![\"odleg\u0142o\u015b\u0107\"](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_01.png\")
<\/p>\n\nZdanie, \u017ce odleg\u0142o\u015b\u0107 z punktu A do punktu B jest r\u00f3wna tyle i tyle wydaje si\u0119 by\u0107 oczywiste. Czy aby na pewno? I dlaczego kula mo\u017ce by\u0107 kwadratem?
\n<\/p>\n
\nW szkole uczymy si\u0119, \u017ce odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy dwoma liczbami rzeczywistymi \\(a, b\\) jest r\u00f3wna \\[|a-b|\\] co jest r\u00f3wne d\u0142ugo\u015bci przedzia\u0142u, kt\u00f3rego ko\u0144cami s\u0105 liczby \\(a\\) oraz \\(b\\). Za\u015b mi\u0119dzy dwoma punktami na p\u0142aszczy\u017anie \\(A=(a_1,a_2)\\) oraz \\(B=(b_1,b_2)\\) odleg\u0142o\u015b\u0107 wyra\u017ca si\u0119 wzorem \\[d(A,B)=\\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}\\] Jest to po prostu wz\u00f3r na d\u0142ugo\u015b\u0107 odcinka \u0142\u0105cz\u0105cego punkt \\(A\\) z punktem \\(B\\).<\/p>\n
<\/p>\n
\nAnalogiczny wz\u00f3r \\[d(A,B)=\\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}\\] jest prawdziwy, gdy \\(A\\) oraz \\(B\\) s\u0105 punktami przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej. Og\u00f3lniej \\[d(A,B)=\\sqrt{\\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}\\] gdy \\(A=(a_1,a_2,\\ldots,a_n)\\), \\(B=(b_1,b_2,\\ldots,b_n)\\) s\u0105 punktami przestrzeni \\(n\\)-wymiarowej. Tak zdefiniowana odleg\u0142o\u015b\u0107 nazywa si\u0119 metryk\u0105 euklidesow\u0105<\/em>.<\/p>\n \nAby rozwa\u017cy\u0107 sytuacj\u0119 bli\u017csz\u0105 naszej rzeczywisto\u015bci, mo\u017cemy za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce owe punkty znajduj\u0105 si\u0119 na naszej planecie. Powiedzmy, \u017ce punkt \\(A\\) znajduje si\u0119 w Krakowie (np. gdzie\u015b przy pomniku Mickiewicza na krakowskim rynku), a \\(B\\) w Atenach (np. gdzie\u015b na Akropolu Ate\u0144skim).<\/p>\n \nJe\u017celi wybierzemy jaki\u015b uk\u0142ad wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych, to jeste\u015bmy w stanie, korzystaj\u0105c ze wzoru przedstawionego wy\u017cej, policzy\u0107 odleg\u0142o\u015b\u0107 od punktu \\(A\\) do punktu \\(B\\), o ile tylko znamy ich wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne. Tylko, \u017ce hmmm ta odleg\u0142o\u015b\u0107 \\(d(A,B)\\) b\u0119dzie, jak wiemy, d\u0142ugo\u015bci\u0105 odcinka. Gdyby\u015bmy si\u0119 wybrali w podr\u00f3\u017c z \\(A\\) do \\(B\\), to nie da si\u0119 tego zrobi\u0107 tak aby trasa mia\u0142a d\u0142ugo\u015b\u0107 \\(d(A,B)\\). Ze wzgl\u0119du na to, \u017ce Ziemia jest (w przybli\u017ceniu) kul\u0105, wymaga\u0142oby to poruszania si\u0119 przez jej wn\u0119trze. Zobrazujmy to na przyk\u0142adzie okr\u0119gu. \nOdleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy zaznaczonymi punktami mo\u017ce by\u0107 d\u0142ugo\u015bci\u0105 \u0142\u0105cz\u0105cego je odcinka. Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce przypadek ten zachodzi, gdy naszym nazwijmy to, \u015bwiatem jest p\u0142aszczyzna, na kt\u00f3rej znajduje si\u0119 okr\u0105g. W\u00f3wczas najkr\u00f3tsza trasa mi\u0119dzy punktami wiedzie po \u0142\u0105cz\u0105cym je odcinku. Jednak\u017ce je\u017celi naszym \u015bwiatem jest tylko okr\u0105g i mo\u017cemy si\u0119 porusza\u0107 jedynie po nim, to dwa r\u00f3\u017cne punkty dziel\u0105 okr\u0105g na dwie cz\u0119\u015bci. Odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy tymi punktami jest r\u00f3wna nie d\u0142u\u017cszej cz\u0119\u015bci okr\u0119gu. Na rysunku zaznaczono j\u0105 ciemniejszym kolorem.<\/p>\n \nW przypadku kuli ju\u017c takie oczywiste nie jest czym jest odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy dwoma punktami. Je\u017celi nie ma \u017cadnych ogranicze\u0144 w poruszaniu si\u0119 po jej powierzchni, to naturalnym jest, \u017ce powinna to by\u0107 najkr\u00f3tsza krzywa \u0142\u0105cz\u0105ca owe punkty i znajduj\u0105ca si\u0119 w ca\u0142o\u015bci na powierzchni kuli. Krzywych \u0142\u0105cz\u0105cych te punkty jest niesko\u0144czenie wiele. Nie jest, wbrew pozorom, takie oczywiste, \u017ce jest w\u015br\u00f3d nich ta najkr\u00f3tsza, ale w istocie najkr\u00f3tsza istnieje.<\/p>\n \nPowy\u017csze rozwa\u017cania pokazuj\u0105, \u017ce istnieje wiele r\u00f3\u017cnych sposob\u00f3w okre\u015blenia odleg\u0142o\u015bci mi\u0119dzy tymi samymi punktami. Czym wi\u0119c jest odleg\u0142o\u015b\u0107 z matematycznego punktu widzenia? Czy mo\u017cna poda\u0107 og\u00f3ln\u0105 definicj\u0119 odleg\u0142o\u015bci?<\/p>\n \nPo pierwsze, odleg\u0142o\u015b\u0107 okre\u015blamy mi\u0119dzy jakimi\u015b punktami. Mog\u0105 to by\u0107 punkty p\u0142aszczyzny, przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej, sfery lub og\u00f3lniej jakiegokolwiek zbioru \\(X\\). Innymi s\u0142owy, odleg\u0142o\u015b\u0107 jest pewn\u0105 funkcj\u0105 \\[d:X\\times X\\to\\mathbb R.\\] Zbi\u00f3r \\(X\\times X\\), to po prostu zbi\u00f3r par \\((x,y)\\), gdzie \\(x,y\\in X\\). Dok\u0142adniej s\u0105 to pary uporz\u0105dkowane. Wa\u017cna jest tu kolejno\u015b\u0107, tzn. \\((x,y)\\neq (y,x)\\), o ile \\(x\\neq y\\).<\/p>\n \nJakie warunki powinna spe\u0142nia\u0107 funkcja \\(d\\) aby\u015bmy mogli nazwa\u0107 j\u0105 odleg\u0142o\u015bci\u0105? Sporo jeste\u015bmy w stanie powiedzie\u0107 je\u017celi przyjrzymy si\u0119 bli\u017cej temu co jest dla nas najbardziej intuicyjne, czyli zwyk\u0142ej odleg\u0142o\u015bci na p\u0142aszczy\u017anie. Dok\u0142adniej, skupmy si\u0119 na tym jakie jej w\u0142asno\u015bci uznamy za na tyle oczywiste aby spe\u0142nia\u0142a je ka\u017cda funkcja, kt\u00f3r\u0105 chcemy uto\u017csamia\u0107 z jakim\u015b rodzajem odleg\u0142o\u015bci. <\/p>\n \nPo pierwsze, odleg\u0142o\u015b\u0107, podobnie jak d\u0142ugo\u015b\u0107 odcinka, nie mo\u017ce by\u0107 ujemna. Co matematycznie zapisaliby\u015bmy jako \\[d(x,y)\\geqslant 0\\] Co wi\u0119cej, \\(d(x,y)=0\\) jedynie w przypadku, gdy \\(x=y\\). Wszak odcinek \u0142\u0105cz\u0105cy punkt \\(x\\) z nim samym jest zdegenerowany, jest punktem. Ma wi\u0119c d\u0142ugo\u015b\u0107 0. Je\u017celi \\(x\\neq y\\), to \\(d(x,y)\\gt 0\\).