Disquisitiones Arithmeticae<\/a>, kt\u00f3re zosta\u0142o wydane, gdy mia\u0142 jedynie 24 lata.<\/p>\n\nWarto r\u00f3wnie\u017c doda\u0107, \u017ce je\u017celi do liczb \\(r_k^n\\) dodamy lub odejmiemy wielokrotno\u015bci \\(n\\) (niekoniecznie te same), to otrzymamy nowy ci\u0105g \\(\\tilde{r}_k^n\\). Mimo to liczba \\(x\\) dalej b\u0119dzie podzielna przez \\(n\\) dok\u0142adnie wtedy, gdy suma liczb \\(\\tilde{r}_k^na_k\\). <\/p>\n
\nSpr\u00f3bujmy teraz wykorzysta\u0107 wspomnian\u0105 pierwsz\u0105 ide\u0119, aby udowodni\u0107 na pocz\u0105tek (bardzo prost\u0105) cech\u0119 podzielno\u015bci przez 2 oraz uog\u00f3lni\u0107 poczynione przy tym obserwacje pr\u00f3buj\u0105c znale\u017a\u0107 analogiczne cechy dla innych liczb. Wiemy doskonale ze szko\u0142y, \u017ce liczba \\(x\\) jest podzielna przez 2 je\u017celi jej cyfra jedno\u015bci jest podzielna przez 2, tj. ostatni\u0105 jej cyfr\u0105 jest 0, 2, 4, 6 lub 8. Dow\u00f3d jest bardzo prosty cho\u0107 niekt\u00f3rym mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 nieco rozbudowany. Pozwoli on nam jednak znale\u017a\u0107 cechy podzielno\u015bci dla wielu innych liczb. <\/p>\n
\nLiczba \\(10^m\\) jest podzielna przez 2 dla ka\u017cdego \\(m\\geqslant 1\\), a wi\u0119c i liczby postaci \\(10^ma_m\\) s\u0105 dla \\(m\\geqslant 1\\) przez 2 podzielne bez wzgl\u0119du na to ile dok\u0142adnie jest r\u00f3wne \\(a_m\\). Tzn. \\[r_m^2=\\left\\{\\begin{array}{ll}1 & \\textrm{ dla } m=0\\\\ 0 &\\textrm{ dla } m\\geqslant 1\\end{array}\\right.\\] Wobec tego jedynie liczby typu \\(10^0a_0=a_0\\) mog\u0105 nie by\u0107<\/strong> podzielne przez 2. A poniewa\u017c ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 naturaln\u0105 mo\u017cna przedstawi\u0107 w postaci \\[x=10^ka_k+10^{k-1}a_{k-1}+\\cdots +10a_1+a_0,\\] to mo\u017cemy odrzuci\u0107<\/em> cz\u0119\u015b\u0107 \\[10^ka_k+10^{k-1}a_{k-1}+\\cdots +10a_1,\\] bo jest ona zawsze podzielna przez 2, zostawiaj\u0105c jedynie \\(a_0\\). Zatem liczba \\(x\\) jest podzielna przez 2 dok\u0142adnie wtedy, gdy jej cyfra jedno\u015bci jest podzielna przez 2 czyli gdy jest ni\u0105 0, 2, 4, 6 lub 8.<\/p>\n\nZauwa\u017cmy, \u017ce 2 nie jest jedyn\u0105 liczb\u0105 o w\u0142asno\u015bci, \u017ce \\(2|10^m\\) dla \\(m\\geqslant 1\\) (tj. \\(10^m\\) jest podzielne przez 2). Analogiczn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 ma 5 oraz 10. Wobec tego liczba ca\u0142kowita \\(x\\) jest podzielna przez 5 dok\u0142adnie wtedy gdy jej cyfra jedno\u015bci jest, czyli gdy cyfr\u0105 jedno\u015bci \\(x\\) jest 0 lub 5. Z analogicznych powod\u00f3w liczba \\(x\\) jest podzielna przez 10 tylko gdy jej cyfr\u0105 jedno\u015bci jest 0.<\/p>\n
