{"id":1411,"date":"2022-04-05T22:44:20","date_gmt":"2022-04-05T20:44:20","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=1411"},"modified":"2022-04-18T23:22:15","modified_gmt":"2022-04-18T21:22:15","slug":"hipoteza-totha","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/","title":{"rendered":"Kie\u0142basiana hipoteza"},"content":{"rendered":"

\nMatematyka jest pe\u0142na mniej lub bardziej dziwnych twierdze\u0144 czy jeszcze nierozwi\u0105zanych problem\u00f3w. Jednym z nich jest tzw. hipoteza T\u00f3tha<\/strong> znana r\u00f3wnie\u017c jako kie\u0142basiana hipoteza<\/strong>.
\n
\nJednym z najs\u0142ynniejszych problem\u00f3w zwi\u0105zanych z upakowaniem kul jest s\u0142ynna hipoteza Keplera<\/a>. Znacznie mniej znanym problemem jest wspomniana hipoteza T\u00f3tha.<\/p>\n

\nHipoteza Keplera, zosta\u0142a sformu\u0142owana w XVII wieku przez samego Johannesa Keplera. M\u00f3wi ona, w wielkim skr\u00f3cie, \u017ce je\u015bli mamy jednakowe kule, to najg\u0119stszym ich upakowaniem jest upakowanie takie jak poni\u017cej. <\/p>\n

\"hipoteza<\/p>\n

\nKie\u0142basiana hipoteza, lub dok\u0142adniej hipoteza T\u00f3tha<\/strong>, dotyczy nieco innego zagadnienia. Zanim powiemy czego dotyczy, musimy zna\u0107 takie poj\u0119cia jak zbi\u00f3r wypuk\u0142y<\/strong> oraz otoczka wypuk\u0142a<\/strong> zbioru. Podzbi\u00f3r \\(A\\subseteq\\mathbb R^n\\) nazywamy wypuk\u0142ym<\/em> je\u017celi wraz z ka\u017cd\u0105 par\u0105 swoich punkt\u00f3w zawiera odcinek je \u0142\u0105cz\u0105cy. Ekstremalnym przyk\u0142adem zbioru wypuk\u0142ego jest ka\u017cda przestrze\u0144 euklidesowa \\(\\mathbb R^n\\) dla \\(n\\geqslant 1\\).
\n

\"zbi\u00f3r
Ko\u0142o jest zbiorem wypuk\u0142ym. Po prawej przyk\u0142ad zbioru, kt\u00f3ry wypuk\u0142y nie jest \ud83d\ude42<\/figcaption><\/figure><\/p>\n

\nJe\u017celi \\(B\\subseteq\\mathbb R^n\\) jest niepusty, to otoczk\u0105 wypuk\u0142\u0105<\/em> tego zbioru nazywamy najmniejszy podzbi\u00f3r (w sensie zawierania zbior\u00f3w) \\(\\textrm{conv }{ B}\\subseteq\\mathbb R^n\\), kt\u00f3ry jest wypuk\u0142y oraz \\(B\\) jest jego podzbiorem. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, zbiorem tym jest cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3lna wszystkich wypuk\u0142ych podzbior\u00f3w zawieraj\u0105cych \\(B\\). Poniewa\u017c jednym ze zbior\u00f3w wypuk\u0142ych zawieraj\u0105cych \\(B\\) jest ca\u0142e \\(\\mathbb R^n\\) oraz \\(B\\subseteq\\textrm{conv }{B}\\), to otoczka wypuk\u0142a istnieje dla ka\u017cdego zbioru \\(B\\subseteq\\mathbb R^n\\).<\/p>\n

\nJe\u017celi \\(B\\) jest zbiorem dwupunktowym, to jego otoczk\u0105 wypuk\u0142\u0105 jest odcinek \u0142\u0105cz\u0105cy te punkty. Poni\u017cej przyk\u0142ad otoczki wypuk\u0142ej pi\u0119ciu k\u00f3\u0142 o tym samym promieniu, kt\u00f3rych \u015brodki s\u0105 u\u0142o\u017cone wzd\u0142u\u017c jednej prostej.
\n\"hipoteza<\/p>\n

\nTeraz rozwa\u017cmy nast\u0119puj\u0105cy problem. Mamy \\(n\\) k\u00f3\u0142 o takich samych promieniach. W jaki spos\u00f3b nale\u017cy je u\u0142o\u017cy\u0107 aby otoczka wypuk\u0142a takiego zbioru mia\u0142a jak najmniejsze pole? Je\u017celi rozwa\u017cymy najpierw 3 ko\u0142a, to najefektywniejszym u\u0142o\u017ceniem b\u0119dzie nast\u0119puj\u0105ce:
\n\"hipoteza<\/p>\n

\nTeraz przenie\u015bmy si\u0119 wymiar wy\u017cej, tzn. zamiast k\u00f3\u0142 o takim samym promieniu rozwa\u017cmy kule o takim samym promieniu. W przypadku trzech kul, upakowaniem o najmniejszej, tym razem, obj\u0119to\u015bci jest poni\u017csze, tj. takie w kszta\u0142cie jakby kie\u0142basy.
\n\"kie\u0142basiana W zasadzie a\u017c do 56 kul w\u0142\u0105cznie upakowaniem, kt\u00f3rego otoczka wypuk\u0142a ma najmniejsz\u0105 obj\u0119to\u015b\u0107 jest upakowanie kie\u0142basiane. Tzn. takie, \u017ce \u015brodki wszystkich kul le\u017c\u0105 na jednej prostej.<\/p>\n