<\/p>\n \nOdleg\u0142o\u015b\u0107 nie powinna zale\u017ce\u0107 od tego czy mierzymy j\u0105 od punktu \\(x\\) do \\(y\\) czy odwrotnie, tzn. \\[d(x,y)=d(y,x)\\]<\/p>\n \nPonadto, \\(d(x,y)\\) powinna oznacza\u0107 d\u0142ugo\u015b\u0107 najkr\u00f3tszej drogi \u0142\u0105cz\u0105cej dane dwa punkty. Nie powinno by\u0107 sytuacji, \u017ce przechodz\u0105c z punktu \\(x\\) do punktu \\(z\\), a nast\u0119pnie z punktu \\(z\\) do \\(x\\) przejdziemy \u0142\u0105cznie tras\u0119 kr\u00f3tsz\u0105 ni\u017c \\(d(x,y)\\). Wobec tego matematycy dodaj\u0105 jeszcze jedn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 aby funkcj\u0119 \\(d\\) mo\u017cna by\u0142o nazwa\u0107 odleg\u0142o\u015bci\u0105, lub m\u00f3wi\u0105c bardziej matematycznie, metryk\u0105<\/em>. Ta w\u0142asno\u015b\u0107 to tzw. nier\u00f3wno\u015b\u0107 tr\u00f3jk\u0105ta<\/strong>, tzn. \\[d(x,y)\\leqslant d(x,z)+d(z,y)\\] dla dowolnych \\(x,y,z\\in X\\). Gwarantuje ona, \u017ce do takich patologii dochodzi\u0107 nie b\u0119dzie.<\/p>\n \nW\u0142asno\u015b\u0107 t\u0119 znamy bardzo dobrze z geometrii. Je\u015bli odcinki \\(a,b,c\\) s\u0105 bokami tr\u00f3jk\u0105ta, to zawsze \\[a+b>c.\\] St\u0105d te\u017c zreszt\u0105 jej nazwa. Nier\u00f3wno\u015b\u0107 tr\u00f3jk\u0105ta m\u00f3wi nam, \u017ce droga z \\(x\\) do \\(y\\) przez jakikolwiek punkt po\u015bredni nie mo\u017ce by\u0107 kr\u00f3tsza ni\u017c \\(d(x,y)\\).<\/p>\n \nPodsumowuj\u0105c, mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce metryka na zbiorze \\(X\\) to taka funkcja \\(d:X\\times X\\to\\mathbb R\\), \u017ce <\/p>\n dla dowolnych \\(x,y,z\\in X\\).<\/p>\n \nNiekt\u00f3rzy by\u0107 mo\u017ce zwr\u00f3cili uwag\u0119 na fakt, \u017ce w definicji tej nie zak\u0142adamy, \u017ce funkcja \\(d\\) przyjmuje warto\u015bci nieujemne, mimo i\u017c wcze\u015bniej o tym wspomnieli\u015bmy. Okazuje si\u0119, \u017ce nie jest to koniecznie, gdy\u017c wynika z pozosta\u0142ych warunk\u00f3w. Dok\u0142adniej \\[0=d(x,x)\\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y).\\] Warto jeszcze wspomnie\u0107, \u017ce ka\u017cd\u0105 par\u0119 \\((X,d)\\) (tj. zbi\u00f3r i metryka na nim okre\u015blona) nazywamy przestrzeni\u0105 metryczn\u0105<\/strong>.<\/p>\n \nZdefiniowali\u015bmy poj\u0119cie odleg\u0142o\u015bci czyli metryki, to teraz czas na przyk\u0142ady. Najbardziej znan\u0105 metryk\u0105 jest oczywi\u015bcie metryka euklidesowa czyli zwyk\u0142a odleg\u0142o\u015b\u0107 punkt\u00f3w uto\u017csamiana z d\u0142ugo\u015bci\u0105 \u0142\u0105cz\u0105cego je odcinka. Dok\u0142adniej mamy tu wi\u0119cej ni\u017c jedn\u0105 metryk\u0119, bo po jednej dla ka\u017cdego \\(\\mathbb R^n\\). Mamy metryk\u0119 euklidesow\u0105 okre\u015blon\u0105 na prostej \\(\\mathbb R^1\\), p\u0142aszczy\u017anie \\(\\mathbb R^2\\), przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej \\(\\mathbb R^3\\) oraz na przestrzeniach wy\u017cej wymiarowych.