\nLiczby 2, 5 oraz 10 maj\u0105 siostrzan\u0105 cech\u0119 podzielno\u015bci bo \\(10=2\\cdot 5\\) czyli poza \\(k=0\\) ka\u017cda liczba \\(10^k\\) daje reszt\u0119 0 przy dzieleniu przez ka\u017cd\u0105 z tych liczb. Czy\u017cby\u015bmy wi\u0119c w\u0142a\u015bnie znale\u017ali spos\u00f3b na znajdywanie niekt\u00f3rych prostych cech podzielno\u015bci w systemach liczbowych opartych na innych liczbach z\u0142o\u017conych ni\u017c 10? \ud83d\ude09 Ale wr\u00f3\u0107my do systemu dziesi\u0119tnego.<\/p>\n
\nW przypadku liczb \\(n=2, 5, 10\\) mieli\u015bmy sytuacj\u0119, w kt\u00f3rej reszty z dzielenia liczb \\(10^m\\) przez \\(n\\) by\u0142y r\u00f3wne 0 pocz\u0105wszy od \\(m=1\\). Poniewa\u017c \\(10=2\\cdot 5\\), to s\u0105 to jedyne liczby ca\u0142kowite dodatnie o tej w\u0142asno\u015bci. A co dla liczb \\(n\\), dla kt\u00f3rych owe reszty s\u0105 zerowe pocz\u0105wszy od pewnego \\(m\\gt 1\\)? W takim przypadku badaj\u0105c podzielno\u015b\u0107 przez \\(n\\) mo\u017cemy odrzuci\u0107<\/em> cz\u0119\u015b\u0107 \\[10^ka_k+10^{k-1}a_{k-1}+\\cdots +10^{m+1}a_{m+1}\\] i skupi\u0107 si\u0119 jedynie na \\[10^ma_m+10^{m-1}a_{m-1}+\\cdots +10a_1,\\] tzn. liczba \\(x\\) jest podzielna przez \\(n\\) dok\u0142adnie wtedy, gdy liczba utworzona (z zachowaniem kolejno\u015bci) z jej ostatnich \\(m\\) cyfr jest podzielna przez \\(n\\). Je\u017celi \\(x\\) ma mniej ni\u017c \\(m\\) cyfr, to bierzemy pod uwag\u0119 jej wszystkie cyfry.<\/p>\n\nPrzyk\u0142adem takiej liczby jest 4. Reszta z dzielenia \\(10^0\\) przez 4 jest r\u00f3wna 1, za\u015b dla \\(10^1\\) jest r\u00f3wna 2, a dla \\(k\\geqslant 2\\) jest r\u00f3wna 0. Z tego wynika znana cecha podzielno\u015bci przez 4, \u017ce liczba \\(n\\) jest podzielna przez 4 dok\u0142adnie wtedy, gdy liczba powsta\u0142a z jej dwu ostatnich cyfr, tj. \\[a_0+10\\cdot a_1\\] jest podzielna przez 4. Mo\u017cemy j\u0105 jeszcze ciut ulepszy\u0107.<\/p>\n
\nPoniewa\u017c \\[10\\equiv 2\\pmod{4},\\] to \\(x\\) jest podzielna przez \\(4\\), gdy \\(2a_1+a_0\\) jest. A je\u017celi od 2 odejmiemy 4, to otrzymamy -2 wi\u0119c r\u00f3wnie\u017c \\[10\\equiv -2\\pmod{4},\\] a st\u0105d od razu dostajemy, \u017ce \\(2a_1+a_0\\) mo\u017cemy zast\u0105pi\u0107 przez \\(-2a_1+a_0\\).<\/p>\n
\nOg\u00f3lniej, poniewa\u017c \\(10=2\\cdot 5\\), to \\(10^m\\) jest zawsze podzielna przez \\(2^a\\cdot 5^b\\), o ile \\(m\\geqslant\\max\\{a,b\\}\\). Zatem liczba \\(x\\) jest podzielna przez \\(n=2^a\\cdot 2^b\\) dok\u0142adnie wtedy, gdy podzielna przez \\(n\\) jest liczba utworzona z jej ostatnich \\(\\max\\{a,b\\}\\) cyfr (z zachowaniem ich porz\u0105dku). W szczeg\u00f3lno\u015bci liczba \\(x\\) jest podzielna przez \\(50=2^1\\cdot 5^2\\) wtedy, gdy liczba utworzona z jej dwu ostatnich cyfr jest. Za\u015b liczba \\(x\\) jest podzielna przez \\(2^n\\) dok\u0142adnie, gdy liczba utworzona z jej ostatnich \\(n\\) jest.<\/p>\n
