wzros\u0142y do 1\/3.<\/p>\n

\nKa\u017cde do\u015bwiadczenie losowe ma zbi\u00f3r mo\u017cliwych wynik\u00f3w, zwyczajowo oznaczanych \\(\\Omega\\). Ow\u0105 omeg\u0119<\/em> mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c uto\u017csamia\u0107 z pewn\u0105 populacj\u0105 np. ludzi mieszkaj\u0105cych w Polsce. Ka\u017cde zdarzenie jest, z matematycznego punktu widzenia, pewnym zbiorem \\(A\\subseteq\\Omega\\). Zbi\u00f3r ten mo\u017ce by\u0107 pewn\u0105 podpopulacj\u0105 np. ludzi mieszkaj\u0105cych w Polsce o imieniu Marian.<\/p>\n

\nJak wiemy, \\(P(\\Omega)=1\\) oraz \\(0\\leqslant P(A)\\leqslant 1\\). Mo\u017cna wi\u0119c powiedzie\u0107, w j\u0119zyku zbior\u00f3w, \u017ce liczbowo \\(P(A)\\) to ta cz\u0119\u015b\u0107 zbioru \\(\\Omega\\) jak\u0105 zajmuje zbi\u00f3r \\(A\\). Lub, m\u00f3wi\u0105c w j\u0119zyku populacji, liczba \\(P(A)\\) jest t\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 ca\u0142ej populacji \\(\\Omega\\), kt\u00f3r\u0105 stanowi podpopulacja \\(A\\). W tym przypadku mamy \\[P(A)=\\dfrac{|A|}{|\\Omega|},\\] gdzie \\(|A|\\) oznacza liczb\u0119 os\u00f3b w populacji \\(A\\). <\/p>\n

\nZ prawdopodobie\u0144stwem warunkowym mamy do czynienia, gdy wiemy (lub zak\u0142adamy) \u017ce zasz\u0142o pewne zdarzenie, nazwijmy je \\(B\\). Ewentualnie, gdy ograniczamy swoje rozwa\u017cania do jakiego\u015b podzbioru\/podpopulacji \\(B\\) (np. os\u00f3b p\u0142ci \u017ce\u0144skiej). Oznacza to, \u017ce teraz zbiorem mo\u017cliwych zdarze\u0144 nie jest ju\u017c \\(\\Omega\\), lecz \\(B\\). Zerknijmy na dwa rysunki.<\/p>\n

\"prawdopodobie\u0144stwo\"<\/p>\n

\nCz\u0119\u015b\u0107 jasnozielona (niech to b\u0119dzie zdarzenie \\(A\\)) stanowi po\u0142ow\u0119 ca\u0142o\u015bci. Wobec tego \\(P(A)=0,5\\). Je\u017celi wiemy lub zak\u0142adamy, \u017ce zasz\u0142o zdarzenie \\(B\\), to mo\u017ce mie\u0107 to istotny wp\u0142yw na prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia \\(A\\).<\/p>\n

\"prawdopodobie\u0144stwo<\/p>\n

\nZbi\u00f3r mo\u017cliwych wynik\u00f3w zosta\u0142 ograniczony do zbioru \\(B\\). Na rysunku wida\u0107, \u017ce ta cz\u0119\u015b\u0107 zbioru \\(A\\), kt\u00f3ra znajduje si\u0119 w \\(B\\) (tj. \\(A\\cap B\\)) jest mniejsza ni\u017c po\u0142owa \\(B\\). Wobec tego zaj\u015bcie zdarzenia \\(B\\) zmniejsza szanse na zaj\u015bcie zdarzenia \\(A\\). Lub m\u00f3wi\u0105c bardziej matematycznie prawdopodobie\u0144stwo warunkowe \\(P(A|B)\\) zdarzenia \\(A\\) pod warunkiem \\(B\\) jest mniejsze ni\u017c 1\/2, tj. \\[P(A|B)\\lt\\frac{1}{2}\\] <\/p>\n

\nPrzyk\u0142ad z kostk\u0105 oraz rysunek uzasadniaj\u0105 spos\u00f3b w jaki liczymy prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, tj. \\[P(A|B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}.\\] \u017beby wz\u00f3r ten mia\u0142 sens, to naturalnie musi zachodzi\u0107 \\(P(B)\\gt 0\\).<\/p>\n

\nWr\u00f3\u0107my teraz do naszego zadania z dzie\u0107mi. Pa\u0144stwo Kowalscy maj\u0105 ich dwoje. Wobec tego s\u0105 cztery mo\u017cliwo\u015bci na to jak rozk\u0142adaj\u0105 si\u0119 p\u0142cie tych\u017ce dzieci: \\[\\{(D,D),(D,C), (C,D), (C,C)\\}.\\] Niekt\u00f3rzy mogliby stwierdzi\u0107, \u017ce mo\u017cliwo\u015bci \\((D,C)\\) oraz \\((C,D)\\) to jedna i ta sama mo\u017cliwo\u015b\u0107. Nie jest to prawd\u0105. Dzieci jest dwoje i ka\u017cde z nich mo\u017ce by\u0107 albo dziewczynk\u0105 albo ch\u0142opcem. Nawet je\u015bli, z naszego punktu widzenia, dzieci s\u0105 nieodr\u00f3\u017cnialne, to jest to dw\u00f3jka r\u00f3\u017cnych dzieci!<\/p>\n