<\/p>\n \nKolejny, dosy\u0107 naturalny przyk\u0142ad, to tzw. metryka taks\u00f3wkowa<\/strong>. Jej idea jest bardzo prosta. Wyobra\u017amy sobie miasto (lub jego fragment) z nast\u0119puj\u0105cym rozk\u0142adem ulic \noraz to, \u017ce chcemy si\u0119 przemie\u015bci\u0107 samochodem (np. taks\u00f3wk\u0105!) z punktu A do punktu B. Mo\u017cemy si\u0119 naturalnie porusza\u0107 jedynie ulicami. Przyk\u0142adowe drogi przedstawiono poni\u017cej. \nUk\u0142ad ulic sprawia, \u017ce (w przybli\u017ceniu) porusza\u0107 mo\u017cemy si\u0119 jedynie w pionie lub poziomie. Obie narysowane drogi s\u0105 takiej samej d\u0142ugo\u015bci, gdy\u017c w obu przypadkach pokonujemy tak\u0105 sam\u0105 odleg\u0142o\u015b\u0107 w g\u00f3r\u0119 i tak\u0105 sam\u0105 w prawo. Co wi\u0119cej, obie drogi s\u0105 najkr\u00f3tsze bo pokonujemy najkr\u00f3tsze mo\u017cliwe drogi w g\u00f3r\u0119 i w prawo aby przemie\u015bci\u0107 si\u0119 od A do B.<\/p>\n \nM\u00f3wi\u0105c matematycznie, maj\u0105c punkty \\(A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2)\\) odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy nimi w metryce taks\u00f3wkowej jest r\u00f3wna \\[d(A,B)=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|.\\] Intuicyjnie odpowiada to drodze czerwonej. Dodajemy cz\u0119\u015b\u0107 poziom\u0105 do pionowej.<\/p>\n \nKolejnym znanym przyk\u0142adem jest tzw. metryka rzeka<\/strong>. Jej idea r\u00f3wnie\u017c jest bardzo prosta. Je\u017celi dwa punkty \\(A=(a_1,a_2)\\) oraz \\(B=(b_1,b_2)\\) znajduj\u0105 si\u0119 na tej samej prostej pionowej (tj. \\(a_1=b_1\\)), to odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy nimi jest r\u00f3wna d\u0142ugo\u015bci odcinka je \u0142\u0105cz\u0105cego. W przeciwnym wypadku, idziemy (pionowo) z punktu \\(A\\) do osi poziomej OX czyli do punktu \\((a_1,0)\\). Nast\u0119pnie przesuwamy si\u0119 po osi OX, a\u017c znajdziemy si\u0119 nad\/na\/pod punktem \\(B\\), tj. przesuwamy si\u0119 do punktu \\((b_1,0)\\). Na koniec przesuwamy si\u0119 pionowo do punktu \\(B\\). Graficznie wygl\u0105da to tak: \nOdleg\u0142o\u015b\u0107 \\(d(A,B)\\) jest r\u00f3wna d\u0142ugo\u015bci czerwonej \u0142amanej. Matematycznie, je\u015bli \\(A=(a_1,a_2)\\) oraz \\(B=(b_1,b_2)\\), to \\[d(A,B)=\\left\\{\\begin{array}{lll}|a_2-b_2| & \\textrm{ gdy } & a_1=b_1,\\\\ |a_2|+|a_1-b_1|+|b_2| & \\textrm{ gdy } & a_1\\neq b_1\\end{array}\\right.\\] Dlaczego metryka ta nazywa si\u0119 metryk\u0105 rzeka? Wyobra\u017amy sobie, \u017ce o\u015b OX to rzeka znajduj\u0105ca si\u0119 w d\u017cungli, w kt\u00f3rej s\u0105 takie zaro\u015bla, \u017ce mo\u017cna si\u0119 przemieszcza\u0107 jedynie prostopadle w kierunku rzeki (np. po wydeptanych \u015bcie\u017ckach). Natomiast przy samej rzecze mo\u017cna si\u0119 ju\u017c bez problemu przemieszcza\u0107 wzd\u0142u\u017c niej, jak i j\u0105 przej\u015b\u0107 bo jest p\u0142ytka. W\u00f3wczas podr\u00f3\u017c z punktu A do punktu B wygl\u0105da\u0142aby tak jak na rysunku powy\u017cej. Troch\u0119 to naci\u0105gane, ale zdaje si\u0119 st\u0105d swoj\u0105 nazw\u0119 wzi\u0119\u0142a metryka rzeka.