\nId\u017amy dalej. \u0141atwo sprawdzi\u0107, \u017ce liczba \\(10^m\\) daje reszt\u0119 1 przy dzieleniu zar\u00f3wno przez 3 jak i przez 9 dla ka\u017cdego \\(m\\geqslant 0\\), tzn. wszystkie \\(r_m^3, r_m^9\\) s\u0105 jedynkami. Dlatego liczba \\[x=10^ka_k+10^{k-1}a_{k-1}+\\cdots +10a_1+10^0a_0\\] jest podzielna przez 3 dok\u0142adnie wtedy, gdy przez 3 podzielna jest liczba \\[1\\cdot a_k+1\\cdot a_{k-1}+\\cdots +1\\cdot a_1+1\\cdot a_0\\] czyli suma jej cyfr. Z tych samych powod\u00f3w liczba \\(x\\) jest podzielna przez 9 dok\u0142adnie wtedy, gdy suma jej cyfr.<\/p>\n
\nCi\u0105gi \\(r_k^n\\) maj\u0105 wsp\u00f3ln\u0105 cech\u0119, kt\u00f3r\u0105 da\u0142o si\u0119 ju\u017c dostrzec, cho\u0107 by\u0107 mo\u017ce niezbyt wyra\u017anie. Mianowicie, ci\u0105g \\(r_k^n\\) jest dla ka\u017cdej liczby naturalnej \\(n\\) okresowy od pewnego momentu. Nietrudno si\u0119 o tym przekona\u0107. Gdy badamy podzielno\u015b\u0107 przez \\(n\\), to reszta z dzielenia przez \\(n\\) jest zawsze mniejsza od \\(n\\). Innymi s\u0142owy, ci\u0105g \\(\\{r_j^n\\}\\) jest niesko\u0144czonym ci\u0105giem maj\u0105cym sko\u0144czenie wiele r\u00f3\u017cnych wyraz\u00f3w. St\u0105d, dla pewnych \\(j\\lt m\\) reszta z dzielenia liczb \\(10^j\\) oraz \\(10^m\\) musi by\u0107 taka sama, tj. \\(r_j^n=r_m^n\\). Liczby \\(10^{j+1}\\) oraz \\(10^{m+1}\\) daj\u0105 wi\u0119c tak\u0105 sam\u0105 reszt\u0119 przy dzieleniu przez \\(n\\), co \\(10r_j^n\\). Z tego wynika, \u017ce r\u00f3wnie\u017c \\(r_{j+1}^n=r_{m+1}^n\\).<\/p>\n
\nWiemy, \u017ce liczba jest podzielna przez 6 dok\u0142adnie gdy jest podzielna przez 2 oraz 3. Poniewa\u017c \\(10^m\\) daje reszt\u0119 4 przy dzieleniu przez 6 dla \\(m\\geqslant 1\\), to liczba \\[x=10^ka_k+10^{k-1}a_{k-1}+\\cdots +10a_1+a_0\\] jest podzielna przez 6 dok\u0142adnie wtedy, gdy przez 6 jest podzielna liczba \\[4\\cdot a_k+4\\cdot a_{k-1}+\\cdots +4\\cdot a_1+a_0.\\] Zgodzimy si\u0119 chyba, \u017ce pierwsza cecha podzielno\u015bci wydaje si\u0119 przyst\u0119pniejsza.<\/p>\n
\nKolejne elementy ci\u0105gu \\(r_j^{11}\\), to \\(1,10,1,10,\\ldots\\). Zatem liczba \\[x=10^ka_k+10^{k-1}a_{k-1}+\\cdots +10a_1+10^0a_0\\] jest podzielna przez 11 dok\u0142adnie wtedy, gdy podzielna jest suma \\[a_0+10a_1+a_2+10a_3+\\cdots\\] Poniewa\u017c \\[10\\equiv 10\\pmod{11},\\] to odejmuj\u0105c 11 od jednej dziesi\u0105tki mamy r\u00f3wnie\u017c \\[10\\equiv -1\\pmod{11}.\\] Z tego wynika, \u017ce liczba \\(x\\) jest podzielna przez 11 dok\u0142adnie wtedy, gdy suma \\[a_0-a_1+a_2-a_3+\\cdots.\\] Czyli od sumy cyfr na miejscach nieparzystych odejmujemy sum\u0119 tych na miejscach parzystych.<\/p>\n