\nJe\u017celi przeniesiemy si\u0119 wymiar wy\u017cej, to zdaje si\u0119, \u017ce do dzisiaj nie wiadomo do jakiej dok\u0142adnie liczby 4-wymiarowych kul ich najefektywniejszym upakowaniem jest kie\u0142basiane. Wiadomo jedynie, \u017ce liczba ta wynosi co najmniej 50 000 i jest mniejsza od 100 000. Hipoteza T\u00f3tha, nazwana na cze\u015b\u0107 w\u0119gierskiego matematyka L\u00e1szl\u00f3 Fejesa T\u00f3tha, kt\u00f3ry j\u0105 sformu\u0142owa\u0142, m\u00f3wi, \u017ce dla \\(n\\geqslant 5\\) najlepszym upakowaniem dla dowolnej liczby \\(n\\)-wymiarowych kul jest w\u0142a\u015bnie upakowanie kie\u0142basiane. Przy czym, przez najlepsze upakowanie mamy tu na my\u015bli takie, kt\u00f3rego otoczka wypuk\u0142a ma najmniejsz\u0105 \\(n\\)-wymiarow\u0105 obj\u0119to\u015b\u0107. Cho\u0107 by\u0107 mo\u017ce ci\u0119\u017cko sobie wyobrazi\u0107 kule wymiaru wi\u0119kszego ni\u017c 3 oraz czym jest np. 5-wymiarowa obj\u0119to\u015b\u0107. No ale to ju\u017c historia na inny wpis…<\/p>\n

\nJak na razie kie\u0142basiana hipoteza zosta\u0142a udowodniona dla \\(n\\geqslant 42\\) w pracach Betkego, Henka i Wallisa.<\/p>\n

\n

Literatura<\/h4>\n

\nU. Betke, M. Henk, J.M. Wills<\/strong>, Finite and Infinite Packings<\/em>, J. Reine Angew. Math. 453 (1994), s. 165-191
\nU. Betke, M. Henk<\/strong>, Finite Packings of Spheres<\/em>, Discrete Comput. Geom. 19 (1998), s. 197-227
\n I. Stewart<\/strong>, Professor Stewart’s Incredible Numbers<\/em>, Joat Enterprises (2015)
\nL.F. T\u00f3th<\/strong>, Research Problems<\/em>, Periodica Math. Hung. 6 (1975), s. 197-199<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Matematyka jest pe\u0142na mniej lub bardziej dziwnych twierdze\u0144 czy jeszcze nierozwi\u0105zanych problem\u00f3w. Jednym z nich jest tzw. hipoteza T\u00f3tha znana r\u00f3wnie\u017c jako kie\u0142basiana hipoteza.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1456,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[59,49],"tags":[],"yoast_head":"\nKie\u0142basiana hipoteza<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Hipoteza T\u00f3tha jest jednym z problem\u00f3w dotycz\u0105cych upakowania sfer. Nie jest tak znana jak s\u0142ynna hipoteza Keplera, ale jest r\u00f3wnie ciekawa.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Kie\u0142basiana hipoteza\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hipoteza T\u00f3tha jest jednym z problem\u00f3w dotycz\u0105cych upakowania sfer. Nie jest tak znana jak s\u0142ynna hipoteza Keplera, ale jest r\u00f3wnie ciekawa.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-04-05T20:44:20+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-04-18T21:22:15+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"1066\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"243\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"3 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Kie\u0142basiana hipoteza\",\"datePublished\":\"2022-04-05T20:44:20+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T21:22:15+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/\"},\"wordCount\":688,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png\",\"articleSection\":[\"Geometria\",\"Matematyka teoretyczna\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/\",\"name\":\"Kie\u0142basiana hipoteza\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png\",\"datePublished\":\"2022-04-05T20:44:20+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T21:22:15+00:00\",\"description\":\"Hipoteza T\u00f3tha jest jednym z problem\u00f3w dotycz\u0105cych upakowania sfer. Nie jest tak znana jak s\u0142ynna hipoteza Keplera, ale jest r\u00f3wnie ciekawa.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png\",\"width\":1066,\"height\":243,\"caption\":\"sausage conjecture\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Kie\u0142basiana hipoteza\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Kie\u0142basiana hipoteza","description":"Hipoteza T\u00f3tha jest jednym z problem\u00f3w dotycz\u0105cych upakowania sfer. Nie jest tak znana jak s\u0142ynna hipoteza Keplera, ale jest r\u00f3wnie ciekawa.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Kie\u0142basiana hipoteza","og_description":"Hipoteza T\u00f3tha jest jednym z problem\u00f3w dotycz\u0105cych upakowania sfer. Nie jest tak znana jak s\u0142ynna hipoteza Keplera, ale jest r\u00f3wnie ciekawa.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2022-04-05T20:44:20+00:00","article_modified_time":"2022-04-18T21:22:15+00:00","og_image":[{"width":1066,"height":243,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"3 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Kie\u0142basiana hipoteza","datePublished":"2022-04-05T20:44:20+00:00","dateModified":"2022-04-18T21:22:15+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/"},"wordCount":688,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png","articleSection":["Geometria","Matematyka teoretyczna"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/","name":"Kie\u0142basiana hipoteza","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png","datePublished":"2022-04-05T20:44:20+00:00","dateModified":"2022-04-18T21:22:15+00:00","description":"Hipoteza T\u00f3tha jest jednym z problem\u00f3w dotycz\u0105cych upakowania sfer. Nie jest tak znana jak s\u0142ynna hipoteza Keplera, ale jest r\u00f3wnie ciekawa.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/kielbasiana_hipoteza.png","width":1066,"height":243,"caption":"sausage conjecture"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/04\/05\/hipoteza-totha\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Kie\u0142basiana hipoteza"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1411"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1411"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1411\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1461,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1411\/revisions\/1461"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1456"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1411"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1411"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1411"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}