<\/p>\n \nDotychczasowe przyk\u0142ady mimo i\u017c czasami nieco naci\u0105gane, to mniej lub bardziej odpowiada\u0142y jakiej\u015b rzeczywistej sytuacji. Dlatego nast\u0119pny przyk\u0142ad mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 nieco dziwny. Jest nim tzw. metryka dyskretna<\/strong>. Jest ona bardzo prosta i mo\u017cna j\u0105 okre\u015bli\u0107 na dowolnym zbiorze \\(X\\) (np. na p\u0142aszczy\u017anie). Dok\u0142adniej \\[d(x,y)=\\left\\{\\begin{array}{lll} 0 & \\textrm{ gdy } & x=y,\\\\ 1 & \\textrm{ gdy } & x\\neq y\\end{array}\\right.\\] Wszystkie (r\u00f3\u017cne) punkty w tej metryce s\u0105 od siebie r\u00f3wnoodleg\u0142e.<\/p>\n \nId\u017amy dalej. Rozwa\u017cmy zbi\u00f3r \\(X_n\\) s\u0142\u00f3w (z sensem lub nie) d\u0142ugo\u015bci \\(n\\) zapisanych literami jakiego\u015b alfabetu (np. \u0142aci\u0144skiego). Dla s\u0142\u00f3w \\(a,b\\in X_n\\) okre\u015blamy przez \\(d(a,b)\\) jako liczb\u0119 pozycji, na kt\u00f3rych odpowiadaj\u0105ce sobie litery w obu s\u0142owach s\u0105 r\u00f3\u017cne. Okazuje si\u0119, \u017ce tak okre\u015blona funkcja \\(d\\) jest metryk\u0105! Jest to tzw. metryka Hamminga<\/strong>. Ma ona zastosowania w informatyce.<\/p>\n \nPrzyk\u0142adowo je\u015bli a=mama, za\u015b b=tata, to \\(d(a,b)=2\\), bo tylko na pierwszym i trzecim miejscu mamy r\u00f3\u017cne litery w obu s\u0142owach. \nNatomiast odleg\u0142o\u015b\u0107 Hamminga mi\u0119dzy poni\u017cszymi s\u0142owami jest r\u00f3wna 3.<\/p>\n \nMetryka to poj\u0119cie na tyle og\u00f3lne, \u017ce pozwala sensownie zdefiniowa\u0107 poj\u0119cie odleg\u0142o\u015bci mi\u0119dzy przer\u00f3\u017cnymi obiektami, np. funkcjami. Je\u017celi \\(f,g\\) s\u0105 funkcjami ci\u0105g\u0142ymi na odcinku \\([1,10]\\) (lub jakimkolwiek innym odcinku domkni\u0119tym) w\u00f3wczas \\[\\max_{x\\in [1,10]}|f(x)-g(x)|\\] jest metryk\u0105 na zbiorze takich funkcji. Podobnie jak ca\u0142ka \\[\\int\\limits_0^{10}|f(x)-g(x)|dx,\\] kt\u00f3ra jest po prostu polem mi\u0119dzy wykresami funkcji. \nOdleg\u0142o\u015b\u0107 mo\u017cna mierzy\u0107 r\u00f3wnie\u017c mi\u0119dzy zbiorami! Pozwala na to metryka Hausdorffa<\/a>. Przedstawili\u015bmy jedynie kilka przyk\u0142ad\u00f3w metryk, kt\u00f3re pozwalaj\u0105 zobaczy\u0107 jak bogate, z matematycznego punktu widzenia, jest poj\u0119cie odleg\u0142o\u015bci. Przestrze\u0144 metryczna, to poj\u0119cie, kt\u00f3re znajduje si\u0119 na pograniczu analizy matematycznej oraz topologii<\/a>. Dzi\u0119ki niemu jeste\u015bmy w stanie zdefiniowa\u0107, w naturalny spos\u00f3b, wiele poj\u0119\u0107 znanych z analizy matematycznej w szerszej klasie obiekt\u00f3w.