\nPrzy dzieleniu liczb \\(10^j\\) przez 7 otrzymujemy powtarzaj\u0105cy si\u0119 ci\u0105g reszt 1, 3, 2, 6, 4, 5. Poniewa\u017c \\[6\\equiv -1\\pmod{7},\\ 4\\equiv -3\\pmod{7}\\textrm{ oraz }5\\equiv -2\\pmod{7},\\] to mo\u017cemy go zast\u0105pi\u0107 ci\u0105giem 1, 3, 2, -1, -3, -2. Przyk\u0142adowo liczba 1224825 jest podzielna przez 7 bo podzielna przez 7 jest liczba \\[1\\cdot 5+3\\cdot 2+2\\cdot 8-1\\cdot 4-3\\cdot 2-2\\cdot 1+1\\cdot 1=14.\\] Dla liczby 13 stosowny ci\u0105g to 1, 10, 9, 12, 3, 4. Mo\u017cemy go zast\u0105pi\u0107 ci\u0105giem 1, -3, -4, -1, 3, 4<\/p>\n
\nDla liczb 7 oraz 13 (jak i naturalnie innych) mo\u017cemy stworzy\u0107 inne cechy podzielno\u015bci. Zauwa\u017cmy, \u017ce \\[1000\\equiv -1\\pmod{7}\\textrm{ oraz }1000\\equiv -1\\pmod{13}.\\] Z tego wynika, \u017ce dla dowolnego \\(k\\geqslant 0\\) zachodzi \\[1000^k\\equiv (-1)^k\\pmod{7}\\textrm{ oraz }1000^k\\equiv (-1)^k\\pmod{13}.\\] Wobec tego aby bada\u0107 podzielno\u015b\u0107 liczby \\(x\\) przez 7 oraz 13 wystarczy bada\u0107 naprzemienne sumy liczb utworzonych z blok\u00f3w sk\u0142adaj\u0105cych si\u0119 po 3 cyfry. Przyk\u0142adowo dla liczby 1221033 mamy \\[033-221+001=189=27\\cdot 7.\\]<\/p>\n
\nMamy wi\u0119c pewn\u0105 modyfikacj\u0119 naszej idei. Zamiast bada\u0107 reszty z dzielenia liczb postaci \\(10^k\\) przez \\(n\\) badamy reszty z dzielenia przez \\(n\\) liczb postaci \\(100^k\\), \\(1000^k\\) itd. Wtedy zamiast mno\u017cy\u0107 przez stosowne reszty kolejne cyfry, mno\u017cymy liczby powsta\u0142e z odpowiednich blok\u00f3w cyfr stosownej d\u0142ugo\u015bci. Prze\u015bled\u017amy to na jeszcze kilku przyk\u0142adach.<\/p>\n
\nPoniewa\u017c \\[100\\equiv 1\\pmod{33},\\] a wi\u0119c r\u00f3wnie\u017c \\[100^k\\equiv 1^k\\pmod{33},\\] to liczba jest podzielna przez 33 dok\u0142adnie wtedy, gdy podzielna jest stosowna suma liczb utworzonych z dwucyfrowych blok\u00f3w, tzn. np. 7524 jest podzielna przez 33, bo podzielna jest liczba 75+24=99. Z kolei z tego, \u017ce
\n\\[1000\\equiv 1\\pmod{27}\\textrm{ oraz }1000\\equiv 1\\pmod{37}\\] wynikaj\u0105 stosowne cechy podzielno\u015bci przez 27 oraz 37. Np. 45843 jest podzielna przez 37 bo \\(843+45=888=37\\cdot 24\\).<\/p>\n
\nTeraz om\u00f3wimy cechy podzielno\u015bci innego rodzaju oraz metod\u0119 pozwalaj\u0105c\u0105 \u0142atwo je znajdywa\u0107. Spos\u00f3b ten dzia\u0142a jedynie gdy badamy podzielno\u015b\u0107 przez liczby wzgl\u0119dnie pierwsze z 10, tj. zako\u0144czone na 1, 3, 7 lub 9. Zacznijmy od przyk\u0142adu z cech\u0105 podzielno\u015bci przez 7. Przedstawmy liczb\u0119 \\(x\\) jako sum\u0119 cyfry jedno\u015bci oraz ca\u0142ej reszty, tj. w postaci \\[x=10a+b,\\] gdzie \\(b\\) jest cyfr\u0105 jedno\u015bci. W dalszej cz\u0119\u015bci ca\u0142y czas zak\u0142adamy, \u017ce liczb\u0119 \\(x\\) przedstawiamy w takiej w\u0142a\u015bnie postaci. Okazuje si\u0119, \u017ce \\(x\\) jest podzielna przez 7 dok\u0142adnie wtedy, gdy przez 7 podzielna jest liczba \\(a-2b\\). Przyk\u0142adowo dla x=49 mamy 4-18=-14, kt\u00f3ra jest podzielna przez 7, a wi\u0119c i 49 jest. Jest to cecha nieco innego rodzaju ni\u017c dotychczas poznane.<\/p>\n