\nWarunek, \u017ce kt\u00f3re\u015b<\/em> z dzieci to dziewczynka oznacza, \u017ce co najmniej jedno z dzieci jest dziewczynk\u0105. Nie wiemy kt\u00f3re konkretnie. A pami\u0119tajmy, \u017ce mamy dw\u00f3jk\u0119 r\u00f3\u017cnych dzieci. Ka\u017cde z nich mo\u017ce by\u0107 dziewczynk\u0105. Ta informacja sprawia, \u017ce odpada mo\u017cliwo\u015b\u0107 \\((C,C)\\). Zostaj\u0105 wi\u0119c trzy opcje \\[\\{(C,D), (D,C), (D,D)\\}.\\] Czyli szanse na to, \u017ce i drugie dziecko jest dziewczynk\u0105 (czyli opcja \\((D,D)\\)) wynosz\u0105 1\/3, a nie 1\/2!<\/p>\n

\nRozwa\u017cmy jeszcze dwa dodatki do tre\u015bci naszego zadania. Fraz\u0119<\/p>\n

\n…kt\u00f3re\u015b z ich dzieci to dziewczynka.\n<\/p><\/blockquote>\n

\nzamie\u0144my na (1 przypadek)<\/p>\n

\n…starsze z dzieci to dziewczynka.\n<\/p><\/blockquote>\n

albo na (2 przypadek)<\/p>\n

\n…jedno z dzieci to dziewczynka o imieniu Marian.\n<\/p><\/blockquote>\n

\nCzy informacja, \u017ce starsze dziecko to dziewczynka co\u015b zmienia? Ot\u00f3\u017c zmienia wszystko diametralnie! Informacja ta jednoznaczne identyfikuje jedno z dzieci! Dzi\u0119ki niej wiemy, kt\u00f3re konkretnie dziecko jest dziewczynk\u0105, a nie jak poprzednio, \u017ce kt\u00f3re\u015b<\/strong>. To sprawia, \u017ce mamy teraz dwie mo\u017cliwo\u015bci: m\u0142odsze dziecko to albo dziewczynka albo ch\u0142opiec. Czyli teraz szanse na to, \u017ce drugie (czyli m\u0142odsze) dziecko jest dziewczynk\u0105 wynosz\u0105 1\/2 a nie 1\/3 jak poprzednio.<\/p>\n

\nZanim przejdziemy do przypadku drugiego, to ma\u0142a dygresja. Zauwa\u017cmy, \u017ce drugie dziecko pa\u0144stwa Kowalskich jest konkretnym dzieckiem, maj\u0105cym konkretn\u0105 p\u0142e\u0107. Zatem w rzeczywisto\u015bci szanse na to, \u017ce jest ono dziewczynk\u0105 s\u0105 r\u00f3wne albo 0 albo 1, zale\u017cnie od prawdziwej p\u0142ci. My jednak tej wiedzy nie mamy. Nasze rozwa\u017cania dotycz\u0105 stworzonego przez nas modelu tej sytuacji. Pokazuje to, \u017ce rachunek prawdopodobie\u0144stwa dotyczy modeli opisuj\u0105cych rzeczywisto\u015b\u0107, a nie samej rzeczywisto\u015bci!<\/p>\n

\nPrzejd\u017amy teraz do Mariana. Mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107, \u017ce skoro jest to imi\u0119 typowo m\u0119skie, to nie ma \u017cadnej dziewczyny\/kobiety o tym imieniu. No i tu niespodzianka! Wg danych na stronie dane.gov.pl<\/a> w rejestrze PESEL na dzie\u0144 24.01.2022 (m\u00f3wimy o osobach \u017cyj\u0105cych) znajdowa\u0142o si\u0119 16 os\u00f3b p\u0142ci pi\u0119knej o tym imieniu! <\/p>\n

\nTworz\u0105c model naszej sytuacji musimy teraz wzi\u0105\u0107 pod uwag\u0119 r\u00f3wnie\u017c imi\u0119. Mo\u017cemy przyj\u0105\u0107 nast\u0119puj\u0105cy zbi\u00f3r mo\u017cliwo\u015bci je\u015bli chodzi o p\u0142cie dzieci pa\u0144stwa Kowalskich: \\[\\{(DM,C),(C,DM),(DM,DM),(DM,DNM),(DNM,DM)\\},\\] gdzie:<\/p>\n