<\/p>\n \nJe\u015bli \\((X,d)\\) jest przestrzeni\u0105 metryczn\u0105, to kul\u0105 otwart\u0105<\/strong> o \u015brodku w punkcie \\(x\\in X\\) i promieniu \\(r>0\\) nazywamy zbi\u00f3r \\[K(x,r)=\\{y\\in X: d(x,y)\\lt r\\}.\\] Innymi s\u0142owy, jest to zbi\u00f3r tych punkt\u00f3w \\(X\\), kt\u00f3re s\u0105 odleg\u0142e od \\(x\\) o mniej ni\u017c \\(r\\). Poj\u0119cie to jest uog\u00f3lnieniem odcinka otwartego, ko\u0142a oraz kuli w\u0142a\u015bnie. Dok\u0142adniej ich wn\u0119trz, bez brzegu. Je\u017celi w tej definicji znak \\(\\lt\\) zamienimy na \\(\\leqslant\\), to otrzymamy poj\u0119cie kuli domkni\u0119tej.<\/p>\n \nW przypadku metryki euklidesowej, to na osi rzeczywistej kul\u0105 otwart\u0105 jest przedzia\u0142 otwarty, na p\u0142aszczy\u017anie wn\u0119trze ko\u0142a (tj. bez brzegowego okr\u0119gu), a w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej jest to wn\u0119trze kuli. Kola domkni\u0119te w tych przestrzeniach to odpowiednio: odcinek domkni\u0119ty, ko\u0142o oraz kula w\u0142a\u015bnie. A jak to wygl\u0105da w przypadku innych przestrzeni metrycznych? <\/p>\n \nOkazuje si\u0119, \u017ce w metryce centrum kula jest… kwadratem! Dok\u0142adniej (tutaj \u015brodkiem jest pocz\u0105tek uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych) wn\u0119trzem kwadratu wygl\u0105daj\u0105cym tak:<\/p>\n \nKwadratowe kule wyst\u0119puj\u0105 r\u00f3wnie\u017c w metryce rzeka. Tu jednak jest nieco wi\u0119cej ich rodzaj\u00f3w. \nW metryce dyskretnej, je\u017celi \\(r\\leqslant 1\\), to \\(K(x,r)\\) jest zbiorem jednoelementowym, za\u015b gdy \\(r\\gt 1\\), to \\(K(x,r)\\) jest ca\u0142\u0105 przestrzeni\u0105!<\/p>\n \n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Zdanie, \u017ce odleg\u0142o\u015b\u0107 z punktu A do punktu B jest r\u00f3wna tyle i tyle wydaje si\u0119 by\u0107 oczywiste. Czy aby na pewno? I dlaczego kula mo\u017ce by\u0107 kwadratem?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1442,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[61,49,34],"tags":[58,50,35],"yoast_head":"\n
\n![\"metryka\"](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_03.png\")
<\/p>\n![\"nier\u00f3wno\u015b\u0107](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_10.png\")
<\/p>\n\n
\n![\"metryka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_05.png\")
<\/p>\n
\n![\"przestrze\u0144](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_06.png\")
<\/p>\n
\n![\"metryka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_07.png\")
<\/p>\n
\n![\"metryka](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_08.png\")
<\/p>\n![\"przestrze\u0144](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_09.png\")
<\/p>\n
\n![\"przestrze\u0144](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_13.png\")
<\/p>\n
\n![\"metryka\"](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_14.png\")
<\/p>\n![\"przestrze\u0144](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_11.png\")
<\/p>\n
\n![\"kula](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/metryka_12.png\")
<\/p>\n