\nAby m\u00f3c przedstawi\u0107 og\u00f3lny spos\u00f3b znajdywania cech tego rodzaju, zacznijmy od prostego i znanego lematu.<\/p>\n
\nLemat<\/strong>
\nDla dowolnych dodatnich liczb ca\u0142kowitych \\(a, b\\) takich, \u017ce \\((a,b)=1\\) (tj. wzgl\u0119dnie pierwszych) istniej\u0105 liczby ca\u0142kowite \\(r, s\\) takie, \u017ce \\[ar+bs=1.\\]\n<\/p><\/blockquote>\n\nZa\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce chcemy znale\u017a\u0107 cech\u0119 podzielno\u015bci przez liczb\u0119 \\(n\\) wzgl\u0119dnie pierwsz\u0105 z \\(10\\). Znajdujemy wpierw takie liczby ca\u0142kowite \\(r,s\\), \u017ce \\[nr+10s=1.\\] Na mocy przytoczonego wy\u017cej lematu wiemy, \u017ce takie liczby zawsze istniej\u0105. Okazuje si\u0119 w\u00f3wczas, \u017ce <\/p>\n
Twierdzenie (Koether)<\/strong>
\nLiczba \\(x=10a+b\\) jest podzielna przez \\(n\\) wtedy i tylko wtedy, gdy przez \\(n\\) podzielna jest liczba \\[a+bs.\\]\n<\/p><\/blockquote>\n\nDow\u00f3d przedstawimy na ko\u0144cu, najpierw jaki\u015b przyk\u0142ad. Poniewa\u017c \\[13\\cdot (-3)+4\\cdot 10=1,\\] to aby sprawdzi\u0107 czy liczba \\(x\\), np. \\(3302=10\\cdot 330+2\\), jest podzielna przez 13 badamy podzielno\u015b\u0107 przez 13 sumy \\[330+2\\cdot 4=338=10\\cdot 33+8.\\] Dalej mamy \\(33+8\\cdot 4=65\\). A poniewa\u017c 65 jest podzielne przez 13 to i 3302 jest.<\/p>\n
\nProblematyczne mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 znalezienie stosownych liczb \\(r\\) oraz \\(s\\). Lemat m\u00f3wi, \u017ce takie liczby istniej\u0105, lecz nie m\u00f3wi jak je znale\u017a\u0107. Jednak wbrew pozorom jest to bardzo proste. Je\u017celi cyfr\u0105 jedno\u015bci danej liczby \\(x\\) jest m, to \\(x=10t+m\\) dla pewnego \\(t\\). Jak znale\u017a\u0107 stosowne \\(r\\) oraz \\(s\\) dla danego \\(t\\) pokazuje poni\u017csza tabelka. Warto nadmieni\u0107, \u017ce w og\u00f3lno\u015bci, liczby \\(r\\) oraz \\(s\\) nie s\u0105 wyznaczone jednoznacznie. Mo\u017ce istnie\u0107 wiele takich par dla konkretnego \\(n\\).<\/p>\n
\n\n| \\(n\\)<\/td>\n | \\(nr+10s=1\\)<\/td>\n | s<\/td>\n<\/tr>\n |
\n| \\(10t+1\\)<\/td>\n | \\((10t+1)\\cdot 1+10\\cdot (-t)\\)<\/td>\n | -t<\/td>\n<\/tr>\n |
\n| \\(10t+3\\)<\/td>\n | \\((10t+3)\\cdot (-3)+10\\cdot (3t+1)\\)<\/td>\n | 3t+1<\/td>\n<\/tr>\n |
\n| \\(10t+7\\)<\/td>\n | \\((10t+7)\\cdot 3+10\\cdot (-3t-2)\\)<\/td>\n | -3t-2<\/td>\n<\/tr>\n |
\n| \\(10t+9\\)<\/td>\n | \\((10t+9)\\cdot (-1)+10\\cdot (t+1)\\)<\/td>\n | t+1<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n \nTeraz przedstawimy dow\u00f3d twierdzenia Koethera.
\nZa\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce \\(n|x\\), tj. \\(n|(10a+b)\\). Istnieje wi\u0119c liczba ca\u0142kowita \\(t\\) taka, \u017ce \\[nt=10a+b=10a+b(nr+10s)=10a+bnr+10bs.\\] St\u0105d \\[n(t-br)=10a+10bs=10(a+bs).\\] Czyli \\(n|10(a+bs)\\). A poniewa\u017c (n,10)=1, to \\(n|(a+bs)\\).<\/p>\n \nTeraz za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce \\(n|(a+bs)\\), istnieje w\u00f3wczas takie \\(k\\in\\mathbb Z\\), \u017ce \\(nk=a+bs\\). St\u0105d \\(10nk=10a+10bs\\). Z tego mamy, \u017ce \\[n(10k+br)=10a+10bs+nbr=10a+b(10s+nr)=10a+b=x\\] i \\(n|x\\).<\/p>\n \n Literatura:<\/h4>\n
\n\nR.T. Koether<\/strong>, A General Test For Divisibility <\/em>, Pi Mu Epsilon J., 5(8) (1973), s. 420-424.<\/p>\nW. Sierpi\u0144ski<\/strong>, Teoria Liczb<\/em>, PWN (1959).
\n. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Gdy w szkole poznajemy cechy podzielno\u015bci liczb, to dowiadujemy si\u0119 jak sprawdzi\u0107, \u017ce dana liczba ca\u0142kowita jest podzielna np. przez 3, 4 czy 9. Ale sk\u0105d si\u0119 te cechy podzielno\u015bci bior\u0105? I jak w \u0142atwy<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[57,49,51],"tags":[63,50,52],"yoast_head":"\n Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Ale sk\u0105d si\u0119 te wszystkie cechy podzielno\u015bci bior\u0105? I jak w bardzo \u0142atwy spos\u00f3b znajdowa\u0107 nowe cechy podzielno\u015bci liczb?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Ale sk\u0105d si\u0119 te wszystkie cechy podzielno\u015bci bior\u0105? I jak w bardzo \u0142atwy spos\u00f3b znajdowa\u0107 nowe cechy podzielno\u015bci liczb?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-08-10T20:33:03+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-08-28T16:58:44+00:00\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"14 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?\",\"datePublished\":\"2022-08-10T20:33:03+00:00\",\"dateModified\":\"2022-08-28T16:58:44+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/\"},\"wordCount\":2802,\"commentCount\":1,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"keywords\":[\"Matematyka szkolna\",\"Matematyka teoretyczna\",\"Teoria liczb\"],\"articleSection\":[\"Matematyka szkolna\",\"Matematyka teoretyczna\",\"Teoria liczb\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/\",\"name\":\"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2022-08-10T20:33:03+00:00\",\"dateModified\":\"2022-08-28T16:58:44+00:00\",\"description\":\"Ale sk\u0105d si\u0119 te wszystkie cechy podzielno\u015bci bior\u0105? I jak w bardzo \u0142atwy spos\u00f3b znajdowa\u0107 nowe cechy podzielno\u015bci liczb?\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?","description":"Ale sk\u0105d si\u0119 te wszystkie cechy podzielno\u015bci bior\u0105? I jak w bardzo \u0142atwy spos\u00f3b znajdowa\u0107 nowe cechy podzielno\u015bci liczb?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?","og_description":"Ale sk\u0105d si\u0119 te wszystkie cechy podzielno\u015bci bior\u0105? I jak w bardzo \u0142atwy spos\u00f3b znajdowa\u0107 nowe cechy podzielno\u015bci liczb?","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2022-08-10T20:33:03+00:00","article_modified_time":"2022-08-28T16:58:44+00:00","author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"14 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?","datePublished":"2022-08-10T20:33:03+00:00","dateModified":"2022-08-28T16:58:44+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/"},"wordCount":2802,"commentCount":1,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"keywords":["Matematyka szkolna","Matematyka teoretyczna","Teoria liczb"],"articleSection":["Matematyka szkolna","Matematyka teoretyczna","Teoria liczb"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/","name":"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"datePublished":"2022-08-10T20:33:03+00:00","dateModified":"2022-08-28T16:58:44+00:00","description":"Ale sk\u0105d si\u0119 te wszystkie cechy podzielno\u015bci bior\u0105? I jak w bardzo \u0142atwy spos\u00f3b znajdowa\u0107 nowe cechy podzielno\u015bci liczb?","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/08\/10\/cechy-podzielnosci\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Sk\u0105d si\u0119 bior\u0105 cechy podzielno\u015bci liczb?"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1470"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1470"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1470\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1761,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1470\/revisions\/1761"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1470"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1470"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1470"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}} |